TS Correction Fiche TP 12 2012-2013
b
b bb
A
C
B H
O α
Un triangle ABC isocèle de sommet principal A, est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1.H est le pied de la hauteur issue de A. On note αla mesure en radian de l’angleHOC.\
On suppose que 06α6 π 2.
1. (a) Dans le triangleAHCrectangle enH, on écrit : sin(α) =HC
OC ⇔HC= sin(α) carOC= 1.
ABC est isocèle donc la hauteur issue de A est aussi une médiane donc H est le milieu de [BC]. Ainsi BC = 2HC= 2 sin(α) .
D’autre part,O∈[AH] doncAH=OA+OH et AH= 1 + cos(α) . En effet cos(α) =OH
OC ⇔OH= cos(α).
(b) L’aire du triangleABC est égale à AH×BC
2 =2 sin(α)(1 + cos(α))
2 = sin(α)(1 + cos(α)) . 2. f définie surI=h
0;π 2
ipar :f(α) = sin(α)(1 + cos(α)).
f = sin(1 + cos) donc f est dérivable sur h 0;π
2
i come somme et produit de fonctions dérivables sur h 0;π
2 i et f′= cos(1 + cos) + sin(−sin) = cos2+ cos−sin2.
∀x∈I, f′(α) = cos2(α) + cos(α)−(1−cos2(α)) = 2 cos2(α) + cos(α)−1 .
3. (a) ∀x∈I, (2 cos(α)−1)(cos(α) + 1) = 2 cos2(α) + 2 cos(α)−cos(α)−1 =f′(α) . (b) Tableau de variations def.
f′(α) = 0 α∈I
⇔
(2 cos(α)−1)(cos(α) + 1) = 0 α∈I
⇔
cos(α) = 12 ou cos(α) =−1 α∈I
⇔ α= π3
• Et, si 06α6π 3 alors 1
2 6cos(α)61⇔062 cos(α)−161.
• De même,−162 cos(α)−160 pour α∈hπ
3;π 2
i.
• 1 + cos(α)>0 pour toutα∈I.
α
Signe de 1 + cos(α) Signe de 2 cos(α)−1
Signe def′(α)
Variations def
0 π3
π 2
+ +
+ 0 −
+ 0 −
0 0
3√3 4 3√3
4
1 1
4. f′ s’annule surIen changeant de signe donc présence d’un extremum en π
3 qui vaut 3√ 3
4 . Cet extremum est un maximmum carf est successivement croissante puis décroissante sur I.
Avecα= π
3,BC= 2 sinπ 3
= 2×
√3 2 =√
3 etOH = cosπ 3
=1
2 et doncAH=3 2. Ainsi, on obtientAH=
√3
2 BCqui est une relation caractéristique du triangle équilatéral.ABCest équilatéral .
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