Dossier de candidature aux qualifications aux postes de Professeur

Dossier de candidature aux qualifications aux postes de Professeur

Mohab Safey El Din

Mohab.Safey@lip6.fr,http://www-salsa.lip6.fr/~safey Universit´e Pierre et Marie Curie (UPMC)

Laboratoire d’Informatique de Paris 6(LIP6), CNRSUMR 7606 Equipe-projet INRIA/LIP6/UPMC´ SALSA(Centre Paris-Rocquencourt)

D´ecembre 2010

Pr´esentation succincte. Je suis Maˆıtre de Conf´erences `a l’Universit´e Pierre et Marie Curie (UPMC). Je travaille au Laboratoire d’Informatique de Paris 6, dans l’´equipe-projet mixte INRIA/LIP6/UPMC SALSA.

Mon domaine de recherche est le Calcul Formel et plus particuli`erement la r´esolution de syst`emes d’´equations et d’in´egalit´es polynomiales `a variables dans R.

Dans de nombreuses applications des sciences de l’ing´enieur (robotique, chimie, biologie, th´eorie du contrˆole, etc.) et de l’informatique (preuves de programmes, g´eom´etrie algorithmique, d´emonstration auto- matique, etc.), de tels syst`emes apparaissent naturellement. Du fait de la complexit´e subexponentielle (en le nombre de variables) des probl`emes abord´es, la r´esolution de tels syst`emes constituent de v´eritables d´efis.

Je d´eveloppe des algorithmes et des implantations qui permettent de traiter des classes d’applications auparavant hors d’atteinte des meilleurs logiciels du domaine. Le logiciel que j’ai implant´e qui est disponible dans la distribution officielle du syst`eme de Calcul FormelMaple.

Les probl`emes algorithmiques trait´es sont le test du vide de l’ensemble des solutions (et mˆeme le calcul d’au moins un point dans chacune de ses composantes connexes) ainsi que des probl`emes dits d’´elimination des quantificateurs sur les r´eels. Du point de vue de lacomplexit´e, il est connu que ces probl`emes sont de nature exponentielle en le nombre de variables. Sous des hypoth`eses de g´en´ericit´e, la plupart des algorithmes propos´es et implant´es ont des complexit´es similaires aux meilleures bornes connues ; il s’agit des seules implantations du domaine ayant cette sp´ecificit´e. Je me suis aussi int´eress´e aux tests de connexit´e de l’ensemble des solutions des syst`emes ´etudi´es et ai am´elior´e la meilleure borne de complexit´e connue.

Les fondements de mon activit´e de recherche sont d´ecrits dans la Section1et mes principales contributions sont d´ecrites plus en d´etail dans la Section2. Mon programme de recherche int`egre de nouvelles th´ematiques et s’inscrit dans la continuit´e de ces travaux ; il est d´ecrit dans la Section3.

J’ai enseign´e dans divers champs de l’informatique (algorithmique, programmation, bases de donn´ees) `a diff´erents niveaux et dans diff´erents contextes (Licence et Master d’Informatique de Paris 6, mais aussi Institut de Statistique de l’Universit´e Paris 6). J’ai aussi pris plusieurs responsabilit´es li´ees `a l’activit´e d’enseignement, notamment la direction des ´etudes de la licence Math´ematiques-Informatique de l’UPMC.

Ces activit´es sont d´ecrites dans la Section 5.

Je suis par ailleurs responsable permanent de l’´equipe-projet mixte INRIA/UPMC/LIP6 SALSA (la res- ponsabilit´e scientifique ´etant assur´ee par Jean-Charles Faug`ere, DR INRIA). Mon parcours professionnel, les listes de publications, invitations dans les universit´es ´etrang`eres, contrats et autres responsabilit´es ad- ministratives sont d´ecrites dans mon Curriculum Vitæ dans la Section6.

Mots-cl´es :Calcul Formel, Algorithmes, Complexit´e, Implantations, G´eom´etrie, Applications.

Liste des pi`eces jointes : – D´eclaration de candidature

– Rapport de soutenance et attestation du diplˆome d’Habilitation `a Diriger des Recherches.

– Pr´e-rapports sur le document d’Habilitation `a Diriger des Recherches de Messieurs R. Pollack (Courant Institute, New-York Univ., USA), B. Salvy (INRIA Paris-Rocquencourt) et F. Sottile (Texas A&M Univ., USA).

– Lettres de recommandation de Messieurs C. Queinnec, I. Emiris, J.C. Faug`ere, E. Schost et Madame L.

Zhi.

– Ce document contient un CV, une description de mes activit´es de recherche et enseignement ainsi qu’un projet de recherche et une description des tˆaches collectives assum´ees.

Il est disponible `a l’URL http://www-salsa.lip6.fr/~safey/Qualifications/dossier.pdf

Table des mati` eres

1 Fondements scientifiques, m´ethodologie et positionnement 3

2 Activit´e de recherche 5

2.1 Vue d’ensemble des contributions . . . . 5

2.2 Contributions au calcul d’un point par composante connexe . . . . 6

2.3 Contributions au calcul de carte routi`ere . . . . 7

2.4 Contributions `a l’´elimination des quantificateurs sur les r´eels . . . . 8

3 Projet de recherche 10 3.1 R´esolution de syst`emes polynomiaux structur´es . . . . 10

3.2 Perspectives sur le calcul d’au moins un point par composante connexe . . . . 11

3.3 Perspectives sur le probl`eme de cartes routi`eres . . . . 13

3.4 Perspectives sur le probl`eme d’´elimination des quantificateurs . . . . 14

4 Donn´ees quantitatives et responsabilit´es li´ees `a la recherche 16 4.1 Liste de publications . . . . 16

4.2 Logiciel . . . . 18

4.3 Invitations dans des universit´e ´etrang`eres, expos´es invit´es, Jurys et comit´es . . . . 18

4.4 Animation scientifique, responsabilit´es et encadrements . . . . 19

4.5 Activit´e contractuelle . . . . 20

5 Activit´e d’enseignements, d´emarche et responsabilit´es p´edagogiques 21 5.1 Description g´en´erale et d´emarche . . . . 21

5.2 Disciplines enseign´ees et Charges de service. . . . 21

5.3 Responsabilit´es adminsitratives et p´edagogiques . . . . 22

5.3.1 Implication forte dans l’habilitation 2009 des diplˆomes de l’UPMC . . . . 22

5.3.2 Directeur des ´Etudes de la 3-`eme ann´ee de la Licence Math´ematiques–Informatique. . . . 22

5.3.3 Responsable de l’UE intitul´ee Calculabilit´e-D´ecidabilit´e [LI347] . . . . 23

5.3.4 Parcours am´enag´e pour les ex-PCEM. . . . 23

5.3.5 Coordination de MIAS 12 Innovant . . . . 23

5.3.6 Responsabilit´es moins lourdes . . . . 23

6 Curriculum Vitæ 24 6.1 Parcours professionnel. . . . 24

6.2 Publications . . . . 24

6.3 Logiciel . . . . 26

6.4 Bourses et contrats . . . . 26

6.5 Invitations dans des universit´e ´etrang`eres et expos´es invit´es. . . . 26

6.6 Animation scientifique et responsabilit´es . . . . 27

6.7 Enseignements et responsabilit´es p´edagogiques . . . . 29

1 Fondements scientifiques, m´ ethodologie et positionnement

Je d´eveloppe des algorithmes et des implantations pour l’´etude de l’ensemble des solutions r´eelles des syst`emes d’´equations et d’in´egalit´es polynomiales. Cette recherche est motiv´ee par le grand nombre d’appli- cations o`u de tels syst`emes apparaissent. Pour illustrer ces motivations ainsi que les d´efis algorithmiques qui se posent, je commence par d´ecrire quelques exemples d’applications que j’ai trait´ees, les solutions apport´ees et leur impact dans le domaine d’application :

– Mod´elisation en biologie.Un probl`eme classique est de savoir comment r´eagit une cellule ou une bact´erie dans un environnement donn´e `a des variations de concentration d’un corps donn´e (par exemple une prot´eine). De tels probl`emes peuvent se mod´eliser par des syst´emes d’´equations diff´erentielles ordinaires non-lin´eaires dont il s’agit d’analyser la stabilit´e pour valider le mod`ele (en le confrontant aux donn´ees exp´erimentales recueillies). Ceci se ram`ene `a d´ecider si un syst`eme d’in´egalit´es polynomiales f₁ >

0, . . . , f_s >0 admet des solutions r´eelles.

C’est dans ce contexte que H. De Jong et V. Baldazzi (INRIA Grenoble) ainsi que F. Boulier, F. Lemaire et A. Sedoglavic (Universit´e de Lille I) m’ont envoy´e un tel syst`eme constitu´e d’une vingtaine de polynˆomes en 10 variables et de degr´e maximal 8. Aucun des logiciels `a leur disposittion ne pouvait le r´esoudre. Le logiciel dont je suis l’auteur en a ´et´e capable et a permis d’identifier une zone d’instabilit´e invalidant le mod`ele choisi.

– Diagrammes de Vorono¨ı. L’´etude des propri´et´es topologiques du diagramme de Vorono¨ı de trois droites dans l’espace a ´et´e initi´ee par H. Everett et S. Lazard (LORIA/INRIA Lorraine). D´emontrer l’invariance de sa topologie se r´eduit `a montrer le vide de l’ensemble des solutions d’une in´egalit´e polynomiale en 4 variables de degr´e 18 contenant plus de 200 monˆomes. L’utilisation de mon logiciel de r´esolution a ´et´e d´eterminante ici aussi pour obtenir une premi`ere preuve calculatoire [18]. Ceci a motiv´e une ´etude plus approfondie et permis d’obtenir une preuve math´ematique (au sens “faite par des humains”) [19].

La description de la topologie de ce diagramme de Voronoi a aussi attir´e notre attention. Dans ce contexte, disposer d’un algorithme permettant der´epondre `a des questions de connexit´e(i.e. d´ecider si deux points de l’ensemble des solutions peuvent ˆetre connect´es par un chemin continu dans l’ensemble des solutions) nous aurait ´et´e utile.

– Stabilit´e des sch´emas num´eriques pour les EDP. Dans [33, 40], les auteurs donnent une m´ethodologie g´en´erale pour r´eduire l’´etude de la stabilit´e de sch´emas num´eriques `a desprobl`emes d’´elimination des quantificateurs sur les r´eels. Plus pr´ecis´ement, on obtient une formule

Φ(X,Y) : ∀X∈RⁿF(X,Y) = 0 =⇒G(X,Y)≤0

(o`u F et G sont des familles de polynˆomes). Ici, on cherche une formule sans quantificateurs Ψ en les variables libres Y telle que pour que pour tout point r´eel y, Ψ(y) ⇔ Φ(X,y). G´eom´etriquement, ceci revient `a d´ecrire la projection de l’ensemble des solutions d’un syst`eme sur l’espace des Y.

Le probl`eme (sch´ema de MacCormack) ´etudi´e par H. Hong (North Carolina State University) fait inter- venir des polynˆomes de degr´e born´e par 18 avec ]X = 4 et ]Y = 2. Nous l’avons r´esolu dans [34] (voir aussi [35]).

Les applications mentionn´ees ci-dessus ne sont pas isol´ees : de nombreux probl`emes (en robotique, th´eorie du contrˆole, g´eom´etrie algorithmique, chimie, etc.) se ram`enent `a r´esoudre sur les r´eels des syst`emes poly- nomiaux [11,18,19,20,21,24,26,33,34,37,38,40,44,45,48,61,64,65,68]. Les sp´ecifications utiles aux utilisateurs et qui reviennent de mani`ere r´ecurrente sont celles ´evoqu´ees plus haut, c’est-`a-dire :

– D´ecider le vide de l’ensemble des solutions (on calculera en fait au moins un point par composante connexe) ;

– D´ecrire la projection de l’ensemble des solutions sur un sous-espace (on parlera d’´elimination d’un bloc de quantificateurs) ;

– D´ecider si deux points vivent dans une mˆeme composante connexe de l’ensemble des solutions (pour

section avec chaque composante est connexe et non vide).

Etat de l’art, m´´ ethodologie et positionnement. Dans la suite, on noteDun entier bornant les degr´es des polynˆomes consid´er´es ;s est le nombre d’in´egalit´es ;n est le nombre de variables et t est le nombre de variables libres intervenant dans les probl`emes d’´elimination des quantificateurs. L’ensemble des solutions r´eelles d’un syst`eme d’´equations et d’in´egalit´es polynomiales sera appel´e ensemble semi-alg´ebrique et on parlera devari´et´e alg´ebrique r´eellelorsque le syst`eme consid´er´e ne fait intervenir que des ´equations.

La seule m´ethode qui soit implant´ee et qui permette de r´esoudre les probl`emes mentionn´es plus haut est due `a Collins [15] : il s’agit de l’algorithme de D´ecomposition Cylindrique Alg´ebrique. Sa complexit´e doublement exponentielle (atteinte dans la plupart des cas) explique qu’aucun logiciel l’implantant ne permette de r´esoudre les applications d´ecrites plus haut. En pratique, les implantations de cette m´ethode sont limit´ees

`

a des probl`emes de 4 variables au plus.

Thom et Milnor [43,67] ont montr´e que le nombre de composantes connexes d’un semi-alg´ebrique est born´e parsⁿO(D)ⁿ. Il est donc raisonnable de chercher des algorithmes de complexit´e simplement exponentielle en le nombre de variables pour r´esoudre les probl`emes ´evoqu´es plus haut et c’est ce qu’ont fait un grand nombre de chercheurs [6,7,11,12,13,27,28,30,31,49]. Ces travaux culminent avec les r´esultats de Basu, Pollack et Roy donnant des algorithmes pour :

– le calcul d’au moins un point par composante connexe avec une complexit´esⁿD^O(n); – le probl`eme d’´elimination d’un bloc de quantificateurs avec une complexit´es<sup>n</sup>D<sup>O(nt)</sup>; – le calcul de cartes routi`eres avec une complexit´esⁿD^O(n2).

Malgr´e les gains de complexit´e importants, ces algorithmes mettent en œuvre des techniques qui ne per- mettent pas d’esp´erer des r´esultats pratiques meilleurs que ceux obtenus par l’algorithme de d´ecomposition cylindrique alg´ebrique (les constantes de complexit´e situ´ees en exposant sont bien trop ´elev´ees).

Combler le foss´e existant entre gains de complexit´e th´eorique et calculs pratiques dans le but d’´etendre significativement les applications traitables dans le domaine est mon objectif. Pour ce faire, je suis revenu aux sources des id´ees g´eom´etriques sous-jacentes aux algorithmes de bonne complexit´e.

Commen¸cons par illustrer le proc´ed´e g´eom´etrique utilis´e pour le calcul d’au moins un point par composante connexe.

L’id´ee de base est illustr´ee par la figure ci-contre : il s’agit de calculer les points en lesquels un “accident” se produit lorsqu’on balaye l’espace par un hyperplan per- pendiculairement `a un axe. Ces points sont des points critiques (les hyperplans sont tangents `a l’espace des solutions et se projettent en un point sur l’axe consid´er´e).

L’espoir est que l’ensemble des points critiques est d´efini par un syst`eme dit de dimension z´ero, c’est-`a-dire un syst`eme n’admettant qu’un nombre fini de solutions complexes.

En effet, dans ce dernier cas, on dispose d’algorithmes tr`es performants, fond´es sur le calcul de bases de Gr¨obner, permettant d’isoler les racines r´eelles. La complexit´e de ces algorithmes n’´etant pas encore maˆıtris´ee (ceci fera l’objet d’une ´etude ult´erieure incluse dans mon programme de recherche, voir Section 3), les estimations de complexit´e th´eorique qui vont parfois nous guider dans nos choix sont faites sur la base des r´esultats de complexit´e de [39] qui portent sur un algorithme pour l’heure moins performant en pratique.

Enfin, la conception des algorithmes reposera fortement sur les propri´et´es g´eom´etriques des points critiques calcul´es.

Dans le monde des algorithmes simplement exponentiels, une analyse de complexit´e ne suffit pas toujours pour valider ces choix algorithmiques. Cette validation est faite par la r´esolution d’applications hors d’at- teinte des meilleures implantations du moment.

Mes activit´es s’articulent donc autour de la conception d’algorithmes et l’´etude de leur complexit´e, des implantations et la r´esolution d’applications.

2 Activit´ e de recherche

2.1 Vue d’ensemble des contributions

La plupart des progr`es algorithmiques mentionn´es ci-dessous ont ´et´e motiv´es par la r´esolution d’applications importantes hors de port´ee des m´ethodes existantes. Les domaines concern´es sont la reconnaissance de formes [38], la g´eom´etrie algorithmique [18,19], la calibration de cam´era [21], la biologie.

Une description plus d´etaill´ee des contributions suit cet expos´e synth´etique.

– Calcul d’au moins un point par composante (cas des syst`emes d’´equations). J’ai fourni des algorithmesetimplantationsefficaces en pratique fond´es sur la m´ethode des points critiques. Ces implan- tations sont aujourd’hui capables de traiter des probl`emes faisant intervenir jusque 10 variables r´eelles.

Plusieurs ordres de grandeur ont donc ´et´e gagn´es par rapport aux performances des meilleurs logiciels implantant l’algorithme historique de D´ecomposition Cylindrique Alg´ebrique. Le logiciel r´esultant de ce travail est la biblioth`eque RAGlib (Real Algebraic Geometry Library), ´ecrite en Maple (approximative- ment 20000 lignes de code). Il est int´egr´e `a la distribution officielle de ce syst`eme de calcul formel depuis la release 14.

On a prouv´e que des versions probabilistes de ces algorithmes sont de complexit´e (nD)^O(n) – ce qui est quasi-optimal – pour des syst`emes “g´en´eriques” (leur matrice jacobienne est de rang maximal en chaque solution complexe du syst`eme ´etudi´e) [56]. Dans le cas des hypersurfaces (une seule ´equation) l’hypoth`ese de g´en´ericit´e a d´ej`a ´et´e lev´ee [51]. Ces implantations reposent sur l’utilisation de la notion de propret´e d’applications polynomiales [57] ainsi que des techniques de d´eformation.

Elles ont ´et´e utilis´ees pour r´esoudre des probl`emes de reconnaissance de formes [38], d’optimisation globale [54] et de g´eom´etrie algorithmique [18,19].

– Calcul d’au moins un point par composante (cas des syst`emes d’in´equations et/ou d’in´egalit´es).

Ici aussi, les r´esultats les plus visibles sont l’obtention d’algorithmes et d’implantations efficaces en pra- tique, fond´es sur la m´ethode des points critiques [21,53,55]. Ces implantations sont elles-aussi disponibles via la biblioth`equeRAGlib. Elles ont ´et´e utilis´ees par de nombreux chercheurs pour r´esoudre des syst`emes d’in´egalit´es (parfois jusque 10 variables), apparaissant dans des domaines vari´es, et compl`etement hors de port´ee des meilleures implantations de l’algorithme de d´ecomposition cylindrique alg´ebrique (voir par exemple [18,19,21]).

– Calcul de cartes routi`eres. Une variante de l’algorithme de J. Canny [11] d´ebouchant sur la premi`ere implantation capable de traiter probl`emes non triviaux a ´et´e obtenue dans le cas des vari´et´es alg´ebriques r´eelles lisses et compactes [41]. Ici, des versions probabilistes de l’algorithme implant´e ont une complexit´e en (nD)<sup>O(nd)</sup> o`udest la dimension du lieu des solutions ´etudi´e. Ceci am´eliore les r´esultats de complexit´e obtenus par Canny dans le cas o`u la dimension faible, mais pas dans le cas des hypersurfaces (une seule

´equation – dans ce casd=n−1).

Dans le cas des hypersurfaces (une seule ´equation) r´eelles lisses et compactes, nous avons sensiblement modifi´e l’approche g´en´erale initi´ee par Canny, pour le calcul de cartes routi`eres. Ceci nous a permis d’exhiber un algorithme probabiliste de complexit´e (nD)<sup>O(n1.5)</sup> [58]. Il faut noter que les algorithmes de calcul de cartes routi`eres dans le cas g´en´eral proc`edent d’abord `a une r´eduction au cas sp´ecifique que nous consid´erons ici.

Pour l’heure, il est difficilement envisageable d’avoir des implantations pratiques de cette approche qui est toute jeune mais il faut mentionner que mˆeme sous les hypoth`eses mentionn´ees, c’est la premi`ere fois depuis 20 ans qu’on peut appr´ehender un calcul de carte routi`ere avec une complexit´e significativement meilleure que celle de l’algorithme de Canny.

– Elimination des quantificateurs sur les r´´ eels et optimisation globale.Ce travail a ´et´e motiv´e par l’analyse de stabilit´e de sch´emas num´eriques pour la r´esolution d’EDP. Cette analyse peut se ramener

(propret´e et lissit´e). Dans [34,35], nous avons donn´e un nouvel algorithme qui exploite ces hypoth`eses. Les performances pratiques obtenues permettent de traiter des applications (faisant intervenir jusqu’`a 8 va- riables) qui sont hors d’atteinte des meilleures implantations de la D´ecomposition Cylindrique Alg´ebrique.

De mani`ere `a lever les hypoth`eses consid´er´ees, je me suis int´eress´e `a des probl`emes d’optimisation globale sans contrainte. En exploitant la notion de valeur critique asymptotique introduite dans [36], j’ai donn´e un algorithme pour ces probl`emes d’optimisation [54]. Sa complexit´e est asymptotiquement optimale et son comportement pratique permet de traiter des probl`emes hors d’atteinte de toute autre alternative algorithmique.

Une autre approche a ´et´e d´evelopp´ee r´ecemment : pour certifier quecest inf´erieur ou ´egale `a infx∈Rⁿf(x), il suffit de r´ec´ecriref−csous la forme d’une somme de carr´es. On obtient ainsi des certificats alg´ebriques.

G´eom´etriquement, cela revient `a calculer des points `a coordonn´ees rationnelles dans un semi-alg´ebrique convexe. Nous avons obtenu les premi`eres estimations de complexit´e binaire pour ce probl`eme [59].

2.2 Contributions au calcul d’un point par composante connexe

On consid`ere ici une famille de polynˆomesF= (f1, . . . , fp) ⊂Q[X1, . . . , Xn] de degr´es born´es par D ainsi que l’ensemble des solutions complexes V ⊂C<sup>n</sup> du syst`eme F= 0. Nous consid´ererons ensuite l’ensemble des solutions du syst`emeF>0 dans Rⁿ qu’on notera S.

Ce paragraphe d´ecrit dans un premier temps les progr`es effectu´es pour le calcul d’un point par composante connexe deV∩R<sup>n</sup>(cas des syst`emes d’´equations), puis nous consid´erons le calcul d’un point par composante connexe deS.

Toutes les contributions d´ecrites ci-dessous ont ´et´e implant´ees dans la biblioth`eque RAGlib [52] ´ecrite en Maple(syst`eme de calcul formel distribu´e par la soci´et´eMapleSoft, Canada). Cette biblioth`eque est d´esormais int´egr´ee dans la release 14 deMaple(dans le paquetage RootFinding).

Certains des r´esultats r´esum´es ci-dessous ont ´et´e obtenus en collaboration avec ´E. Schost¹.

Encodage de points critiques et hypoth`ese de r´egularit´e. On a vu dans la Section 1 que les algo- rithmes d´evelopp´es reposent sur le calcul de points critiques dansV d’une projection donn´eeϕ, c’est-`a-dire de points en lesquels les espaces tangents `a V sont en position sp´eciale. En g´en´eral, on peut lire les infor- mations relatives aux espaces tangents sur la matrice jacobienne jac(F) deF.

Si on suppose qu’en tout point de V, la jacobienne jac(F) de F est de rang maximal, ces points critiques sont d´efinis par l’annulation des mineurs maximaux de jac([F, ϕ]). Cette hypoth`ese est appel´ee hypoth`ese de r´egularit´e.

Le cas des ´equations polynomiales. Faisons dans un premier temps l’hypoth`ese de r´egularit´e. Le calcul de points critiques peut ´echouer siV ∩Rⁿn’est pas compacte.

L’exemple o`u on consid`ere l’hyperbole et la projection sur l’axe de premi`ere coor- donn´ee illustre assez bien les ph´enom`enes asymptotiques constituant une obstruc- tion `a notre strat´egie de calcul. Lorsque de tels ph´enom`enes ne se produisent pas, on dit qu’on a uneprojection propreet dans [57] on donne un algorithme testant la propret´e d’une projection (et le cas ´ech´eant calculant le lieu de non-propret´e).

Une mani`ere de contourner la difficult´e induite par la non-propret´e est de consid´erer des fonctions distance [1, 2, 3,4, 5, 50] `a un point al´eatoirement choisi pour le calcul de points critiques au lieu de calculer les points critiques d’une projection sur un axe de coordonn´ees. Dans le cas des fonctions distances, on ob- tient un syst`eme de dimension 0 dont le nombre de solutions complexes est born´e parP

0≤i≤n−p−1Di avec Di =D^p(D−1)^{n−p−i n−1−i}_p−1

. Dans le cas d’une projection simple cette borne devient simplement D0.

1University of Western Ontario, Canada

x y

x y

Comme illustr´e par la figure ci-contre, on montre dans [56] que modulo un choix g´en´erique de projection ϕ, on peut lever l’obstruction induite par des ph´enom`enes de non-propret´e (une composante connexe contient des points critiques de la projection g´en´erique consid´er´ee ou a une inter- section avec ϕ<sup>−1</sup>(0)). De cette mani`ere, on ram`ene le calcul d’au moins un point par composante connexe `a la r´esolution de n−p syst`emes de dimension 0 de degr´e D0,D1, . . . ,Dn−p−1 (au lieu de r´esoudre un “gros”

syst`eme de degr´eP

0≤i≤n−p−1Di).

Une version probabiliste de cet algorithme a pour complexit´eO(n⁴(nD)³ⁿ) ce qui est proche des meilleures bornes connues. Cet algorithme a ´et´e utilis´e avec succ`es dans plusieurs applications inatteignables par les meilleures implantations de l’algorithme de D´ecomposition Cylindrique Alg´ebrique (notamment une application en reconnaissance de formes, voir [38]).

Dans [51] cette situation est ´etendue au cas o`u le syst`eme d’entr´ee est constitu´e d’une seule ´equation mais ne satisfait pas l’hypoth`ese de r´egularit´e. Il en r´esulte un algorithme rapide en pratique dont la complexit´e est proche elle aussi des meilleures bornes connues. Dans [57], nous proposons une variante de ces algorithmes qui permet de traiter les syst`emes ne satisfaisant pas l’hypoth`ese de r´egularit´e. Cette derni`ere contribution est utile car elle nous permet d’obtenir une suite algorithmique et logicielle compl`ete pour le cas des syst`emes d’´equations dont les performances pratiques permettent de traiter des applications hors d’atteinte des meilleures implantations de l’algorithme de D´ecomposition Cylindrique Alg´ebrique.

Le cas des syst`emes d’in´egalit´es. La plupart des strat´egies propos´ees pour calculer au moins un point par composante connexe dans un semi-alg´ebrique reposent sur une r´eduction au cas des syst`emes d’´equations.

Commen¸cons par consid´erer le cas d’une in´egalit´e polynomialef >0 et son ensemble de solutions S⊂Rⁿ. Pour trouver au moins un point par composante connexe de S, on peut r´esoudre l’´equation f −ε = 0 o`u ε est un param`etre qui encode un infinit´esimal. La sortie est alors param´etr´ee par ε et `a partir de cette sortie on cherche une valeur de sp´ecialisation positive suffisamment petite pourε. L’inconv´enient de cette strat´egie de calcul est qu’elle alourdit consid´erablement l’arithm´etique sur laquelle les calculs sont effectu´es.

Pour contourner cette difficult´e, j’utilise dans [53] une notion de valeur critique asymptotique introduite dans [36] et qui ont de fortes propri´et´es topologiques (l’union des valeurs critiques asymptotiques et des valeurs critiques est appel´ee ensemble devaleurs critiques g´en´eralis´ees). Consid´erons l’´equation f−E= 0.

Essentiellement, si on sait calculer la plus petite valeur critique g´en´eralis´ee positivee₀ de la projection sur E restreinte `a f −E = 0, les r´esultats de [36] nous disent que pour tout e dans ]0, e<sub>0</sub>[, les ensembles de solutions def−e= 0 ont la mˆeme topologie (les propri´et´es sont en fait plus fortes : on a une g´en´eralisation du th´eor`eme d’Ehresmann).

Dans [53], je donne un algorithme pour calculer ces valeurs critiques g´en´eralis´ees et en d´eduit un algorithme pour le traitement d’une in´egalit´e polynomiale. La complexit´e de cet algorithme est du mˆeme ordre de grandeur que les meilleures bornes connues avec en plus un comportement pratique efficace.

J’ai ´etendu mon champ d’´etudes au cas des syst`emes d’in´egalit´es et d’in´equations polynomiales. Il r´esulte de tout cela des implantations dont les performances permettent de traiter des applicatioons hors d’atteinte des meilleures implantations de la d´ecomposition cylindrique alg´ebrique (jusqu’`a 10 variables).

2.3 Contributions au calcul de carte routi`ere

On suppose ici que l’entr´ee des algorithmes est un syst`eme d’´equations F = 0 (avec F = (f1, . . . , fp) ⊂ Q[X1, . . . , Xn]) de degr´es born´es par D; on noteV ⊂C<sup>n</sup> l’ensemble des solutions complexes deF= 0. On supposera de plus queFsatisfait l’hypoth`ese de r´egularit´ementionn´ee plus haut et queV∩Rⁿest compacte.

Rappelons qu’une carte routi`ere est une courbe d’intersection connexe et non vide avec chaque composante connexe deV ∩ ⁿ. Cet objet est la charpente des proc´edures permettant de connecter deux points donn´es

dansV ∩Rⁿ lorsque c’est possible.

Les hypoth`eses consid´er´ees ci-dessus sont loin d’ˆetre restrictives puisque les algorithmes connus ram`enent l’´etude des cas g´en´eraux `a la situation qu’on consid`ere.

Jusqu’`a pr´esent, les meilleurs algorithmes de calcul de cartes routi`eres reposaient sur la strat´egie propos´ee par J. Canny [11,13] et avaient pour complexit´e (nD)^O(n2). Celle-ci consiste `a :

1. calculer une courbe ayant une intersection non vide avec chaque composante connexe de V ∩Rⁿ; traditionnellement cette courbe est un ensemble de points critiques de la projection sur un plan P restreinte `a V (voir Figure 1) ;

2. r´eparer les d´efauts de connexit´e de cette courbe en consid´erant des sections de V : pour cela, on consid`ere une droite dans le plan P et les valeurs critiques de la projection sur cette droite restreinte

`

a notre courbe critique (voir Figure2).

Fig. 1: 1-`ere ´etape – Courbe critique Fig. 2: 2-i`eme ´etape – Sections deV ∩Rⁿ On obtient un algorithme r´ecursif de profondeur la dimension de V qu’on note d≤n−1. `A chaque appel r´ecursif, le degr´e des entr´ees est multipli´e par (nD)^O(n) si bien que le coˆut total du calcul est de l’ordre de (nD)^O(nd).

Nous montrons dans [42] qu’il n’est pas n´ecessaire de choisir des sections au-dessus de valeurs critiques mais au-dessus de nombres rationnels (´etape 2). Ceci nous permet d’obtenir la premi`ere implantation performante en pratique d’un algorithme de calcul de cartes routi`eres. La complexit´e reste n´eanmoins de l’ordre de (nD)^O(n2).

Dans [58], nous obtenons le premier progr`es th´eorique depuis ces 20 derni`eres ann´ees en proposant un algorithme de calcul de cartes routi`eres de complexit´e (nD)<sup>O(n1.5)</sup>. La strat´egie repose sur une technique algorithmique “pas de b´eb´es/pas de g´eants” dans le contexte o`u V est d´efinie par une seule ´equation : – Pas de g´eants: au lieu de consid´erer une courbe critique, on consid`ere un lieu critique de dimension'√

n.

En lui appliquant la strat´egie de calcul propos´ee par Canny, on obtient un morceau de carte routi`ere en tempsD^O(n

√n);

– Pas de b´eb´es : la dimension plus grande de ce lieu critique nous laisse plus de latitude dans le choix des sections `a consid´erer ; notamment on peut choisir des sections de V pour lesquelles on fixe ' √

n coordonn´ees.

Ainsi, `a chaque appel r´ecursif la dimension chute de'√

n. Ici aussi, le degr´e des entr´ees est multipli´e par (nD)^O(n) `a chaque appel r´ecursif si bien que le coˆut total est domin´e par (nD)^O(n

√n).

2.4 Contributions `a l’´elimination des quantificateurs sur les r´eels

On consid´ere F= (f₁, . . . , f_p) et G= (g₁, . . . , g_s) dans Q[X₁, . . . , X_n, Y₁, . . . , Y_t], de degr´es born´es par D.

On suppose queFsatisfait l’hypoth`ese de r´egularit´e. On noteV l’ensemble de ses solutions complexes dans C<sup>n</sup>×C<sup>t</sup> etS ⊂R<sup>n</sup>×R<sup>t</sup>l’ensemble des solutions r´eelles deF= 0,G>0. Dans le contexte de l’´elimination des quantificateurs on cherche `a d´ecrire Π_Y(S)⊂R^t.

Fig.3: Graphe de f =X²+ (XY −1)²

Une mani`ere de faire est de :

1. calculer un ensemble de pointsB ⊂R^tqui contient la fronti`ere de ΠY(S).

2. d´ecrire chaque composante connexe de R^t−B et en calculer au moins un point par composante connexe.

3. pour chacun de ces pointsy, v´erifier sur Π⁻¹_Y (y)∩S est vide (pour identifier les composantes qui sont dans Π_Y(S).

De cette mani`ere, on obtient la description d’un ensembleE ⊆Π_Y(S) tel que Π_Y(S)−E est de volume nul (en fait la dimension est≤n−1).

Dans [34, 35], nous donnons un algorithme qui suit cette d´emarche lorsque la projection ΠY restreinte `a V∩R<sup>n+t</sup>est propre. Pour cela, on doit calculer les points critiques de Π<sub>Y</sub> restreinte `a l’intersection deV et les solutions de sous-ensembles deG. Lorsque cette intersection ne satisfait pas l’hypoth`ese de r´egularit´e, nous mettons en œuvre une technique de d´eformation efficace qui g´en´eralise celle de [51]. La complexit´e de cette m´ethode est bien contrˆol´ee lorsque test fix´e. L’implantation de cet algorithme a ´et´e utilis´ee pour r´esoudre plusieurs applications.

Etendre cette strat´´ egie aux situations non propres n´ecessite d’utiliser plus finement la notion de valeur critique asymptotique. C’est ce que nous faisons dans le contexte de l’optimisation globale : lorsqu’on cherche `a identifier infx∈R<sup>n</sup>f(x), on est ramen´e `a ´etudier f(Rⁿ). Les difficult´es arrivent lorsque f(Rⁿ) est un intervalle ne contenant pas ses fronti`eres finies. Par exemple, le polynˆome f = X<sup>2</sup> + (XY −1)<sup>2</sup> est toujours positif et 0 est sa borne inf´erieure (la suitef(<sub>n</sub><sup>1</sup>, n) tend vers 0). Ici on ne s’approche de 0 qu’avec des suites de points divergentes vers l’infini (voir Figure3). Dans [54], je montre comment utiliser la notion de valeur critique asymptotique pour r´esoudre de tels probl`emes d’optimisation globale.

Enfin, toujours dans le contexte de l’optimisation globale, je me suis int´eress´e aux approches `a base de d´ecomposition en sommes de carr´es de polynˆomes f ∈ Q[X<sub>1</sub>, . . . , X<sub>n</sub>]. En effet pour montrer que c ≤ infx∈R<sup>n</sup>f(x), il suffit de montrer quef−cest une somme de carr´es. De tels certificats peuvent s’obtenir en cherchant des solutions rationnelles `a des in´egalit´es matricielles lin´eaires qui d´efinissent un ensemble semi- alg´ebrique convexe. En exploitant la convexit´e, nous donnons dans [59] le premier algorithme de complexit´e simplement exponentielle en le nombre de variables et polynomiale en le degr´e des polynˆomes d’entr´ee d´ecidant l’existence de tels points rationnels (et qui en calculent s’il en existe).

3 Projet de recherche

Les d´efis concernant la r´esolution des syst`emes polynomiaux sur les r´eels restent nombreux.

Les progr`es r´ecents permettent de traiter un nombre significativement plus grand d’applications mais beau- coup restent hors de port´ee : d’un point de vue pragmatique, atteindre la vingtaine de variables serait fort utile pour traiter une autre classe d’applications (notamment en th´eorie du contrˆole, biologie, robotique, etc.). Si on se souvient que les probl`emes consid´er´es sont de complexit´e intrins`equement exponentielle en le nombre de variables, on mesure l’´etendue du chemin `a parcourir.

Au-del`a de ce constat, le besoin denouvelles sp´ecificationsse fait d´ej`a sentir : sur certains probl`emes (faisant intervenir une dizaine de variables) le logiciel que je fournis `a la communaut´e retourne plus de 10⁵ points.

Une telle taille de sortie n’est pas toujours exploitable. Aussi, calculer un et un seul point par composante connexe serait fort utile ; ceci justifie au passage les travaux entrepris sur le calcul de cartes routi`eres.

Pour faire simple et pragmatique, se doter d’outils algorithmiques et logiciels permettant de traiter des probl`emes d’une vingtaine de variables est aujourd’hui le grand d´efi `a relever.

Des enjeux plus fondamentaux doivent aussi ˆetre abord´es. Du point de vue de la complexit´e, le calcul de cartes routi`eres n’est toujours pas bien compris. Mˆeme le probl`eme plus simple de calculer au moins un point par composante connexe n’est pas bien cern´e si on y regarde de plus pr`es : dans les cas ne satisfaisant pas l’hypoth`ese de r´egularit´e on n’a pour l’heure aucun algorithme rapide en pratique de complexit´e quasi- optimale. De plus, mˆeme sous l’hypoth`ese de r´egularit´e, on verra plus bas qu’on peut douter de l’optimalit´e des algorithmes actuels. On a vu aussi que de nombreux enjeux rel`event de probl`emes d’optimisation globale.

Le projet de recherche ci-dessous s’inscrit donc dans la continuit´e des travaux que j’ai entrepris jusqu’`a pr´esent et inclut des ouvertures `a des th´ematiques que j’ai peu explor´es pour parvenir aux objectifs d´ecrits ci- dessus. Notamment, j’envisage des d´eveloppements dans l’algorithmique alg´ebriquepermettant de r´esoudre des syst`emes de dimension z´ero : il s’agit de tirer profit de la structure des syst`emes encodant des points critiques. J’envisage ´egalement la poursuite du travail initi´e dans [59] autour des d´ecompositions en sommes de carr´es de polynˆomes pour r´esoudre des probl`emes d’optimisation globale. Enfin, des questions sur la complexit´e en moyenne de la sortie des algorithmes fond´es sur la m´ethode des points critiques seront abord´ees.

3.1 R´esolution de syst`emes polynomiaux structur´es

Cette partie du programme de recherche est men´ee en collaboration avec J.-C. Faug`ere et P.J. Spaenle- heauer².

Comme on l’a vu pr´ec´edemment, la m´ethode des points critiques ram`ene l’´etude des solutions r´eelles de syst`emes g´en´eraux `a celle des syst`emes de dimension 0. Ces derniers d´efinissent des points critiques et sont d´efinis par l’annulation d’une famille de polynˆomes F et des contraintes exprimant que la jaco- bienne tronqu´ee de F n’est pas de rang maximal en les points qui annulent F. L’utilisation des bornes de Thom/Porteous/Gambelli [47] permet de borner tr`es pr´ecis´ement le nombre de points critiques calcul´es.

Pour l’heure, on ne dispose pas de r´esultats permettant d’affirmer que la r´esolution de tels syst`emes se fait en temps polynomial en cette borne.

Obtenir des algorithmes de r´esolution dont la complexit´e est polynomiale en le nombre maxi- mal de points critiquesest donc crucial.

On peut construire des syst`emes d´efinissant les points critiques selon deux mod´elisations :

– soit on ´ecrit l’annulation des mineurs maximaux de la jacobienne consid´er´ee ; on parlera alors demod´elisation d´eterminantielle;

– soit on introduit des nouvelles variables (multiplicateurs de Lagrange) pour ´ecrire explicitement des relations de d´ependance lin´eaire entre les lignes de la jacobienne ; on a ici une mod´elisation bi-homog`ene

2P.-J. Spaenlehauer est actuellement un ´etudiant en th`ese que je co-encadre avec J.-C. Faug`ere.

puisque les multiplicateurs de Lagrange apparaissent tous en degr´e 1 (les autres variables apparaissant en degr´eD).

Dans les deux cas, on obtient des syst`emes de dimension 0 qui sont tr`es structur´es. Tirer un profit algorith- mique de ces structures est ´evidemment important : cela permettrait d’acc´el´erer sensiblement les m´ethodes de points critiques.

L’outil de r´esolution actuellement utilis´e en pratique est le calcul de bases de Gr¨obner. Ce calcul revient `a mettre sous forme ´echelon des matrices construites it´erativement `a partir du syst`eme donn´e en entr´ee (les coefficients des polynˆomes sont rang´es en ligne dans la matrice selon un ordre fix´e sur les monˆomes). Ces matrices sont appel´ees matrices de Macaulay. ´Evidemment, la taille maximale de ces matrices apparaissant en cours de calcul joue un rˆole important dans la complexit´e. Celle-ci peut ˆetre lue sur la s´erie g´en´eratrice des d´efauts de rang des matrices de Macaulay ; cette s´erie est appel´ee s´erie de Hilbert.

Obtenir la s´erie de Hilbert pour les deux mod´elisations d´ecrites ci-dessus est crucial. D’une part, cela permettrait de comprendre mieux la complexit´e des algorithmes tels qu’ils sont implant´es. D’autre part, la connaissance de la s´erie de Hilbert permet de guider la recherche algorthmique puisqu’elle donne des informations sur le rang des matrices de Macaulay : on peut donc commencer `a chercher des algorithmes de calcul de bases de Gr¨obner sp´ecifiques ne construisant que des matrices de rang maximal (sous des hypoth`eses de g´en´ericit´e) pour les mod´elisations qui nous int´eressent.

Dans le cas de la mod´elisation d´eterminantielle, de nombreux travaux [10,16,17,32,66] permettent d’obtenir la s´erie de Hilbert dans le cas o`u toutes les entr´ees de la matrice consid´er´ee sont des ind´etermin´ees. Ces travaux mettent en lumi`ere une structure combinatoire forte. Dans [22,23], nous g´en´eralisons ces travaux aux cas o`u les entr´ees de la matrice sont des formes lin´eaires, puis des polynˆomes quelconques. Ces premiers r´esultats donnent de s´erieux espoirs de pouvoir aboutir dans le cas de la mod´elisation d´eterminantielle.

Pour ce qui est de la mod´elisation bi-homog`ene, une premi`ere ´etape est franchie dans [25] o`u on traite le cas des syst`emes polynomiaux quadratiques bi-homog`enes de bi-degr´e (1,1) (chaque paquet de variable apparait en degr´e 1). Au passage, on montre comment exploiter la corr´elation forte entre les structures multi-homog`enes et les mod´elisations d´eterminantielles. Les progr`es escompt´es dans le cadre d´eterminantiel permettraient donc de traiter le cas multi-homog`ene. Ci-apr`es, je montrerais l’importance de ce sujet dans le contexte de calcul de cartes routi`eres.

A plus long terme, on peut se poser la question du` nombre moyen de solutions r´eelles de tels syst`emes polynomiaux structur´es. On a vu qu’un certain nombre de contributions pr´ec´edemment obtenues d´ebouchent sur des algorithmes dont la complexit´e en moyenne en d´epend de cette quantit´e. Ainsi, si ce projet aboutit, on pourrait par exemple obtenir des r´esultats de complexit´e en moyenne sur notre variante de l’algorithme de Canny.

Dans [14], Castro, Pardo and San Martin prouvent que le nombre moyen de syst`emes polynomiaux de dimension 0 `a coefficients rationnels de longueur binaire born´ee est la racine carr´ee du nombre de B´ezout associ´e au syst`eme (le produit des degr´es). Ce r´esultat g´en´eralise celui de Shub and Smale [63] obtenu pour le cas des syst`emes `a coefficients r´eels. Ici, la difficult´e `a laquelle on est confront´e est que dans les syst`emes structur´es consid´er´es, les coefficients de certains des polynˆomes d´ependent d’autres polynˆomes d´ej`a pr´esents dans le syst`eme.

3.2 Perspectives sur le calcul d’au moins un point par composante connexe

L’objectif `a moyen terme est de pouvoir traiter en pratique des applications faisant intervenir une vingtaine de variables. Du point de vue th´eorique, obtenir des algorithmes de complexit´e asymptotiquement optimalesans hypoth`ese de r´egularit´e est le verrou scientifique qu’il faut maintenant lever.

Calcul de valeurs critiques g´en´eralis´ees. Cet objet fondamental introduit dans [36] est muni de propri´et´es topologiques importantes (il permet de g´en´eraliser le th´eor`eme d’Ehresmann aux situations non propres). On a su l’exploiter dans [53] pour le calcul d’un point par composante connexe dans l’ensemble des solutions d’une in´egalit´e polynomiale.

Pour aller plus loin, il faudrait savoir calculer efficacement les valeurs critiques asymptotiques de ϕ:V → R^k o`u ϕ est une application polynomiale et V l’ensemble des solutions r´eelles d’un syst`eme d’´equations polynomiales.

La strat´egie que nous d´evelopperons pour obtenir de tels algorithmes de calculs de valeurs critiques g´en´era- lis´ees repose sur une extension de l’approche d´ej`a d´evelopp´ee dans [53]. Il s’agit de caract´eriser les valeurs critiques asymptotiquescomme le lieu de non-propret´e d’une application restreinte `a une courbe critique.

Utilisation des valeurs critiques g´en´eralis´ees. Soit F = (f1, . . . , fp) ⊂ Q[X1, . . . , Xn] et V ⊂ Cⁿ l’ensemble des solutions complexes deF= 0 satisfaisant l’hypoth`ese de r´egularit´e.

L’algorithme donn´e dans [56] pour calculer au moins un point par compoante connexe dansV∩Rⁿcommence par effectuer un changement de variables g´en´erique qui d´etruit le caract`ere creux du syst`eme et nous met en quelque sorte dans le pire des cas (du point de vue du nombre de points critiques calcul´es). De plus ce changement de variables induit une croissance de coefficients qu’on souhaite ´eviter.

Soit C une composante connexe de V ∩Rⁿ. On n’a pas vraiment de probl`eme si C contient des points critiques de la projection Π₁ sur le 1-er axe de coordonn´ees ou si Π(C) =R.

Montrons maintenant comment utiliser ces valeurs critiques g´en´eralis´ees pour contourner les probl`emes d´ecrits ci-dessus. Leurs propri´et´es topologiques impliquent que

– siC ne contient pas de points critiques de la projection Π1

– et si Π₁(C)6=R

alors C est un intervalle dont la fronti`ere est constitu´ee de valeurs critiques asymptotiques. Si on sait les calculer, on sait alors choisir un rationnelrdans Π1(C). Ainsi, ´etudierV∩Π<sup>−1</sup><sub>1</sub> (r) (ce qui revient `a sp´ecialiser X₁ `ar) permet d’obtenir au moins un point dans C.

Bien sˆur, la complexit´e de cet algorithme d´epend du nombre de valeurs critiques asymptotiques r´eelles.

Ceci justifie qu’on s’int´eresse ici `a des complexit´es en moyenne et au nombre de points critiques en moyenne (voir le paragraphe pr´ec´edent).

Retour sur le cas des syst`emes polynomiaux singuliers. On consid`ere un syst`eme d’´equations polynomialesf1 =· · ·=fp = 0 ne satisfaisant pas l’hypoth`ese de r´egularit´e et l’ensemble de ses solutions complexesV ⊂Cⁿ. Pour l’heure, le comportement pratique des algorithmes permettant le calcul d’au moins un point par composante connexe dansV ∩Rⁿn’est pas satisfaisant ; rappelons que la complexit´e th´eorique de ces algorithmes n’est pas maˆıtris´ee.

L’objectif est maintenant d’´etendre les techniques de d´eformation utilis´ees dans [51] `a ce contexte. Pour ce faire, nous utiliserons la technique introduite par J. Canny dans [13]. Soit C une composante connexe de V ∩R<sup>n</sup> et Sε ⊂ Rhεi<sup>n</sup> l’ensemble des solutions du syst`eme −ε ≤ f1 ≤ ε, . . . ,−ε ≤ fp ≤ ε (o`u ε est un infinit´esimal). Canny a montr´e qu’il existe une unique composante connexe S de Sε telle que C ⊂S et C = limε→0(S). L’id´ee est donc de calculer au moins un point par composante connexe dans Sε et d’obtenir les solutions au probl`eme d’origine en faisant tendreεvers 0. La premi`ere ´etape peut se faire via une r´eduction du cas des syst`emes d’in´egalit´es au cas de syst`emes d’´equations satisfaisant l’hypoth`ese de r´egularit´e. Le passage `a la limite pourrait s’effectuer de mani`ere similaire `a la technique d´evelopp´ee dans [34,35]. La complexit´e attendue coincide avec les meilleures bornes connues.

Syst`emes d’´equations et d’in´egalit´es. Consid´erons le syst`emef1 =· · ·=fp = 0, g1 >0, . . . , gs>0 de polynˆomes dansQ[X₁, . . . , X_n] et S⊂Rⁿ l’ensemble de ses solutions r´eelles. On commencera par supposer que le sous-syst`eme f1 = · · · = fp = 0 satisfait l’hypoth`ese de r´egularit´e. Cette derni`ere hypoth`ese sera progressivement lev´ee en fonction des avanc´ees obtenues relatives au paragraphe ci-dessus.

L’approche qu’on d´eveloppera ´etend celle d´evelopp´ee dans [56] qui permet de r´eduire l’´etude `a des sections de lieux critiques apr`es r´eduction au cas des syst`emes d’´equations. Pr´ecis´ement, il est montr´e que pour obtenir au moins un point par composante connexe de S il suffit de calculer au moins un point par composante connexe des ensembles de solutions def1 =· · ·=fp = 0, gi1 =· · ·=gi` =ε(o`uεest un infinit´esimal) pour tout{i<sub>1</sub>, . . . , i<sub>`</sub>} ⊂ {1, . . . , s}.

Ici, on utilisera les algorithmes d´evelopp´es pour le calcul de valeurs critiques g´en´eralis´ees afin de calculer a priori des valeurs de sp´ecialisation suffisamment petite pour l’infinit´esimal introduit.

3.3 Perspectives sur le probl`eme de cartes routi`eres

Rappelons que dans [58], on donne un algorithme probabiliste de calcul de cartes routi`eres de complexit´e (nD)<sup>O(n1.5)</sup> dans le cas o`u l’ensemble des solutions est compact et d´efini par une ´equation satisfaisant l’hypoth`ese de r´egularit´e. Mˆeme s’il s’agit de la premi`ere am´elioration du r´esultat de Canny depuis ces vingt derni`eres ann´ees ce r´esultat soul`eve beaucoup de questions :

– peut-on obtenir un algorithme d´eterministe de mˆeme complexit´e permettant de traiter le cas g´en´eral ? – peut-on mettre en place une strat´egie “diviser pour r´egner” qui permettrait d’aboutir `a une complexit´e

en (nD)^O(nlog(n))?

– est-il possible de calculer une carte routi`ere dans des complexit´es similaires `a celle du calcul d’au moins un point par composante connexe ?

L’objectif ultime de mes activit´es sur ce sujet estl’obtention d’algorithmes efficaces en pratique pour le calcul de cartes routi`eres ainsi qu’une compr´ehension compl`ete des complexit´es sous-jacentes

`

a ce probl`eme.

Cette partie du programme de recherche sera men´ee en collaboration avec S. Basu³, M.-F. Roy ⁴ et E.

Schost⁵.

Algorithmes d´eterministes et complexit´es. Avec S. Basu, M.-F. Roy et E. Schost, nous tentons de g´en´eraliser les r´esultats obtenus dans [58] au cas de syst`emes d’´equations quelconques. Rappelons que dans [58], on donne un algorithme probabiliste calculant des cartes routi`eres dans une hypersurface lisse et compacte en temps (nD)^O(n1.5). Ici, l’objectif est d’obtenir un algorithme d´eterministe ayant la mˆeme complexit´e pour le calcul de cartes routi`eres sans hypoth`eses sur l’entr´ee.

Pour ce faire, nous utiliserons des techniques de d´eformation introduites dans [8] (voir aussi [9, Chapitre 15]) pour se ramener au cas favorable ´etudi´e dans [58].

Algorithmes probabilistes et complexit´es. Avec ´E. Schost, nous tentons de concevoir un algorithme qui exploite encore mieux le r´esultat de connectivit´e que nous avions prouv´e dans [58] et qui nous avait permis d’obtenir un premier r´esultat de complexit´e. Rappelons que dans notre contexte, les algorithmes sont r´ecursifs de complexit´e (nD)^O(nr) o`ur est la profondeur de la r´ecursion.

Plutˆot que de mettre en œuvre une strat´egie “pas de b´eb´e-pas de g´eant” qui nous avait conduit `a une complexit´e en (nD)^O(n1.5)(la profondeur de la r´ecursion ´etait√

n), nous cherchons `a obtenir une complexit´e en (nD)^O(nlog(n)) en mettant en œuvre une strat´egie “diviser-pour-r´egner”.

Le changement de complexit´e potentiel provient du fait que les objets g´eom´etriques ´etudi´es voient leur dimension divis´ee par 2 `a chaque appel r´ecursif. La profondeur de la r´ecursion dans l’algorithme obtenu serait alors'log(n). Dans ce contexte, une difficult´e provient du codage des lieux critiques consid´er´es : les premiers sont d´efinis par l’annulation de mineurs de matrices jacobiennes ; les suivants par des mineurs de matrices de taille plus grandes, etc. Le nombre de mineurs devient alors prohibitif et pour contourner cette difficult´e nous envisageons d’utiliser une construction r´ecursive de syst`emes de Lagrange. Le degr´e des objets

3Professeur, Purdue University

4Professeur, Universit´e de Rennes I

consid´er´es reste inchang´e, donc modulo l’obtention de techniques de r´esolution tirant profit de la structure multi-homog`ene des syst`emes ainsi construits, il est raisonnable d’esp´erer faire aboutir ce projet. Aussi, `a moyen terme, si d est la dimension du lieu-solution ´etudi´e, nous souhaiterions obtenir une complexit´e de l’ordre de (nD)^O(nlog(d)).

Objectifs `a long terme. Evidemment, l’objectif `´ a tr`es long terme est d’obtenir des algorithmes de complexit´e (nD)<sup>O(n)</sup> pour le calcul de cartes routi`eres. L’obtention d’un tel r´esultat ´etant pour l’heure inaccessible, j’envisage de commencer un travail d’implantation des algorithmes de complexit´e (nD)^O(nlog(d)) d`es que ceux-ci seront con¸cus. Il est ´evident que comme pour l’algorithme de Canny, il faudra concevoir des algorithmes ´evitant des calculs faisant intervenir des nombres alg´ebriques. La lev´ee des hypoth`eses de compacit´e et de r´egularit´e sera aussi n´ecessaire.

3.4 Perspectives sur le probl`eme d’´elimination des quantificateurs

Optimisation globale. Cette partie du programme de recherche est men´ee avec A. Greuet⁶, F. Guo⁷ et L. Zhi⁸. Notre objectif est de fournir un ensemble algorithmique et logiciel complet et robuste d´edi´e aux probl`emes d’optimisation globale de fonctions polynomiales (sous des contraintes elles aussi polynomiales).

Il s’agit de tester l’existence d’infima globaux, de certifier des bornes inf´erieurs pour ces infima, de d´ecider si ces infima sont atteints, etc.

Les algorithmes d´evelopp´es rel`event soit du calcul formel soit de techniques hybrides symboliques/num´eriques pour calculer des certificats `a base de sommes de carr´es.

Dans le cadre des m´ethodes purement symboliques, `a l’instar du cas sans contraintes [54], le moteur de calcul sera constitu´e des algorithmes de calcul de valeurs critiques g´en´eralis´es (voir Section3.2). En s’inspirant des techniques de d´eformation qu’on envisage de d´eployer (voir aussi [13]) pour r´esoudre des syst`emes singuliers, on d´eveloppera aussi des algorithmes permettant de d´ecider si un infimum est un minimum (et calculer au moins un point o`u le minimum est atteint).

Dans le cadre des techniques hybrides symbolique/num´erique, on d´eveloppera des algorithmes de d´ecompo- sition en sommes de carr´es pour certifier des bornes inf´erieures sur les infima. Rappelons que de telles d´ecompositions s’obtiennent `a partir de la r´esolution num´erique d’in´egalit´es matricielles lin´eaires. La sta- bilit´e num´erique de cette premi`ere ´etape de calcul est cruciale. Dans [46], Nie, Demmel and Sturmfels montrent comment rendre plus robuste cette ´etape dans le contexte o`u l’infimum qu’on cherche `a certifier est un minimum : il suffit de calculer la d´ecomposition en sommes de carr´es modulo les d´eriv´ees partielles du polynˆome qu’on cherche `a minimiser. Ceci reste n´eanmoins insuffisant pour g´erer les situations o`u l’in- fimum n’est pas atteint. Dans [62], Schweighoffer propose une modification de la relaxation en in´egalit´es matricielles lin´eaires pour surmonter cette difficult´e mais ne donne pas de m´ethode syst´ematique.

Dans [29], on montre l’existence syst´ematique de certificats alg´ebriques de positivit´e (bas´es sur des d´ecompo- sitions en sommes de carr´es) qui g´en´eralisent l’approche de Demmel, Nie et Sturmfels. Ceci n’est valable que pour les probl`emes d’optimisation globale sans contrainte. Nous souhaitons maintenant ´etendre cette ap- proche au cas contraint et ´etudier la stabilit´e num´erique de mani`ere plus rigoureuse. Enfin, le d´eveloppement d’un algorithme symbolique pour la r´esolution d’in´egalit´es matricielles lin´eaires reste un challenge.

Variantes de l’´elimination des quantificateurs. Un autre aspect du programme de recherche consiste

`

a modifier l’algorithme d’´elimination des quantificateurs donn´e dans [34, 35] afin de lever les hypoth`eses

6A. Greuet pr´epare actuellement une th`ese sous ma direction.

7F. Guo pr´epare une th`ese en Chine sous la direction de L. Zhi

8L. Zhi et moi sommes respectivement les coordinateurs chinois et fran¸cais du projet franco-chinois EXACTA financ´e par l’Agence Nationale de la Recherche et la National Natural Science Foundation of China. EXACTA a rejoint le LIAMA, laboratoire franco-chinois en Informatique et Math´ematiques appliqqu´ees dans lequel le CNRS et l’INRIA sont impliqu´es

faites sur les entr´ees. Cette partie du programme de recherche est effectu´ee avec Hoon Hong ⁹. Rappelons que ces hypoth`eses sont

– d’une part, une hypoth`ese de r´egularit´e sur les ´equations donn´ees en entr´ee ;

– d’autre part une hypoth`ese de propret´e de la projection sur l’espace des param`etres du probl`eme.

L’objectif est de pouvoir traiter en pratique des classes de probl`eme plus larges pour lesquelles il est encore opportun de retourner une sortie ne d´ecrivant que l’int´erieur de l’espace des solutions.

Lever l’hypoth`ese de propret´e. Dans les situations o`u la projection sur l’espace des param`etres n’est pas propre, j’envisage ici d’utiliser les progr`es attendus sur le calcul de valeurs critiques g´en´eralis´ees (voir Section 3.2). En effet, comme indiqu´e pr´ec´edemment, elles ont des propri´t´es topologiques suffisamment fortes pour qu’on puisse substituer les calculs de points critiques effectu´es par l’algorithme propos´e dans [34,35] par un calcul de valeurs critiques g´en´eralis´ees. Une difficult´e calculatoire `a surmonter est que, dans le contexte de l’´elimination des quantificateurs, l’espace sur lequel on projette est de dimension sup´erieure

`

a 1. Il faudra donc envisager des techniques `a base d’´evaluation/interpolation pour pr´eserver une certaine efficacit´e pratique.

Lever l’hypoth`ese de r´egularit´e.Toujours en s’inspirant des techniques de d´eformation introduites dans [13]

et en utilisant la strat´egie d´ecrite dans [51], il est raisonnable d’envisager pouvoir lever cette hypoth`ese tout en gardant des performances pratiques satisfaisantes. Ici aussi, la principale obstruction `a ce programme provient du fait que l’espace des param`etres est de dimension sup´erieure `a 1.

Etudes de complexit´´ e. En parall`ele des ´etudes mentionn´ees ci-dessus, je m’attacherais `a m’assurer que les algorithmes obtenus restent dans les bonnes classes de complexit´e. Si les bornes sur les degr´es de- vraient d´ecouler ais´ement des ´etudes quantitatives sur les valeurs critiques g´en´eralis´ees [36], la maˆıtrise du nombre d’op´erations arithm´etiques effectu´ees n´ecessite l’usage de techniques plus sophistiqu´ees mˆeme dans un contexte probabiliste (voir [60]).

4 Donn´ ees quantitatives et responsabilit´ es li´ ees ` a la recherche

– Responsable du projet franco-chinois ECCA au LIAMA (Laboratoire de recherche franco-chinois en Informatique et Math´ematiques Appliqu´ees, CNRS et INRIA).

– Responsable permanent (depuis Novembre 2010) del’´equipe-projet INRIA/LIP6 SALSA (du cˆot´e de l’INRIA).

– Responsable de l’accord-cadre de coop´eration scientifique entre l’Universit´e Pierre et Marie Curie et la Chinese Academy of Sciences (Mathematics and Systems Science).

4.1 Liste de publications

Publications dans des revues internationales avec comit´e de lecture.

1. Gr¨obner bases of bihomogeneous ideals generated by polynomials of bidegree (1,1) : algorithms and complexity, J.-C. Faug`ere, M. Safey El Din, P.-J. Spaenlehauer, doi :10.1016/j.jsc.2010.10.014,Journal of Symbolic Computation, to appear, 39 pages.

2. Computing rational points in convex semi-algebraic sets and SOS decompositions, M. Safey El Din, L.

Zhi, SIAM Journal on Optimization,20(6) :pp.2876-2889, 2010.

3. A baby steps/giant steps Monte Carlo algorithm for computing roadmaps in smooth compact real hypersurfaces, M. Safey El Din, E. Schost, doi :10.1007/s00454-009-9239-2,Discrete and Computational Geometry, to appear, 43 pages.

4. On the geometry of polar varieties, B. Bank, M. Giusti, J. Heintz, M. Safey El Din, E. Schost,Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing,21(1) :pp.33-83, 2010.

5. The Voronoi diagram of three lines, H. Everett, D. Lazard, S. Lazard, M. Safey El Din, Discrete and Computational Geometry,42(1) :pp.94-130, 2009.

6. Testing sign conditions on a multivariate polynomial and applications, M. Safey El Din,Mathematics in Computer Sciences, Special Inaugural Issue, H. Hong, C. Yap (Guest eds),1(1) :pp.177-207, 2007.

7. Properness defects of projections and computation of one point in each connected component of a real algebraic set, M. Safey El Din, E. Schost,Discrete and Computational Geometry,32(4) :pp.417–430, 2004.

8. Real solving positive dimensional systems, P. Aubry, F. Rouillier, M. Safey El Din,Journal of Symbolic Computation,34(6) :pp.543-560, 2002.

9. Finding at least one point in each connected component of a real algebraic set defined by a single equation, F. Rouillier, M.-F. Roy, M. Safey El Din,Journal of complexity,16 :(4), pp.716-750, 2000.

10. New Structure Theorems for subresultants, H. Lombardi, M.-F. Roy, M. Safey El Din, Journal of Symbolic Computation, Special Issue on Symbolic Computation in Algebra, Analysis and Geometry, 29(4) :pp.663-690, April/May 2000.

Publications dans des conf´erences internationales s´electives avec comit´e de lecture et actes (rang A+).

1. Computing Loci of Rank Defects of Linear Matrices using Gr¨obner Bases and Applications to Cryp- tology, J.-C. Faug`ere, M. Safey El Din, P.-J. Spaenlehauer,Proceedings of the 2010 International Sym- posium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 257–264, Distinguished Student Paper Award, Munich (Germany), ACM Press, 2010.

2. Global Optimization of Polynomials Using Generalized Critical Values and Sums of Squares, F. Guo, M. Safey El Din, L. Zhi, Proceedings of the 2010 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 107-114, Munich (Germany), ACM Press, 2010.

3. Variant real quantifier elimination : algorithm and application, H. Hong, M. Safey El Din,Proceedings of the 2009 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 183–190, South-Korea (Seoul), ACM Press, 2009.

4. Classification of the Perspective-Three-Problem, Discriminant variety and real solving polynomial sys- tems of inequalities, J.-C. Faug`ere, G. Moroz, F. Rouillier, M. Safey El Din, Proceedings of the 2008 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 79-86, Hagenberg (Austria), ACM Press, 2008.

5. Computing the global optimum of a multivariate polynomial over the reals, M. Safey El Din,Proceedings of the 2008 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 71-28, Hagenberg (Austria),ACM Press, 2008.

6. The Voronoi diagram of three lines, H. Everett, D. Lazard, S. Lazard, M. Safey El Din, Proceedings of Symposium on Computational Geometry (SoCG), pp. 255-264, Gyeongju (South Korea), ACM Press, 2007.

7. Polar varieties and computation of one point in each connected component of a smooth real algebraic set, M. Safey El Din, E. Schost, Proceedings of the 2003 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 224-231, Philadelphia (USA), 2003.

Publications dans des conf´erences internationales s´electives avec comit´e de lecture et actes moins s´electives (rang A, B ou C).

1. Practical and theoretical issues for the computation of generalized critical values of a polynomial mapping and its applications, M. Safey El Din, Computer Mathematics : 8th Asian Symposium, ASCM 2007, Singapore, December 15-17, 2007. Revised and Invited Papers, D. Kapur (eds), pp. 42-56, Springer-Verlag, 2008.

2. POSIX threads polynomials(PTPol) : a scalable implementation of univariate arithmetic operations, M. Safey El Din and Philippe Tr´ebuchet, PASCO’07 : Proceedings of the 2007 International workshop on Parallel symbolic computation, 104–106, ACM Press, 2007

3. Generalized critical values and testing sign conditions on a polynomial, M. Safey El Din, Proceedings of Mathematical Aspects of Computer and Information Sciences 2006, pp. 61–84, 2006.

4. Computing roadmaps in smooth real algebraic sets, M. Mezzarobba, M. Safey El Din, Proceedings of Transgressive Computing, pp. 327–338, 2006.

5. Finding sampling points on real hypersurfaces is easier in singular situations, M. Safey El Din, MEGA (Electronic Proceedings), 2005.

6. Computing sampling points in a semi-algebraic set defined by non-strict inequalities, Application to Pattern-Matching Problems, C. Le Guernic, F. Rouillier, M. Safey El Din, Proceedings of EACCA, L.

Gonzalez-Vega, T. Recio (eds), pp. 185–189, Santander (Spain), 2004.

7. Generalized critical values and solving polynomial inequalities, M. Safey El Din, International Confe- rence on Polynomial System Solving, Paris (France), 2004.

8. Solving the Birkhoff interpolation problem via the critical point method : an experimental study, F.

Rouillier, M. Safey El Din, E. Schost, Revised Papers from the Third International Workshop on Auto- mated Deduction in Geometry, pp. 26–40, Springer-Verlag, Zurich (Switzerland), 2001.

Diss´emination.

1. Chapitre de livre “Introduction to polynomial system solving”, J.-C. Faug`ere, M. Safey El Din, 70 pages, Pearson Education, 2009.

2. Notes de cours sur les algorithmes en g´eom´etrie alg´ebrique r´eelle, M. Safey El Din, Journ´ees Nationales