Optimisation globale. Cette partie du programme de recherche est men´ee avec A. Greuet6, F. Guo7 et L. Zhi8. Notre objectif est de fournir un ensemble algorithmique et logiciel complet et robuste d´edi´e aux probl`emes d’optimisation globale de fonctions polynomiales (sous des contraintes elles aussi polynomiales).
Il s’agit de tester l’existence d’infima globaux, de certifier des bornes inf´erieurs pour ces infima, de d´ecider si ces infima sont atteints, etc.
Les algorithmes d´evelopp´es rel`event soit du calcul formel soit de techniques hybrides symboliques/num´eriques pour calculer des certificats `a base de sommes de carr´es.
Dans le cadre des m´ethodes purement symboliques, `a l’instar du cas sans contraintes [54], le moteur de calcul sera constitu´e des algorithmes de calcul de valeurs critiques g´en´eralis´es (voir Section3.2). En s’inspirant des techniques de d´eformation qu’on envisage de d´eployer (voir aussi [13]) pour r´esoudre des syst`emes singuliers, on d´eveloppera aussi des algorithmes permettant de d´ecider si un infimum est un minimum (et calculer au moins un point o`u le minimum est atteint).
Dans le cadre des techniques hybrides symbolique/num´erique, on d´eveloppera des algorithmes de d´ ecompo-sition en sommes de carr´es pour certifier des bornes inf´erieures sur les infima. Rappelons que de telles d´ecompositions s’obtiennent `a partir de la r´esolution num´erique d’in´egalit´es matricielles lin´eaires. La sta-bilit´e num´erique de cette premi`ere ´etape de calcul est cruciale. Dans [46], Nie, Demmel and Sturmfels montrent comment rendre plus robuste cette ´etape dans le contexte o`u l’infimum qu’on cherche `a certifier est un minimum : il suffit de calculer la d´ecomposition en sommes de carr´es modulo les d´eriv´ees partielles du polynˆome qu’on cherche `a minimiser. Ceci reste n´eanmoins insuffisant pour g´erer les situations o`u l’in-fimum n’est pas atteint. Dans [62], Schweighoffer propose une modification de la relaxation en in´egalit´es matricielles lin´eaires pour surmonter cette difficult´e mais ne donne pas de m´ethode syst´ematique.
Dans [29], on montre l’existence syst´ematique de certificats alg´ebriques de positivit´e (bas´es sur des d´ ecompo-sitions en sommes de carr´es) qui g´en´eralisent l’approche de Demmel, Nie et Sturmfels. Ceci n’est valable que pour les probl`emes d’optimisation globale sans contrainte. Nous souhaitons maintenant ´etendre cette ap-proche au cas contraint et ´etudier la stabilit´e num´erique de mani`ere plus rigoureuse. Enfin, le d´eveloppement d’un algorithme symbolique pour la r´esolution d’in´egalit´es matricielles lin´eaires reste un challenge.
Variantes de l’´elimination des quantificateurs. Un autre aspect du programme de recherche consiste
`
a modifier l’algorithme d’´elimination des quantificateurs donn´e dans [34, 35] afin de lever les hypoth`eses
6A. Greuet pr´epare actuellement une th`ese sous ma direction.
7F. Guo pr´epare une th`ese en Chine sous la direction de L. Zhi
8L. Zhi et moi sommes respectivement les coordinateurs chinois et fran¸cais du projet franco-chinois EXACTA financ´e par l’Agence Nationale de la Recherche et la National Natural Science Foundation of China. EXACTA a rejoint le LIAMA, laboratoire franco-chinois en Informatique et Math´ematiques appliqqu´ees dans lequel le CNRS et l’INRIA sont impliqu´es
faites sur les entr´ees. Cette partie du programme de recherche est effectu´ee avec Hoon Hong 9. Rappelons que ces hypoth`eses sont
– d’une part, une hypoth`ese de r´egularit´e sur les ´equations donn´ees en entr´ee ;
– d’autre part une hypoth`ese de propret´e de la projection sur l’espace des param`etres du probl`eme.
L’objectif est de pouvoir traiter en pratique des classes de probl`eme plus larges pour lesquelles il est encore opportun de retourner une sortie ne d´ecrivant que l’int´erieur de l’espace des solutions.
Lever l’hypoth`ese de propret´e. Dans les situations o`u la projection sur l’espace des param`etres n’est pas propre, j’envisage ici d’utiliser les progr`es attendus sur le calcul de valeurs critiques g´en´eralis´ees (voir Section 3.2). En effet, comme indiqu´e pr´ec´edemment, elles ont des propri´t´es topologiques suffisamment fortes pour qu’on puisse substituer les calculs de points critiques effectu´es par l’algorithme propos´e dans [34,35] par un calcul de valeurs critiques g´en´eralis´ees. Une difficult´e calculatoire `a surmonter est que, dans le contexte de l’´elimination des quantificateurs, l’espace sur lequel on projette est de dimension sup´erieure
`
a 1. Il faudra donc envisager des techniques `a base d’´evaluation/interpolation pour pr´eserver une certaine efficacit´e pratique.
Lever l’hypoth`ese de r´egularit´e.Toujours en s’inspirant des techniques de d´eformation introduites dans [13]
et en utilisant la strat´egie d´ecrite dans [51], il est raisonnable d’envisager pouvoir lever cette hypoth`ese tout en gardant des performances pratiques satisfaisantes. Ici aussi, la principale obstruction `a ce programme provient du fait que l’espace des param`etres est de dimension sup´erieure `a 1.
Etudes de complexit´´ e. En parall`ele des ´etudes mentionn´ees ci-dessus, je m’attacherais `a m’assurer que les algorithmes obtenus restent dans les bonnes classes de complexit´e. Si les bornes sur les degr´es de-vraient d´ecouler ais´ement des ´etudes quantitatives sur les valeurs critiques g´en´eralis´ees [36], la maˆıtrise du nombre d’op´erations arithm´etiques effectu´ees n´ecessite l’usage de techniques plus sophistiqu´ees mˆeme dans un contexte probabiliste (voir [60]).
4 Donn´ ees quantitatives et responsabilit´ es li´ ees ` a la recherche
– Responsable du projet franco-chinois ECCA au LIAMA (Laboratoire de recherche franco-chinois en Informatique et Math´ematiques Appliqu´ees, CNRS et INRIA).
– Responsable permanent (depuis Novembre 2010) del’´equipe-projet INRIA/LIP6 SALSA (du cˆot´e de l’INRIA).
– Responsable de l’accord-cadre de coop´eration scientifique entre l’Universit´e Pierre et Marie Curie et la Chinese Academy of Sciences (Mathematics and Systems Science).
4.1 Liste de publications
Publications dans des revues internationales avec comit´e de lecture.
1. Gr¨obner bases of bihomogeneous ideals generated by polynomials of bidegree (1,1) : algorithms and complexity, J.-C. Faug`ere, M. Safey El Din, P.-J. Spaenlehauer, doi :10.1016/j.jsc.2010.10.014,Journal of Symbolic Computation, to appear, 39 pages.
2. Computing rational points in convex semi-algebraic sets and SOS decompositions, M. Safey El Din, L.
Zhi, SIAM Journal on Optimization,20(6) :pp.2876-2889, 2010.
3. A baby steps/giant steps Monte Carlo algorithm for computing roadmaps in smooth compact real hypersurfaces, M. Safey El Din, E. Schost, doi :10.1007/s00454-009-9239-2,Discrete and Computational Geometry, to appear, 43 pages.
4. On the geometry of polar varieties, B. Bank, M. Giusti, J. Heintz, M. Safey El Din, E. Schost,Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing,21(1) :pp.33-83, 2010.
5. The Voronoi diagram of three lines, H. Everett, D. Lazard, S. Lazard, M. Safey El Din, Discrete and Computational Geometry,42(1) :pp.94-130, 2009.
6. Testing sign conditions on a multivariate polynomial and applications, M. Safey El Din,Mathematics in Computer Sciences, Special Inaugural Issue, H. Hong, C. Yap (Guest eds),1(1) :pp.177-207, 2007.
7. Properness defects of projections and computation of one point in each connected component of a real algebraic set, M. Safey El Din, E. Schost,Discrete and Computational Geometry,32(4) :pp.417–430, 2004.
8. Real solving positive dimensional systems, P. Aubry, F. Rouillier, M. Safey El Din,Journal of Symbolic Computation,34(6) :pp.543-560, 2002.
9. Finding at least one point in each connected component of a real algebraic set defined by a single equation, F. Rouillier, M.-F. Roy, M. Safey El Din,Journal of complexity,16 :(4), pp.716-750, 2000.
10. New Structure Theorems for subresultants, H. Lombardi, M.-F. Roy, M. Safey El Din, Journal of Symbolic Computation, Special Issue on Symbolic Computation in Algebra, Analysis and Geometry, 29(4) :pp.663-690, April/May 2000.
Publications dans des conf´erences internationales s´electives avec comit´e de lecture et actes (rang A+).
1. Computing Loci of Rank Defects of Linear Matrices using Gr¨obner Bases and Applications to Cryp-tology, J.-C. Faug`ere, M. Safey El Din, P.-J. Spaenlehauer,Proceedings of the 2010 International Sym-posium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 257–264, Distinguished Student Paper Award, Munich (Germany), ACM Press, 2010.
2. Global Optimization of Polynomials Using Generalized Critical Values and Sums of Squares, F. Guo, M. Safey El Din, L. Zhi, Proceedings of the 2010 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 107-114, Munich (Germany), ACM Press, 2010.
3. Variant real quantifier elimination : algorithm and application, H. Hong, M. Safey El Din,Proceedings of the 2009 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 183–190, South-Korea (Seoul), ACM Press, 2009.
4. Classification of the Perspective-Three-Problem, Discriminant variety and real solving polynomial sys-tems of inequalities, J.-C. Faug`ere, G. Moroz, F. Rouillier, M. Safey El Din, Proceedings of the 2008 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 79-86, Hagenberg (Austria), ACM Press, 2008.
5. Computing the global optimum of a multivariate polynomial over the reals, M. Safey El Din,Proceedings of the 2008 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 71-28, Hagenberg (Austria),ACM Press, 2008.
6. The Voronoi diagram of three lines, H. Everett, D. Lazard, S. Lazard, M. Safey El Din, Proceedings of Symposium on Computational Geometry (SoCG), pp. 255-264, Gyeongju (South Korea), ACM Press, 2007.
7. Polar varieties and computation of one point in each connected component of a smooth real algebraic set, M. Safey El Din, E. Schost, Proceedings of the 2003 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, pp. 224-231, Philadelphia (USA), 2003.
Publications dans des conf´erences internationales s´electives avec comit´e de lecture et actes moins s´electives (rang A, B ou C).
1. Practical and theoretical issues for the computation of generalized critical values of a polynomial mapping and its applications, M. Safey El Din, Computer Mathematics : 8th Asian Symposium, ASCM 2007, Singapore, December 15-17, 2007. Revised and Invited Papers, D. Kapur (eds), pp. 42-56, Springer-Verlag, 2008.
2. POSIX threads polynomials(PTPol) : a scalable implementation of univariate arithmetic operations, M. Safey El Din and Philippe Tr´ebuchet, PASCO’07 : Proceedings of the 2007 International workshop on Parallel symbolic computation, 104–106, ACM Press, 2007
3. Generalized critical values and testing sign conditions on a polynomial, M. Safey El Din, Proceedings of Mathematical Aspects of Computer and Information Sciences 2006, pp. 61–84, 2006.
4. Computing roadmaps in smooth real algebraic sets, M. Mezzarobba, M. Safey El Din, Proceedings of Transgressive Computing, pp. 327–338, 2006.
5. Finding sampling points on real hypersurfaces is easier in singular situations, M. Safey El Din, MEGA (Electronic Proceedings), 2005.
6. Computing sampling points in a semi-algebraic set defined by non-strict inequalities, Application to Pattern-Matching Problems, C. Le Guernic, F. Rouillier, M. Safey El Din, Proceedings of EACCA, L.
Gonzalez-Vega, T. Recio (eds), pp. 185–189, Santander (Spain), 2004.
7. Generalized critical values and solving polynomial inequalities, M. Safey El Din, International Confe-rence on Polynomial System Solving, Paris (France), 2004.
8. Solving the Birkhoff interpolation problem via the critical point method : an experimental study, F.
Rouillier, M. Safey El Din, E. Schost, Revised Papers from the Third International Workshop on Auto-mated Deduction in Geometry, pp. 26–40, Springer-Verlag, Zurich (Switzerland), 2001.
Diss´emination.
1. Chapitre de livre “Introduction to polynomial system solving”, J.-C. Faug`ere, M. Safey El Din, 70 pages, Pearson Education, 2009.
2. Notes de cours sur les algorithmes en g´eom´etrie alg´ebrique r´eelle, M. Safey El Din, Journ´ees Nationales