a notre courbe critique (voir Figure2).
Fig. 1: 1-`ere ´etape – Courbe critique Fig. 2: 2-i`eme ´etape – Sections deV ∩Rn On obtient un algorithme r´ecursif de profondeur la dimension de V qu’on note d≤n−1. `A chaque appel r´ecursif, le degr´e des entr´ees est multipli´e par (nD)O(n) si bien que le coˆut total du calcul est de l’ordre de (nD)O(nd).
Nous montrons dans [42] qu’il n’est pas n´ecessaire de choisir des sections au-dessus de valeurs critiques mais au-dessus de nombres rationnels (´etape 2). Ceci nous permet d’obtenir la premi`ere implantation performante en pratique d’un algorithme de calcul de cartes routi`eres. La complexit´e reste n´eanmoins de l’ordre de (nD)O(n2).
Dans [58], nous obtenons le premier progr`es th´eorique depuis ces 20 derni`eres ann´ees en proposant un algorithme de calcul de cartes routi`eres de complexit´e (nD)O(n1.5). La strat´egie repose sur une technique algorithmique “pas de b´eb´es/pas de g´eants” dans le contexte o`u V est d´efinie par une seule ´equation : – Pas de g´eants: au lieu de consid´erer une courbe critique, on consid`ere un lieu critique de dimension'√
n.
En lui appliquant la strat´egie de calcul propos´ee par Canny, on obtient un morceau de carte routi`ere en tempsDO(n
√n);
– Pas de b´eb´es : la dimension plus grande de ce lieu critique nous laisse plus de latitude dans le choix des sections `a consid´erer ; notamment on peut choisir des sections de V pour lesquelles on fixe ' √
n coordonn´ees.
Ainsi, `a chaque appel r´ecursif la dimension chute de'√
n. Ici aussi, le degr´e des entr´ees est multipli´e par (nD)O(n) `a chaque appel r´ecursif si bien que le coˆut total est domin´e par (nD)O(n
√n).
2.4 Contributions `a l’´elimination des quantificateurs sur les r´eels
On consid´ere F= (f1, . . . , fp) et G= (g1, . . . , gs) dans Q[X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Yt], de degr´es born´es par D.
On suppose queFsatisfait l’hypoth`ese de r´egularit´e. On noteV l’ensemble de ses solutions complexes dans Cn×Ct etS ⊂Rn×Rtl’ensemble des solutions r´eelles deF= 0,G>0. Dans le contexte de l’´elimination des quantificateurs on cherche `a d´ecrire ΠY(S)⊂Rt.
Fig.3: Graphe de f =X2+ (XY −1)2
Une mani`ere de faire est de :
1. calculer un ensemble de pointsB ⊂Rtqui contient la fronti`ere de ΠY(S).
2. d´ecrire chaque composante connexe de Rt−B et en calculer au moins un point par composante connexe.
3. pour chacun de ces pointsy, v´erifier sur Π−1Y (y)∩S est vide (pour identifier les composantes qui sont dans ΠY(S).
De cette mani`ere, on obtient la description d’un ensembleE ⊆ΠY(S) tel que ΠY(S)−E est de volume nul (en fait la dimension est≤n−1).
Dans [34, 35], nous donnons un algorithme qui suit cette d´emarche lorsque la projection ΠY restreinte `a V∩Rn+test propre. Pour cela, on doit calculer les points critiques de ΠY restreinte `a l’intersection deV et les solutions de sous-ensembles deG. Lorsque cette intersection ne satisfait pas l’hypoth`ese de r´egularit´e, nous mettons en œuvre une technique de d´eformation efficace qui g´en´eralise celle de [51]. La complexit´e de cette m´ethode est bien contrˆol´ee lorsque test fix´e. L’implantation de cet algorithme a ´et´e utilis´ee pour r´esoudre plusieurs applications.
Etendre cette strat´´ egie aux situations non propres n´ecessite d’utiliser plus finement la notion de valeur critique asymptotique. C’est ce que nous faisons dans le contexte de l’optimisation globale : lorsqu’on cherche `a identifier infx∈Rnf(x), on est ramen´e `a ´etudier f(Rn). Les difficult´es arrivent lorsque f(Rn) est un intervalle ne contenant pas ses fronti`eres finies. Par exemple, le polynˆome f = X2 + (XY −1)2 est toujours positif et 0 est sa borne inf´erieure (la suitef(n1, n) tend vers 0). Ici on ne s’approche de 0 qu’avec des suites de points divergentes vers l’infini (voir Figure3). Dans [54], je montre comment utiliser la notion de valeur critique asymptotique pour r´esoudre de tels probl`emes d’optimisation globale.
Enfin, toujours dans le contexte de l’optimisation globale, je me suis int´eress´e aux approches `a base de d´ecomposition en sommes de carr´es de polynˆomes f ∈ Q[X1, . . . , Xn]. En effet pour montrer que c ≤ infx∈Rnf(x), il suffit de montrer quef−cest une somme de carr´es. De tels certificats peuvent s’obtenir en cherchant des solutions rationnelles `a des in´egalit´es matricielles lin´eaires qui d´efinissent un ensemble semi-alg´ebrique convexe. En exploitant la convexit´e, nous donnons dans [59] le premier algorithme de complexit´e simplement exponentielle en le nombre de variables et polynomiale en le degr´e des polynˆomes d’entr´ee d´ecidant l’existence de tels points rationnels (et qui en calculent s’il en existe).
3 Projet de recherche
Les d´efis concernant la r´esolution des syst`emes polynomiaux sur les r´eels restent nombreux.
Les progr`es r´ecents permettent de traiter un nombre significativement plus grand d’applications mais beau-coup restent hors de port´ee : d’un point de vue pragmatique, atteindre la vingtaine de variables serait fort utile pour traiter une autre classe d’applications (notamment en th´eorie du contrˆole, biologie, robotique, etc.). Si on se souvient que les probl`emes consid´er´es sont de complexit´e intrins`equement exponentielle en le nombre de variables, on mesure l’´etendue du chemin `a parcourir.
Au-del`a de ce constat, le besoin denouvelles sp´ecificationsse fait d´ej`a sentir : sur certains probl`emes (faisant intervenir une dizaine de variables) le logiciel que je fournis `a la communaut´e retourne plus de 105 points.
Une telle taille de sortie n’est pas toujours exploitable. Aussi, calculer un et un seul point par composante connexe serait fort utile ; ceci justifie au passage les travaux entrepris sur le calcul de cartes routi`eres.
Pour faire simple et pragmatique, se doter d’outils algorithmiques et logiciels permettant de traiter des probl`emes d’une vingtaine de variables est aujourd’hui le grand d´efi `a relever.
Des enjeux plus fondamentaux doivent aussi ˆetre abord´es. Du point de vue de la complexit´e, le calcul de cartes routi`eres n’est toujours pas bien compris. Mˆeme le probl`eme plus simple de calculer au moins un point par composante connexe n’est pas bien cern´e si on y regarde de plus pr`es : dans les cas ne satisfaisant pas l’hypoth`ese de r´egularit´e on n’a pour l’heure aucun algorithme rapide en pratique de complexit´e quasi-optimale. De plus, mˆeme sous l’hypoth`ese de r´egularit´e, on verra plus bas qu’on peut douter de l’optimalit´e des algorithmes actuels. On a vu aussi que de nombreux enjeux rel`event de probl`emes d’optimisation globale.
Le projet de recherche ci-dessous s’inscrit donc dans la continuit´e des travaux que j’ai entrepris jusqu’`a pr´esent et inclut des ouvertures `a des th´ematiques que j’ai peu explor´es pour parvenir aux objectifs d´ecrits ci-dessus. Notamment, j’envisage des d´eveloppements dans l’algorithmique alg´ebriquepermettant de r´esoudre des syst`emes de dimension z´ero : il s’agit de tirer profit de la structure des syst`emes encodant des points critiques. J’envisage ´egalement la poursuite du travail initi´e dans [59] autour des d´ecompositions en sommes de carr´es de polynˆomes pour r´esoudre des probl`emes d’optimisation globale. Enfin, des questions sur la complexit´e en moyenne de la sortie des algorithmes fond´es sur la m´ethode des points critiques seront abord´ees.
3.1 R´esolution de syst`emes polynomiaux structur´es
Cette partie du programme de recherche est men´ee en collaboration avec J.-C. Faug`ere et P.J. Spaenle-heauer2.
Comme on l’a vu pr´ec´edemment, la m´ethode des points critiques ram`ene l’´etude des solutions r´eelles de syst`emes g´en´eraux `a celle des syst`emes de dimension 0. Ces derniers d´efinissent des points critiques et sont d´efinis par l’annulation d’une famille de polynˆomes F et des contraintes exprimant que la jaco-bienne tronqu´ee de F n’est pas de rang maximal en les points qui annulent F. L’utilisation des bornes de Thom/Porteous/Gambelli [47] permet de borner tr`es pr´ecis´ement le nombre de points critiques calcul´es.
Pour l’heure, on ne dispose pas de r´esultats permettant d’affirmer que la r´esolution de tels syst`emes se fait en temps polynomial en cette borne.
Obtenir des algorithmes de r´esolution dont la complexit´e est polynomiale en le nombre maxi-mal de points critiquesest donc crucial.
On peut construire des syst`emes d´efinissant les points critiques selon deux mod´elisations :
– soit on ´ecrit l’annulation des mineurs maximaux de la jacobienne consid´er´ee ; on parlera alors demod´elisation d´eterminantielle;
– soit on introduit des nouvelles variables (multiplicateurs de Lagrange) pour ´ecrire explicitement des relations de d´ependance lin´eaire entre les lignes de la jacobienne ; on a ici une mod´elisation bi-homog`ene
2P.-J. Spaenlehauer est actuellement un ´etudiant en th`ese que je co-encadre avec J.-C. Faug`ere.
puisque les multiplicateurs de Lagrange apparaissent tous en degr´e 1 (les autres variables apparaissant en degr´eD).
Dans les deux cas, on obtient des syst`emes de dimension 0 qui sont tr`es structur´es. Tirer un profit algorith-mique de ces structures est ´evidemment important : cela permettrait d’acc´el´erer sensiblement les m´ethodes de points critiques.
L’outil de r´esolution actuellement utilis´e en pratique est le calcul de bases de Gr¨obner. Ce calcul revient `a mettre sous forme ´echelon des matrices construites it´erativement `a partir du syst`eme donn´e en entr´ee (les coefficients des polynˆomes sont rang´es en ligne dans la matrice selon un ordre fix´e sur les monˆomes). Ces matrices sont appel´ees matrices de Macaulay. ´Evidemment, la taille maximale de ces matrices apparaissant en cours de calcul joue un rˆole important dans la complexit´e. Celle-ci peut ˆetre lue sur la s´erie g´en´eratrice des d´efauts de rang des matrices de Macaulay ; cette s´erie est appel´ee s´erie de Hilbert.
Obtenir la s´erie de Hilbert pour les deux mod´elisations d´ecrites ci-dessus est crucial. D’une part, cela permettrait de comprendre mieux la complexit´e des algorithmes tels qu’ils sont implant´es. D’autre part, la connaissance de la s´erie de Hilbert permet de guider la recherche algorthmique puisqu’elle donne des informations sur le rang des matrices de Macaulay : on peut donc commencer `a chercher des algorithmes de calcul de bases de Gr¨obner sp´ecifiques ne construisant que des matrices de rang maximal (sous des hypoth`eses de g´en´ericit´e) pour les mod´elisations qui nous int´eressent.
Dans le cas de la mod´elisation d´eterminantielle, de nombreux travaux [10,16,17,32,66] permettent d’obtenir la s´erie de Hilbert dans le cas o`u toutes les entr´ees de la matrice consid´er´ee sont des ind´etermin´ees. Ces travaux mettent en lumi`ere une structure combinatoire forte. Dans [22,23], nous g´en´eralisons ces travaux aux cas o`u les entr´ees de la matrice sont des formes lin´eaires, puis des polynˆomes quelconques. Ces premiers r´esultats donnent de s´erieux espoirs de pouvoir aboutir dans le cas de la mod´elisation d´eterminantielle.
Pour ce qui est de la mod´elisation bi-homog`ene, une premi`ere ´etape est franchie dans [25] o`u on traite le cas des syst`emes polynomiaux quadratiques bi-homog`enes de bi-degr´e (1,1) (chaque paquet de variable apparait en degr´e 1). Au passage, on montre comment exploiter la corr´elation forte entre les structures multi-homog`enes et les mod´elisations d´eterminantielles. Les progr`es escompt´es dans le cadre d´eterminantiel permettraient donc de traiter le cas multi-homog`ene. Ci-apr`es, je montrerais l’importance de ce sujet dans le contexte de calcul de cartes routi`eres.
A plus long terme, on peut se poser la question du` nombre moyen de solutions r´eelles de tels syst`emes polynomiaux structur´es. On a vu qu’un certain nombre de contributions pr´ec´edemment obtenues d´ebouchent sur des algorithmes dont la complexit´e en moyenne en d´epend de cette quantit´e. Ainsi, si ce projet aboutit, on pourrait par exemple obtenir des r´esultats de complexit´e en moyenne sur notre variante de l’algorithme de Canny.
Dans [14], Castro, Pardo and San Martin prouvent que le nombre moyen de syst`emes polynomiaux de dimension 0 `a coefficients rationnels de longueur binaire born´ee est la racine carr´ee du nombre de B´ezout associ´e au syst`eme (le produit des degr´es). Ce r´esultat g´en´eralise celui de Shub and Smale [63] obtenu pour le cas des syst`emes `a coefficients r´eels. Ici, la difficult´e `a laquelle on est confront´e est que dans les syst`emes structur´es consid´er´es, les coefficients de certains des polynˆomes d´ependent d’autres polynˆomes d´ej`a pr´esents dans le syst`eme.