Lyc´ee Kl´eber PC⋆2i`eme ann´ee
F ICHE : I N EGALIT ´ ES CLASSIQUES ´
Avec des identit´es remarquables Poura, b∈R:
4ab6(a+b)2 (a+b)262(a2+b2) 2|ab|6a2+b2
√a+b6√ a+√
bsia, b>0
1 +nx6(1 +x)npourx >−1(In´egalit´e de Bernoulli)
||a| − |b||6|a+b|6|a|+|b| (In´egalit´es triangulaires)
In´egalit´es de Cauchy-Schwarz et applications Dans un pr´ehilbertien(E,h.|.i), pour toutx, y∈Eon a :
|hx|yi|6kxk kyk
avec ´egalit´e si et seulement sixetysont colin´eaires.
Il en r´esulte que :
• ∀(a1, . . . , an, b1, . . . , bn)∈R2n,
Xn
i=1
aibi
6 vu ut
Xn
i=1
a2i vu ut
Xn
i=1
b2i;
• ∀f, g∈ C0([a, b],C),
Rb
a f(t)g(t)dt 6
qRb
a|f(t)|2 dt qRb
a|g(t)|2 dt;
• Pour toutes fonctionsf, g continues et de carr´e int´egrable surI : R
If(t)g(t)dt 6 qR
I|f(t)|2 dt qR
I|g(t)|2 dt;
Fonctions usuelles
∀x>0, x−x3
6 6sinx6x
∀(x, y)∈R2, |sinx−siny|6|x−y|
∀x∈h 0,π
2
h , 2
πx6sinx6x6tanx
∀x∈R, 1−x2
2 6cosx61
∀x∈R, |cosx−1|6 x2 2
∀x>0, arctanx6x
∀x>0, x−x2
2 6ln(1 +x) et ∀x >−1,ln(1 +x)6x
∀x >0, lnx < x
∀x∈R, 1 +x6ex
∀x>0, shx>x
∀x∈R, chx>1 + x2 2
In´egalit´e des accroissement finis - Version I Soitf : [a, b]→R. On suppose que :
H1 f est continue sur[a, b]
H2 f est d´erivable sur]a, b[
H3 Il existe(m, M)∈R2tel que :
∀x∈]a, b[, m6f′(x)6M Alors on a :
m(b−a)6f(b)−f(a)6M(b−a)
In´egalit´e des accroissement finis - Version II Soitf: [a, b]→R. On suppose que :
H1 f est continue sur[a, b]
H2 f est d´erivable sur]a, b[
H3 |f′|est major´ee sur]a, b[:∃α∈R+: ∀x∈]a, b[, |f′(x)|6α Alors on a :
|f(b)−f(a)|6 sup
x∈]a,b[|f′(x)| |b−a|
In´egalit´e de Taylor-Lagrange
Soitf une fonction de classeCn+1sur un intervalleI deRet soita∈I. Six∈ I, on peut, d’apr`es la formule de Taylor avec reste int´egrale, ´ecriref(x)sous la forme
f(x) = Xn
k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k+ Z x
a
(x−t)n
n! f(n+1)(t)dt
= Tn(x) +Rn(x) On a alors
|f(x)−Tn(x)|=|Rn(x)|6 |x−a|n+1 (n+ 1)! Mn+1
o `uMn+1 est un majorant de f(n+1)
sur [a, x] (qui existe carf(n+1) est continue sur le segment[a, x])
Comparaison s´eries-int´egrales
Soitf: [a,+∞[7→Rune fonction continue par morceaux (a∈N). On suppose que :
H1 f est `a valeurspositives.
H2 f estd´ecroissante.
Alors la s´erie P
f(n) et la suite Rn
a f(t)dt
sont de mˆeme nature. De plus, si elles convergent :
Z +∞
a+1
f(t)dt6 X+∞
k=a+1
f(k)6 Z +∞
a
f(t)dt
k−1kk+ 1 f(k)
Crit`ere sp´ecial des s´eries altern´ees (TSA) On consid`ere une s´erieP
(−1)nvn
| {z }
un
.
H1 A partir d’un certain rang` vn>0.
H2 La suite(vn)estd´ecroissante`a partir d’un certain rang.
H3 vn−−−−−→n→
+∞ 0 Alors :
1. la s´erie altern´eeP
(−1)nvnconverge ; 2. On dispose d’une majoration du resteRn =
+∞X
k=n+1
(−1)nvnpar la valeur absolue du premier terme n´eglig´e|un+1|:
|Rn|6vn+1
3. Le signe du resteRn est le mˆeme que celui du premier terme n´eglig´e :sg(Rn) = sg(un+1).
4. En notant respectivementSetSn la somme et la ni`eme somme partielle de la s´erie, comme(S2n)est d´ecroissante, que(S2n+1)est d´ecroissante et que pour toutn∈N, S2n+16S6S2n, on a les in´egalit´es sur les sommes partielles :
S16S36. . .6S2n+16. . .6S6. . .6S2n6. . .6S26S0 .
