Exercices de r´evision
1) Le service apr`es-vente d’une grande entreprise emploie 900 techniciens qui se d´eplacent en voiture de service. La probabilit´e qu’un technicien ait besoin d’une voiture de service est de 10%. Calculer le nombre de voitures que l’entreprise doit avoir si la probabilit´e qu’un technicien puisse trouver une voiture disponible doit ˆetre d’au moins 95%.
2) Un garage a constat´e que le 30% des voitures d’occasion qu’il ach`ete ont des d´efauts cach´es. La semaine pass´ee il vient d’acheter 10 voitures. Quelle est la probabilit´e qu’au moins la moiti´e de ces voitures n’aient pas de d´efauts cach´es?
3) Une entreprise fabrique des boˆıtes `a musique. Elle garantit ces boˆıtes pour une dur´ee de 5 ans. Le prix de vente est de 15 Fr et le coˆut de 10 Fr. Le remplacement d’une boˆıte d´efectueuse est gratuit pendant la dur´ee de la garantie mais un deuxi`eme remplacement est exclu.
La dur´ee de vie des boˆıtes `a musique suit une loi normale avec une moyenne de 6.085 et un
´ecart-type de 0.5 ans.
a) Calculer le profit esp´er´e par boˆıte vendue en tenant compte du coˆut de remplacement
´eventuel.
b) Si le profit esp´er´e doit ˆetre de 4.90 Fr, quelle est la dur´ee de la garantie que l’entreprise doit accorder?
4) La formule Black-Scholes pour le calcul du prix d’une option CALL est:
Co =Soφ(d1)−Xe−rTφ(d2) avec
So = prix actuel de l’action
X = prix d’exercice (prix fix´e dans l’option) r = taux d’int´erˆet sans risque (en temps continu)
σ = ´ecart-type du taux de rendement (en temps continu) T = temps (en ann´ees) jusqu’`a l’´ech´eance
d1 = ln(So/X)+(r+σ2/2)T
σ√ T
d2 =d1 −σ√ T
et φ(.) est la fonction de r´epartition d’une distribution normale standardis´ee.
Calculer le prix de l’option lorsque So = 100,X = 95 ,r = 0.1 , T = 0.25 etσ = 0.5.
5) Le nombre quotidien des clients d’un hˆotel est 50. En moyenne, 3% des clients demandent des chambres avec vue sur la rue. Le matin d’un jour donn´e, 3 chambres avec vue sur la rue sont disponibles. Quelle est la probabilit´e que plus de 3 clients demandent des chambres avec vue sur la rue?
6) Les statistiques des retraits de permis des 100000 automobilistes d’un canton sont les suivantes:
A B
0 90600
1 8900
2 400
3 100
A=nombre de retraits
B= nombre d’automobilistes concern´es (fr´equences observ´ees)
Calculer les fr´equences th´eoriques en utilisant une distribution appropri´ee.
8) Dans un lot de 20 pi`eces il y en a 4 qui sont d´efectueuses. On prend un ´echantillon exhaustif de 3 pi`eces. Quelle est la probabilit´e qu’il contienne 1 pi`ece d´efectueuse?
9) La dur´ee de vie des pneus d’hiver suit une distribution exponentielle avec une moyenne de 50000 Km. Calculer la probabilit´e qu’un pneu dure plus de 30000 Km.
10)Les pannes d’un appareil suivent une loi exponentielle avec une moyenne d’une panne par 1000 heures. Trouver le temps T tel que la probabilit´e que l’appareil fonctionne correctement pour plus de T heures soit sup´erieure `a 0.99.
13) On vous pr´esente deux enveloppes identiques dont on vous dit que l’une contient une somme qui est le double de celle continue dans l’autre. On vous demande de choisir l’une des deux enveloppes. Vous l’ouvrez et vous constatez qu’elle contient 1000 Fr.
On vous offre la possibilit´e soit de garder les 1000 Fr, soit de choisir l’autre enveloppe et d’en garder le contenu.
Dites ce que vous feriez dans une telle circonstance:
a) Si la mani`ere dont on vous pr´esente les enveloppes n’influence pas votre choix;
b) dans le cas contraire.
(Construire un tableau des profits bruts et utiliser des probabilit´es subjectives.)
14) Un fonds permet `a l’Ecole des HEC de d´ecerner deux prix. Selon une commission qui a examin´e les dossiers, 10 personnes m´eritent un prix. Parmi ceux-ci, il y a 5 ´etudiants et 2
´etudiantes suisses et 2 ´etudiants et 1 ´etudiante d’une autre origine. Le choix final est fait en tirant deux noms au sort, sans remise. Soit X le nombre d’´etudiants recevant un prix et Y celui des personnes d’une autre origine et recevant un prix.
a) Calculer les probabilit´es jointes p(X,Y) pour toutes les valeurs de X et Y b) Calculer E(X) et E(Y)
c) D´eterminer si les deux variables sont statistiquement ind´ependantes d) Calculer le coefficient de corr´elation
15) X et Y sont deux variables ind´ependantes et elles suivent la mˆeme loi:
X, Y -1 0 1
P(X), P(Y) 14 12 14
On pose U = (X −Y)2, V =X2 −Y2. a) Obtenir la loi jointe de X et Y. b) Obtenir la loi jointe de U et V.
c) U et V sont-elles ind´ependantes? Pourquoi?
d) Calculer le coefficient de corr´elation deU etV. Le r´esultat est-il compatible avec celui de c)? Pourquoi?
16) Une entreprise veut se pr´emunir contre la hausse du cours du dollar car dans trois mois elle doit payer une facture de 1000 $. Une banque lui propose une option CALL qui lui donne la possibilit´e d’acheter des dollars au cours d’aujourd’hui (1 Fr). L’option n’est utilis´ee que si dans trois mois le cours du dollar est sup´erieur `a 1 Fr. Le cours du dollar peut augmenter ou baisser de 10% chaque mois. La probabilit´e est la mˆeme. En utilisant un diagramme de d´ecision, calculer le coˆut esp´er´e pour la banque lorsqu’elle devra lui vendre les dollars au cours convenu de 1 Fr.
17)Une boutique d´esire commander des vestes de la collection de mode d’´et´e 2008. Le coˆut d’une veste est de 400 Fr et le prix de vente 600 Fr. Les vestes invendues en ´et´e sont toutes sold´ees en automne au prix de 300 Fr.
Les statistiques de la boutique r´ev`elent les chiffres suivants des ventes de vestes d’´et´e:
A: 20 21 22 23 24 25
B: 1 2 6 8 2 1
A=nombre de vestes
B= nombre de saisons o`u cette quantit´e a ´et´e demand´ee
a) D´eterminer le nombre de vestes `a commander qui maximise le profit esp´er´e.
b) Calculer la valeur esp´er´ee de l’information parfaite.
18) La soci´et´e De Beers poss`ede une concession pour la prospection et l’exploitation de gisements diamantif`eres en Namibie. Elle se demande si elle doit commencer l’exploitation des gisements ou obtenir une information concernant la pr´esence de diamants en proc´edant
`a des ´etudes g´eophysiques a´eriennes. Cette information ne permet pas une pr´evision parfaite puisqu’il arrive que l’on trouve des diamants l`a o`u aucune structure favorable n’a ´et´e d´etect´ee et vice versa. Voici les r´esultats obtenus avec 200 cas similaires:
r´esultats des ´etudes ´etats de la nature g´eophysiques diamants rien
structure favorable 40 10
structure d´efavorable 6 144
Le coˆut des ´etudes g´eophysiques est de 100’000 Fr. L’ouverture d’une nouvelle exploita- tion coˆute 800’000 Fr. Les recettes de la vente de diamants sont estim´ees `a 10’000’000 Fr.
D´eterminer les d´ecisions que la compagnie doit prendre si elle veut maximiser le profit esp´er´e.
Une soci´et´e p´etroli`ere poss`ede une concession pour des droits de forage dans une r´egion.
Elle peut proc´eder `a des forages, effectuer des enregistrements sismographiques ou vendre ses droits. En regardant les propri´et´es g´eophysiques de la r´egion, on peut estimer que la probabilit´e d’avoir du p´etrole est de 25%. La soci´et´e peut obtenir des renseignements suppl´ementaires en proc´edant `a des enregistrements sismographiques qui d´eterminent la struc- ture g´eologique des roches. Si la structure est favorable, on a une probabilit´e de 2/3 de trou- ver du p´etrole. Dans le cas contraire, la probabilit´e est de 1/5. D’autre part, la probabilit´e d’avoir une structure favorable est de 50%. Le coˆut des enregistrements sismographiques est de 500’000 Fr. Le profit brut de l’exploitation p´etroli`ere est de 10 millions de francs. Le coˆut des forages est de 2 millions. La vente de la concession rapporte 600’000 Fr avant les enregistrements; 2.5 millions apr`es des enregistrements favorables et 400’000 Fr dans le cas contraire. Maximiser le profit esp´er´e.
