Cours de PHEC option Øco premiŁre annØe

Cours de PHEC option éco première année

par Bechata Abdellah

ii

Table des matières

1 Introduction aux fonctions d’une variable réelle 1

1 Ensembles usuels et vocabulaire ensembliste . . . 1

2 Généralités sur les fonctions. . . 1

3 Applications aux fonctions usuelles. . . 3

4 Rappel sur la dérivation et les tangentes . . . 6

2 Fonctions numériques de deux variables réelles 7 1 R² et quelques uns de ses sous-ensembles remarquables . . . 7

2 Fonctions numériques de deux variables réelles . . . 8

3 Polynômes 11 4 Principe de récurrence et symboles de sommations 15 1 Symboles de sommations . . . 15

2 Principe de récurrence. . . 16

5 Dénombrement 17 1 Opérations sur les ensembles . . . 17

2 cardinaux . . . 17

3 p-listes . . . 18

4 Parties d’un ensemble . . . 19

6 Suites 21 1 Limites de suites. . . 21

2 Opérations sur les limites. . . 21

3 Limites et inégalités. . . 22

4 Outils de comparaisons . . . 23

5 Convergences de suites particulières. . . 24

7 Espaces probabilisés 27 1 Notion d’application . . . 27

2 Mathématisation de la notion d’évènement . . . 27

3 Espace probabilisé …ni . . . 28

4 Probabilités conditionnelles . . . 30

5 Indépendances en probabilité . . . 30

8 Limites 33 1 dé…nitions . . . 33

2 Opérations sur les limites . . . 34

3 Limites classiques et applications . . . 35

4 Cas des fonctions monotones . . . 35

9 Comparaison de fonctions 37 1 Equivalence . . . 37

2 Négligeabilité . . . 38

3 Développement limités . . . 39

4 Applications des DL . . . 40

10 Variables et vecteurs aléatoires …nies 43 1 Dé…nitions . . . 43

2 Loi d’une var …nie . . . 43

3 Moments d’une var …nie . . . 44

4 Loi d’un vecteur aléatoires …nis . . . 46

iv

5 Lois conditionnelles . . . 47

6 Indépendances de nvar . . . 47

11 Continuité 49 1 Dé…nitions et propriétés algébriques . . . 49

2 Prolongement par continuité . . . 50

3 Propriétés des fonctions continues . . . 50

4 Bijections . . . 51

12 Dérivabilité et fonctions de classe C^k 53 1 Généralités . . . 53

2 Règles de calculs . . . 54

3 Fonctions monotones . . . 54

4 Prolongement . . . 55

5 Théorème des accroissement …nis . . . 55

6 Convexité . . . 56

13 Lois discrètes …nies 57 1 Loi uniforme . . . 57

2 Schéma de Bernouilli . . . 57

3 Loi binomiale . . . 57

4 Loi hypergéométrique . . . 58

14 Séries 59 1 Dé…nitions et propriétés élémentaires . . . 59

2 Critères de convergence des séries à termes positifs. . . 60

3 Séries de références. . . 61

4 Plan d’étude d’une série . . . 62

15 Intégration sur un segment 63 1 Primitive . . . 63

2 Intégration sur un segment . . . 63

3 Calcul intégral . . . 65

4 Somme de Riemann . . . 66

16 Espace probabilisé et var discrète in…nie 69 1 Espace probabilsé . . . 69

2 Variables et vecteurs aléatoires discrets dénombrable . . . 71

3 Moments d’une var discrète in…nie . . . 71

4 Loi d’un vecteur aléatoires discrets in…nis . . . 73

5 Lois conditionnelles . . . 73

6 Indépendances de nvar . . . 74

7 Lois discrètes in…nies . . . 74

17 Plan d’études des suites du typeun+1=f(un) 77 1 Intervalles stables et points …xes . . . 77

2 Existence de tous les termes de la suite . . . 77

3 Monotonie de la suite . . . 78

4 Convergence . . . 79

18 Systèmes d’équations linéaires 81 1 Dé…nitions . . . 81

2 Pivot de Gauss . . . 81

3 Résolution des systèmes . . . 83

19 Matrices 85 1 Matrices rectangulaires . . . 85

2 Matrices carrés . . . 86

3 Systèmes linéaires et matrices . . . 88

Introduction aux fonctions d’une variable réelle

1 Ensembles usuels et vocabulaire ensembliste

Ndésigne l’ensemble des nombres naturels c’est-à-dire N=f0;1;2; ::g

Zdésigne l’ensemble des nombres relatifs c’est-à-dire des entiers naturels ainsi que leurs opposés.

Q désigne l’ensemble des nombres rationels c’est-à-dire des fractions dont le numérateurs et le dénominateurs sont des nombres entiers relatifs.

Par exemple : 2002

2003:Par contre p2

3 n’est pas un nombre rationnel carp

2n’est pas un entier relatif.

Rdésigne l’ensemble des nombres réels c’est-à-dire de tous les nombres que vous avez rencontré dans votre scolarité. Par exemple :2; 13; 2002

2003; p2

3 ; ; e⁶ etc.

Dé…nition 1

SoientE un ensemble,A; B deux sous-ensembles deE etxun élément deE:On note x2Asi l’élémentxappartient àA:

x =2Asi l’élémentxn’appartient pas àA:

A B si tout élément deAest un élément deB c’est-à-direx2Aalorsx2B:

A B s’il existe un élémenty deAqui ne soit pas un élément deB c’est-à-dire il existey2Atel que y =2B:

Dé…nition 2

L’ensemble noté?est appelé ensemble vide et est constitué d’aucun élément.

2 Généralités sur les fonctions.

2.1 Dé…nitions.

Dé…nition 3

1. On dit qu’une fonction f est une fonction numérique d’une variable réelle s’il existe un ensemble I (qui n’est pas nécessairement un intervalle) deRtel que chaque nombrex2I posséde une imagef(x)qui soit un nombre réel.

2. Les nombres réels qui possède une image parf constituent l’ensemble de dé…nition def:Il est noté traditionnellement D^f:

3. aest un antécédent de bparf sib est l’image de aparf: Les nombres réels qui possède au moins un antécédent par f constituent l’ensemble image def; que l’on notef(D^f):

4. L’ensemble des points (du plan cartésien) de coordonnées(x; f(x)), oùxest un élément deD^f;est la courbe représen- tative def:

5. Sif est une fonction de domaine Df et siAdésigne une partie deRcontenue dans Df ;on appelle restriction def à Ala fonctionf_Adont le domaine de dé…nition estAet qui est dé…nie par

8x2A; f_A(x) =f(x):

Remarque 1

1. On remarquera que l’ensemble de dé…nition d’une fonction n’est pas nécessairement un intervalle.

Par exemple, sif(x) =p

x² 1alorsDf=] 1; 1]S [1;+1[

2. Soitf(x) = 3xavecDf =R. Si A=] 2;4];alors la restriction def àA est une fonction qui n’est dé…nie que surA par

8x2] 2;4]; f_{] 2;4]}(x) = 3x:

2 1. Introduction aux fonctions d’une variable réelle

2.2 Eléments remarquables d’une fonction.

Dé…nition 4

Soitf une fonction dé…nie surI:

1. On dit qu’un nombre réelM (resp.m)majore (resp. minore) la fonctionf surI lorsque 8x2I; f(x)6M (resp.8x2I; f(x)>m):

Dans ce cas on dit queM (resp.m)est un majorant (minorant) def surI:

2. Soitx₀ un élément deI:On dit quef admet un maximum (resp. minimum) enx₀ si 8x2 D^f; f(x)6f(x0) (resp.8x2 D^f; f(x)>f(x0)):

On notemax

I f(x) =f(x0)(resp.min

I f(x) =f(x0)): Un extremum def surIest soit un minimum soit un maximum.

3. On dit quef est bornée surIsi elle est à la fois majorée et minorée surI:

Exemple 1

Un tableau de variation montre qie la fonctionf(x) = 3xest bornée sur] 2;4]et que 8x2] 2;4]; f(x)612et 8x2] 2;4]; f(x)> 6);

ce que l’on peut résumer par

8x2] 2;4]; 66f(x)612 La fonctionf possède un maximum sur] 2;4]enx0= 4et max

] 2;4]f(x) = 12:Par contre, elle ne possède pas de minimum (le seul possible serait en 2qui n’est pas dans l’intervalle] 2;4], bien que l’on constate qu’elle possède un plus petit minorant (qui est 6)ce qui amène à introduire la dé…nition suivante.

Dé…nition 5

Sif est une fonction majorée (resp. minorée) surI, on appelle borne supérieure (resp. inférieure) le plus petit des majorants def (resp. le plus grand des minorant def) surI:On a la note sup

I

f (resp.inf

I f):

Dans l’exemple précédent, sup

] 2;4]

f = 12et inf

] 2;4]f = 6: On constate ici que lesup de la fonction est tout simplement le maximum de f: C’est un fait général : si une fonction possède un maximum (resp. minimum) sur un intervalle I; alors le sup

I

f (resp.inf

I f)est égal aumax

I f (resp.min

I f):

2.3 Fonctions remarquables.

Dé…nition 6 (parité)

On dit quef est paire (resp. impaire) si

8x2 D^f; x2 D^f

et8x2 Df; f( x) =f(x)(resp.f( x) = f(x):

Exemple 2 1. f(x) = 1

x²+ 1 est une fonction paire car d’une partDf =R, donc six2R, x2Ret d’autre part, on a f( x) = 1

( x)²+ 1 = 1

x²+ 1 =f(x) 2. Par contre la fonction dé…nie parg(x) = 1

x 2 n’est pas une fonction paire ou impaire car D^f =] 1;2[S ]2;+1[ donc 22 D^f mais22 D= ^f:

Dé…nition 7 (Monotonie)

SoitI un intervalle sur lequelf est dé…nie; on dit que 1. f est croissante (resp. décroissante) surI lorsque

8x1; x22I; x1< x2)f(x1)6f(x2) (resp.x1< x2)f(x1)>f(x2):

1. Introduction aux fonctions d’une variable réelle 3

2. f est strictement croissante (resp. décroissante) surI lorsque

8x1; x22I; x1< x2)f(x1)< f(x2) (resp.x1< x2)f(x1)> f(x2):

3. On dit qu’une fonction est monotone sur un intervalle si elle est croissante (ou décroissante) sur cet intervalle.

Proposition 1

1. La somme de deux fonctions croissantes (resp. décroissantes) est croissante (resp. décroissante).

2. Sif est croissante (resp. décroissante) surI et g est croissante (resp. décroissante) surf(I)alorsg f est croissante surI:Si La composée de deux fonctions croissantes (resp. décroissantes) est croissante.

3. Sif est croissante surIetg est décroissante surf(I)alorsg f est décroissante surI:De même, sif est décroissante surI etg est croissante surf(I)alorsg f est décroissante surI

Exemple 3 h(x) = 1

x²+ 1 est une fonction croissante sur R : En e¤et, elle est la composée de la fonction f(x) = x²+ 1 qui est décroissante surR avecf(R ) = [1;+1[et de la fonctiong(x) = 1

x qui est décroissante sur[1;+1[:

3 Applications aux fonctions usuelles.

3.1 Valeur absolue

La fonction valeur absoluex7! jxj est la fonction dont le domaine de dé…nition estRet dé…nie parjxj= xsix>0 xsix60:

et dont voici la représentation graphique. C’est une fonction paire, décroissante surR et croissante surR⁺:

5 2.5 0 -2.5 -5

5

3.75

2.5

1.25

0

x y

x y

x7! jxj Lemme 1 (Inégalité triangulaire)

8a; b2R, on aj jaj jbjj6ja bjetja+bj6jaj+jbj

3.2 Fonction puissances entières x 7! x

(n 2 Z )

Dé…nition 8 (n positif )

Soitxun nombre réel etnun entier positif, on posex⁰= 1(lorsquex6= 0)etxⁿ=x x :: x

| {z }

nfois

si n>1.

Dé…nition 9 (n négatif )

Soitxun nombre réel etnun entier négatif, on posexⁿ= 1 x ⁿ: Exemple 4

x ³= 1 x³

Proposition 2 (Règles de calcul) 8n; m2Zet8a; b2R

aⁿ a^m=a^n+m (a b)ⁿ =aⁿ bⁿ (aⁿ)^m=a^{n m}

a⁰= 1 a ⁿ = 1

aⁿ

aⁿ

a^m =a^{n m}

4 1. Introduction aux fonctions d’une variable réelle

La fonction x7!xⁿ est dé…nie sur R si n est un entier positif et est paire (resp. impaire) si n est un entier pair (resp.

impair) dont la représentation graphique est

5 2.5 0

-2.5 -5

25

20

15

10

5

0

x y

x y

x7!xⁿ sinest pair

5 2.5 0 -2.5 -5

100

50

0

-50

-100

x y

x y

x7!xⁿ sinest impair

La fonction x7!xⁿ est dé…nie sur R sin est un entier négatif et est paire (resp. impaire) sin est un entier pair (resp.

impair) dont la représentation graphique est

2 1 0 -1 -2

20

15

10

5

0

x y

x y

x7!xⁿ sinest pair

2 1 0 -1 -2

25

12.5

0

-12.5

-25

x y

x y

x7!xⁿ sinest impair

3.3 fonction logarithme népérien

La construction rigoureuse de la fonctionx7!lnxsera e¤ectuer dans le chapitre sur l’intégration. Néanmoins nous allons rappeller quelques propriétés de cette fonction.

La fonction lnest dé…nie sur l’intervalleR+ et sa représentation graphique est

100 75 50 25 0 0

-10

-20

-30

x y

x y

x7!lnx Proposition 3 (propriétés remarquables du logarithme)

8a; b2R+

ln(a b) = lna+ lnb ln(a

b) = lna lnb ln(1

a) = lna 8n2Z,lnaⁿ=nlna lna= lnb,a=b lna <lnb,a < b

lna= 0,a= 1 lna= 1,a=eavece'2:718

3.4 fonction exponentielle

La construction de la fonction exponentiellex7!expx(ou encoree^x)nécessite la dé…nition de la fonction logaritme népérien et du chapitre sur les dérivées. Nous admettons son existence et nous explicitons certaines de ces propriétés.

1. Introduction aux fonctions d’une variable réelle 5 La fonction exponentielle est dé…nie sur Ret la représentation graphique de la fonction exponentielle est

5 2.5 0

-2.5 -5

10

7.5

5

2.5

0

x y

x y

x7!e^x Proposition 4 (propriétés remarquables de l’exponentielle)

8a; b2R+

exp(a b) = expa expb exp(a b) = expa expb exp( x) = 1

exp(x) 8n2Z,(expa)ⁿ= exp(na) expa= expb,a=b expa <expb,a < b expa= 1,x= 0

Proposition 5 (lien entre exponentielle et logarithme)

En outre, comme nous le verrons dans le chapitre sur les dérivées les fonctionsexp et ln sont intimement liées, ce qui se traduit par la formule suivante

8x2Ret8y2R+ e^x=y,x= lny ce qui implique que

8x2R+ e^lnx=x:

Nous avons également la formule suivante qui est fondamentale

8x2R lne^x=x

3.5 Fonctions puissances x 7! x ( 2 R )

Dé…nition 10

La fonctionx7!x ( 2R)est dé…nie surR+ par

x =

par dé…nitione ^lnx

Les règles de calculs sont similaires à celles des fonctions puissances entières et nous les explicitons dans la proposition suivante

Proposition 6

8 ; 2Ret 8x; y2R+

x y =a ⁺ (x y) =x y (x ) =x

x⁰= 1 x = 1

x

x x =x

La représentation graphique des di¤érentes fonctions puissances x7!x est donnée par les graphiques suivants

2 1.5 1 0.5 0 4

3

2

1

0

x y

x y

y=x lorsque >1

2 1.5 1 0.5 0 2

1.5

1

0.5

0

x y

x y

y=x lorsque0< <1

2 1.5 1 0.5 0 10

7.5

5

2.5

0

x y

x y

y=x lorsque <0

6 1. Introduction aux fonctions d’une variable réelle

3.6 Fonctions polynômes

Dé…nition 11

1. On appelle fonction monôme (ou simplement monôme) toute fonction numérique dé…nie surRet de la forme x7!akx^k oùak2R,k2N.ak est le coe¢ cient du monôme

2. On appelle fonction monôme (ou simplement monôme) toute fonction numérique dé…nie surRet de la forme x7!P(x) =anxⁿ+an 1x^{n 1}+:::+a1x+a0

oùa_k2R8k2 f0; ::; ng,n2N:

Les nombres a_k sont les coe¢ cients du polynôme. Si a_n 6= 0; on dit que le polynôme P est de degré n et on note degP =n:Dans ce cas,a_n est son coe¢ cient dominant.

Si tous les coe¢ cients sont nuls, on dit queP est le polynôme nul. Le polynôme nul ne possède pas de degré.

3. Deux polynômesP=a₀+a₁x+::+a_nxⁿ etQ=b₀+b₁x+::+b_mx^msont égaux ssin=met8k2 f0; ::; nga_k =b_k: 4. On noteR[X] l’ensemble des polynômes etRn[X]l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal àn:

Exemple 5

1. x7!x²⁰⁰² est un monôme de degré2002et 1est son coe¢ cient.

2. Le polynômex7!7x³ 3x²+ 10est de degré3et son coe¢ cient dominant est7:

3. Siax²+bx+c= 3x+ 2 = 0x²+ 3x+ 2 alorsa= 0; b= 3etc= 2

4 Rappel sur la dérivation et les tangentes

Nous rappelons pas dans cette section la dé…nition et les di¤érentes propriétés de la dérivée qui sera vue dans un chapitre ultérieur. Nous admettrons que les formules suivantes sont valides

f(x) f⁰(x) xⁿ (n2N) nx^{n 1} x ( 2R) x ¹

e^x e^x

lnx 1

x

f(x) f⁰(x)

(u(x))ⁿ (n2N) n u⁰(x) (u(x))^{n 1} (u(x)) ( 2R) u⁰(x) (u(x)) ¹ e^u(x) u⁰(x)e^u(x)

lnu(x) u⁰(x) u(x)

Si f est une fonction dérivable ena; on appelle tangente à la coube représentationCf def au point d’abscisse x=a; la droite d’équation

y=f⁰(a)(x a) +f(a) (Equation de la tangente au point d’abscissex=a)

Fonctions numériques de deux variables réelles

1 R

et quelques uns de ses sous-ensembles remarquables

1.1 R

Rappellons pour commencer queR²désigne l’ensemble des couples(x; y)oùxetysont des nombres réels. Traditionnellement, on représente graphiquementR² sous la forme d’un plan muni du repère orthonormée(O;!i ;!j): Un élément(x; y)de R² est associé au pointM du plan de coordonnées (x; y): D’autre part tout pointM du plan est associé naturellement à son couple de coordonnées(x; y)qui est un élément deR²:

2 0

-2

2

0

-2

axe des abscisses axes des ordonnées

axe des abscisses axes des ordonnées

représentation graphique deR²

1.2 Droites

L’axe des abscisses se note traditionnellement (Ox) (il s’agit d’une droite) et l’axe des ordonnées (Oy): L’équation de la droite(Ox)est l’ensemble des pointsM(x; y)dont l’ordonnée est nulle donc

(0x) =f(x; y)2R² tel quey= 0g

On dit que y = 0 est l’équation de la droite(Ox): De façon analogue, la droite (Oy) a pour équation x = 0 i.e. possède comme équation

(0y) =f(x; y)2R² tel quex= 0g Plus généralement, toute droite du plan possède une équation du type

y=ax+b oux=c ou de manière équivalente, l’équation de toute droite du plan est de la forme

ax+by+c= 0

1.3 Graphiques de fonctions d’une variable

Sif désigne une fonction d’une variable réelle dont le domaine de dé…nition est un ensembleI:La représentation graphique def, qui est dé…nie rappelons-le par f(x; y)2R²tels que x2Iet y=f(x)g:

8 2. Fonctions numériques de deux variables réelles

4 2

0 -2

-4

1.25

0

-1.25

-2.5

-3.75

-5

x y

x y

On déduit naturellement trois nouveaux sous-ensembles remarquables

1. L’ensemble "au dessus" (resp. strictement "au dessus") du graphique def est dé…ni par f(x; y)2R² tels quex2Iet y>f(x)(resp.y > f(x))g 2. L’ensemble "en dessous" (resp. strictement "en dessous" du graphique def est dé…ni par

f(x; y)2R² tels quex2Iet y6f(x)(resp.y < f(x))g 3. L’ensemble complémentaire du graphique def ("tout sauf le graphe def")dé…ni par

f(x; y)2R²tels que x2I et y6=f(x)g qui n’est que la réunion des ensembles "au dessus et en dessous" du graphique def:

1.4 Cercles

Un autre type sous-ensembles deR² est fourni par les cercles. Par exemple, le cercle de centre l’origine(0;0)et de de rayon rpossède comme équation

C(O; r) =f(x; y)2R² tel quex²+y²=r²g Plus généralement, l’équation du cercleC((a; b); r)de centre (a; b)et de rayon rest

C((a; b); r) =f(x; y)2R²tel que (x a)²+ (y b)²=r²g

2 Fonctions numériques de deux variables réelles

Dé…nition 12

On appelle fonction numérique de deux variables réelles la donnée d’un sous-ensemble de R² et d’une application qui à tout couple(x; y)deR²associe un unique nombre réelf(x; y):

Exemple 6

Les fonctionsf(x; y) =x+y et g(x; y) = exp(xy) +y² 1sont des fonctions numériques de deux variables réelles Dé…nition 13

Le domaine de dé…nition d’une fonctionf est l’ensemble des couples(x; y)2R² pour lesquels l’expressionf(x; y)existe Exemple 7

Soitf la fonction dé…nie parf(x; y) = ln(x+y):L’expressionf(x; y)est dé…nie si et seulement six+y >0,y > x.

Dé…nition 14

Soitf une fonction numérique de deux variables réelles. On appelle surface de niveaucl’ensemble des points(x; y)du plan tels quef(x; y) =c (f est constante sur la ligne de niveau)

Exemple 8

La surface de niveaucde la fonction x+ 3y est l’ensemble

f(x; y)2R² tels que2x+ 3y= 2g=f(x; y)2R²tels que y= c 3

2x 3 g:

Il s’agit donc d’une droite. De la même façon, on constate que toutes les surfaces de niveau de cette fonction sont des droites du plan.

2. Fonctions numériques de deux variables réelles 9 Exemple 9

La surface de niveaucde la fonction x²+y² est l’ensembleNc=f(x; y)2R² tels quex²+y²=cg:

On remarque pour commencer quex²ety²sont toujours des nombres positifs doncx²+y²est toujours positif. Par conséquent, 1. sicest strictement négatif, l’ensemble Nc se réduit à l’ensemble vide.

2. sicest nul, on ax²+y²= 0ce qui implique quex=y= 0doncN_c=f(0;0)g 3. sicest strictement positif, l’ensembleN_c est un cercle de centre(0;0)et de rayon pc:

10 2. Fonctions numériques de deux variables réelles

Polynômes

Diverses dé…nitions sur les polynômes ont été données dans le chapitre sur l’introduction aux fonctions d’une variable réelle Proposition 7

1. Le degré d’un monôme constant non-nul est0:

2. deg(P+Q)6max(degP;degQ) 3. deg(P Q) = degP+ degQ

0.1 Divisibilté

Dé…nition 15

SoientAetB 2R[X]:On dit queB diviseA et on le noteBjAssi9C2R[X]tel que A=BC.

Proposition 8

1. SiB jAalorsdegB6degA 2. 8A2R[X]; AjA

3. SiAjB etB jC alorsAjC:

4. Un polynôme constant non nul divise n’importe quel polynôme.

0.2 Zéros d’un polynôme

Dé…nition 16

SoitP 2R[X]eta2R:On ditaest un zéro de P ssiP(a) = 0:

Théorème 1

SoitP 2R[X]eta2R:Alorsaest un zéro deP ssi(x a)jP Dé…nition 17

SoitP 2R[X]eta2R:On ditaest un zéro d’ordrek deP ssi(x a)^k jP et(x a)^k+1-P:

0.3 Dérivées d’un polynôme

Dé…nition 18 SoitP =

Pn k=0

akx^k2R[X]:

1. On appelle polynôme dérivé deP et on le note P⁰ le polynôme dé…ni par

P⁰(x) =na_nx^{n 1}+ (n 1)a_{n 1}x^{n 2}+:::+ 2a₂x+a₁

2. Le polynôme dérivé seconde deP (que l’on noteP⁰⁰ouP⁽²⁾) est le polynôme dérivé du polynôme dérivé deP c’est-à-dire P⁽²⁾= (P⁰)⁰

3. Plus généralement, si l’on dérive k fois successivement le polynôme P; on obtient le polynôme dérivé d’ordrek (ou dérivéek^eme) deP et on le noteP^(k):

Théorème 2

SoitP 2R[X]eta2R:Alorsaest zéro d’ordrekdeP ssiP(a) =P⁰(a) =::=P^{(k 1)}(a) = 0et P^(k)(a)6= 0 Exemple 10

SoitP(x) =x⁵ 4x⁴+ 4x³+ 2x² 5x+ 2:

12 3. Polynômes

1. On constate que1est racine évidente deP:Calculons les dérivées successives de P évaluées en1:

P(1) = 0

P⁰(x) = 4x+ 12x² 16x³+ 5x⁴ 5 donc P⁰(1) = 0 P⁰⁰(x) = 24x 48x²+ 20x³+ 4 donc P⁰⁰(1) = 0

P⁽³⁾(x) = 96x+ 60x²+ 24 donc doncP⁽³⁾(1) = 146= 0

D’après le théorème1 est racine d’ordre4 deP donc(x 1)³jP c’est à dire qu’il existe un polynômeQ(x)tel que P(x) = (x 1)³Q(x)

avecQ(1)6= 0:

2. Cette méthode va en fait nou permettre de factoriser le polynômeP:

On remarque 1est une utre racine évidente de P:Les calculs précédents montre queP( 1) = 0 etP⁰( 1) = 246= 0 donc 1 est racine d’ordre1:

3. On aP( 1)

| {z }

=0

= ( 1 1)³

| {z }

6

=0

Q( 1)doncQ( 1) = 0. Il existe donc un polynômeR(x)tel queQ(x) = (x ( 1))R(x)ce qui montre que

P(x) = (x 1)³(x+ 1)R(x) (3.1)

4. degP = deg(x 1)³+ deg(x+ 1) + degRdoncdegR= 1ce qui implique queR est de la forme R(x) =ax+b

En développant la formule 3.1, et en regardant le coe¢ cient de plus haut degré et de plus petit degré, on aa= 1 et b= 2:Ainsi

P(x) = (x 1)³(x+ 1)(x 2)

0.4 Division euclidienne

Rappelons que siaet bsont deux entiers avecb6= 0, il existe un unique entierqet un unique entier06r < b tel que a=bq+r:

L’entierqs’appelle le quotient de la division euclidienne deaparb etrle reste de cette division euclidienne.

Il existe une formule analogue pour les polynômes.

Théorème 3

SoientAetB deux polynômes réels oùB est un polynôme non nul.

Il existe un unique polynômeQet un unique polynômeRtel quedegR <degB et tel que A=BQ+R:

Le polynômeQs’appelle le quotient de la division euclidienne deAparB etR le reste de cette division euclidienne.

Corollaire 1

Un polynômeP divise un polynômeQssi le reste de la division deP parQest nul

Nous allons traiter sur un exemple la détermination explicite du quotient et du reste d’une division euclidienne Exemple 11

Déterminer le reste et le quotient de la division de2x³+x² 5x+ 5parx² 2:

On pose la bonne vielle division et on commence par éliminer le terme2x³:Pour cela, il su¢ t de multiplier le dividende par2x

2x³ +x² 5x +5 x² 2

(2x³ 2x) 2x

3x² 2x +5

puis on élimine le terme de degré2 en multipliant le dividende par2ce qui nous donne 2x³+x² 5x+ 5 x² 2

(2x³ 2x) 2x+ 3

3x² 2x+ 5 (3x² 6)

5x+ 11

3. Polynômes 13 Le reste de notre division est un polynôme de degré1donc de degré strictement inférieur au degré du diviseur ce qui signi…e que notre division est achevée et on a la relation

2x³+x² 5x+ 5 = (2x+ 3)(x² 2) 5x+ 11

L’intérêt de la division euclidienne apparait lors de la factorisation des polynômes. Si vous disposez d’une racine évidente ad’un polynômeP; le théorème 1 montre que(x a)divise P donc il existe un polynômeQ tel queP = (x a)Q:Pour déterminerQ;il su¢ t d’e¤ectuer la division deP parx aet le quotient estQ(bien entendu, le reste de la division se doit d’être nul carP diviseQ)

14 3. Polynômes

Principe de récurrence et symboles de sommations

1 Symboles de sommations

Dé…nition 19

Soitnet mdeux entiers. On désigne parfn; ::; mgl’ensemble des entiers compris entrenet m:

Lemme 2

1. Il y annombre entier dans l’ensemblef1; ::; ng:

2. Plus généralement, il y an m+ 1entier dans l’ensemblefn; ::; mg: Dé…nition 20

1. Soienta0; a1; ::; an (n+ 1)nombres réels.

La notation symbolique Pn k=0

ak désigne la sommea0+a1+::+an et elle se prononce somme dek= 0à ndesak: 2. Plus généralement, sia_n; a_n+1; ::; a_msont des nombres réels.

La notation symbolique Pm k=n

ak désigne la sommean+an+1+::+am et elle se prononce somme dek=nàmdesak: Exemple 12

1. ln(2) + ln(3) +::+ ln(n)peut s’écrire aussi Pn k=2

ln(k):

2. Question: que représente la notation symbolique P29 k=8

1 7k² ? Réponse: 1

7 1²+ 1

7 2² + 1

7 3² +::+ 1 7 29²: Le symbole de sommation P

véri…e certaines règles de calculs qui sont d’utilisation courante et que nous énonçons dans le lemme suivant.

Lemme 3

Soientn; mdeux entiers et a_n; a_n+1; ::; a_m etb_n; b_n+1; ::; b_mdes nombres réels. Alors on a 1.

Pm k=n

(ak+bk) = Pm k=n

ak+ Pm k=n

bk

2.

Pm k=n

(a_k b_k) = Pm k=n

a_k Pm k=n

b_k

3. Pour tout nombre réel ; Pm k=n

ak= Pm k=n

ak

4. Relation de Chasles.

Pour tout entier positifl;on a

m+lP

k=n

a_k = Pm k=n

a_k+ Pl k=m+1

a_k Preuve :

On ne prouvera que la première égalité, les autres se prouvant de la même façon.

Pm k=n

(ak+bk) = (an+bn) + (an+1+bn+1) +::(am+bm)

= (an+an+1+::am) + (bn+bn+1+::bm)

= Pm k=n

ak+ Pm k=n

bk: cqfd.

Proposition 9

Sommes remarquables

Soitnun entier positif. Alors on a les égalités suivantes :

16 4. Principe de récurrence et symboles de sommations

1.

Pn k=1

k=n(n+ 1)

2 .

2. pour tout nombre réelq di¤érent de1, on a Pn k=0

q^k= 1 qⁿ⁺¹ 1 q : On remarque que

Pn k=l

a_k= Pn j=l

a_j = Pn

=l

a :"L’entier"kest ce que l’on appelle l’indice de sommation de la somme Pn k=0

a_k:Il s’agit d’une variable muette c’est-à-dire que l’on peut la noterk; j; ou encore à l’aide de toute lettre que l’on souhaite. On utilisera régulièrement cette remarque lors des changements de variables qui sont dé…nis par le lemme dont voici l’énoncé.

Lemme 4

Changement de variable

Soientl; n; mdes entiers eta_n+l; a_n+l+1; ::; a_m+l des nombres réels.

Alors Pm k=n

a_k+l=

m+lP

k=n+l

a_k (on dit que l’on a fait le changement de variablej=k+l):

Exemple 13 Simpli…er

P10 k=3

k²+k 2

k 2 en utilisant le changement de variablej=k 2:

On adopte la méthode mnémotechnique suivante : On posej=k 2alorsk=j+ 2;ce qui nous donne k² k 2

k 2 = (j+ 2)² (j+ 2) 2

j = j²+ 3j

j =j 3:

D’autre part, quandk= 3;alorsj= 1et quandk= 10alorsj = 8:

Donc P10 k=3

k²+k 2

k 2 =

P8 j=1

(j+ 3)

2 Principe de récurrence.

Supposons avoir dé…ni pour tout entiern>0 une propriétéPn. Lemme 5

Principe de récurrence

Soitn0un entier positif. Supposons quePⁿ0 est vraie. Si8n>n0,Pⁿ est vraie impliquePⁿ⁺¹alors8n>n0la propriétéPⁿ est vraie:

La propriétéPⁿ se nomme la propriétéP au rangn:

La véri…cation de la véracité de Pⁿ0 s’appelle l’initialisation de la récurrence.

Exemple 14

1. Montrer que8n>0;2ⁿ>n+ 1:On posePⁿ: "2ⁿ>n+ 1".

Initialisation :n= 0:2⁰= 1>0 + 1doncP⁰ est vraie.

Supposons quePⁿ soit vraie. Nous devons prouver quePⁿ⁺¹, c’est-à-dire que 2ⁿ⁺¹>n+ 2:

2ⁿ⁺¹ = 2 2ⁿ donc 2ⁿ⁺¹ >2(n+ 1) = 2n+ 2: Or 2n+ 2 (n+ 2) =n >0 donc 2n+ 2>n+ 2: Par conséquent 2ⁿ⁺¹>n+ 2;ce qui démontre que Pⁿ⁺¹est vraie. Ainsi Pⁿ est vraie pour tout entiernpositif:

2. Montrer que8n>1;1 + 2 +::+n=n(n+ 1)

2 :

On posePn: "1 + 2 +::+n= n(n+ 1) 2 ":

Initialisation :n= 1:Le membre de gauche de l’égalité est égal à1:

Le membre de droite est égal à 1 2

2 = 1:DoncP1 est vraie.

Supposons quePn soit vraie. Le membre de droite dePn+1 est 1 + 2 +::+n+ (n+ 1): Donc, puisquePn est vraie, on a 1 +::+n+ (n+ 1) = n(n+ 1)

2 + (n+ 1) = (n+ 1)(n

2 + 1) =(n+ 1)(n+ 2)

2 :AinsiPⁿ⁺¹ est vraie et donc8n>1;Pⁿ est vraie c’est-à-dire8n>1;1 + 2 +::+n=n(n+ 1)

2 :

Dénombrement

1 Opérations sur les ensembles

Dé…nition 21

SoitE un ensemble. . On note parP(E)l’ensemble des sous-parties de E:

Exemple 15

P(f1;2;3g) =f?;f1g;f2g;f3g;f1;2g;f1;3g;f2;3g;f1;2;3gg: Dé…nition 22

SoientAetB deux sous-ensembles deE:

A[B=fx2E tel quex2Aoux2Bg: A\B=fx2E tel quex2Aet x2Bg:

AnB=fx2E tel quex2Aet x =2Bg:L’ensembleAnB se note encoreCAB. Dans le cas particulier oùA=E,EnA se note égalementCA ouA:

siA\B=?on dit queAet B sont disjoints.

Exemple 16

On considère l’ensembleE=f0;1;2;3;4;5g ainsi que ses sous-ensembles donnés parA=f0;1;3;4get B=f2;3;4g:Alors A[B =f0;1;2;3;4g; A\B=f3;4g; AnB=f0;1g

Dé…nition 23

Soient E et I deux ensembles. Soient (Ei)i2I une famille de sous-ensembles de E: On dit que la famille (Ei)i2I est une partition deE ssi (E= S

i2I

Ei etEi\Ej =?sii6=j 8i; j2I):

Dé…nition 24

Soient E et F deux ensembles. On note E F l’ensemble des couples (x; y) où x est un élément de E et y est un élément deF:Cet ensemble se prononceE croixF:

Plus généralement, si E₁; E₂; ::; E_n sontnensembles, on note E₁ E₂ :: E_n l’ensemble formé desn uplets de la forme(x1; x2; ::; xn)avecx12E1; x22E2; ::; xn2En:

Si, en outreE₁=E₂=::=E_n=E;alors l’ensembleE₁ E₂ :: E_n est noté conventionnellementEⁿ: Exemple 17

( 3; )est un élément deZ Rcar 32Zet 2R:Par contre (1 2;p

2) n’est pas un élément deZ Rcar, bien que p22R, 1

2 2=Z:

R⁴désigne les4 uplets de la forme(x₁; x₂; x₃; x₄)tel que les quatre élémentsx₁; x₂; x₃; x₄ sont des nombres réels.

2 cardinaux

Dé…nition 25

SoitAun ensemble comportant un nombre …ni d’éléments. On appelle cardinal deAle nombre d’éléments deAet on le note card(A)oujAjvoire encore#A:

Proposition 10

SoitE un ensemble …ni etA un sous-ensemble deE:Alors 1. card(A)6card(E)

2. card(A) =card(E)ssiA=E Théorème 4

SoientAetB deux sous-ensembles d’un ensemble …ni E:

18 5. Dénombrement

1. SiA\B=?;alorscard(A[B) =card(A) +card(B) 2. card(AnB) =card(A) card(A\B)

3. card(A) =card(E) card(A)

4. card(A[B) =card(A) +card(B) card(A\B) Théorème 5 (Crible de Poincarre)

1. Soit(A_i)_16i6n une famille de partie d’un ensemble …nieE:Alors on a card( [

16i6n

A_i) = X

16i6n

card(A_i) X

16i1<i26n

card(A_i1\A_i2) + X

16i1<i2<i36n

card(A_i1\A_i2\A_i3) +::

+( 1)^{k 1} X

16i1<::<ik6n

card(A_i1\::\A_ik) +::+ ( 1)ⁿcard(A₁\A₂\::\A_n) 2. En particulier, siA_i\A_j=?sii6=j 8i; j2 f1; ::; ng card( S

16i6n

A_i) = P

16i6n

card(A_i) Exemple 18

Pour comprendre la formule du crible de Poincarré, nous allons l’expliciter pourn= 3 card(A₁[A₂[A₃) =

P3 i=1

card(A_i) card(A₁\A₂) card(A₁\A₃) card(A₂\A₃) +card(A₁\A₂\A₃):

Proposition 11

1. SiE et F sont deux ensembles …nis alorsE F est un ensemble …ni etcard(E F) =card(E)card(F) 2. Plus généralement siE₁; ::; E_n sont des ensembles …nis alorsE₁ :: E_n est un ensemble …ni et

card(E1 :: En) =card(E1)::card(En)

3. En particulier, siE est un ensemble …ni alorsEⁿ est un ensemble …ni etcard(Eⁿ) = (card(E))ⁿ

3 p-listes

3.1 p-listes générales

Dé…nition 26

SoitE un ensemble. On appellep-liste d’un ensembleE;tout élément deE^p c’est-à-dire toutp-uplet de la forme(e₁; ::; e_p) oùe_i2E 8i2 f1; ::; pg:

Remarque 2

1. Les éléments ne sont pas nécessairement deux à deux distincts. Des éléments peuvent apparaitre plusieurs fois. Par exemple,(8; 8; 8);(1; 8; 5)et (7; 5; 7)sont des3-listes deN

2. Dans unep-liste, l’ordre des éléments est important. Par exemple, la2-liste(5; 7) deNn’est pas la même que(7; 5):

Proposition 12

Le nombre dep-listes d’un ensemble Eà néléments estn^p:

Cela découle tous simplement que lesp-listes d’un ensembleE ànéléments forment l’ensembleE^petdonc son cardinal est (card(E))^p:

3.2 Arrangements

Dé…nition 27

Unp-arrangement d’un ensembleE est unep-liste deE constituée d’éléments deux à deux distincts Exemple 19

(1; 8; 5)est un3-arrangement deN:Par contre,(8; 8; 8);et(7; 5; 7) ne sont pas des3-arrangements deN: Proposition 13

SoitE un ensemble ànéléments. SiA^p_n désigne le nombre dep-arrangements deE alors A^p_n=n(n 1)::(n p+ 1) = n!

(n p)!

5. Dénombrement 19

3.3 Permutations

Dé…nition 28

SoitE un ensemble ànéléments. On appelle permutation deE tout n-arrangement deE:

Proposition 14

SoitE un ensemble ànéléments. Alors il y an!permutations deE:

4 Parties d’un ensemble

4.1 Combinaisons

Dé…nition 29

SoitE un ensemble ànéléments. On appelle combinaison àpéléments deE toute partie deE àpéléments.

Exemple 20

SiE=f1;::; 10g alorsf2; 5; 7get f1; 8; 10g sont des combinaisons à3éléments deE:

Proposition 15

SoitE un ensemble ànéléments. SiC_n^p (ou encore n

p )désigne le nombre de combinaisons àpéléments deEalors C_n^p= n

p =A^p_n

p! = n!

p!(n p)!

Proposition 16

8n2Net8p2 f0;::;ng, on a

C_n^p=C_n^{n p} C_n⁰=C_nⁿ= 1 C_n¹=C_n^{n 1}=n C_n^p= n pC_n^{p 1}₁ Proposition 17

Triangle de Pascal.

Pour tousnet pdeux nombres entiers positifs tels que p6n;on a C_n^p+C_n+1^p =C_n+1^p+1: On peut se souvenir de cette formule en utilisant le schéma suivant :

n

p p= 0 p= 1 p= 2 p= 3 p= 4 p= 5 p p+ 1 : : : n n+ 1

n= 0 1

n= 1 1 1

n= 2 1 2 1

n= 3 1 3 3 1

n= 4 1 4 6 4 1

n= 5 1 5 10 10 5 1

... ... ... . .. . ..

n 1 n n

p

n

p+ 1 1

n+ 1 1 n+ 1 : : : n+ 1

p+ 1 n+ 1 1

Théorème 6

Formule du binôme de Newton.

Soienta; bdeux nombres réels etnun entier. Alors on a(a+b)ⁿ = Pn k=0

C_n^ka^kb^{n k}:

4.2 Dénombrement de P (E)

Théorème 7

SiE est un ensemble ànéléments alorscard(P(E)) = 2ⁿ

20 5. Dénombrement Preuve :

NotonsE_k l’ensemble des parties deE àkéléments. Alors la famille(E_k)_06k6n est une partition deP(E)donc card(P(E)) =

Xn k=0

card(Ek)

La proposition 15 montre quecard(Ek) =C_n^k donccard(P(E)) = Pn k=0

C_n^k: Or la formule du binôme montre que2ⁿ= (1 + 1)ⁿ=

Pn k=0

C_n^k

Suites

1 Limites de suites.

1.1 Dé…nitions.

Dé…nition 30

On dit qu’une suiteuconverge versl 2 Rssi pour tout nombre " >0; la distance de u_n à l n’excède pas "dès que n est assez grand. On traduit cette phrase mathématiquement par

8" >0;9n₀2Ntel que 8n>n_0;ju_n lj< ":

Le nombrel s’appelle la limite de la suiteuet se note lim

n!+1un:

On dit qu’une suite diverge si elle ne converge pas. Dans ce cas la suite ne converge vers aucun nombre comme la suite ( 1)ⁿ; mais il se peut aussi que son terme général devienne de plus en plus grand sans tendre vers un nombre réel. Par exemple, la suite3n 5 ou2ⁿ;ce qui nous amène à poser la dé…nition suivante.

Dé…nition 31

On dit qu’une suiteudiverge vers+1(resp. 1)ssi pour tout nombreA; le terme un est supérieur (resp. inférieur) àA dès quenest assez grand. On traduit cette phrase mathématiquement par

8A2R;9n02Ntel que 8n>n0;un> A(resp. < A):

Un abus courant de convention consiste à noter lim

n!+1u_n= +1(resp. 1):lorsque la suite diverge vers+1(resp. 1):

Il existe une autre convention d’écriture des limites. Si la suiteutend versl2[ 1; +1], on peut écrire encoreun_n !

!+1l:

Exemple 21 La suite3 + 1

6ⁿ converge vers6.

La suite n³+ndiverge vers 1: Proposition 18

1. Toute suite convergente est bornée.

2. Si la suiteutend versl2Ralorsjunj_n !

!+1jlj

3. Si la suiteutend versl2Ralors pour tout nombre entierp;

n!lim+1u_n+p=l:En particulier, lim

n!+1u_n+1=l Proposition 19

Soitqun nombre réel. Alors la suite(qⁿ)n>0

1. converge vers0ssijqj<1:

2. converge vers1ssiq= 1:

3. diverge vers+1ssiq >1

4. ne possède pas de limite ssiq6 1:

2 Opérations sur les limites.

Nous allons énoncer les règles de calculs sur les limites par des tableaux. La notation F.I. signi…e forme indterminée ce qui signi…e qu’aucun théorème ne nous permet de conclure en général. Nous verrons par la suite des méthodes pour lever cette indétermination.

22 6. Suites Addition

n!lim+1(u_n+v_n) 1 l +1 lim

n!+1v_n

1 1 1 F.I.

l⁰ 1 l+l⁰ +1

+1 F.I. +1 +1

"

n!+1lim un

Mulplication par un nombre

Si la suiteuconverge verslet si est un nombre alors lim

n!+1( un) = l:

Produit

n!lim+1(u_n v_n) 1 l <0 0 l >0 +1 lim

n!+1v_n

1 1 +1 F.I. 1 1.

l⁰<0 +1 l l⁰ 0 l l⁰ 1

0 F.I. 0 0 0 F.I.

l⁰>0 1 l l⁰ 0 l l⁰ +1

+1 1 +1 F.I. +1 +1

"

n!+1lim un

Inverse

n!lim+1un 1 l6= 0 l= 0 +1

n!lim+1

1

u_n 0 1

l F.I. 0

Quotient

Nous n’avons pas besoin d’en établir le tableau. En e¤et, il su¢ t de remarquer que un

v_n =u_n 1

v_n, d’utiliser le tableau de l’inverse pour la suite( 1

v_n)n>0 puis d’utiliser le tableau du produit.

Exemple 22

Déterminer la limite de la suite

2 5

3ⁿ n³ : 3ⁿ_n !

!+1+1=) 1 3ⁿ _n !

!+10 =) 5 3ⁿ _n !

!+10 =)2 5 3ⁿ _n !

!+12 n³_n !

!+1+1=) 1 n³ _n !

!+1+1 par conséquent lim

n!+1

2 5

3ⁿ n³ = 0

3 Limites et inégalités.

Proposition 20

Siuest une suite positive et converge versl alorsl>0:

Proposition 21

Soientuet vsont deux suites telles queu_n>v_n 8n>0:

1. Si les suitesuet vconvergent versl etl⁰ alorsl>l⁰: 2. Si la suitevtend vers+1alorsutend vers+1: 3. Si la suiteutend vers 1alorsv tend vers 1 Remarque 3

Le premier point de laproposition est absolument fausse si l’on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes.

Par exemple,

1 + 1

n>1 1

n 8n>1:

Or lim

n!+11 + 1

n = 1 = lim

n!+11 1

n et bien entendu1 1 !

6. Suites 23

Pour le second point, si la suiteutend vers+1cela n’implique absolument rien pourv:Par exemplen> 1

n. La suite (n)_n>0 tend vers+1alors que celle de droite tend vers0:

Théorème 8 (théorème d’encadrement) Soientu; v; wtrois suites telles que

8n>0; u_n6v_n6w_n:

Supposons que les suitesuetv convergent vers une même limitel:Alors la suitev converge versl:

Proposition 22

Soientuune suite convergente etv une suite tendant vers0:Alors la suite(unvn)n>0 converge vers0:

4 Outils de comparaisons

4.1 Equivalents et o

Dé…nition 32

Soientuet vdeux suites. On dit qu’au voisinage de l’in…ni 1. uest négligeable devantv et on l’écritun =

n!+1o(vn)ssi (vn6= 0 à partir d’un certain rang et lim

n!+1

un

vn

= 0) 2. uest équivalente à v et on l’écritun

n!+1vn ssi (vn6= 0à partir d’un certain rang et lim

n!+1

un

v_n = 1):

Proposition 23

Soitentuet vdeux suites.

un

n!+1vn ()un vn =

n!+1o(vn) Exemple 23

1. n⁴+n+ 3 =

n!+1o(n⁶)car n⁴+n+ 3 n⁶ = 1

n²+ 1 n⁵ + 3

n⁶ _n !

!+10

2. n²+ 1 n^{5 n}!+1

1 n³ car

n²+ 1 n⁵

1 n³

= 1

n² + 1_n !

!+11 Proposition 24

un =

n!+1o(1)ssiun_n !

!+10:

Soitlun nombre non-nul. Alors un

n!+1l ssiun_n !

!+1l u_n

n!+1u_n Siu_n

n!+1v_n alorsv_n

n!+1u_n Siun

n!+1vn etvn

n!+1wn alorsun

n!+1wn

Siun

n!+1vn alorsunsn

n!+1vnsn

Siu_n

n!+1v_n et si s_n6= 0à partir d’un certain rang alors u_n sn n!+1

v_n sn

. Siu_n

n!+1v_n etu_n>0 à partir d’un certain rang alors8 2R,u_n

n!+1v_n Siu_n

n!+1v_n alorsju_nj_n

!+1jv_nj: Théorème 9

Deux suites équivalentesuet vsont de même nature, c’est-à-dire uconverge ssiv converge et dans ce cas elles ont la même limite.

24 6. Suites

udiverge vers +1ssiv diverge vers+1. un’a pas de limite ssiv n’a pas de limite..

Théorème 10 Siu_n =

n!+1o(v_n)et si

1. la suitev tend vers0alorsutend vers0 2. junj_n !

!+1+1alorsjvnj_n!

!+1+1 Proposition 25 (Table de références. )

n =

n!+1o(n )ssi0< <

1

n =

n!+1o( 1

n )ssi0< <

(lnn) = =

n!+1o(n )8 ; >0:

n =

n!+1o(qⁿ)sijqj>1et a >0 qⁿ =

n!+1o( 1

n )sijqj<1 eta >0

Un polynome ennest équivalent à son monome de plus haut degré.

Exemple 24 n²⁰⁰² =

n!+1o(2ⁿ)et 7n¹³ 50000n¹⁰+ 10¹⁰

n!+17n¹³

4.2 Règles pour lever les indéterminations.

1. Formes indéterminées du type+1 (+1)

Pour lever une telle indétermination, on factorise le terme qui croit le plus vite en valeur absolue vers+1 2. Formes indéterminées du type 1

Pour lever une telle indétermination, on factorise le terme qui croit le plus vite en valeur absolue vers1 +1au numérateur et au dénominateur

3. Formes indéterminées du type 0

0 (resp.0 1)

Pour lever une telle indétermination, on factorise le terme qui décroit le plus vite en valeur absolue vers0au numérateur et au dénominateur (resp. on factorise dans le premier facteur le terme qui décroit le plus vite en valeur absolue vers 0et dans le second facteur le terme qui croit le plus vite en valeur absolue vers +1

Exemple 25

1. 3ⁿ 10ⁿ= 10ⁿ( ( 3

10)ⁿ+ 1)

n!+1 10ⁿ_n !

!+1 1donc 3ⁿ 10ⁿ_n !

!+1 1

2. n⁴ 10n³+ 2 3n⁴ 1 =

n⁴(1 10 n + 2

n⁴) 3n⁴(1 1

3n⁴) ^n!+1 n⁴ 3n⁴ = 1

3 donc n⁴ 10n³+ 2

3n⁴ 1 _n !

!+1

1 3:

5 Convergences de suites particulières.

Théorème 11

1. Toute suite croissante et majorée est convergente.

2. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

6. Suites 25 Remarque 4

Siuest croissante etun 658n>0alorsuconverge vers une limitel:Par contre, il est

absolument

n est croissante et majorée par5mais sa limite est2):

De même un minorant d’une suite décroissante n’est pas en général sa limite (essayez de trouvez un exemple).

Dé…nition 33

On dit que deux suitesuetv sont adjacentes ssi 1. la suite est croissante

2. la suitev est décroissante 3. lim

n!+1(u_n v_n) = 0 Théorème 12

Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

Théorème 13

La suiteuconverge versl ssi (les suites(u2n)n>0 et(u2n+1)n>0convergent et lim

n!+1u2n = lim

n!+1u2n+1=l)

26 6. Suites