Géométrie Complexe
FrançoisDEMARÇAY
Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France
« Comme le degré de liberté (nombre de dimensions) est beaucoup plus élevé au monde subjectif qu’au monde objectif, on ne peut généralement pas changer le texte original, sans changer lecontenu subjectif. »
KiyoshiOKA.
Ω
V U
p
A(D)
A(∂D)
A(Dr)
U
V
W A(Dr)
Ω
∂Ω
Z
C2
w
U z
Br
A
A
zoom
Bs
a b
∆ V
Table des matières
I. Fonctions holomorphes d’une variable complexe . . . 6
1. Introduction . . . . 6
2. Préliminaires . . . . 6
3. Formule intégrale de Cauchy et applications . . . . 7
4. Théorème d’approximation de Runge . . . . 16
5. Théorème de Mittag-Leffler . . . . 26
6. Théorème de Weierstrass . . . . 32
7. Domaines d’holomorphie en dimension1. . . . 33
8. Théorème de représentation de Riesz, Théorème de Hahn-Banach 34 9. Lemme de Schwarz . . . . 36
10. Exercices . . . . 38
II. Fonctions harmoniques . . . 40
1. Lien avec les fonctions holomorphes . . . . 40
2. Propriétés fondamentales . . . . 43
3. Problème de Dirichlet sur un disque ouvert∆⊂C. . . . 47
4. Caractérisation des fonctions harmoniques et applications . . . . 51
5. Fonctions harmoniques positives : théorèmes de Harnack . . . . 54
6. Pseudodistance de Harnack . . . . 57
7. Exercices . . . . 58
III. Fonctions sous-harmoniques . . . 61
1. Introduction . . . . 61
2. Analogie avec la théorie réelle . . . . 61
3. Fonctions semi-continues . . . . 62
4. Définition des fonctions sous-harmoniques . . . . 68
5. Principe du maximum . . . . 71
6. Principe de Phragmén-Lindelöf sous-harmonique . . . . 72
7. Critères pour la sous-harmonicité . . . . 77
8. Théorèmes de convergence . . . . 80
9. Intégrabilité des fonctions sous-harmoniques . . . . 82
3
10. Lieux polaires des fonctions sous-harmoniques . . . . 85
11. Convexité et sous-harmonicité . . . . 92
12. Régularisation des fonctions sous-harmoniques . . . . 98
13. Formule de Jensen complexe . . . . 101
14. Théorème de Hartogs sous-harmonique . . . . 107
15. Exercices . . . . 109
IV. Phénomène de Hartogs et domaines d’holomorphie . . . 114
1. Phénomène et figure de Hartogs . . . . 114
2. Fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes . . . . 123
3. Formule intégrale de Cauchy et applications . . . . 125
4. Démonstration du Théorème de Hartogs sur l’holomorphie séparée 131 5. Séries entières multiples . . . . 139
6. Domaines de Reinhardt . . . . 142
7. Phénomène de prolongement holomorphe universel automatique . . 147
8. Équation∂à support compact . . . . 150
9. Domaines d’holomorphie . . . . 154
10. Théorie de Cartan-Thullen . . . . 156
11. Enveloppes de domaines de Reinhardt . . . . 167
12. Enveloppes de domaines tubes . . . . 172
13. Enveloppes convexes d’unions finies de quadrants dansRn. . . . 176
14. Exercices . . . . 179
V. Domaines pseudoconvexes, Fonctions pluri-sous- harmoniques . . . . 181 1. Introduction . . . . 181
2. Domaines à bords lisses dansRd. . . . 181
3. Inéquation locale pour un bord de domaine dansCn. . . . 183
4. Phénomène d’extension de Levi . . . . 185
5. Champs de vecteurs et formes différentielles surRd. . . . 186
6. Champs de vecteurs et formes différentielles surCn. . . . 187
7. Espaces tangents complexes à une hypersurface réelle lisse M2n−1⊂Cn. . . . 189 8. Forme de Levi de bords lissesM =∂Ωde domainesΩ⊂Cn. . . . 190
9. Plurisousharmonicité de la fonctionz7−→ −log dist(z, ∂Ω). . . . 193
10. Pseudoconvexité de domaines à bords lisses au sens de Levi et Oka 196 11. Propriétés des fonctions plurisousharmoniques . . . . 198
12. Ouverts pseudoconvexes et enveloppes plurisousharmoniques . . . . . 202
13. Exercices . . . . 210
VI. Résolution d’équations aux dérivées partielles à coefficients constants . . . . 212 1. Rappels (sans démonstrations) sur la transformée de Fourier . . . . . 212
2. ÉquationL(u) =f. . . . 214
3. Solutions faibles . . . . 216
4. Théorème d’existence principal . . . . 220
5. Démonstration de l’estimée-clé . . . . 223
6. Exercices . . . . 229
VII. EstiméesL2de Hörmander . . . 231
1. Espaces de Hilbert à poids pour l’équation∂u=f . . . . 231
2. Théorie élémentaire des opérateurs non bornés de Von Neumann . 238 3. Un théorème d’existence abstrait . . . . 242
4. Densité en norme du graphe pour trois poids . . . . 246
5. Normes de(p, q)-formes et expression deT∗f . . . . 251
6. Inégalité fondamentale pour les(p, q)-formes . . . . 259
7. Théorèmes d’existence dans des domaines pseudoconvexes . . . . 263
8. Appendice : Sous-ensembles faiblement bornés d’un espace de Hil- bert . . . . 266 9. Exercices . . . . 268
VIII. Faisceaux . . . 270
1. Introduction . . . . 270
2. Préfaisceaux, faisceaux, et leurs morphismes . . . . 271
3. Collection des germes d’un préfaisceau . . . . 276
4. Topologie sur l’espace des germes d’un préfaisceau . . . . 278
5. Faisceautisation des préfaisceaux . . . . 282
6. Définition du concept de faisceau comme espace étalé . . . . 289
7. Exercices . . . . 292
IX. Faisceaux analytiques cohérents . . . 296
1. Définition des faisceaux cohérents . . . . 296
2. Exercices . . . . 303
X. Théorème de préparation de Weierstrass et théorème de di- vision de Stickelberger . . . . 304 1. Théorème de préparation de Weierstrass . . . . 304
2. Théorème de division de Stickelberger . . . . 310
3. Exercices . . . . 312
5
XI. Géométrie locale des hypersurfaces complexes . . . 315
1. Revêtement ramifié local associé à un polynôme de Weierstrass . . . 315
2. Exercices . . . . 320
XII. Propriétés algébriques de l’anneau localOn des germes de fonctions holomorphes . . . . 321 1. Préliminaires algébriques . . . . 321
2. Factorialité et noethérianité deOn. . . . 331
3. Exercices . . . . 312
XIII. Théorème de cohérence d’Oka . . . 339
1. Historique succinct . . . . 339
2. Énoncé . . . . 339
3. Fin de la démonstration [Erreur dans les livres] . . . . 346
4. Arguments corrects . . . . 348
5. Exercices . . . . 349
XIV. Théorie des ensembles analytiques complexes . . . 350
1. Sous-ensembles analytiques : propriétés élémentaires . . . . 350
2. Applications propres et finies . . . . 353
3. Germes d’ensembles analytiques complexes . . . . 354
4. Quotient d’un idéal premiera⊂On,0. . . . 356
5. Théorème de paramétrisation locale . . . . 364
6. Exercices . . . . 367
Fonctions holomorphes d’une variable complexe
FrançoisDEMARÇAY
Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France
1. Introduction
L’objectif de ce chapitre est de résumer efficacement la théorie élémentaire des fonctions d’une variable complexe afin de présenter quelques résultats avancés qui seront utiles au développement de la théorie des fonctions deplusieursvariables complexes.
2. Préliminaires
Soit un domaineΩ ⊂ C, à savoir un ouvert connexe, et soit une fonction de classeC1 à valeurs complexes :
f: Ω −→ C,
que l’on peut représenter graphiquement de manière schématique comme suit.
C Ω
f
On identifieC∼=R2 au plan réel, tous deux munis des coordonnées : z = x+i y,
de telle sorte quex= z+z2 ety= z−z2i .
La différentielle réelle def est définie par : df = ∂f
∂xdx+ ∂f
∂y dy.
En introduisant les notations standard :
dz := dx+i dy et dz := dx−i dy,
∂f
∂z := 1 2
∂f
∂x − i 2
∂f
∂y et ∂f
∂z := 1 2
∂f
∂x + i 2
∂f
∂y, cette différentielle peut aussi s’exprimer comme (exercice) :
df = ∂f
∂z dz+∂f
∂z dz.
3.Formule intégrale de Cauchy et applications 7
Définition 2.1. Une fonctionf ∈C1(Ω,C)est diteholomorphedansΩsi elle satisfait : 0 ≡ ∂f
∂z,
ce qui équivaut à demander quedf est proportionnelle àdz.
Souvent, la dérivée ∂f∂z est notéef0 pour abréger, et doncdf =f0dzlorsquef est holo- morphe.
La théorie élémentaire des formes différentielles réelles sur un ouvert Ω ⊂ R2 sera supposée connue. Rappelons toutefois que le produit extérieur est anticommutatif :
dx∧dy = −dy∧dx et 0 = dx∧dx = dy∧dy, ce dont découlent (exercice) :
i dz∧dz = 2dx∧dy et 0 = dz∧dz = dz∧dz.
Ainsi, après multiplication par 2i, on retrouve la mesure de Lesbesgue surR2. 3. Formule intégrale de Cauchy et applications SoitΩ⊂Cun ouvertbornédont le bord :
∂Ω = γ1∪ · · · ∪γk
consiste en un nombre fini de courbe fermées γi simples (de Jordan) de classe C1 — éventuellementC1 par morceaux. De telles courbes seront toujours orientées de telle sorte queΩse trouve ‘à gauche’ de∂Ωquand on les parcourt.
γ3
C
γ5
Ω
γ4
γ2
γ1
LaFormule de Riemann-Greenénonce alors que pour toutes fonctionsP, Qde classe C1dans un ouvert contenant la fermetureΩ = Ω∪γ1∪ · · · ∪γk, on a :
Z
∂Ω
P dx+Q dy
= Z Z
Ω
− ∂P
∂y +∂Q
∂x
dx dy.
L’énoncé est vrai plus généralement en supposantP,Qde classeC1surΩ, mais surtout, sa vraie signification géométrique s’exprime en termes grassmanniens, à l’aide de la2-forme d’airedx∧dy, plutôt qu’avec la mesure de surfacedx dydes physiciens.
En effet, la1-forme différentielle :
ω = P(x, y)dx+Q(x, y)dy
admet comme différentielle extérieure : dω = dP ∧dx+dQ∧dy
= ∂P
∂x dx
◦
+ ∂P
∂y dy
∧dx+ ∂Q
∂x dx+∂Q
∂y dy
◦
∧dy
=
− ∂P
∂y +∂Q
∂x
dx∧dy,
et donc, l’écriture mathématique adéquate du Théorème de Green-Riemann est la
Formule de Stokes bidimensionnelle.Pour toute1-formeωde classeC1sur lafermeture d’un ouvertΩ⊂C2à bordC1 par morceaux, on a :
Z
∂Ω
ω = Z Z
Ω
dω.
Ces formules, censés être connues, ne seront pas redémontrées ici.
Maintenant, après ce petit prologue tout aussi astreignant que ceux qui précèdent chaque étape du Tour de France cycliste, nous atteignons (enfin !) le point départ de ce chapitre, i.e.avecω :=f(z)dz, nous obtenons le
Lemme 3.1. Pour toute fonctionf ∈C1 Ω,C
, on a : Z
∂Ω
f dz = Z Z
Ω
df∧dz.
De plus, puisque :
df ∧dz = ∂f
∂z dz∧dz
= 2i∂f
∂z dx∧dy, ce théorème s’exprime de manière équivalente par :
Z
∂Ω
f dz = Z Z
Ω
∂f
∂z dz∧dz = 2i Z Z
Ω
∂f
∂z dx∧dy.
Corollaire 3.2. Pour toute fonction holomorphe : f ∈ C1 Ω
∩O(Ω), on a :
0 = Z
∂Ω
f dz.
En fait, le théorème le plus général et le plus utile dans la théorie élémentaire des fonc- tions holomorphes d’une seule variable complexe est le suivant, dans lequel on suppose seulement quef estC1.
3.Formule intégrale de Cauchy et applications 9
γ3
C
γ5
Ω
γ4
γ2
γ1 z
Théorème 3.3. [Cauchy-Green-Pompeiu]Pour toute fonction f ∈ C1 Ω,C
, on a en tout pointz ∈Ω:
f(z) = 1 2iπ
Z
∂Ω
f(ζ)
ζ−z dζ+ 1 2iπ
Z Z
Ω
∂f /∂ζ
ζ−z dζ ∧dζ.
Démonstration. Pour unε >0assez petit satisfaisant : ε < dist z, C\Ω
,
excisons deΩle disque fermé de rayonεcentré enzcomme sur la figure,i.e.introduisons le sous-ouvert :
Ωε :=
ζ ∈Ω : |ζ−z|> ε , dont le bord orienté ajoute à celui deΩjuste un petit cercle :
∂Ωε = ∂Ω∪
ζ: |ζ−z|=ε .
Puisque la fonctionζ 7−→ ζ−z1 est alors de classeC1 — et même holomorphe — dansΩε, le Théorème de Stokes bidimensionnel s’applique à la fonctionC1 :
ζ 7−→ f(ζ) ζ−z, et il donne ici :
Z Z
Ωε
∂f /∂ζ
ζ−z dζ∧dζ = Z
∂Ω
f(ζ) ζ−zdζ−
Z 2π 0
f z+ε ei θ i dθ.
Mais comme on se convainc aisément en coordonnées polaires que la fonctionζ 7−→ ζ−z1 est intégrable dans R2 par rapport à la mesure bidimensionnelle dζ ∧dζ sur R2, on voit que lorsqueε→0, la limite du membre de gauche tend simplement versRR
Ω, tandis que la deuxième intégraleR2π
0 du membre de droite tend vers2iπ f(z).
Rappelons qu’un sous-ensembleE ⊂ Ωd’un ouvertΩ ⊂ Cest dit relativement com- pact, ce qu’on note parfois :
E b Ω, lorsque son adhérenceE dansΩreste contenue dansΩ.
Corollaire 3.4. [Formule de Cauchy]Pour toute fonction holomorphef ∈ O(Ω)et tout disque :
Dr(z0) :=
z ∈C: |z−z0| < r b Ω
centré en un pointz0 ∈Ωet relativement compact dansΩ, on a : f(z) =
Z
∂Dr(z0)
f(ζ) ζ−zdζ.
Démonstration. L’intégrale double dans la formule de Cauchy-Green-Pompeiu s’évanouit.
Comme énoncé essentiellement réciproque du théorème, on a le :
Théorème 3.5. Étant donné une mesureµsurCà support compact, l’intégrale : u(z) :=
Z
C
1
ζ−z dµ(ζ)
définit une fonctionC∞et même holomorphe pourzvariant en dehors du support deµ.
Démonstration. Le caractèreC∞de cette fonction pourz 6∈ supp(µ)provient du fait que la fonction de deux variables :
(ζ, z) 7−→ 1 ζ−z
est clairementC∞ pourζ ∈ supp(µ)etz ∈ C\supp(µ). De plus, puisque l’on a évidem- ment :
0 ≡ ∂
∂z 1
ζ−z
lorsquez 6= ζ, l’holomorphie deudécoule de théorèmes classiques sur les intégrales dé-
pendant de paramètres.
Dans certaines références, on appelletransformée de Cauchy de la mesureµla fonction uci-dessus.
Théorème 3.6. Sous les mêmes hypothèses, dans tout sous-ouvert ω ⊂ C sur lequel la mesureµs’écrit :
dµ(ζ) = 1
2iπ ϕ(ζ)dζ∧dζ, pour une certaine fonctionϕ∈Ck(ω)aveck ∈N, la fonction :
u(z) = Z
C
1
ζ−zdµ(ζ) = 1 2iπ
Z
C
ϕ(ζ)
ζ−z dζ∧dζ est aussi de classeCksurωet elle satisfait :
∂u
∂z(z) = ϕ(z) (∀z∈ω),
lorsquek>1.
Démonstration. Supposons pour commencer queω=C. Le changement de variable invo- lutif classique des intégrales de convolution :
ζ 7−→ z−ζ donne ici :
u(z) = − 1 2iπ
Z Z
C
ϕ(z−ζ)
ζ dζ∧dζ.
Mais commeζ 7−→ 1ζ est localement intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue surR2, il est autorisé de différentier sous le signe intégral jusqu’à l’ordrek, toutes les intégrales
3.Formule intégrale de Cauchy et applications 11
obtenues étant alors continues. Ainsi, cette fonctionuestCksurCet sa dérivée par rapport àzvaut :
∂u
∂z = − 1 2iπ
Z Z
C
∂ϕ(z−ζ)
∂z 1
ζdζ ∧dζ
[Changement de variable] = 1
2iπ Z Z
C
1 ζ−z
∂ϕ(ζ)
∂ζ dζ∧dζ.
Une application du Théorème 3.3 de Cauchy-Green-Pompeiu dans lequel on remplacef parϕetΩpar un grand disque contenant le support deµdans son intérieur, de telle sorte que l’intégrale sur le bord de ce grand disque s’annule, donne alors la valeur annoncée de cette dernière intégrale double :
∂u
∂z = ϕ.
Ensuite, supposons que l’ouvertω ⊂ Cest arbitraire. Pour tout point z0 ∈ ω, on peut choisir une fonction-plateau de classeCkà support compact :
ψ ∈ Cck(ω)
égale à1dans un petit voisinageVz0 ⊂ωdez0. Posons alors : µ1 := ψ µ = 1
2iπψ ϕ dζ ∧dζ, puis :
µ2 := (1−ψ)µ,
de telle sorte queµ=µ1+µ2, et introduisons aussi les deux transformées de Cauchy : u1(z) := 1
2iπ
Z 1
ζ−z dµ1(ζ), u2(z) := 1 2iπ
Z 1
ζ−z dµ2(ζ), de somme :
u1+u2 =u.
Comme la fonctionψ ϕ ∈ Cck(C)est définie surCtout entier, la première partie de la démonstration assure queu1 ∈Ck et elle offre aussi :
∂u1
∂z = ψ ϕ, d’où en restriction au voisinageVz0 :
∂u1
∂z Vz0
= ϕ.
Mais comme dµ2(ζ) s’annule dansVz0, la fonction u2 est Ck pour z ∈ Vz0 et même holomorphe d’après le Théorème 3.5, et donc :
∂u2
∂z Vz0
= 0,
ce qui donne immédiatement la conclusion (exercice visuel).
Corollaire 3.7. Pour toute fonctionf ∈Cck(C)à supportcompactde classeCksurCavec 16k 6∞, il existe une fonctionu∈Ck(C)solution de :
∂u
∂z = f.
Démonstration. Le Théorème 3.6 qui précède s’applique sur l’ouvertω :=Cà la mesure dµ(ζ) := 2iπ1 f(ζ)dζ∧dζ. Noter queun’est pas forcément à support compact.
Les théorèmes fondamentaux qui précèdent sont assez puissants et généraux pour en- traîner aisément les résultats marquants de la théorie des fonctions à une variable complexe.
Corollaire 3.8. Toute fonction holomorphef ∈ O(Ω)est indéfiniment différentiable, i.e.
f ∈C∞(Ω), d’oùf0 ∈O(Ω)aussi.
Démonstration. Il suffit (exercice de compréhension) d’appliquer les Théorèmes 3.3 et 3.5
à des disques ouvertsD⊂ΩsatisfaisantD⊂Ω.
Des informations quantitatives plus précises sont en fait accessibles.
VK Ω
C
K
Théorème 3.9. [Inégalités de Cauchy]Pour tout sous-ensemble compactK bΩ, et pour tout voisinage ouvert :
K b VK ⊂ Ω, il existe une suite infinie de constantes(Cj)∞j=0 telles que :
sup
z∈K
f(j)(z)
6 Cj||f||L1(VK) (∀j>0), uniformément pour toute fonction holomorphef ∈O(Ω).
Démonstration. On peut supposer, quitte à le rétrécir, queVK est bordé par un nombre fini de courbes de classeC1. Choisissons alors une fonction-plateauψ ∈Cc∞(VK)avecψ = 1 dans un voisinage ouvertV0K deK. Pourf ∈O(VK), on a :
∂
∂z ψ f
=f ∂ψ∂z,
et donc le Théorème 3.3 de Cauchy-Green-Pompeiu dans lequel l’intégrale de bord s’an- nule alors donne :
f(z) = ψ(z)f(z) = 1 2iπ
Z Z
VK
f(ζ)∂ψ
∂ζ(ζ)
ζ−z dζ∧dζ (∀z∈K).
3.Formule intégrale de Cauchy et applications 13
C
V0K VK
Ω
supp∂ψ K ∂ζ
Mais comme ψ = 1 dans un voisinage ouvert VK0 ⊂ VK de K, le support de ∂ψ
∂ζ est contenu dansVK\V0K, donc avec un entier j > 0 quelconque, on déduit une majoration valable uniformément pour toutz ∈K et toutζ ∈supp∂ψ
∂ζ : 1
(ζ−z)j+1 6 1
dist(K, C\VK0 )j+1 < ∞.
Aprèsjdifférentiations (justifiées par ce contrôle uniforme !) de la formule précédente sous le signe d’intégration, on obtient :
f(j)(z) = j!
2iπ Z Z
VK\V0K
f(ζ)∂ψ
∂ζ(ζ)
(ζ−z)j+1 dζ ∧dζ (∀z∈K), donc des constantes appropriées sont par exemple :
Cj = j!
2π
∂ψ
∂z L∞(C)
1
dist(K, C\V0K)j+1 (j>0),
ce qui termine.
Théorème 3.10. [Cauchy-Montel]Si une suite (fn)∞n=1 de fonctions holomorphes fn ∈ O(Ω) converge uniformément, sur les compacts de Ω, vers une certaine fonction-limite continuef∞ ∈C0(Ω), alorsf∞ ∈O(Ω)est en fait holomorphe.
Démonstration. En appliquant les inégalités de Cauchy que nous venons d’établir aux dif- férencesfn1 −fn2, nous voyons que la suite des dérivées∂fn/∂z converge elle aussi uni- formément sur les compacts deΩ. Or comme ∂fn/∂z = 0, il vient par les équations de Cauchy-Riemann réelles (exercice de révision) que ∂fn/∂x et ∂fn/∂y convergent aussi uniformément. Doncf∞ ∈C1 et :
∂f∞
∂z = lim
n→∞
∂fn
∂z = 0,
ce qui conclut.
Théorème 3.11. [Stieltjes-Vitali]Si une suite(fn)∞n=1 ∈O(Ω)a des modules : fn
6 CK < ∞,
uniformément bornés sur tout compactK b Ω, alors il existe une sous-suite (fnk)∞k=1 =:
(gk)∞k=1 qui converge uniformément, sur les compacts deΩ, vers une fonction-limite g∞ ∈ O(Ω).
Démonstration. À nouveau, les inégalités de Cauchy garantissent que la suite des déri- vées(fn0)∞n=1 est elle aussi uniformément bornée sur les compacts deΩ. Par conséquent, la suite(fn)∞n=1 est équicontinue sur les compacts, et le Théorème d’Ascoli1 garantit l’exis- tence d’une sous-suite qui converge vers une certaine fonction-limitecontinue, dont on se
convainc (exercice) qu’elle est en fait holomorphe.
Corollaire 3.12. La somme de toute série entière :
∞
X
n=0
anzn
est holomorphe à l’intérieur de son disque de convergence.
Démonstration. La convergence est uniforme dans tout sous-disque ouvert strict.
Théorème 3.13. Si une fonctionf est holomorphe dans un disque : Dr :=
z ∈C: |z| < r
de rayonr > 0, alors elle coïncide avec son développement de Taylor infini au centre de ce disque :
f(z) =
∞
X
n=0
f(n)(0)zn n!,
la convergence de la série étant uniforme et normale sur tout sous-ensemble compactK b Dr.
Démonstration. Soient deux autres rayons auxiliaires : 0 < r1 < r2 < r, censés être proches der. Grâce à la formule de Cauchy, on a :
f(z) = 1 2iπ
Z
|ζ|=r2
f(ζ)
ζ−z dζ (∀ |z|6r1).
Mais comme on peut développer sous forme normalement convergente (exercice de révi- sion) :
1 ζ−z =
∞
X
n=0
zn
ζn+1 (∀ |z|6r1,∀ |ζ|=r2),
1. Soit (E, d)un espace métrique et soit K ⊂ E un sous-ensemble compact. On dit qu’une famille F ⊂ C0(K,C)de fonctions estrelativement compacte si, de toute suite(fn)∞n=1de fonctionsfn ∈ F, on peut extraire une sous-suite(fnk)∞k=1 =: (gk)∞k=1 qui convergeuniformémentpour la normemaxK| · |, lorsquek → ∞, vers une certaine fonction-limite continueg∞ ∈ C0(K,C). On dit queF estcompacte si toutes les fonctions-limites possibles lui appartiennent encore. Le Théorème d’Ascoli énonce alors que : Une familleF ⊂ C0(K,C)est relativement compacte si et seulement si elle satisfait les deux conditions suivantes :
[Précompacité] pour tout élémentx ∈ K, l’ensemble des valeurs
f(x) :f ∈ F est relativement compact dansC,i.e.borné ;
[Équicontinuité]
∀ε > 0 ∃δ > 0
∀x ∈ K ∀y ∈ K d(x, y) 6 δ =⇒ ∀f ∈ F
f(x)−f(y) 6 ε
.
3.Formule intégrale de Cauchy et applications 15
il suffit d’intégrer terme à terme en tenant compte de : f(n)(0) = n!
2iπ Z
|ζ|=r2
f(ζ) ζn+1dζ,
pour conclure (exercice).
Corollaire 3.14. [Principe d’unicité]Si une fonction holomorphef ∈ O(Ω) a toutes ses dérivées nulles :
f(n)(z0) = 0 (∀n∈N)
en un pointz0 ∈ Ωd’un ouvertconnexe Ω ⊂ C, alorsf est identiquement nulle dansΩ tout entier.
Démonstration. Le sous-ensembleΩ◦ des pointsz ∈ Ωen lesquels toutes les dérivées de fs’annulent, non vide par hypothèse, est trivialement fermé. Mais il est aussi ouvert, grâce au théorème de développabilité locale en série entière. CommeΩest connexe,Ω◦ = Ω.
Corollaire 3.15. Si une fonctionf non identiquement nulle est holomorphe dans un disque Dr={z ∈C: |z|< r}, alors il existe un unique entierk =kf >0et une unique fonction g ∈O(Ω)avecg(0) 6= 0tels que :
f(z) = zkg(z).
Démonstration. Développerf en série entière et factoriser par la puissance maximale pos-
sible dez.
Théorème 3.16. Si une fonctionf est holomorphe dans un disque ouvert non vide : Dr(z0) :=
z∈C: |z−z0| < r (r >0), et si elle satisfait pour toutz ∈Dr(z0):
f(z) 6
f(z0) , alorsf est constante dansDr(z0).
Démonstration. On peut supposer quef(z0)6= 0. Puisque l’on a par la formule de Cauchy pour tout0< ρ < r:
f(z0) = 1 2π
Z 2π 0
f z0+ρ ei θ dθ, il vient après réorganisation :
0 = Z 2π
0
1− f(z0+ρ ei θ) f(z0)
dθ.
Or l’hypothèse implique que la partie réelle de l’intégrande est toujours> 0, et qu’elle ne s’annule que lorsquef(z0+ρ ei θ) = f(z0). Ceci permet de conclure.
Corollaire 3.17. [Principe du Maximum] Soit Ω ⊂ C un domaine borné, et soit une fonction holomorphe :
f ∈ O(Ω)∩C0 Ω qui est continue jusqu’au bord :
∂Ω := Ω Ω.
Alors le maximum de son module est atteint sur le bord :
max
z∈Ω
f
= max
z∈∂Ω
f .
Démonstration. Si le maximum est atteint en un point intérieur z0 ∈ Ω, le théorème qui précède implique que f est localement constante, donc constante partout puisque Ω est connexe (exercice mental), et alors le maximum est atteint partout.
Corollaire 3.18. [Principe d’unicité au bord] Sur un domaine borné Ω b C, si deux fonctions holomorphes continues jusqu’au bord :
f, g ∈ O(Ω)∩C0 Ω coïncident au bord :
f
∂Ω = g ∂Ω,
alors elles sont identiquement égalesf =g dansΩ.
Enfin, voici un dernier rappel élémentaire.
Théorème 3.19. [Riemann]Si une fonction est holomorphe et localement bornée au voi- sinage d’un pointz0 ∈Ω:
f ∈ O Ω\{z0}
∩L∞loc(Ω), alors elle se prolonge holomorphiquement à travers ce point.
Démonstration. Soit la fonction : g(z) :=
((z−z0)2f(z) pour z 6=z0,
0 pour z =z0.
Sa dérivée enz =z0 est nulle : g0(z0) = lim
z→z0
(z−z0)2f(z)−0
z−z0 = lim
z→z0
(z−z0)f(z) = 0,
puisquef est bornée au voisinage dez0. Commef est holomorphe en tout point z 6= z0, cette fonctiongest doncC-dérivable entoutpoint deΩ. Par définition de l’holomorphie,g est ainsi holomorphe dansΩ.
Par conséquent, dans un disque ouvert centré en z0, elle admet un développement en série entière convergente :
g(z) = g0 +g1(z−z0) +g2(z−z0)2+g3(z−z0)3+· · · ,
dont les deux premiers coefficientsg0 =g(z0) = 0etg1 =g0(z0) = 0s’annulent. Donc la fonction :
f(z) = g(z)
(z−z0)2 = g2+g3(z−z0) +· · ·
est bel et bien holomorphe autour dez0.
4. Théorème d’approximation de Runge
Grâce au Théorème 3.13 de développabilité locale en série entière, on voit (exercice) que toute fonction qui est holomorphe dans un disque ouvert non vide peut être approximée uniformément par des polynômes sur tout sous-disque strict. Un théorème beaucoup plus général est le suivant, qui se spécifie à l’approximation polynomiale lorsqueΩ = C, mais qui, dans le cas général, ‘découvre’ une caractérisation topologique nette et frappante.
4.Théorème d’approximation de Runge 17
Ω
C
K
K
K
Théorème 4.1. [Runge] Étant donné un ouvert Ω ⊂ C et un sous-ensemble compact K bΩquelconque, les trois conditions suivantes sont équivalentes.
(i) Toute fonction qui est holomorphe :
f ∈ O VK
dans un voisinage ouvert VK de K peut être approximée uniformément sur K par des fonctions holomorphes dansΩ:
∀ε > 0 ∃g =gε ∈ O(Ω) max
z∈K
f(z)−gε(z) 6 ε.
(ii) L’ouvert :
Ω
K = Ω∩ C K
ne possède aucune composante connexeωqui est relativement compacte dans Ω, à savoir dont la fermetureωdansC2 est bornée et satisfaitω ⊂Ω.
(iii) Pour tout pointz ∈Ω\K, il existe une fonctionf =fz ∈O(Ω)telle que : fz(z)
> max
K |fz|.
La condition topologique(ii)mérite d’être éclairée.
Lemme 4.2. Le bord∂ω de toute composante connexeωdeΩ\Ksatisfait :
∂ω ⊂ ∂Ω∪K.
En particulier, siω =ω∪∂ω ⊂Ω, alors :
∂ω ⊂ K.
Démonstration. Si ζ ∈ ∂ω est un point quelconque, il existe une suite (zn)∞n=1 de points zn∈ω ⊂Ω\K telle quezn −→
n→∞ζ pour la topologie métrique deC2. Alors on a : ζ 6∈ Ω\K,
sinon, Dε(ζ) ⊂ Ω\K pour un ε > 0, d’où zn ∈ Dε(ζ) pour n > Nε 1, donczn ∈ Dε(ζ)⊂ω, contredisantζ ∈∂ω.
Ainsi, on a :
ζ ∈ C
Ω\K
= C\Ω
∪K,
et comme il est clair queζ ∈Ω, il vient : ζ ∈
C\Ω
∪K
∩Ω = ∂Ω∪K,
et —darling ! — c’est tout à fait le bijou qu’il te fallait ! Après la démonstration du Théorème 4.1, nous établirons que(ii)équivaut à une hypo- thèse topologique exprimant en quelque sorte que :
«Chaque trou deKdansΩcontient au moins un trou deΩdansC∪ {∞},» laquelle s’exprime plus rigoureusement sur la sphère de RiemannC∪ {∞}comme suit.
(ii’) Pour toute composante connexeωdeΩ\K, siω0 est l’unique composante connexe de C∪ {∞}
K contenantω, alors :
ω0\ω 6= ∅.
Autrement dit, on «remplit» la composante connexeω deΩ\K dans C∪ {∞}
K, et le résultat,ω0 doit contenir au moins un pointhorsdeΩ. Se rapporter à la figure aide à construire une représentation mentale.
Un cas spécial unique se produira : celui d’une composante connexe ω de Ω\K qui est non bornée et satisfait simultanément ω ⊂ Ω, cas spécial où ω = ω\∞0 s’identifiera nécessairement à la composante connexe non bornée ω\∞0 de C\K, ce qui forcera Ω à contenir cette composante, mais alors sur la sphère de Riemann, la composante connexe ω0 :={∞} ∪ω0\∞contiendra bien un point hors deω(voirles détails dans l’Assertion 4.8).
Dans le cas spécifique intéressant oùΩ = C, les polynômes sont denses dans l’espace O(C)des fonctions holomorphe entières, et le théorème de Runge devient le :
Corollaire 4.3. Toute fonction qui est holomorphe dans un voisinage d’un compactK bC peut être approximée uniformément surKpar despolynômessi et seulement si l’ouvert :
C K
estconnexe.
Démonstration. Puisque Ω = C, les composantes connexes ω de Ω\K et ω0 de C\K coïncident. L’unique composante connexe non bornée de Ω\K ne compte pas, tandis que chaque autre composante connexeω deC\K — nécessairement bornée ! — satisfait ω ⊂ Ω = C, donc constitue une obstruction à l’approximation, d’après l’équivalence (i)
⇐⇒(ii).
Démonstration du Théorème 4.1 de Runge. Nous allons d’abord établir les contraposées des deux implications :
(iii) =⇒ (ii) et (i) =⇒ (ii).
Supposons donc que(ii)n’est pas satisfaite, à savoir queΩ\Kpossède une composante connexeωd’adhérence compacte :
ω b Ω.
Alors nécessairement grâce au Lemme 4.2 :
∂ω ⊂ K,
4.Théorème d’approximation de Runge 19
et le principe du maximum implique pour toute fonctionf ∈O(Ω):
maxω |f| = max
∂ω |f| 6 max
K |f|, (4.4)
ce qui est l’opposé (la négation) de(iii).
Ensuite, toujours en supposant l’opposée de(ii), si, en raisonnant par l’absurde, l’oppo- sée de(i)n’était pas satisfaite,i.e.si(i)était vraie, pour toute fonctionf holomorphe dans un voisinage ouvert deK, on pourrait trouver une suite de fonctions :
fn∞
n=1 ∈ O(Ω)
telle que fn −→ f uniformément sur K. Mais alors l’inégalité de contrôle du maxi- mum (4.4) ci-dessus garantirait que fn converge aussi vers une certaine limite F conti- nue surω, qui serait holomorphe dans ω par le Théorème 3.10 de Cauchy-Montel. Bien entendu, on aurait aussi :
F
∂ω = f.
Toutefois, comme on pourrait choisir :
f(z) := 1 z−ζ0 avec un point quelconquez0 ∈ω, on déduirait que :
z−ζ0 F(z)
∂ω
≡ 1, et donc par principe d’unicité au bord (Corollaire 3.18) :
z−ζ0
F(z) ≡ 1,
pourtoutz ∈ω. Mais ceci est radicalement impossible pourz=ζ0!
Maintenant, nous pouvons entamer l’implication principale(ii)=⇒(i). À cet effet, grâce au Théorème de Hahn-Banach, il suffit d’après les rappels de la Section8, de montrer que toute mesureµsurKqui est orthogonale àO(Ω), à savoir qui satisfait :
0 = Z
K
f(z)dµ(z) (∀f∈O(Ω)),
est aussi orthogonale à toutes les fonctions qui sont holomorphes seulement dans un voisi- nage deK :
0 = Z
K
g(z)dµ(z) (∀g∈O(VK)). Introduisons alors la fonction convolant la mesureµavec le noyau de Cauchy :
ϕ(z) :=
Z
K
1
ζ−z dµ(ζ),
définie pourz ∈C\K et holomorphe dansC\K, d’après le Théorème 3.5.
Assertion 4.5. On aϕ(z)≡0dansC\Ω.
Preuve. En effet, pourz∈C\Ωfixé, le noyau de Cauchy : ζ 7−→ 1
ζ−z
est une fonction appartenant à O(Ω), donc par hypothèse d’orthogonalité µ⊥O(Ω), il vient :
0 = ϕ(z) (∀z∈C\Ω),
ce qui aurait pu être considéré comme clair sans nécessité d’explicitation.
Assertion 4.6. On aϕ(z)≡ 0dans l’unique composante connexe non bornée de l’ouvert C\K.
Précisément, cette composante connexe est celle qui contient le complémentaire d’un grand disque fermé contenantK.
Preuve. Soit un pointz ∈C\K fixé avec :
|z| > 2max
ζ∈K|ζ|.
Alors on peut développer en série entière normalement convergente : ϕ(z) =
Z
K
1/z
ζ
z −1dµ(ζ) = −
∞
X
n=0
1 zn+1
Z
K
ζndµ(ζ)
◦
,
et déduire l’annulationϕ(z) = 0, puisque les fonctions-monômesζ 7−→ζnappartiennent à O(Ω). Par prolongement analytique,ϕ= 0dans l’unique composante connexe non bornée
deC\K.
Assertion 4.7. On aϕ(z)≡0dansC\K.
Démonstration. Soitωune composante connexe quelconque deC\K.
• Si ω ∩ (C\Ω) 6= ∅, alors l’Assertion 4.5 et le principe du prolongement analytique donnentϕ|ω ≡0.
• Si ω est non bornée, à savoir non contenue dans un disque assez grand, c’est l’Asser- tion 4.6 qui prend le relai pour donner aussiϕ|ω ≡0.
Il reste à considérer l’éventualité d’une composante connexeωdeC\K ne rentrant dans aucun de ces deux cas :
ω∩(C\Ω) = ∅ et ω bornée.
Si ω satisfaisait ces deux conditions, alors ω ⊂ Ω, d’où ω ⊂ Ω\K, et puisque ω est connexe,ωdevrait être une composante connexedeΩ\K. De plus,ω⊂Ωimplique :
∂ω ⊂ ∂ω∪ω = ω ⊂ Ω = Ω∪∂Ω.
Comme l’hypothèse topologique(ii)est satisfaite, on ne peut avoir ω ⊂ Ω, i.e.on ne peut avoir∂ω ⊂Ω, d’où en tenant compte de ce qui vient d’être vu :
∂ω∩∂Ω 6= ∅.
Or ceci est exclu, car un disque ouvertDε(z)de rayonε > 0assez petit centré en point z ∈ ∂ω∩∂Ωserait contenu dans C\K puisqueK est compact dans Ω, et il contiendrait des points deω, donc un tel disque serait en fait entièrement contenu dansω, parce queω était une composante connexe deC\K, contredisantz ∈∂ω.
En conclusion, toutes les composantes connexesωdeC\K rentrent dans l’un des deux cas ci-dessus, lieux où l’on saitϕ≡0, doncϕ≡0partout dansC\K.
4.Théorème d’approximation de Runge 21
Maintenant, afin d’atteindre (i), soit une fonctionf ∈ O(VK)qui est holomorphe dans un voisinage ouvert VK de K, que l’on peut supposer, quitte à le rétrécir, bordé par un nombre fini de courbesC1. Choisissons une fonction-plateauψ ∈Cc∞(VK)valant1sur un certain voisinage ouvertVK0 deKavec :
K ⊂ V0K b VK, donc valant0sur∂VK, avec de plus :
supp∂ψ
∂ζ ⊂ VK V0K.
Grâce au Théorème 3.3 de Cauchy-Green-Pompeiu, on a pour toutz ∈K : f(z) = ψ(z)f(z)
= 1 2iπ
Z
∂VK
f(ζ)ψ(ζ) ζ−z dζ
◦
+ 1 2iπ
Z Z
VK\V0K
f(ζ)∂ψ(ζ)/∂ζ
ζ−z dζ∧dζ.
Alors en intervertissant de manière justifiée l’ordre d’intégration entre une intégrale simple et une intégrale double, on obtient l’annulation :
Z
K
f(z)dµ(z) = 1 2iπ
Z
K
Z Z
VK\V0K
f(ζ)∂ψ(ζ)/∂ζ
ζ−z dζ∧dζ
dµ(z)
= 1 2iπ
Z Z
VK\V0K
Z
K
1
ζ−z dµ(z)
| {z }
=−ϕ(ζ) = 0dansC\K
f(ζ)∂ψ(ζ)
∂ζ dζ∧dζ
= 0,
qui montre bien queµest orthogonale àf, ce qui donne(i)grâce à Hahn-Banach.
Pour terminer, vérifions que (ii) =⇒ (iii). En supposant donc (ii), soit z ∈ Ω\K, et choisissons un disque ferméDr centré enz de rayonr > 0assez petit pour queDr(z) ⊂ Ω\K. Alors les composantes connexes de :
Ω
K ∪Dr
sont les mêmes que celles de Ω\K, à ceci près que le disque Dr a été excisé de l’une d’entre elles. Ainsi, le nouveau compact K ∪Dr vérifie encore la condition topologique (ii). Comme on a déjà établi l’équivalence avec (i), la fonction qui vaut 0 dans un petit voisinage ouvert deK et qui vaut 1 dans un petit voisinage ouvert de Dr peut donc être approximée uniformément surK∪Drpar des fonctions appartenant àO(Ω). Donc on peut trouverf ∈O(Ω)satisfaisant :
|f| < 12 dans K et f −1
< 12 dans Dr,
et ceci donne(iii).
Démonstration de l’équivalence(ii)⇐⇒(ii’). Partons de(ii). Toute composante connexe ωdeΩ\Ksatisfait alors :
ω est non borné ou ω6⊂Ω,
ces deux circonstances n’étant pas exclusives.
Dans la deuxième, on a∂ω6⊂Ω, mais comme le Lemme 4.2 a fait voir que∂ω ⊂∂Ω∪K et commeK ⊂Ω, il vient :
∂ω∩∂Ω 6= ∅.
Soit donc un pointζ ∈ ∂ω∩∂Ω. Commedist(K, ∂Ω)>0, il existeε >0assez petit pour que :
Dε(ζ) ⊂ C\K.
Si donc ω0 est l’unique composante connexe de C\K qui contient ω, nous obtenons Dε(ζ)⊂ω0, et puisqueζ ∈∂Ω, il existe une suite de points :
wn0 ∈ C\Ω
∩Dε(ζ) (n>1),
avecw0n −→
n→∞ζ, ce qui montre que(ii’)est satisfaite.
Il ne reste plus qu’à examiner lecas spéciald’une composante connexeωdeΩ\K qui n’entre pas dans ce raisonnement, à savoir qui satisfaitω ⊂Ω, donc doit être non bornée.
Assertion 4.8. Alorsω =ω\∞0 coïncide avec la composante connexe non bornée deC\K. Démonstration. En effet, soitR >maxz∈K|z|. Commeωest non bornée, il existe un point z0 ∈ ω∩ C\DR
. Le Lemme 4.2 a fait voir que∂ω ⊂ ∂Ω∪K, d’où∂ω ⊂ K puisque ω⊂Ω, donc∂ω∩ C\DR
=∅, ce qui montre que : ω ⊃ C
DR.
À nouveau parce que∂ω ⊂ K, cette composante connexe ω doit contenir la composante connexe non bornéeω0\∞ deC\K, et comme l’inclusionω ⊂ ω\∞0 est triviale, nous obte-
nons bienω =ω\∞0 .
Comme anticipé dans les commentaires explicatifs qui suivaient l’énoncé du Théo- rème 4.1 de Runge, puisque ω0 := {∞} ∪ω\∞0 est la composante connexe de {∞}dans
C∪ {∞}
K, le point{∞} ∈ω0\ωmontre que(ii’)est satisfaite y compris dans ce cas spécial.
La réciproque(ii’)=⇒(ii)est implicite dans les raisonnement qui précèdent (exercice).
Le Théorème de Runge justifie l’introduction d’un concept qui va s’avérer être absolu- ment central dans la théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes.
Définition 4.9. Dans un domaine Ω ⊂ C, étant donné un compact arbitraire K b Ω, l’enveloppe holomorphedeK est le sous-ensemble :
KbO(Ω) := n
z ∈Ω : f(z)
6 max
K |f| pour toute f ∈O(Ω)o ,
qui contientK. Cette définition s’applique aussi à un sous-ensemble arbitraireE ⊂Ω. On abrège souventKb ouE.b
CommeO(Ω)⊂C0(Ω), de telles enveloppesKb ouEbsont toujours fermées dansΩ. De plus, la compacité est préservée à cause du lemme suivant, propriété qui ne sera absolument plus satisfaite dans certains domainesΩ⊂Cnavecn >2.
Lemme 4.10. L’enveloppe de tout compactK bΩreste à distance>0du bord : 0 < dist K, C\Ω
= dist KbO(Ω), C\Ω .
4.Théorème d’approximation de Runge 23
Démonstration. CommeK ⊂Kb, il suffit d’établir l’inégalité ‘6’.
Pour toutζ ∈C\Ωquelconque fixé, on a :
dist K, C\Ω
6 z∈Kmin|z−ζ|.
Clairement, la fonction z 7−→ z−ζ1
Ω est holomorphe dans Ω. Si donc w ∈ KbO(Ω) est un point quelconque, cette fonction permet d’estimer :
1
|w−ζ| 6 max
z∈K
1
|z−ζ|
= 1
z∈Kmin|z−ζ|
6 1
dist(K,C\Ω), d’où par inversion :
dist(K,C\Ω) 6 |w−ζ| (∀ζ∈C\Ω,∀w∈K)b ,
ce qui prouve l’inégalité ‘6’.
Corollaire 4.11. L’enveloppeKb de tout compactK bΩest aussi compacte.
En choisissantf(z) = eazpour des constantesa∈C, on voit aussi (exercice) que : KbO(Ω) ⊂ enveloppe convexe deK.
De plus, on se convainc aisément que : bb
K = K.b
Ainsi, pour tout compact K ⊂ Ω, son enveloppe holomorphe KbO(Ω) est un sous- ensemble compact contenantK qui vérifie les hypothèses du théorème d’approximation de Runge.
Un corollaire du Théorème 4.1 de Runge mérite d’être mis en exergue.
Proposition 4.12. L’enveloppe d’un compactK bΩvaut : KbO(Ω) = K ∪ [
ω⊂Ω\K composante connexe
avecωbΩ
(4.13) ω.
Démonstration. Soit un ouvert connexeω ⊂Ω\Kavecω bΩ, d’où∂ω ⊂K. Le principe du maximum appliqué surωà toute fonctionf ∈O(Ω):
max
ω |f| = max
∂ω |f| 6 max
K |f|, montre facilement que tout pointz ∈ωest dansKbO(Ω).
Ainsi :
KbO(Ω) ⊃ K∪ [
ω⊂Ω\K composante connexe
avecωbΩ
ω
| {z }
=:K0
.
Or ceK0est fermé et contenu dans le compactKbO(Ω), donc il est compact.
De plusper definitionem,Ω\K0n’a plus aucune composante connexe relativement com- pacte dansΩ. Nous pouvons donc appliquer le Théorème 4.1 de Runge(iii), qui, pour tout z ∈Ω\K0, fournit alors une fonctionf ∈O(Ω)satisfaisant :
|f(z)| > max
K0 |f| > max
K |f|, d’oùz 6∈ Kb, ce qui donneΩ\K0 ⊂ Ω
K, à savoir l’inclusion inverse conclusiveb K0 ⊃
K.b
Des arguments purement topologiques permettent aussi retrouver la compacité de l’en- veloppe d’un compact.
Théorème 4.14. Soit E un sous-ensemble quelconque d’un domaine Ω ⊂ C. Alors les deux propriétés suivantes sont satisfaites par son enveloppe holomorpheEb =EbO(Ω): (i)E est fermé=⇒Ebest fermé ;
(ii)E est compact=⇒Ebest compact.
Démonstration. (i)SoientCj toutes les composantes connexes deΩ\E, pourj ∈J variant dans un certain ensemble d’indices. PuisqueΩ\E est ouvert, elles sont ouvertes. Si donc on introduit le sous-ensemble d’indices :
Jc:=
j ∈J: Cj bΩcompacte , où la fermeture est prisedansΩ, on a par (4.13) :
Ω
Eb = [
j∈J\Jc
Cj.
Clairement, cette réunion d’ouverts est un ouvert, doncEbest bien fermé dansΩ.
(ii)On peut supposer queE 6=∅. SoitV=VE un voisinage ouvert deE: E ⊂V,
de fermeture V ⊂ Ωcompacte, et introduisons à nouveau les composantes connexes ou- vertesCj deΩ\E, avecj ∈J.
Assertion 4.15. ChaqueCj intersecteV.
Preuve. Sinon, si l’une d’entre elle, disonsCj0, était entièrement contenue dansΩ
V, alors on aurait en prenant son adhérence :
Cj0 ⊂ Ω\V ⊂ Ω\E.
Mais souvenons-nous (Exercice 2) que l’adhérence d’un ensemble connexe dans un espace topologique quelconque est toujours connexe. Ainsi,Cj0 ⊃ Cj0 est aussi connexe. Mais puisqueCj0 est une composante connexe deΩ\E, cette inclusionCj0 ⊂Ω\Eimpliquerait queCj0 =Cj0, doncCj0 =Cj0 = Ωà cause de la connexité deΩ, en contradiction avec la
suppositionE 6=∅.
Assertion 4.16. Seulement un nombre fini deCj intersectent∂V.
Preuve. En effet, le bord :
∂V ⊂ Ω\E =
∪
j∈JCj
est compact et il est recouvert par les ouverts disjoints Cj, donc via Borel-Lebesgue un
recouvrement fini existe sans extraction.
4.Théorème d’approximation de Runge 25
Nous pouvons maintenant achever la démonstration de(ii). Nous savons que : Eb = E∪ [
j∈Jc
Cj,
mais dans cette réunion infinie, la compacité pourrait être perdue ! Introduisons alors :
Cj1, . . . , Cjm (j1, ..., jm∈Jc)
les composantes, en nombre fini, qui à la fois intersectent∂V et sont relativement com- pactes. Grâce aux deux assertions qui précèdent, toutes les autres composantes relativement compactes :
Cj avec j ∈Jc et j 6=j1, . . . , jm,
sont alors nécessairement entièrement contenues dansV — là est le point-clé de l’argu- ment !
En effet, le compactVenferme alors ces composantes en nombre éventuellement infini : Eb = E [
j∈Jc
Cj
= E [
j∈Jc Cj⊂V
Cj [
j∈Jc Cj∩∂V6=∅
Cj
⊂E
∪
V∪
Cj1 ∪ · · · ∪Cjm⊂ V [
Cj1 ∪ · · · ∪Cjm,
doncEbest compact.
Définition 4.17. Un compact K b Ωd’un domaine Ω ⊂ C est dit holomorphiquement convexelorsque :
KbO(Ω) = K.
Grâce à de tels remplissages topologiques qui rendent holomorphiquement convexes les compacts, on peut démontrer l’énoncé suivant, très utile aussi dans la théorie des surfaces de Riemann.
Théorème 4.18. [Exhaustion par des compacts holomorphiquement convexes] Dans tout ouvert Ω ⊂ C, il existe une suite (Kj)∞j=1 de sous-ensembles compacts Kj ⊂ Ω satisfaisant :
(i)Kj =Kcj pour toutj >1; (ii)Kj ⊂IntKj+1pour toutj >1; (iii)S∞
j=1 Kj = Ω.
Démonstration. Pour tout entierj >1, introduisons les sous-ensembles deΩ: Kj0 :=
z ∈Ω : |z|6j et dist(z, C\Ω)> 1j .
Ils sont compacts, emboîtésKj0 ⊂ IntKj+10 et remplissent Ω = ∪Kj0 — mais ils ne sont pas nécessairement holomorphiquement convexes !
Posons alors :
K1 := Kc10,
