MMI - TD Calcul différentiel

(1)

Polytech’Montpellier STE3

1

MMI - TD

Calcul différentiel

Sauf mention contraire, on se place dans R³ -resp. R²- et on note

( )

ⁱ^r^,^r^j^,^k^r ^-resp.

( )

ⁱ^r^,^r^j ^{- la base}

orthonormée associée aux coordonnées cartésiennesx,y,z -resp. x,y. 1- Calculer le Jacobien des applications :

a) ^f

( )

^x^,^y ⁼

(

²^x² ⁺^y²^,^exp(^x⁺²^y⁾

)

b) ^f

( ) (

^r^,θ = ^r^cosθ^,^r^sinθ

)

- coordonnées polaires

c) ^f

(

^r^,^ϕ^,^θ

) (

⁼ ^r^sin^ϕ^cos^θ^,^r^sin^ϕ^sin^θ^,^r^cos^ϕ

)

- coordonnées sphériques

2- Etudier la continuité, la Gâteaux-différentiabilité et la différentiabilité de l’application

( ) ( ) ( )

( )





 ≠

+

0 0 , 0

0 , 0 ,

: , ² ²

2 2

a

a si x y

y x

y y x

f x

en (0,0).

3- Déterminer si les différentielles suivantes sont exactes. On déterminera la primitive f lorsqu’elle existe.

a - ^df ⁼

(

^x²⁺ ^y⁺^z

)

^dx⁺

⁽

^x^exp^z

⁾

^dy⁺ ^x⁺^y⁺^z ^dz

b - ^df ⁼

(

^exp^x² ⁺²^y⁺^z

)

^dx⁺²^x^dy⁺

(

^z ⁺^x

)

^dz

c – ^df ⁼

(

^ln^x⁺²^y⁺³^xz

)

^dx⁺²⁽^x⁺¹⁾^dy⁺

(

^z ⁺^x²

)

^dz

4- On considère l’application de R² dans R: ^f

( )

^x^,^y ⁼²^x²⁺ ^y². Déterminer les quantités :

a - (1,0), (0,1), ( 1,0), (0,−1)

∂

− ∂

∂

∂ f

i f f

i f i

fr r r r

b - (1,0), (0,1), ( 1,0), (0,−1)

∂

− ∂

∂

∂ f

j f f

j f j

f r r r

r

c - (1,1)

) 2 2 ), ( 1 , 1 )( ), (

1 , 1 ( ), 1 , 1

( i j

f j

i f j

f i

fr r r r r r

+

∂

∂ +

∂

d - (1,1),

( )

1,1, df1,1

y f x

f

∂

5- On considère la fonction ^g

( )

^x ^y ^x ^y ^xy

2 3 4

7 4

, =5 ² + ² + et on note ^g

( )

^x^,^y =^h⁽^x^'^,^y^'⁾ avec ⁽^x^'^,^y^'⁾⁼ ¹₂

(

^x⁺ ³^y^,⁻ ³^x⁺ ^y

)

a) Reprendre les questions de l’exercice précédent avec la fonction ^{g ,}

( )

^x ^y ^.

b) Reprendre les questions de l’exercice précédent avec la fonction ^h

(

^x^{' y}^, ^'

)

c) Exprimer (1,1),

( )

1,1, dg1,1

y g x

g

∂

∂ en fonction de dh

y h x

h ,

, ' ' ∂

∂

∂ et vérifier la cohérence des résultats obtenus.

(2)

Polytech’Montpellier STE3

2

6- On considère les applications

( )

x y z x z z y x

f , , =ln + +2 et

( )

2

1 1 1

) 1

ln( t

e t t t

t

g ^t

+ + + + + +

= . Calculer successivement :

a) la dérivée de g en 0, b) la différentielle de f,

c) la dérivée de la fonction ^g⁽^t⁾⁼ ^f

(

¹⁺^t²^,^e^t^/²^,¹⁺^t

)

en t=0. Vérifier la cohérence des résultats.

7- Soit la fonction ^f

(

^x^,^y^,^z

)

⁼^x² ⁺³^y²⁺^z. On pose ^f

(

^x^,^y^,^z

)

= ^g⁽^r^,ϕ^,θ⁾^{où les} variables ^r^,ϕ^,θ ^sont ^les coordonnées sphériques définies par

ϕ θ

ϕ^cos ^, ^sin ^sin ^, ^cos

sin y r z r

r

x= = = .

a) Calculer les quantités

θ ϕ ∂

∂

∂ g g

r

g, , en utilisant les formules de changement de

coordonnées liant ces quantités à

z f y f x f

∂

∂ , ,

b) Retrouver les résultats du a) en formant les dérivées partielles de la fonction g directement. Vérifier la cohérence des résultats

c) Calculer la dérivée r g

∂

∂ au point A de coordonnées cartésiennes (1,1,1)

8- Un bateau-sonde se déplace à suivant une trajectoire en spirale sur une étendue d’eau.

On note x(t) et y(t) les coordonnées cartésiennes du bateau à l’instant t et C(t) la concentration en nitrates mesurée par le bateau à l’instant t. On se donne :

rad/s 02 . 0 et m/s 01 . 0 ),

sin(

) (

) cos(

) (

0 0

0

0 = =





=

= ω ω

ω V

t t

V t x

t t

V t

x . Par ailleurs, le signal de

concentration obtenu par le bateau peut être représenté analytiquement par : .

s 0.01 et

s 300

mol/m3, 01

. 0 ),

( exp(

)

(t =C₀ −a t−t_max C₀ = t_max = a= ^-1

C

a) Calculer la vitesse du bateau

b) Calculer les dérivées spatiales de la concentration, en coordonnées polaires. On supposera que la concentration ne dépend que de la distance à la position d’origine du bateau. Pourquoi une telle hypothèse est-elle nécessaire ?

c) Déterminer la fonction ^g(^r,θ) qui représente la concentration en fonction des coordonnées polaires. A quelle distance de l’origine r_max se situe la zone de pollution maximale ? A quelle distance trouve-t-on une pollution 5 fois inférieure à la pollution à l’origine ?

d) On note f(x,y) la fonction qui représente la concentration en fonction des coordonnées cartésiennes. Déterminer (r_max,0)

x f

∂

∂ , (r_max,0) y

f

∂

∂ et (r_max,r_max) x

f

∂

e) Un autre bureau d’étude réalise des mesures sur le même site à l’aide d’un bateau sonde suivant une trajectoire sinusoïdale :

rad/s 01 . 0 et m/s 01 . 0 ), sin(

) ( , )

(^t =^V₀^t ^y ^t =^V₀^t ω₁^t ^V₀ = ω₁ =

x . Quel bateau-

sonde donne la plus forte concentration à l’instant t=200 s ? Lequel enregistre- t-il les plus fortes variations de concentration au même instant ? Lequel est-il situé dans la zone de plus fortes variations en concentration ?