NOM : ____________________ Devoir de Mathématiques n°Devoir de Mathématiques n°Devoir de Mathématiques n°Devoir de Mathématiques n°7777 TS4 Ex1
Ex1Ex1
Ex1.... (3 points)
ABCD est un tétraèdre.
E, F et G sont trois points appartenant respectivement aux arêtes [AD], [AB] et [AC].
I, J et K sont les points d'intersection respectifs des droites (EG) et (DC), (EF) et (DB), (GF) et (BC).
1. Compléter la figure en plaçant les points I, J et K.
2. Démontrer que les points I, J et K sont alignés.
8 = (:;) ∩ (=>) donc
I appartient à l'intersection des plans (EGF) et (BCD).
@ = (:A) ∩ (B=) donc
J appartient à l'intersection des plans (EFG) et (BCD)
Les deux plans (BCD) et (EFG) sont sécants suivant la droite (IJ).
Or K=(FG)∩ (B>) donc K appartient aussi à l'intersection des plans (EFG) et BCD).
K appartient donc à la droite (IJ) donc les points I, J et K sont alignés.
Ex2 Ex2Ex2
Ex2.... (4,5 points)
ABCDEFGH est un cube.
Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [AE] et [HG].
On se propose de construire le point
d'intersection de la droite (IJ) et du plan (BHF).
1. Construire l'intersection du plan (BIJ) et de la droite (EF).
(BI) et (EF) sécantes donc l'intersection de la droite (EF) et du plan (BIJ) est le point R, intersection de (BI) et (EF).
2. Construire l'intersection du plan (BIJ) et de la droite (HF). R et J sont deux points du plan (BIJ) et du plan (EFG).
(RJ) et (HF) sont sécantes en un point S qui est l'intersection du plan(BIJ) et de la droite (HF)
3. Construire l'intersection des plans (BIJ) et (BHF). Il s'agit de la droite (BS) car B et S sont deux points communs des plans (BIJ) et (BHF)
4. En déduire la construction du point d'intersection de la droite (IJ) et du plan (BHF). Il s'agit du point T, intersection des droites (IJ) et (BS) car (IJ)⊂ (B8@) et (BIJ)∩(BHF)=(BS).
Ex3 Ex3Ex3
Ex3.... ABCDEFGH est un cube. I, J, K sont des points placés respectivement sur les arêtes [EF], [BF] et [CG].
Construire la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK).
I = (8@) ∩ (J:) ; on trace la parallèle à (IJ) passant par K dans la face CDH ; On obtient S l'intersection de cette parallèle avec (DH) ; P=(MI) ∩ (:N) À partir de S, on trace dans le plan AED, la parallèle à (JK)
passant par S ; on obtient P intersection de cette parallèle avec l'arête [HE].
La section est IPSKJ.
Ex4 Ex4Ex4
Ex4.... (3 points)
ABCD est un tétraèdre. I est le milieu du segment [AB].
Les points J, K et L sont définis par : J@PPPPQ =RSJ=PPPPPQ, BTPPPPPPQ =SUB>PPPPPQ et >VPPPPQ =RW>=PPPPPQ.
En utilisant le repère (J ; JBPPPPPQ,J>PPPPPQ,J=PPPPPQ), dire si les points I, J, K et L sont coplanaires.
J(0 ; 0 ; 0 ); 8 YZR ; 0 ; 0 [ ; @ Y0 ; 0 ;RS[
JTPPPPPQ = JBPPPPPQ + BTPPPPPPQ = JBPPPPPQ +SUB>PPPPPQ = JBPPPPPQ +SUBJPPPPPQ +SUJ>PPPPPQ = ZUJBPPPPPQ +SUJ>PPPPPQ T (ZU ;SU ; 0 )
JVPPPPPQ = J>PPPPPQ + >VPPPPQ = J>PPPPPQ +RW>=PPPPPQ = J>PPPPPQ +RW>JPPPPPQ +RWJ=PPPPPQ JVPPPPPQ = SWJ>PPPPPQ +RWJ=PPPPPQ
L(0 ;SW;RW)
8@PPPQ(−ZR ; 0 ;RS) ; 8TPPPPQ(−ZU ;SU ; 0 ) ; 8VPPPQ(−ZR ;SW ;RW )
On cherche à déterminer deux réels ^, _ tels que 8VPPPQ = ^8@PPPQ + _8TPPPPQ On obtient le système :
ab c
bd−eR−fU = −ZR
S
U_ = SW
R
S^ =RW
; l'équation L2 donne _ =UW et L3 donne ^ = SW On vérifie si L1 est vraie avec les valeurs obtenues pour ^ et _.
−eR−fU = −0,3 − 0,2 = −0,5 = −ZR ; L1 est vérifiée.
8VPPPQ = SW8@PPPQ +UW8TPPPPQ donc on en déduit que les points I, J, K et L sont coplanaires.
Ex ExEx
Ex5.5.5.5. E, F et G appartiennent respectivement aux arêtes [SA], [SB] et (SC].
a) Construire l'intersection des plans (EFG) et (ABC).
R=(EF)∩ (JB) ; g = (A;) ∩ (B>) (:A;) ∩ (JB>) = (Ig)
b) En déduire la section de la
pyramide SABCD par le plan (EFG).
EFGIH
S
ExExEx
Ex6.6.6.6. Soient les droites =Z et =R d'équations paramétriques respectives ij = −1 + 2k l = 1 − k
m = 3 + 4k avec k ∈ ℝ et i j = 3 − p
l = −4 + 2p
m = 9 − p avec p ∈ ℝ
1) Justifier que les droites =Z et =R ne sont pas parallèles.
pZ
PPPPQ(2 ; −1 ; 4 ) et pPPPPQ(−1 ; 2 ; −1 ) vecteurs directeurs respectifs de =R Z et =R.
R
rZ ≠ −ZR donc les vecteurs pPPPPQ et pZ PPPPQ ne sont pas colinéaires R donc =Z et =R ne sont pas parallèles.
2) On a effectué la recherche suivante à l'aide du logiciel Xcas :
En admettant le résultat obtenu par le logiciel, peut-on affirmer que les droites =Z et =R sont sécantes ? Si oui, en quel point ?
Il existe deux paramètres (k ; p ) = (1 ; 2 ) tels que ij = −1 + 2k = 3 − p
l = 1 − k = −4 + 2p
m = 3 + 4k = 9 − p donc il existe un point w ( j ; l ; m) dont les coordonnées vérifient à la fois l'équation de =Z et celle de =R donc les deux droites sont sécantes au point de coordonnées ( 1 ; 0 ; 7 )
b) Les droites =Z et =R sont-elles coplanaires ?
Résolution du système : ij = −1 + 2k = 3 − p VZ
l = 1 − k = −4 + 2p VR
m = 3 + 4k = 9 − p VS ;
Utilisons VZ et VR pour déterminer k yk p ; de VZ, on écrit p = 4 − 2k
On remplace dans VR, le p par 4 − 2k ; VR devient : 1 − k = −4 + 2(4 − 2k) soit k = 1 ; de VZ, on écrit p = 4 − 2k = 4 − 2 × 1 = 2
Vérifions que l'équation VS est vérifiée pour k = 1 et p = 2
3 + 4k = 7 ; 9 − p = 9 − 2 = 7 donc VS est vérifiée ; le système admet comme unique solution (k = 1 ; p = 2 ).
Les droites =Z et =R sont sécantes au point ( 1 ; 0 ; 7 ) ; elles sont donc coplanaires.
Ex7 Ex7Ex7
Ex7.... On se place dans un repère ( | ; }Q, ~Q, •PQ) de l'espace.
On donne les points J ( 1 ; 0 ; 4 ), B ( 2 ; 3 ; 0 ), > ( −1 ; 2 ; 0 ), = ( 10 ; 2 ; 3 ) et : ( 15 ; 5 ; 1 ).
1) Justifier que A, B et C définissent un plan.
JBPPPPPQ(1 ;3 ;−4 ) et J>PPPPPQ(−2 ;2 ; −4 ) ; rRZ ≠SR donc les vecteurs JBPPPPPQ et J>PPPPPQ ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés donc ils définissent un unique plan.
2) Montrer que les vecteurs =:PPPPPQ, JBPPPPPQ et J>PPPPPQ sont coplanaires.
=:PPPPPQ(5 ;3 ; −2 ); JBPPPPPQ(1 ;3 ;−4 ) et J>PPPPPQ(−2 ;2 ; −4 )
On cherche un couple (^ ; _) ≠ ( 0 ; 0 ) tel que =:PPPPPQ = ^JBPPPPPQ + _J>PPPPPQ.
^ et _ vérifient le système : i ^ − 2_ = 5 VZ 3^ + 2_ = 3 VR
−4^ − 4_ = −2 VS ; utilisons VZ et VR pour déterminer ^ et _
En additionnant VZ et VR, on obtient 4^ = 8 soit ^ = 2 ; VZ ∶ 2 − 2_ = 5
‚ƒ„k _ = −SR= −1,5
Pour ^ = 2 et _ = −1,5 l'équation VS est-elle vérifiée ? −4^ − 4_ = −8 − 4 × (−1,5) = −2 VS est vérifiée ; le système admet une unique solution ^ = 2 yk _ = −1,5
On a la relation =:PPPPPQ = 2JBPPPPPQ − 1,5J>PPPPPQ donc les vecteurs =:PPPPPQ, JBPPPPPQ et J>PPPPPQ sont coplanaires.
3) Que peut-on en déduire pour la droite (DE) ? La droite (DE) est parallèle au plan (ABC).
4) Déterminer une équation paramétrique de la droite (AB).
i j = k + 1 l = 3k
m = −4k + 4 ^†y‡ k ∈ ℝ 5) Déterminer une équation paramétrique du plan (CDE).
Le plan (CDE) est défini à partir du point C et des deux vecteurs directeur >=PPPPPQ et >:PPPPPQ ( non colinéaires >=PPPPPQ( 11 ;0 ;3 );>:PPPPPQ(16 ;3 ;1 ) )
w(j ; l ; m ) ∈ (>=:) ⇔ >wPPPPPPQ = •>=PPPPPQ + •′>:PPPPPQ avec • yk •′ réels équation paramétrique du plan (CDE) : ij = 11• + 16•Š − 1
l = 3•Š+ 2
m = 3• + •′ avec • yk •′ réels 6) Le point R ( 0 ; −4 ; −7 ) appartient-il au plan (CDE) ?
On doit résoudre le système ‹11• + 16•Š− 1 = 0 VZ 3•Š + 2 = −4 VR
3• + •Š = −7 VS En utilisant VR et VS, on obtient • = −WS yk •′ = −2
VZ est-elle vérifiée ? pour • = −WS yk •′ = −2, 11• + 16•Š − 1 = −ZWZS ≠ −7 donc le point R n'appartient au plan (CDE).
BONUS BONUSBONUS
BONUS Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite (AB) et du plan (CDE).
On cherche les paramètres •, •′ et k tels que les coordonnées d'un point vérifient à la fois l'équation paramétrique de (CDE) et celle de (AB)
On doit résoudre le système ij = 11• + 16•Š− 1 = k + 1 l = 3•Š + 2 = 3k
m = 3• + •Š = −4k + 4 qui s'écrit i11• + 16•Š − k = 2 3•Š − 3k = −2 3• + •Š + 4k = 4 On obtient ( calculatrice ) • = −RS; •Š =RS; k = US
Les coordonnées du point d'intersection sont (ŒS ; 4 ; −US).
