Formule de Taylor et applications(2) - Chapitre 1 pdf

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Analyse 3

Plan du cours

Chapitre 1: Formules de Taylor et applications 1 Rappel du théorème des accroissements …nis 2 Dérivées d’ordre n,

3 Formule de Taylor à l’ordre n 4 Extremum local

5 Fonctions convexes

Chapitre 2: Développements limités et applications 1 Comparaison des fonctions

2 Développements limités 3Cas des fonctions de classeCⁿ

4Opérations sur les développements limités 5Calcul des D.L

6Géneralisation des développements limités 7 Applications des DL

Chapitre 3: Courbes paramétrées et applications 1 Fonctions vectorielles à variable réelle.

2 Limites, dérivée d’une fonction vectorielle, tangente en un point.

3 Etude Locale 4 Branches in…nies

5 Construction de courbes planes paramétrées

6Construction de courbes planes en coordonnées polaires

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Chapitre 1 Formules de Taylor et applications

Etant donné une fonctionf :I= [a; b]!R, le théorème des accroissements …nis permet d’avoir une approximation def par une fonction a¢ ne. Nous allons voir que les fonctions plusieurs fois dérivables peuvent être approchées par des polynômes.

1 Rappel du théorème des accroissements …nis:

Soitf :I= [a; b]!R

On rappelle lesdé…nitionsdes dérivées def: If est dérivable enx02]a; b[ si lim

x*x0

f(x) f(x0) x x0 = lim

h*0

f(x0+h) f(x0)

h existe et est …nie (f⁰(x0)).

If est dérivable à droite de asi lim

h*0⁺

f(a+h) f(a)

h existe et est …nie (notéef_d⁰(a)).

If est dérivable à gauche debsi lim

h*0

f(b+h) f(b)

h existe et est …nie (notéef_g⁰(b)).

If est dérivable sur]a; b[ sif est dérivable en tout point de]a; b[:

Remarque:

On dit aussi quef est dérivable sur l’intervalle fermé[a; b]si

f est dérivable sur]a; b[, f est dérivable à droite de aetf est dérivable à gauche deb:

On rappelle aussi lespropriétéssuivantes:

If est dérivable enx₀2]a; b[ =)f(x₀+h) f(x₀) =hf⁰(x₀) +"(h), avec"(h) !

h !00:

If est dérivable enx02]a; b[ =)f est continue enx0

If est dérivable sur]a; b[ =)f est continue sur ]a; b[

Théorème 1

Sif est continue sur[a; b]et dérivable sur]a; b[, alors il existe c2]a; b[tel que:

f(b) =f(a) + (b a)f⁰(c) Remarque:

1) On a aussi pour toutx2I etx+h2I,9c compris entrexetx+htel que:

f(x+h) =f(x) +h:f⁰(c)

2) Une autre façon d’écrire cette relation: pour toutx2I etx+h2I , 9 2]0;1[tel quef(x+h) =f(x) +hf⁰(x+ h):

2 Dérivées d’ordre n

Dé…nition:

On dit qu’une fonctionf est2 fois continûment dérivable sur un intervalleI R(ou de classeC²sur I) sif est 2fois dérivable et sa dérivée secondef⁰⁰ est continue.

Rappels:

f de classeC²surI=)f; f⁰ et f⁰⁰sont continues.

On dit qu’une fonctionf estnfois continûment dérivable sur un intervalleI R(ou de classe Cⁿ surI) sif est nfois dérivable et sa dérivéef⁽ⁿ⁾est continue.

Remarques:

1) Par convention,f est de classeC⁰ surI sif est continue.

2)f est de classeC¹ sif est de classeCⁿ surI, pour toutn2N. Propriétés:

1) Sif est de classeCⁿ surI alorsf,f⁰,...,f⁽ⁿ⁾existent et sont continues.

2) Sif et gsont de classeCⁿ surI et une constante alorsf +g, :f et f:g sont de classeCⁿ surI:

Si en plus la fonctiongne s’annule pas, alors ^f_g est de classeCⁿ surI.

3) Sif est de classeCⁿ surI,gest de classeCⁿ surJ etf(I) J alorsg f est de classeCⁿ surI.

De plus on a:

(f+g)⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾+g⁽ⁿ⁾

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Exemples

Les fonctions polynômiales, exp, sin et cos.sont de classeC¹surR. La fonctionlnest C¹sur]0;+1[:

3 Formule de Taylor à l’ordre n (n 1)

Cas d’un polynôme:

SoitPn un polynôme à coe¢ cients réels, de degré n:

Pn(x) =a0+a1x+:::::+anxⁿ

Pourx0 et x2R, il est facile de véri…er que le polynômePn peut être écrit sous la forme:

Pn(x) =Pn(x0) + (x x0)P_n⁰(x0) + (x x0)²^P ⁰⁰ⁿ_2!^(x⁰⁾+:::+ (x x0)^{n P}ⁿ⁽ⁿ⁾_n!^(x⁰⁾ Théorème 2

Soit f :I= [a; b]!Rune fonction de classeCⁿ(n2N)et qui admet une dérivée d’ordren+ 1sur]a; b[.

Alors il existec2]a; b[tel que:

f(b) =f(a) + (b a)f⁰(a) + (b a)²^f⁰⁰_2!^(a)+::+ (b a)^{n f}⁽ⁿ⁾_n!^(a)+ (b a)ⁿ⁺¹^f⁽ⁿ⁺¹⁾_(n+1)!^(c) Démonstration

On posePn(x) =f(a) + (x a)f⁰(a) + (x a)²^f⁰⁰_2!^(a)+::::+ (x a)^{n f}⁽ⁿ⁾_n!^(a) on a alorsP_n(a) =f(a); P ⁰_n(a) =f ⁰(a); :::::::; Pn⁽ⁿ⁾(a) =f ⁽ⁿ⁾(a)

Par suite la fonctionf Pn est nulle, ainsi que ses dérivées jusqu’à l’ordrenpourx=a:

Il en est de même pour la fonction'dé…nie par '(x) =f(x) Pn(x) + (x a)ⁿ⁺¹;

quelque soit la constante .

Si on prend =^P_{(b a)}ⁿ^(b) n+1^f(b), la fonction'est de classeCⁿ et'⁽ⁿ⁺¹⁾existe sur]a; b[:

De plus'(a) ='⁰(a) =:::='⁽ⁿ⁾(a) ='(b) = 0 On applique le théorème de Rolle à':

9c12]a; b[tel que'⁰(c1) = 0:

On applique le théorème de Rolle à'⁰: 9c22]a; c1[tel que'⁰⁰(c1) = 0:

On continue ainsi jusqu’à l’ordren:

'⁽ⁿ⁾(a) = 0et 9c_n2]a; b[,'⁽ⁿ⁾(c_n) = 0

=) 9c2]a; b[,'⁽ⁿ⁺¹⁾(c) = 0:

Or '⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) + (n+ 1)!

Il en résulte quef⁽ⁿ⁺¹⁾(c) + (n+ 1)! = 0, ce qui donne = ^f⁽ⁿ⁺¹⁾_(n+1)!^(c) On remplace dans'(x) =f(x) P_n(x) + (x a)ⁿ⁺¹

On obtient alors'(b) =f(b) Pn(b) ^f⁽ⁿ⁺¹⁾_(n+1)!^(c)(b a)ⁿ⁺¹= 0 f(b) =P_n(b) +^f⁽ⁿ⁺¹⁾_(n+1)!^(c)(b a)ⁿ⁺¹

Remarque:

Si on remplace dans la formule de Taylorb para+x, on obtient

f(a+x) =f(a) +xf⁰(a) +x²^f ⁰⁰_2!^(a)+::::+x^{n f} ⁽ⁿ⁾_n!^(a)+xⁿ⁺¹^f_(n+1)!⁽ⁿ⁺¹⁾^(c); avecccompris entraet a+x

(c dépend deaet x)

cette formule s’écrit aussi sous la forme

f(a+x) =f(a) +xf⁰(a) +x²^f⁰⁰_2!^(a)+:::+x^{n f}⁽ⁿ⁾_n!^(a)+xⁿ⁺¹^f⁽ⁿ⁺¹⁾_(n+1)!^(a+ ^x); avec 2]0;1[( dépend deaet x).

Corollaire:

Si en plus la fonctionjf⁽ⁿ⁺⁾jest majorée surI par un réelM, alors pour touta; x2I, on a jf(x) Pn(x)j M^j^{x a}_(n+1)!^jⁿ⁺¹

avecP_n(x) =f(a) + (x a)f⁰(a) + (x a)²^f⁰⁰_2!^(a)+::::+ (x a)^{n f}⁽ⁿ⁾_n!^(a)

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3.1 Formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre n (n 1)

Théorème 3

Soit f :I!Rune fonction de classeCⁿ⁺¹ sur l’intervalleI (n2N) alors pour toutaetx2I.

f (x) =f(a) + (x a)f⁰(a) + (x a)²^f⁰⁰_2!^(a)+::+ (x a)^{n f}⁽ⁿ⁾_n!^(a)+Rx a

f ⁽ⁿ⁺¹⁾(t)

n! (x t)ⁿdt

3.2 Formule de Taylor-Young à l’ordre n (n 1)

Si f est de classeCⁿ⁺¹ surI , alors

f(x) =f(a) + (x a)f⁰(a) + (x a)²^f⁰⁰_2!^(a)+:::+ (x a)^{n f}⁽ⁿ⁾_n!^(a)+ (x a)ⁿ"(x a);

avec"(x a)!0 lorsquex!a

3.3 Formule de Taylor-Young en a=0

Si f est de classeCⁿ surI et02I, alors

f(x) =f(0) +xf⁰(0) +x²^f⁰⁰_2!⁽⁰⁾+::::+x^{n f}⁽ⁿ⁾_n!⁽⁰⁾+xⁿ"(x);

avec"(x)!0 lorsquex!0

3.4 Exemples et applications

1)f(x) = ln(1 +x) =x ^x₂² +^x₃³ ^x₄⁴ +::::+ ( 1)ⁿ ¹^x_nⁿ +xⁿ"(x);

avec"(x)!0 lorsquex!0 2)e^x= 1 + _1!^x +^x_2!² +::::+^x_n!ⁿ+xⁿ"(x);

avec"(x)!0 lorsquex!0:

3)cosx= 1 ^x_2!² +^x4_4! +:::::+ ( 1)^{n x}_(2n)!²ⁿ +x²ⁿ⁺¹"(x), avec"(x)!0 lorsquex!0

4)sinx=x ^x_3!³ +::::::+ ( 1)^{n x}_(2n+1)!²ⁿ⁺¹ +x²ⁿ⁺²"(x), avec"(x)!0 lorsquex!0:

5)(1 +x) = 1 +

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:x+ ⁽_2!¹⁾x²+:::::+ ⁽ ^1):::(_n! ⁿ⁺¹⁾xⁿ+xⁿ"(x),

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avec"(x)!0 lorsquex!0 8) Calcul approché:

Utiliser la formule de Taylor avecn= 2, pour approcher f(x) =p³

1 +x, pourx > 1

On af⁰(x) = ¹₃(1 +x) ²³;f⁰⁰(x) = ²₉(1 +x) ⁵³;f⁰⁰⁰(x) = ¹⁰₂₇(1 +x) ⁸³ Pour toutx > 1 on a: il existec entre0 etxtel que:

f(x) =f(0) +xf⁰(0) +x²^f⁰⁰_2!⁽⁰⁾+^x_3!³f⁰⁰⁰(c)

= 1 +¹₃x ¹₉x²+₈₁⁵x³(1 +c) ⁸³ Pourx= 0:3

1 + ¹₃x ¹₉x²= 1:09

0<₈₁⁵x³(1 +c) ⁸³ ₈₁⁵:(₁₀³)³ Doncp³

1;03 1:09avec une erreur ₈₁⁵(₁₀³)³= 1:666 7 10 ³ p3

1;03 1:09à 10 ² près

9) Montrer l’inégalité: 1 ¹₂x² jcosxj pour toutxdansR Pour toutx2R, il existec compris entre0 etxtel que

cosx= 1 ¹₂x²+^sin₆^cx³ Si0 x alors0 c et on a

cosx 1 +¹₂x²= ^sin₆^cx³ 0 =)1 ¹₂x² cosx

Si x 0alors c 0 et on a

cosx 1 +¹₂x²= ^sin₆^cx³ 0 =)1 ¹₂x² cosx Donc pourjxj , jcosxj 1 ¹₂x²

Pourjxj> , on a 1 ¹₂x²< 3<cosx, ce qui donne 1 ¹₂x² jcosxj pour toutxdansR

4 Extremum local

Soitf : [a; b]!R Dé…nition

x0 est un point critique def , sif n’est pas dérivable enx0 ou bien sif ⁰(x0) = 0.

Dans le cas oùf est dérivable sur[a; b], alors on a

(1)x02]a; b[est un point critique def sif ⁰(x0) = 0.

(2)aest un point critique de f si f ⁰_d(a) = 0.

(3)b est un point critique def sif ⁰_g(b) = 0:

Dé…nition

(1) On dit quef a unmaximum local f(x0)enx=x0, s’il existe un intervalle ouvertIcontenantx0tel que pour toutxdansI\[a; b]; f(x) f(x0):

(2) On dit quef a unminimum localf(x0)enx=x0, s’il existe un intervalle ouvertI contenantx0tel que pour toutxdansI\[a; b]; f(x) f(x₀):

Exemple

On dé…nit la fonctionf(x) =x³ 5x²+ 7x 3, pour x2[0;4]:Voici son graphe:

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1 2 3 4

-2 0 2 4 6 8

x y

quels sont les extrema def? Théorème 4

Supposons quef est dérivable au pointx02]a; b[:

Sif a un maximum ou un minimum local enx0, alorsf ⁰(x0) = 0:

Démonstration

Supposons quef ⁰(x0)6= 0

Sif ⁰(x0)>0, on a 0< f ⁰(x0) = lim

h!0

f(x0+h) f(x0) h

=) 9r >0 tel que pourjhj< r, ^f(x⁰^+h)_h ^f(x⁰⁾ >0

Donc 0< h < r=)f(x0+h) f(x0)>0 et r < h <0 =)f(x0+h) f(x0)<0:

De manière analogue on traite le cas oùf ⁰(x0)<0:

Remarque

La réciproque de ce théorème est fausse:

en e¤et, pourf(x) =x³, on af⁰(0) = 0 etf n’a ni un minimum ni un maximum en 0.

Théorème 4

Soit f :I= [a; b]!Rune fonction de classeCⁿ(n2N)sur]a; b[.

Soitx₀2]a; b[tel quef⁰(x₀) =::::=f⁽ⁿ ¹⁾(x₀) = 0 etf⁽ⁿ⁾(x₀)6= 0, alors (i) Si nest pair etf⁽ⁿ⁾(x₀)>0,f a un minimum local enx₀

(ii) Si nest pair etf⁽ⁿ⁾(x₀)<0, a un maximum local enx₀ (iii) Sinest impair,f n’a ni un min ni un max local enx0

Démonstration

On applique la formule de Taylor autour dex0, pour x2[a; b] : f(x) =f(x0) +^f⁽ⁿ⁾_n!^(c)(x x0)ⁿ, aveccentrexetx0

Commef ⁽ⁿ⁾(x₀)6= 0etf ⁽ⁿ⁾ est continue, il existe" >0, tel que f ⁽ⁿ⁾(x)a le même signe quef⁽ⁿ⁾(x₀),8x2]x₀ "; x₀+"[=V, et dans ce casc2V etf⁽ⁿ⁾(c)a le même signe quef⁽ⁿ⁾(x₀):::

5 Fonctions convexes

Dé…nition

Une fonctionf :I= [a; b]!Rest convexe si8t2[0;1]et 8x₁; x₂2[a; b], f((1 t)x₁+tx₂) (1 t):f(x₁) +tf(x₂)

Théorème 5

Soitf :]a; b[! Rune fonction deux fois dérivable. Alors

f est convexe sur]a; b[si et seulement sif ⁰⁰(x) 0,8x2]a; b[

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Commex= ¹₂(x+h) +¹₂(x h) et commef est convexe sur]a; b[

f(x) =f (¹₂(x+h) +¹₂(x h)) ₂¹f(x+h) +₂¹f(x h)

=)f(x+h) +f(x h) 2f(x) 0 =)f⁰⁰(x) 0 Condition su¢ sante:

Soitx0= (1 t)x1+tx2avec t2[0;1]

f(x1) =f(x₀) +f⁰(x₀)(x1 x₀) +¹₂f⁰⁰(c1)(x1 x₀)² f(x2) =f(x0) +f⁰(x0)(x2 x0) +¹₂f⁰⁰(c2)(x2 x0)²

=)(1 t):f(x1) +tf(x2) =f(x0) +f ⁰(x0)((1 t)x1+tx2 x0) +¹₂^tf ⁰⁰(c1)(x1 x0)²+^t₂f⁰⁰(c2)(x2 x0)² On a donc (1 t):f(x1) +tf(x2) =f(x0) +R

avecR= ¹₂^tf ⁰⁰(c₁)(x₁ x₀)²+^t₂f⁰⁰(c₂)(x₂ x₀)² 0 et alors(1 t):f(x1) +tf(x2) f(x0):