Notes de Cours Analyse 3
SMA-Semestre 2 - 2015-2016
Pr. Hanaa Benazzouz
(1), Pr. Saïd El Hajji
(2)Pr. Touria Ghemires
(2)Département de mathématiques Faculté des sciences de Rabat.
Plan du cours
Chapitre 1: Formules de Taylor et applications 1Rappel du théorème des accroissements …nis
2Dérivées d’ordre n,
3Formule de Taylor à l’ordre n 4Extremum local
5Fonctions convexes
Chapitre 2: Développements limités et applications 1Comparaison des fonctions
2Développements limités 3Cas des fonctions de classeCn
4Opérations sur les développements limités 5Calcul des D.L
6Géneralisation des développements limités 7Applications des DL
Chapitre 3: Courbes paramétrées et applications 1Fonctions vectorielles à variable réelle.
2Limites, dérivée d’une fonction vectorielle, tangente en un point.
3Etude Locale 4Branches in…nies
5Construction de courbes planes paramétrées
6Construction de courbes planes en coordonnées polaires
(1) Laboratoire d0Analyse et Applications
(2) Laboratoire de M athematiques; Inf ormatique et Applications
Chapitre 1
Formules de Taylor et applications
Etant donné une fonctionf :I= [a; b]!R, le théorème des accroissements …nis permet d’avoir une approximation def par une fonction a¢ ne. Nous allons voir que les fonctions plusieurs fois dérivables peuvent être approchées par des polynômes.
1 Rappel du théorème des accroissements …nis:
Soitf :I= [a; b]!R
On rappelle lesdé…nitionsdes dérivées def: If est dérivable enx02]a; b[ si lim
x*x0
f(x) f(x0) x x0 = lim
h*0
f(x0+h) f(x0)
h existe et est …nie (f0(x0)).
If est dérivable à droite de asi lim
h*0+
f(a+h) f(a)
h existe et est …nie (notéefd0(a)).
If est dérivable à gauche debsi lim
h*0
f(b+h) f(b)
h existe et est …nie (notéefg0(b)).
If est dérivable sur]a; b[ sif est dérivable en tout point de]a; b[:
Remarque:
On dit aussi quef est dérivable sur l’intervalle fermé[a; b]si
f est dérivable sur]a; b[, f est dérivable à droite de aetf est dérivable à gauche deb:
On rappelle aussi lespropriétéssuivantes:
If est dérivable enx02]a; b[ =)f(x0+h) f(x0) =hf0(x0) +"(h), avec"(h) !
h !00:
If est dérivable enx02]a; b[ =)f est continue enx0
If est dérivable sur]a; b[ =)f est continue sur ]a; b[
Théorème 1
Sif est continue sur[a; b]et dérivable sur]a; b[, alors il existe c2]a; b[tel que:
f(b) =f(a) + (b a)f0(c) Remarque:
1) On a aussi pour toutx2I etx+h2I,9c compris entrexetx+htel que:
f(x+h) =f(x) +h:f0(c)
2) Une autre façon d’écrire cette relation: pour toutx2I etx+h2I , 9 2]0;1[tel quef(x+h) =f(x) +hf0(x+ h):
2 Dérivées d’ordre n
Dé…nition:
On dit qu’une fonctionf est2 fois continûment dérivable sur un intervalleI R(ou de classeC2sur I) sif est 2fois dérivable et sa dérivée secondef00 est continue.
Rappels:
f de classeC2surI=)f; f0 et f00sont continues.
On dit qu’une fonctionf estnfois continûment dérivable sur un intervalleI R(ou de classe Cn surI) sif est nfois dérivable et sa dérivéef(n)est continue.
Remarques:
1) Par convention,f est de classeC0 surI sif est continue.
2)f est de classeC1 sif est de classeCn surI, pour toutn2N. Propriétés:
1) Sif est de classeCn surI alorsf,f0,...,f(n)existent et sont continues.
2) Sif et gsont de classeCn surI et une constante alorsf +g, :f et f:g sont de classeCn surI:
Si en plus la fonctiongne s’annule pas, alors fg est de classeCn surI.
3) Sif est de classeCn surI,gest de classeCn surJ etf(I) J alorsg f est de classeCn surI.
De plus on a:
(f+g)(n)=f(n)+g(n)
Exemples
Les fonctions polynômiales, exp, sin et cos.sont de classeC1surR. La fonctionlnest C1sur]0;+1[:
3 Formule de Taylor à l’ordre n (n 1)
Cas d’un polynôme:
SoitPn un polynôme à coe¢ cients réels, de degré n:
Pn(x) =a0+a1x+:::::+anxn
Pourx0 et x2R, il est facile de véri…er que le polynômePn peut être écrit sous la forme:
Pn(x) =Pn(x0) + (x x0)Pn0(x0) + (x x0)2P 00n2!(x0)+:::+ (x x0)n Pn(n)n!(x0) Théorème 2
Soit f :I= [a; b]!Rune fonction de classeCn(n2N)et qui admet une dérivée d’ordren+ 1sur]a; b[.
Alors il existec2]a; b[tel que:
f(b) =f(a) + (b a)f0(a) + (b a)2f002!(a)+::+ (b a)n f(n)n!(a)+ (b a)n+1f(n+1)(n+1)!(c) Démonstration
On posePn(x) =f(a) + (x a)f0(a) + (x a)2f002!(a)+::::+ (x a)n f(n)n!(a) on a alorsPn(a) =f(a); P 0n(a) =f 0(a); :::::::; Pn(n)(a) =f (n)(a)
Par suite la fonctionf Pn est nulle, ainsi que ses dérivées jusqu’à l’ordrenpourx=a:
Il en est de même pour la fonction'dé…nie par '(x) =f(x) Pn(x) + (x a)n+1;
quelque soit la constante .
Si on prend =P(b a)n(b) n+1f(b), la fonction'est de classeCn et'(n+1)existe sur]a; b[:
De plus'(a) ='0(a) =:::='(n)(a) ='(b) = 0 On applique le théorème de Rolle à':
9c12]a; b[tel que'0(c1) = 0:
On applique le théorème de Rolle à'0: 9c22]a; c1[tel que'00(c1) = 0:
On continue ainsi jusqu’à l’ordren:
'(n)(a) = 0et 9cn2]a; b[,'(n)(cn) = 0
=) 9c2]a; b[,'(n+1)(c) = 0:
Or '(n+1)(x) =f (n+1)(x) + (n+ 1)!
Il en résulte quef(n+1)(c) + (n+ 1)! = 0, ce qui donne = f(n+1)(n+1)!(c) On remplace dans'(x) =f(x) Pn(x) + (x a)n+1
On obtient alors'(b) =f(b) Pn(b) f(n+1)(n+1)!(c)(b a)n+1= 0 f(b) =Pn(b) +f(n+1)(n+1)!(c)(b a)n+1
Remarque:
Si on remplace dans la formule de Taylorb para+x, on obtient
f(a+x) =f(a) +xf0(a) +x2f 002!(a)+::::+xn f (n)n!(a)+xn+1f(n+1)!(n+1)(c); avecccompris entraet a+x
(c dépend deaet x)
cette formule s’écrit aussi sous la forme
f(a+x) =f(a) +xf0(a) +x2f002!(a)+:::+xn f(n)n!(a)+xn+1f(n+1)(n+1)!(a+ x); avec 2]0;1[( dépend deaet x).
Corollaire:
Si en plus la fonctionjf(n+)jest majorée surI par un réelM, alors pour touta; x2I, on a jf(x) Pn(x)j Mjx a(n+1)!jn+1
avecPn(x) =f(a) + (x a)f0(a) + (x a)2f002!(a)+::::+ (x a)n f(n)n!(a)
3.1 Formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre n (n 1)
Théorème 3
Soit f :I!Rune fonction de classeCn+1 sur l’intervalleI (n2N) alors pour toutaetx2I.
f (x) =f(a) + (x a)f0(a) + (x a)2f002!(a)+::+ (x a)n f(n)n!(a)+Rx a
f (n+1)(t)
n! (x t)ndt
3.2 Formule de Taylor-Young à l’ordre n (n 1)
Si f est de classeCn+1 surI , alors
f(x) =f(a) + (x a)f0(a) + (x a)2f002!(a)+:::+ (x a)n f(n)n!(a)+ (x a)n"(x a);
avec"(x a)!0 lorsquex!a
3.3 Formule de Taylor-Young en a=0
Si f est de classeCn surI et02I, alors
f(x) =f(0) +xf0(0) +x2f002!(0)+::::+xn f(n)n!(0)+xn"(x);
avec"(x)!0 lorsquex!0
3.4 Exemples et applications
1)f(x) = ln(1 +x) =x x22 +x33 x44 +::::+ ( 1)n 1xnn +xn"(x);
avec"(x)!0 lorsquex!0 2)ex= 1 + 1!x +x2!2 +::::+xn!n+xn"(x);
avec"(x)!0 lorsquex!0:
3)cosx= 1 x2!2 +x44! +:::::+ ( 1)n x(2n)!2n +x2n+1"(x), avec"(x)!0 lorsquex!0
4)sinx=x x3!3 +::::::+ ( 1)n x(2n+1)!2n+1 +x2n+2"(x), avec"(x)!0 lorsquex!0:
5)(1 +x) = 1 + :x+ (2!1)x2+:::::+ ( 1):::(n! n+1)xn+xn"(x),
avec"(x)!0 lorsquex!0 8) Calcul approché:
Utiliser la formule de Taylor avecn= 2, pour approcher f(x) =p3
1 +x, pourx > 1
On af0(x) = 13(1 +x) 23;f00(x) = 29(1 +x) 53;f000(x) = 1027(1 +x) 83 Pour toutx > 1 on a: il existec entre0 etxtel que:
f(x) =f(0) +xf0(0) +x2f002!(0)+x3!3f000(c)
= 1 +13x 19x2+815x3(1 +c) 83 Pourx= 0:3
1 + 13x 19x2= 1:09
0<815x3(1 +c) 83 815:(103)3 Doncp3
1;03 1:09avec une erreur 815(103)3= 1:666 7 10 3 p3
1;03 1:09à 10 2 près
9) Montrer l’inégalité: 1 12x2 jcosxj pour toutxdansR Pour toutx2R, il existec compris entre0 etxtel que
cosx= 1 12x2+sin6cx3 Si0 x alors0 c et on a
cosx 1 +12x2= sin6cx3 0 =)1 12x2 cosx
Si x 0alors c 0 et on a
cosx 1 +12x2= sin6cx3 0 =)1 12x2 cosx Donc pourjxj , jcosxj 1 12x2
Pourjxj> , on a 1 12x2< 3<cosx, ce qui donne 1 12x2 jcosxj pour toutxdansR
4 Extremum local
Soitf : [a; b]!R Dé…nition
x0 est un point critique def , sif n’est pas dérivable enx0 ou bien sif 0(x0) = 0.
Dans le cas oùf est dérivable sur[a; b], alors on a
(1)x02]a; b[est un point critique def sif 0(x0) = 0.
(2)aest un point critique de f si f 0d(a) = 0.
(3)b est un point critique def sif 0g(b) = 0:
Dé…nition
(1) On dit quef a unmaximum local f(x0)enx=x0, s’il existe un intervalle ouvertIcontenantx0tel que pour toutxdansI\[a; b]; f(x) f(x0):
(2) On dit quef a unminimum localf(x0)enx=x0, s’il existe un intervalle ouvertI contenantx0tel que pour toutxdansI\[a; b]; f(x) f(x0):
Exemple
On dé…nit la fonctionf(x) =x3 5x2+ 7x 3, pour x2[0;4]:Voici son graphe:
1 2 3 4
-2 0 2 4 6 8
x y
quels sont les extrema def? Théorème 4
Supposons quef est dérivable au pointx02]a; b[:
Sif a un maximum ou un minimum local enx0, alorsf 0(x0) = 0:
Démonstration
Supposons quef 0(x0)6= 0
Sif 0(x0)>0, on a 0< f 0(x0) = lim
h!0
f(x0+h) f(x0) h
=) 9r >0 tel que pourjhj< r, f(x0+h)h f(x0) >0
Donc 0< h < r=)f(x0+h) f(x0)>0 et r < h <0 =)f(x0+h) f(x0)<0:
De manière analogue on traite le cas oùf 0(x0)<0:
Remarque
La réciproque de ce théorème est fausse:
en e¤et, pourf(x) =x3, on af0(0) = 0 etf n’a ni un minimum ni un maximum en 0.
Théorème 4
Soit f :I= [a; b]!Rune fonction de classeCn(n2N)sur]a; b[.
Soitx02]a; b[tel quef0(x0) =::::=f(n 1)(x0) = 0 etf(n)(x0)6= 0, alors (i) Si nest pair etf(n)(x0)>0,f a un minimum local enx0
(ii) Si nest pair etf(n)(x0)<0, a un maximum local enx0 (iii) Sinest impair,f n’a ni un min ni un max local enx0
Démonstration
On applique la formule de Taylor autour dex0, pour x2[a; b] : f(x) =f(x0) +f(n)n!(c)(x x0)n, aveccentrexetx0
Commef (n)(x0)6= 0etf (n) est continue, il existe" >0, tel que f (n)(x)a le même signe quef(n)(x0),8x2]x0 "; x0+"[=V, et dans ce casc2V etf(n)(c)a le même signe quef(n)(x0):::
5 Fonctions convexes
Dé…nition
Une fonctionf :I= [a; b]!Rest convexe si8t2[0;1]et 8x1; x22[a; b], f((1 t)x1+tx2) (1 t):f(x1) +tf(x2)
Théorème 5
Soitf :]a; b[! Rune fonction deux fois dérivable. Alors
f est convexe sur]a; b[si et seulement sif 00(x) 0,8x2]a; b[
Commex= 12(x+h) +12(x h)et commef est convexe sur]a; b[
f(x) =f (12(x+h) +12(x h)) 12f(x+h) +12f(x h)
=)f(x+h) +f(x h) 2f(x) 0 =)f00(x) 0 Condition su¢ sante:
Soitx0= (1 t)x1+tx2 avect2[0;1]
f(x1) =f(x0) +f0(x0)(x1 x0) +12f00(c1)(x1 x0)2 f(x2) =f(x0) +f0(x0)(x2 x0) +12f00(c2)(x2 x0)2
=)(1 t):f(x1) +tf(x2) =f(x0) +f 0(x0)((1 t)x1+tx2 x0) +12tf 00(c1)(x1 x0)2+2tf00(c2)(x2 x0)2 On a donc(1 t):f(x1) +tf(x2) =f(x0) +R
avecR=12tf 00(c1)(x1 x0)2+t2f00(c2)(x2 x0)2 0 et alors(1 t):f(x1) +tf(x2) f(x0):
