Examen Session printemps

(1)

Université Ibn Zohr Année universitaire 2015/2016

Faculté des Sciences d’Agadir Filières : SMC

Dépt. de Mathématiques Semestre : 4

Pr. Mostafa ELYASSA 1/3 Juin 2016

Corrigé

Examen Session printemps

SMC4

-

M26

: probabilités

Durée : 1h30

I. ... (4 points) La v.a X représente la durée de vie exprimée en milliers d'années d'une particule de carbone 14, elle suit une loi de Poisson de demi-vie T=5,7 milliers d’années : ^{P X}

(

^{≤ = −}^t

)

¹ ^e⁻^λ^t^,^t^≥^0.

a. On a par définition

( )

¹

P X >T =2

Ce qui implique : 1 ln(2) ln(2)

2

e T T

T

λ

− = ⇔ = ⇔ =

D’où : ln(2)

0,1216.

λ

= 5, 7 = .

Et 1 5, 7

( ) 8, 2234;

ln(2) ln(2) E X T

= =

λ

= =

La durée de vie moyenne d’une particule de carbone 14 est 8 223 années.

b. La probabilité qu'une particule de carbone 14 se désintègre au bout de 10 000 ans est :

(

¹⁰

)

¹ ¹⁰ 1 0, 2964 0, 7036 P X ≤ = −e⁻ ^λ = − +

c. La loi de X est sans mémoire : ^P

(

^X ^{> +}^t ^s_X _>_t

)

⁼^{P X}

⁽

^>^s

⁾

^.

Ainsi donc : ^P

(

^X ^>¹⁵_X _>₅

)

⁼^{P X}

⁽

^>¹⁰

⁾

^{= −}¹ ^{P X}

⁽

^≤¹⁰

⁾

⁼^{0, 2964}

d. Cherchons une valeur d telle que :

^{P X} ( ^≤ ^d ) ⁼ ^{0, 95}

( )

^{0, 95}

( )

^{0, 05} ^d ^{0, 05}

P X ≤d = ⇔P >d = ⇔e⁻^λ = Il en résulte :

^{ln 0, 05} ( ) ^{ln 20} ( )

24, 6360 0,1216

d = − λ = =

Une particule de carbone 14 se désintègre avec une probabilité de 0,95 au bout 24 636 années . II. ... (5 points)

𝑋𝑋 est une variable aléatoire admettant une densité sous la forme :

[ ]

2 , 0 , 1

( )

0 , sinon K x si x f x

 − ∈

= 

 a. La valeur de K ;

1 ln(2)

ln(2) 0

1

1 ( ) 2 ln(2) .

ln(2) 2 ln(2) 0

x

x e K

f x dx K e dx K

+∞ −

−

−∞

 

= = = −  = ⇒ =

 

∫ ∫

0,5 1

0,5

1

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1

(2)

b. La fonction de répartition de X :

( ) ( ) [ ]

( ) [ ]

ln(2)

0 , 0

( ) 2 ln(2) , 0 , 1

1 , 1

0 , 0

2 ln(2) 1 , 0 , 1

1 , 1

x x

u

x

si x

F x P X x f u du e du si x

si x si x

e si x si x

−

−∞ −∞

−

 <

 

= ≤ = =  ∈

  >



 <

=   − ∈

 >



∫ ∫

c.

( ) ¹ ( ) ¹ [ ] ^{0 , 1} ^{2 1} (

^ln(2)

) ¹

2 2 2

P X ≤ m = ⇔ F m = ⇔   m ∈ et − e

⁻ m

=  

 

^.

D’où :

ln( ) 3

4 0, 4150 ln(2)

m = − =

.

d. Espérance de 𝑋𝑋 :

( )

¹ ^ln(2)

0

ln(2) 1 ln(2)

0

( ) 2 ln(2) 1 2 ln(2)

n(2) ln(2)

0 1 1 0, 4427

ln(2)

x

x x

E X f x dx xe dx

xe e

dx

+∞

−

−∞

− −

= =

 

 

 

=   −  + 

 

 

 

= − + =

∫ ∫

∫

III. (Toutes les valeurs doivent être calculées à 10⁻⁴ près) ... (11 points) On définit les événements suivants : 𝑨𝑨 = « la bille est fabriquée par la machine A » ;

𝑩𝑩 = « la bille est fabriquée par la machine B » ; 𝑪𝑪 = « la bille est conforme ».

Partie A. (4pts)

a. Par la formule des probabilités totales, on a : ^{P C}

( )

⁼^{P C}

(

^∩^A

)

⁻^{P C}

(

^∩^B

)

On en déduit :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

C

^{( )}

0, 96 0, 98 0, 40 0, 3720 .

P C B P C P C A P C P P A

∩ = − ∩ = − A = − × =

b. La proportion de billes conformes parmi la production de la machine 𝑩𝑩 :

( )

( ) ^{0, 3720}

( ) 0, 9300;

0, 40 P C B

P C

B P B

= ∩ = =

93% des billes produits par la machine b sont conformes 2

1

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1

(3)

c. 70 % des billes non conforme proviennent de la machine 𝐵𝐵, en effet, on a :

( ) ^{( )}

( ) ( ( ) ) ^{( )} _{( )} ^{0, 40}

( ) 1 0, 07 0, 7000

0, 04

P C B P B C P B

P B P

C = P C = − B P C = =

.

Partie B. (4pts)

a. La variable aléatoire 𝑌𝑌 suit une loi de binomiale,

Y



Β ( , ) n p

, de paramètres

( ) ^{( )}

100 1 0, 04.

n = et p = P C = − P C =

;

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

100

0, 04 0, 96 , 0, ,100;

100 0, 04 4, 0000;

1 3,8400.

k k

P Y k k

k E Y np

Var Y np p

 

−

= =   =

 

= = × =

= − =



b. La probabilité d’avoir au plus une bille non conforme dans le lot :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

0 100 99

99

1 0 1

100 100

0, 04 0, 96 0, 04 0, 96

0 1

0, 96 0, 96 4 0,08716.

P Y ≤ = P Y = + P Y =

   

=   +  

   

= + =

c. Nous avons 𝑛𝑛= 100 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛𝑛𝑛= 4 < 5 ; on peut approcher la loi de Y par la loi de Poisson de paramètre 𝜆𝜆= 4 ;

( ) ( ) ⁴

⁴

^, ^0, ^,1

!

k

P Y k e k

k

= ≅

−

=



D’où :

( )

⁴

( )

4 ⁴

( )

0 0

4 4 0, 6288.

!

k

k k

P Y P Y k e

k

−

= =

≤ = ∑ = ≅ ∑ =

Partie C. (3pts)

Pour réduire le nombre de billes non conformes, l’entreprise modifie le réglage de la machine 𝑩𝑩. Sous ce nouveau réglage la machine 𝑩𝑩 produit des billes dont le diamètre est une variable aléatoire 𝑿𝑿 qui suit une loi normale d'espérance µ=𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟗 et d'écart-type 𝝈𝝈= 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎.

a. La probabilité qu’une bille fabriquée par la machine 𝐵𝐵 soit conforme :

( )

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( )

0, 99

0, 9 1,1 2, 25 2, 75

0, 04

2, 75 2, 25 2, 75 1 2, 25

2, 75 2, 25 1 0, 9970 0, 9878 1 0, 9848.

P ≤X ≤ =P− ≤ X − ≤ 

 

= Φ − Φ − = Φ − − Φ

= Φ + Φ − = + −

=

b. Le nouveau pourcentage des billes conformes dans la production totale. On a :

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