Interprétation quantique des diverses résonances observées lors de la diffusion de photons optiques et de radiofréquence par un atome

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Interprétation quantique des diverses résonances

observées lors de la diffusion de photons optiques et de

radiofréquence par un atome

C. Cohen-Tannoudji, S. Haroche

To cite this version:

C. Cohen-Tannoudji, S. Haroche. Interprétation quantique des diverses résonances observées lors de

la diffusion de photons optiques et de radiofréquence par un atome. Journal de Physique, 1969, 30

(1), pp.125-144. �10.1051/jphys:01969003001012500�. �jpa-00206756�

INTERPRÉTATION

_QUANTIQUE

DES DIVERSES

RÉSONANCES

OBSERVÉES

LORS DE LA DIFFUSION DE

PHOTONS

_OPTIQUES

ET DE

_{RADIOFRÉQUENCE}

PAR UN ATOME

par C.

COHEN-TANNOUDJI

et S.

_HAROCHE,

Faculté des Sciences de Paris, Laboratoire de Spectroscopie Hertzienne de l’E.N.S.,

associé au _{C.N.R.S., 24,} rue _{Lhomond, Paris,} 5e.

(Reçu le 18 octobye

_1968.)

Résumé. - On

_présente

une théorie

_quantique

de divers _types de résonances

_apparaissant

sur la lumière _{diffusée par} un atome

_{interagissant}

avec un

_champ

de

_{radiofréquence}

_(cas

des

expériences

de _pompage

_{optique longitudinal}

et

_{transversal).}

On associe à tout _processus de

diffusion de

_{photons optiques}

et de

_{radiofréquence}

un

_diagramme

de

_Feynman

_comportant

éventuellement un ou

_plusieurs

états intermédiaires résonnants. On montre _{que certaines}

résonances sont dues à l’interférence entre deux

_diagrammes.

Une resommation des

_diagrammes

aux différents ordres

_permet

de rendre

_compte

des

_{élargissements}

et

_{déplacements}

radiatifs

des résonances. Abstract. 2014 A

quantum theory

of the various

_types

of resonances

_appearing

on the

_light

scattered

_by

an atom

_interacting

with a

_{radiofrequency}

field

_{(longitudinal}

and transverse

optical pumping experiments)

is

_given.

Each

_scattering

_{process of}

_optical

and RF

_photons

is associated a

_{Feynman diagram containing eventually}

one or several intermediate resonant states. Some resonances are shown to be due to the interference between two

_diagrams.

_By a resummation of the

_diagrams

at different orders, it is

_possible

to

_explain

the radiative shifts

and

_broadenings

of the resonances.

Introduction. - Dans les

experiences

de double

resonance,

les atomes etudies sont soumis a l’action simultan6e d’un faisceau lumineux

_(permettant

d’orien-ter et de detecter le

_{systeme atomique)}

et d’un

_champ

de

_{radiofr6quence}

_(induisant

des transitions entre les sous-niveaux

_Zeeman).

Sur le

_{plan th6orique,}

le

champ optique

a souvent fait

_l’objet

d’un traitement

quantique

[1], [2],

mais,

a _part

_quelques

excep-tions

_(1),

le

_champ

de

_{radiofr6quence}

a

_toujours

6t6

traite

_{classiquement.}

L’aspect corpusculaire

du

_champ

de

_{radiofr6quence}

se manifeste

cependant

avec éclat dans les transitions

a

_plusieurs

_quanta

_[4].

En

_appliquant

le

_principe

de conservation de

_1’energie

et du moment

_angulaire

au

processus

d’absorption

de n

quanta

de

_{radiofr6quence}

(1)

Voir, par

exemple,

R. Wallace _[3]. Cet auteur ne

s’int6resse

_{cependant qu’a}

l’un des deux

_types

de

reso-nances 6tudi6es dans cet article

_(transitions

r6elles a

plusieurs quanta).

N’effectuant pas de resommation des

diagrammes,

il _{n’obtient pas par ailleurs les effets de} saturation

_(deplacement

et

_{61argissement}

des

_resonances).

par un _atome, on deduit tres aisément la

_position

des

resonances

_{correspondantes.}

_Recemment,

de nouveaux

types

de resonance

_magnetique

ont ete observes en

pompage

optique

transversal

[5],

[6], [7], [8], [9].

Les

_{caractéristiques}

de ces resonances les differencient

nettement des

_pr6c6dentes

et leur

_{interpretation}

en

termes de

_photons

de

_{radion’equence}

souleve des pro-blemes difficiles.

Le but de cet article est de

_presenter

une theorie

entierement

_quantique

de tous ces

_{phenomenes :}

elle

traite de

_{façon symetrique}

les

_{photons optiques}

et les

photons

de

_{radiofrequence}

et

_permet

_{d’interpr6ter}

simultanement les deux _types de resonance mentionnes

plus

haut

_(position,

_intensités,

_{elargissements}

et

d6pla-cements radiatifs des

_resonances,

modulations appa-raissant sur les

_{signaux optiques).}

Dans une

premiere

partie,

on associe un

_diagramme

de

_{Feynman [10]}

a tout _{processus de} diffusion de

photons

optiques

ou de

radiofr6quence

_par un atome.

Pour _{passer de} 1’etat initial a 1’etat final de la

_diffusion,

le

_systeme

effectue des transitions vers des 6tats

m6diaires de diffusion

_qui

sont soit r6sonnants

(tran-sitions

_r6elles),

soit non r6sonnants

(transitions

vir-tuelles).

Les transitions a

_plusieurs

_quanta

de _type

Winter

_[4]

_peuvent etre d6crites par un

_diagramme

de

_{Feynman unique}

_comportant deux 6tats intermé-diaires r6sonnants differents et d6crivant

_{l’absorption}

r6elle d’un

_photon

_optique

suivie de

_{l’absorption}

r6elle d’un ou

_plusieurs

_quanta

de

_{radiofréquence.}

Pour

_interpreter

les nouvelles

resonances,

il est

n6ces-saire de faire

_appel

a l’interference entre deux

dia-grammes de

Feynman

distincts

correspondant

aux

memes 6tats initial et final de diffusion et

_comportant

chacun un seul etat interm6diaire

_r6sonnant,

diff6rent

pour chacun des

diagrammes,

les processus

physiques

associ6s

_{correspondant}

a une

_absorption

r6elle d’un

photon

optique

et d’un ou

plusieurs photons

de

radio-frequence

par l’atome

(2).

Dans une deuxieme

_partie,

on effectue une

resom-mation

_complete

des

_{diagrammes correspondant}

aux

memes 6tats initial et final de diffusion et on montre

que 1’effet de cette resommation revient

_{principalement}

a renormaliser les

_propagateurs

des 6tats intermé-diaires r6sonnants de la diffusion. Il est

_possible

alors d’effectuer un calcul

complet

des

signaux

de double

resonance et notamment de rendre _compte des effets

d’elargissements

et de

_deplacements

radiatifs.

Au cours de cette

_resommation,

nous sommes

ame-n6s tout naturellement a considerer _que les

_photons

optiques

sont diffuses _par le

_{systeme global}

« atome

+

champ

de

_{radiofr6quence}

». Ce _concept d’atome

« habille » _par des

_photons

de

_{radiofr6quence}

se r6v6le

tres

_fructueux,

en

_{particulier lorsque}

le

_couplage

avec

la

_{radiofr6quence}

est

_trop

_grand

_{pour etre} trait6

comme une

perturbation.

Nous

_{d6velopperons}

cette

idee dans un second article et montrerons en

_particulier

que les

propri6t6s physiques

de l’atome « habille »

(moment

magn6tique,

spectre

d’absorption)

sont net-tement differentes de celles de 1’atome « nu ».

I. Position du

probleme.

Ptude

qualitative.

-A. NOTATIONS. - 1. Le

_système

_atomique.

- Il

comporte

un etat

_fondamental

_If>

et un etat

_excite

_Ie>,

d’6nergie Eo,

de

_spin

_J,

_decompose

_par un

champ Ho

parallele

a Oz en sous-niveaux

_{Zeeman I em >}

distants

de _{(ùo == -}

_{yHo (y,}

_rapport

_{gyromagnetique) .}

L’etat

_{if >}

n’est _pas

_couple

a

_Ho,

soit _parce

_qu’il

est

_{diamagn6tique,}

soit _parce

_qu’il

a une structure

purement

nucl6aire,

n6gligeable

devant wo

(h == 1)

(3).

L’hamiltonien

_atomique

s’écrit donc :

Pe

_repr6sentant

le

_projecteur

dans 1’etat excite.

(2) Khodovoy [11]

a

_{egalement envisage}

_{des processus}

faisant intervenir

_{l’absorption}

simultan6e de

_photons

optiques

et de

_{radiofréquence.}

Mais il ne met _{pas l’accent}

sur l’interf6rence entre

_amplitudes

de transition et ne

procede

pas lui non

_plus

a une resommation de

dia-grammes.

(3)

Si 1’6tat fondamental est

_{diamagnetique,}

le

carac-t6re

_dipolaire

de la transition

_optique

fait

_{que J}

est

2. Le

_champ

de

_{radiofréquence.}

- Nous

supposerons

qu’il

oscille sur un mode

_unique

de

_pulsation

(ù et de

polarisation

E, les

op6rateurs

de creation et d’annihi-lation d’un

_photon

dans ce mode 6tant at et a.

L’ha-miltonien du

_champ

s’6crit :

Ao

+ mwo + nCJ)

_(atome

dans 1’6tat fondamental ou

excite en

_presence

de n

photons).

La

_figure

1

_repr6sente

les

_niveaux

_{I e., n >}

en

fonc-tion de

_Ho

_{( J}

=

lj2).

II

_apparait

une infinite de

croisements de niveaux

_Ig

_alignes

verticalement pour

toutes les valeurs _too =

PCO.

Le

_couplage

Y entre l’atome et la

_{radiofr6quence}

n’est

_appreciable

_que dans 1’etat excite et est donne

par

(cf.

appendice 1) :

:

la constante de

_couplage

A est donnee dans le cas

d’une

_polarisation

E lin6aire _{par la} relation :

Hl

et N 6tant

_{1’amplitude}

_moyenne et le nombre

moyen de

photons

du

champ.

La structure de V est tres

_simple

et

_correspond

soit

a

_{I’absorption}

_{(terme a),}

soit a 1’6mission

_(terme

_at)

d’un

_photon

de

_{radioirequence,}

les transitions

corres-pondantes

conservant le moment

_cin6tique

_global

de

l’atome et du

_{champ (cf. appendice 1).}

3. Le

_champ

_optique.

- A tout mode

optique

de

vecteur d’onde k et de

_polarisation

_ex, nous associons

necessairement

_6gal

a 1. Dans la suite, nous

_envisagerons

souvent, pour

simplifier,

le cas

_{oii j}

= 1/2. L/’etat

fondamental est alors necessairement

_{paramagn6tique}

un

photon

I kX >

d’6nergie E,,

etat propre de

l’hamil-tonien

_{optique :}

L’interaction

_{dipolaire 6lectrique}

_afi

entre le

sys-t6me

_atomique

et le

_champ

_{optique n’agit}

_pas sur les

variables de

_{radiofr6quence}

et ne

couple

entre eux

que les

etats

IfnkÀ >

et

em, n )

correspondant

au

meme nombre n :

B. DIAGRAMMES DE FEYNMAN

_[10].

-

Tout processus

de diffusion d’un

_{photon optique}

ou de

_{radiofr6quence}

par l’atome peut etre

_represente

_par un

_diagramme

de

Feynman,

se lisant de bas en

haut,

et

_où

_If>

est

represente

par un trait

_{pointillé, I e. >}

_par un trait

plein,

les

_photons

_optiques

_par des

_lignes

_bris6es,

les

photons

de

_{radiofréquence}

_par des

_lignes

_ondul6es,

1’interaction

_{dipolaire 6lectrique}

_afi

_par un vertex

carr6 et l’interaction

_magnetique

_{V par} un vertex

rond.

(DI) repr6sente

la diffusion d’un

_photon

_optique

(kh

-

_{k’ h’)}

avec excitation intermediaire de l’atome

dans 1’6tat _em.

L’6nergie Ek

de 1’6tat initial doit etre

_{egale a}

_celle,

Ek,,

de 1’6tat final de la diffusion. Par

_{contre, l’énergie}

de 1’6tat interm6diaire

_{Eo +}

_{mcoo peut} etre differente

de

_{E, -}

_Ek,

_{pourvu que} le _temps de

_s6jour

’!’ dans

cet etat soit suffisamment court :

Suivant que

Eo

+ mwo est

_6gal

ou non a

_{Ek (a}

la

largeur

naturelle r du niveau excite

_pres),

nous dirons

que la transition interm6diaire est réelle ou virtuelle.

L’amplitude

de diffusion associ6e a

_(D1)

s’obtient en

sommant sur toutes les dur6es

_possibles

de la transition

intermediaire. 11 en r6sulte

_(cf.

II. A.

₉₎

un

d6nomina-montre _que

_{l’amplitude}

de diffusion _{passe par} une

valeur r6sonnante

_lorsque

la transition interm6diaire est reelle.

(D2) possede

quatre

6tats intermediaires et

repre-sente la diffusion d’un

_photons

_{I kÀ >}

_par un atome

qui

absorbe

_deux,

_puis

r66met un

_photon

de

radio-frequence

dans 1’etat excite

_(4),

la conservation de

1’energie

a l’issue de la diffusion s’6crivant dans ce cas :

Supposons maintenant J

=

1/2;

les

_energies

des

6tats interm6diaires de la diffusion sont donnees en

fonction du

_champ

_magn6tique

_par la

_figure

1 : _pour

un

_{champ Hp}

donne,

il ne _{peut y} avoir de transition

interm6diaire réelle _{que si}

_{1’6nergie Ek}

-t- n(J) de 1’etat

initial IfnkÀ >

coincide avec l’une des valeurs _propres

de

_a£

dans ce

_champ.

11 en r6sulte

_qu’en

_general

un

etat interm6diaire seulement _{pourra etre}

_r6sonnant,

sauf si _coo =

pco,

auquel

cas il

_peut

_y avoir transition

r6elle vers deux niveaux distincts de meme

_energie

qui

se croisent

(5) ;

ceci conduit a 1’existence _de

pro-cessus r6sonnants _que nous nous _proposons d’etudier

maintenant a l’ordre le

_plus

bas ou ils se manifestent.

C. TRANSITIONS REELLES A UN OU PLUSIEURS _QUANTA DE

_{RADIOFREQUENCE [4].}

-

Envisageons

tout d’abord des

_{photons optiques}

incidents et diffuses _ayant un

etat de

_polarisation

circulaire

_{respectivement}

6- et a+

(avec

les notations de la reference

_[2],

il

_s’agit

de

polarisations

non

_coh6rentes,

chacune d’entre elles ne

(4) Rappelons

que nous

_{n’envisageons}

que les

photons

de

_{radiof requence}

_appartenant a un mode donne ; nous

n6gligeons

les processus d’interaction avec les

_photons

des autres modes : dans _D2 et dans les

_diagrammes

suivants, nous n’avons

_represente

_{que les}

_photons

de

radiofr6quence

absorb6s ou emis. En toute

rigueur,

il aurait fallu

_{egalement representer}

le tres

_grand

nombre

de

_photons

«

_{spectateurs o}

de memes

frequence

et

pola-risation dont la

_presence

stimule 1’emission dans ce

mode et

_permet

de

_negliger

1’6mission

_spontanee

dans

les autres modes.

(5)

Il ne

_peut

_y avoir de transitions r6elles vers deux

niveaux dont

1’energie

differe de 6), car nous supposons

permettant

d’exciter ou de detecter

qu’un

seul

sous-niveau de 1’etat

_{excite) :}

11 en r6sulte

_qu’en

absence de

_{radiofréquence}

l’am-plitude

de

_diffusion

kJ_ -

k’ J+

est nulle.

Les

_{diagrammes (D3)}

et

_(D4)

montrent comment

l’in-teraction de 1’etat excite avec un

_champ

de

radio-frequence

peut rendre cette

_amplitude

non nulle et

lui donner un caractere r6sonnant _pour certaines

valeurs de _(ùo.

Dans

_(D,),

I’atome est excité dans

_{I e_, n >}

_par

absorp-tion d’un

_photon

_optique

_kg-;

_puis

il absorbe un

pho-ton de

_{radiofréquence}

et _passe dans

_{I’état e+,}

n

_{2013 1 )>}

a

_{partir duquel}

a lieu 1’6mission d’un

_photon

op-tique k’ 0’+.

Nous supposerons le

_champ

de

_{radiofr6quence}

tour-nant circulaire droit _{par rapport} a

_HO(a+)

ou lin6aire

et

_{perpendiculaire}

a

_{Ho( 0’).}

Dans les deux cas, le

couplage

Y entre les deux 6tats intermediaires

_{e_, yx )}

et

e+, n - 1 >

est

_possible

_{(cf. appendice 1).}

L’amplitude

de diffusion

_{correspondant}

a

_(D3)

sera

importante,

si les deux transitions interm6diaires sont

reelles,

c’est-a-dire si

_(condition

de double

_{risonance) :}

Dans

_(D4),

1’atome subit une transition vers 1’etat

I e_, n),

puis

trois transitions successives de

radio-frequence qui

le conduisent a

_{1’6tat e+, n}

-

3 )

avant

de r66mettre le

_photon

_optique

diffuse. Nous avons

alors _quatre etats intermediaires de diffusion. Si

I.,

pour le

premier

etat interm6diaire. Si _coo =

3m,

elle

1’est

_egalement

_pour le

_quatrieme

etat interm6diaire.

Les deuxieme et troisieme 6tats interm6diaires ont alors

une

_energie

necessairement differente de

_1’energie

initiale : nous _avons, dans 1’6tat

_excite,

une transition

réelle a trois _quanta

_qui

s’effectue _par l’interm6diaire

de deux transitions virtuelles. 11 est facile de voir

que

(D4)

n’existe pas pour la

polarisation

0’+ du

champ

de

_{radiofréquence.}

En

_effet,

le

_couplage

entre les deuxieme et troisieme 6tats intermediaires

_{e+, n - 1 >}

et

e_, n - 2 )

est alors nul. Par _contre,

_(D4)

existe

pour la

polarisation

a.

On _peut

_imaginer

ais6ment des

_diagrammes

faisant

intervenir

_plus

de trois

_quanta

de

_{radiofr6quence}

et

correspondant

a _{des processus de double}

_resonance,

c’est-a-dire

_{impliquant :}

a)

Une « resonance

optique »

qui

se

produit

lorsque

1’energie

est conserv6e a

_{l’absorption}

du

_photon

incident;

b)

Une « resonance

magnetique »

qui

se

produit

lorsque 1’6nergie

est conserv6e a l’issue des transitions de

_{radiofr6quence}

avant 1’emission du

_{photon optique}

diffus6. Les

_diagrammes

de diffusion

_{correspondants}

comportent deux 6tats intermédiaires simultan6ment

r6sonnants,

condition

_qui

ne _peut etre

_{remplie qu’en}

un

_point

de croisement de deux niveaux de

,V’O.

D’autre

_part,

il faut 6videmment _que ces deux

niveaux de

_4’0

_qui

se croisent soient

couplis

_par V

puisqu’ils

figurent

sur le meme

diagramme.

La

conser-vation du moment

_cin6tique

_global

_{entraine que,} dans le cas d’un

champ

de

radiofréquence

tournant 0’+,

ceci ne se

produit

qu’aux points I n

tels _{que (ùo} =

to;

dans le cas d’un

_champ

a

polarisation

lin6aire a, il

faut _que l’on soit aux

_{points 121,+l}

tels _{que :}

Par _{contre, pour} une telle

polarisation,

aucun pro-cessus resonnant de ce _type n’est

possible

aux

points 121,

tels que (ùo =

2pm,

_car les niveaux

I e_, n >

et

I e,, n - 2p >

qui

s’y

croisent ne sont alors

_couples

a aucun ordre

_(cf.

appendice

_1).

Nous mettons

_cependant

en

evidence,

au

paragraphe

suivant,

de nouveaux

_types

de diffusion conduisant à

des resonances pour ces valeurs du

_champ.

D. INTERFERENCES ENTRE AMPLITUDES DE TRANSI-TION : L: NOUVEAUX PROCESSUS RESONNANTS. -

Suppo-sons maintenant _que les

_{photons optiques}

incidents

(diffuses)

ont une

_polarisation

coh6rente

ex (ex.) qui

permet

d’exciter

(de detecter)

l’atome dans chacun des deux sous-niveaux Zeeman de 1’6tat excite. Nous

avons alors :

En l’absence de

_{radiofréquence,}

_{le processus de}

diffusion

I kÀ > --*

I k’ À’ >

peut maintenant

et

e_ ).

Aux deux

_{diagrammes (D5 cx)}

et

_{(D5 P)}

_qui

partent

du meme etat _{initial pour aboutir} au meme

etat final sont associ6es deux

_amplitudes

de

_diffusion,

A+ et

A_,

qu’il

faut

_ajouter

_pour obtenir

_{l’amplitude}

de diffusion totale A =

A+

₊ A_.

La

_probabilite

de transition

_{WkÀ --+}

k’ À’ s’6crit alors :

2.1,

n’est

_important

_que si la transition interm6diaire

correspondante

est

_réelle,

c’est-a-dire si :

De

_meme,

A_ n’est

_important

_{que si :}

Le terme

_{d’interférence}

de

_WkÀ

_{k’ À’} est maximum

_lorsque

A+ et

A_ sont simultanement

_r6sonnants,

c’est-a-dire si

_{wo ;: r,}

c’est-a-dire encore au

_voisinage

du

croi-sement des deux niveaux en

_champ

nul

_(effet

Hanle) [12].

Des _{que Cùo} >

r,

les effets d’interference

prece-dents

_{disparaissent.}

_Cependant,

sous 1’effet du

cou-plage

avec la

_{radiofréquence,}

de nouveaux effets

d’interference

_peuvent

_apparaitre.

Ainsi la

diffu-sion )

I kÀ > I

k’X’ >

peut s’effectuer par les deux

chemins

_{(D6 a)}

et

_{(D6 P)}

_qui

ne sont « ouverts » tous

LE JOURNAL DE PHYSIQUE. -

T. 30. N° 1. JANVIER 1969.

les deux que si les deux

polarisations

ex et _ex, sont

coh6rentes. A ces deux chemins

qui correspondent

au

meme etat

_{initiallfnkÀ >}

et au meme etat

final Ifnk’?,’ >

correspondent

deux

_amplitudes

de diffusion

_Aa

et

_Ab

qui

vont interferer. La transition vers

l’ éta tIe +,

n

_{.- 1)}

marquee

par une fleche sur

_{(D6 oc)}

sera r6elle si :

De

_meme,

la transition vers

_1’6tat

_{e_, n}

₊

_{1 )}

marquee

par une f leche sur

_{(D6 P)}

sera r6elle si :

Les deux

_amplitudes

de diffusion

_Aa

et

_Ab

seront

donc simultan6ment

_importantes

si :

Le terme

_{d’interférence}

entre

_Aa

et

_Ab

est donc risonnant au

point

de croisement

_pair

_{In_1.}

On

_peut

_imaginer

aiS6ment des

_paires

de

dia-grammes d’ordre

plus

élevé donnant naissance a des

termes d’interference r6sonnants pour coo ==

2pco

(cf. diagrammes

(D7,x)

et

_{(D7 P)}

_{oH p}

=

2)

(on verifiera

toutefois ais6ment que de tels

diagrammes

n6cessitent

une

polarisation

lin6aire 6 du

champ

de

_{radiofr6quence}

alors _que

_{(D6 a)}

et

_{(D6 P)}

existent

_egalement

avec une

polarisation 6+).

Nous _voyons ainsi

_apparaitre

des resonances sur la

section efficace de

_diffusion,

li6es a des interferences

entre deux

_diagrammes

_comportant

chacun un etat

interm6diaire r6sonnant et d6crivant

_{1’absorption}

r6elle d’un

_{photon optique et}

d’un ou

_{plusieurs photons}

de

_{radiofr6quence}

_(on

voit en effet sur les

_diagrammes

(D6)

et

_(D7)

_{que 1’6tat intermédiaire résonnant n’est pas}

celui

_qui

suit imm6diatement

_{l’absorption}

du

_photon

simul-tanement r6sonnants sont ceux d’un croisement

pair

de

_Ho

_pour une

_polarisation

(j de la

radiofréquence.

N’6tant connect6s a aucun ordre

par V,

ils ne _peuvent

apparaitre

que sur deux

_diagrammes

differents,

les

deux chemins

_qui

interferent n’6tant simultan6ment

ouverts _que si les

_{polarisations}

des

_{photons optiques}

incidents et diffuses sont coh6rentes

_(6).

Notons la difference fondamentale avec les transitions a

plusieurs

quanta

6tudi6es

_plus

haut ou les deux 6tats r6sonnants

figurent

sur le meme

_diagramme.

II.

_{Etude quantitative.}

- Dans _ce

qui

precede,

nous avons decrit les

_phenomenes

de

_façon

intuitive

et a l’ ordre le

_plus

bas ou ils

_{apparaissent.}

Nous nous

proposons a

present

de

justifier

et de

pr6ciser

quanti-tativement les

_images

_qualitatives

du

_paragraphe

pr6-c6dent : il nous faut notamment montrer _que les effets r6sonnants decrits sont bien dus

_uniquement

aux

processus que nous avons

_indiqu6s,

et d’autre

_part

tenir

_compte

des corrections

_apport6es

_par tous les

processus de diffusion d’ordre

sup6rieur.

A. LA MATRICE DE TRANSITION T. - Les sections

efficaces de

_diffusion,

et _par suite les divers

_signaux

mesures,

se calculent a

_partir

de la matrice S de la theorie des collisions

_[13],

ou, ce

_qui

revient au

_meme,

de la matrice T d6finie _{par :}

Ei

et

_Ed

6tant les

_energies

des 6tats

_{initial I fnkx >}

et

final

Ifn’ k’ À’)

de la diffusion. Tout le

_probleme

consiste donc a calculer les

_amplitudes

de transition

fn’ k’À’

T

IfnkÀ).

T est donne _par

_{[13] :}

ou

_{--Y repr6sente}

le hamiltonien total :

T se

_pr6sente

ainsi comme le

_produit

de trois termes

decrivant successivement de droite a

_{gauche :}

a)

L’absorption

du

_photon

incident et 1’excitation

optique

de 1’atome

_{(E%iT) ;}

b)

L’évolution de 1’atome dans 1’etat excite sous

1’effet simultan6 des

_{couplages V}

et

_--Yi

avec le

_champ

de

_{radiofréquence}

et le

_champ

optique 1

i- + ZE

c )

La retomb6e de 1’atome dans 1’6tat fondamental

et 1’emission du

_photon

diffuse

_(/%fl).

(Nous

n6gligerons

dans toute _{la suite le processus}

antir6sonnant

_qui

_correspond

a 1’emission du

_photon

(6)

Il est en effet

_{indispensable}

_{que le}

_{premier (dernier)}

etat intermediaire de diffusion soit

_ditJérent

sur les deux

_diagrammes

_(donc

_{que les}

_{polarisations optiques}

soient

coherentes),

car il est

_impossible

d’atteindre à

partir

d’un meme _{etat par des transitions de}

radio-f requence

les deux niveaux r6sonnants

_qui

ne sont

couples

entre eux a aucun ordre.

diffusé

I k’ À’ > precedant 1’absorption

du

_photon

inci-dent

kX

>.)

Le

_couplage

_3fi

avec le

_champ

_optique

dans 1’etat excite est

_responsable

des effets radiatifs bien connus :

largeur

naturelle T et «

_{seIf-énergie »}

DE du niveau excite. La theorie de 1’6mission

_spontan6e

_[14]

_permet de montrer

_qu’on

tient

_compte

de ces effets en intro-duisant a la

_place

de

_Jfi

au d6nominateur de T

dans

_{II . A . 2}

le terme

_complexe

DE - i r

_(On

admet _que le

_couplage

de l’atome avec la

radiofr6-quence ne modifie _pas le _processus de 1’emission

spon-tanee,

ce

qui

est

_parfaitement

_justifi6

car la

radio-frequence

n’a _pas le _temps de se

coupler

au

_systeme

atomique

pendant

la duree tres courte des

pheno-m6nes transitoires lies a 1’emission

_spontanee

d’un

photon

optique.)

On a donc :

en introduisant le

_{propagateur :}

r

avec z =

E, +

z

r

_{( la self ener ie}

AE est

_{reinte ree}

dans --Yo).

2

Le _propagateur

_G(z)

_peut se

d6velopper

en

puis-sances de V :

On obtient

_finalement,

en

_reportant

_(II.

A.

₆₎

dans

(II.

A.

_4),

le

_{d6veloppement}

en s6rie de

perturbations

de la matrice de transition :

Les contributions de

_chaque

terme de

_{(II. A. 8)}

a

l’amplitude

de diffusion

_peuvent

etre

_repr6sent6es

_par

des

_diagrammes

du

_type

de ceux introduits

plus

haut

et

_qui

_permettent

de _{visualiser les divers processus}

physiques impliqu6s.

Réciproquement,

chaque

dia-gramme

correspond

de

façon

univoque

a un terme

alg6brique

du

_{d6veloppement}

de

_T,

tout vertex 6tant

associe a un element de matrice de V

ou 3fi,

tout etat

interm6diaire a 1’616ment de matrice

diagonal

corres-pondant

du

_propagateur

_Go.

Par

_exemple,

au

dia-gramme

(D1)

est associ6e

_{l’amplitude :}

Enfin,

par suite de l’indiscernabilité des

photons

de

deux

_{diagrammes qui}

ne different que _par

_1’6change

de

_photons

de

_{radiofr6quence}

_{(par exemple (Dg(x)}

et

(Dg))

correspondent

au meme processus

_physique.

I1

faut en

_garder

un seul

(celui

_par

exemple

ou les deux

lignes

de

_photons

ne se croisent

_pas).

B. RESOMMATION DES DIAGRAMMES. - On

voit,

d’apres (II. A. 8),

,

qu’entre l’absorption

du

photon

optique

incident et 1’emission du

_photon

diffuse l’atome

peut

subir

_{0, 1,}

_2,

..., q... interactions avec la

radio-frequence.

L’amplitude fn’k’X’l T IfnkX >

s’ob-tient en sommant les contributions de tous ces

processus.

Fixons

_1’energie

du

_{photon optique}

incident. Nous

remarquons que cette

_energie

ne

_peut

coincider

qu’avec

celle d’un

_petit

nombre d’états interm6diaires de diffusion : _par

_exemple,

dans le cas d’un

_spin

J

=

1/2,

nous avons au

_plus

deux 6tats r6sonnants a

et b aux

_points

de croisement de

_£0

_{(cf. fig.}

_1).

Ce

sont 6videmment ces 6tats

_qui

_apportent dans

_chaque

diagramme

la contribution la

_{plus importante}

a

1’am-plitude

de transition. On a donc int6r6t a

_distinguer

ces niveaux de tous les autres dans la resommation.

Dans ce

_but,

nous introduisons les

_projecteurs

P et

_Q,

projetant respectivement

dans et hors de la

_multiplicite

des niveaux interm6diaires r6sonnants et nous allons

6tablir une nouvelle

_expression

de T

_qui

_{particularise}

ces 6tats r6sonnants.

1.

_{Resommation formelle des diagrammes.}

- Nous

repré-senterons la diffusion la

_{plus g6n6rale}

_par la s6rie de

diagrammes

(D9)

dans

_lesquels

nous avons

_indique

en

pointill6

les niveaux initial et final i et d de la

diffusion,

en traits

_pleins

les

_propagateurs

des niveaux

interm6-diaires r6sonnants r; les

figures

ovales d6crivent une

diffusion soit

_directe,

soit indirecte _par l’intermédiaire de niveaux non

risonnants,

entre les 6tats

_qu’elles

relient.

Ainsi,

le

_premier

terme de

_(D9)

ne _comporte aucun

niveau

résonnant,

les termes suivants contiennent

suc-cessivement

1, 2, - - ., p...

6tats intermediaires ou

1’6nergie

est conserv6e. Nous avons ainsi effectue un

rearrangement

des termes du

_{d6veloppement}

_(II.

A.

₈₎

dans

_lequel

nous avons

_regroup6

ensemble tous les

processus ou le

systeme

subit un nombre donne de

transitions interm6diaires r6elles.

A

_chaque

_partie

des

_{diagrammes (D9) correspond}

une

expression alg6brique

bien d6finie : aux

propa-gateurs des niveaux r6sonnants

(traits

pleins)

corres-pondent

les elements de matrice de

_{PGo P;}

a chacune des

_figures

ovales

_{(vertex generalise)}

est associ6e une

s6rie de termes d6crivant une diffusion directe ou

indirecte via

_{1, 2,}

_{..., q...} niveaux tous non résonnants :

W est mis _pour

_afi

ou V suivant que l’on _{a, a}

1’extr6-mit6 de la chaine

_{correspondante,}

1’etat initial ou

final i

_{ou d,}

ou un etat r6sonnant r. La

_presence

du

projecteur Q

assure _que l’on ne _passe

_jamais

_par un

niveau r6sonnant.

(II.B.1)

se resomme formellement _pour donner :

Le

_{developpement}

de K en

puissances

de V

port6

dans

_(II.B.2)

redonne bien en effet

(II . B .1 ) .

En

factorisant la

_partie

centrale des

_diagrammes

_comprise

entre la

_premiere

et la derniere

_apparition

d’un niveau resonnant au cours de la

diffusion,

nous _pouvons

mettre

_(D9)

sous la forme

_(Djo).

Dans le

_premier

terme de

_(D10),

I’ ovale relie i et d. Il faut

donc,

dans

_(II.

B.

_{2), remplacer}

W _par

_3fi,

Les deux ovales

_{qui figurent}

a l’exterieur de la

parenthese

de

_(D10)

relient i ou d et un etat r6sonnant.

On a

donc, d’apres

_(II.

B.

_{2) :}

en _{posant :}

De

_meme,

_{toujours d’apres}

_{(II. B. 2) :}

Enfin,

tous les ovales

_figurant

a l’int6rieur de la

parenthese

de

_(D1o)

relient deux 6tats r6sonnants de

sorte _que

_{1’expression}

_alg6brique

_{correspondante}

est

(II. B. 2)

ou l’on

_remplace

W

_{par V,}

c’est-a-dire

encore :

Il _{s’ensuit que}

_{1’expression alg6brique correspondant}

a la

_parenthese

de

_(Dio)

s’ecrit :

PGo P

+

PGOPRPGOP + PGOPRPGOPRPGOP +

...

expression qui

se resomme _pour donner :

ce

qui,

d’ailleurs,

n’est autre _{que la}

_projection

PGP du

propagateur

«

Perturbl »

G(z) - z 1 V

dans o

la

_multiplicite

des 6tats r6sonnants. En

_effet,

on

_peut

manifestement

_{d6velopper PG(z)}

P en

_puissance

de V comme dans

_{(II . A . 6)}

et _regrouper les termes en

particularisant

les 6tats r6sonnants comme cela est fait dans la

_parenthese

de

_(D10).

Finalement,

1’expression alg6brique

de T associ6e

a

_(D10)

et obtenue en

_{particularisant}

les 6tats

r6son-nants s’ecrit :

Nous avons donne de

_(II.B.ll)

une demonstration

purement

diagrammatique.

On

_peut

en donner une

demonstration _purement

_alg6brique

_(cf.

_appendice

_2),

qui

a

l’avantage

d’etre

_plus

_rapide,

mais l’inconv6nient

d’etre moins

_physique.

2.

_{Approximations}

sur

_{la formule}

resommie. - Le

d6ve-loppement

en s6rie de

_{l’opérateur K}

et celui des

operateurs F,

F’ et R

_qui

_{s’expriment}

a l’aide de K

sont tres

_rapidement

_convergents

tant _que les elements

de matrice de V sont tres

_petits

devant co, car aucun

de leurs d6nominateurs

_d’energie

n’est r6sonnant. I1

en r6sulte _que l’on _peut

_remplacer,

dans

1’expres-sion

_{(II. B .11)}

_{de T,}

les elements de matrice de ces

op6rateurs

par leur

expression

a l’ordre le

plus

bas ou

ils sont non nuls.

D’autre _part, ces

_op6rateurs

sont en toute

_rigueur

des fonctions de la variable z =

Ei

-p

i

r

. mais ce

sont en fait des fonctions tres lentement variables au

voisinage

d’un croisement de niveaux de

_a£,

car aucun des d6nominateurs

d’6nergie

ne _peut

_diverger;

on _peut donc

_negliger

cette _{variation ainsi que le}

r

terme

1 2

et

_{remplacer z}

_par la valeur fixe E de

1’energie

au

_point

de croisement des niveaux. On

appellera

donc

_K,

_F,

F’ et R

_{1’expression}

a l’ordre le

_plus

_bas,

_pour la valeur z =

E,

des

op6rateurs

K,

F,

F’ et

_R,

et on

_remplacera

T par

_{1’expression}

approch6e :

Remarquons

bien

_qu’une

telle

_{approximation}

est net-tement _{meilleure que celle que l’on} fait en calculant T

a un certain ordre de

perturbation

en V selon

(II.

A.

8).

On obtient en effet T en

_remplaqant

dans

(D9)

chacune

des

_figures

ovales _par son

_expression

a l’ordre le

plus

bas

_{(avec z}

==

E) representee

dans

(D11)

par un

rec-tangle.

Ce

_faisant,

on resomme

cependant

une s6rie

infinie de

_diagrammes

_qui

font intervenir a tous les ordres les niveaux r6sonnants. On

_conçoit

ais6ment

qu’en

traitant ainsi de

_{faqon complete}

1’effet

pr6pon-d6rant de toutes les transitions r6elles et a l’ ordre le

plus

bas les effets tres faibles des transitions

_virtuelles,

on fait une

approximation

tres raisonnable.

3.

_Règle

de calcul de

_{l’amplitude}

de transition. -

L’am-plitude

de

_{transition fn’k’X’lTlfnkX>}

calculee

nombre

_{d’amplitudes}

_partielles

_{qui correspondent}

aux

differents elements de matrice de :

a l’int6rieur de la

_multiplicite

des niveaux

r6son-nants

_(r,

_r’...).

(II . B .12)

s’6crit en effet :

La

_regle

suivante _permet de calculer les differents

termes de

_{(11. B - 13)}

a

_partir

de

_diagrammes

a l’ordre le

_plus

bas.

a)

On commence _par determiner tous les

dia-grammes a l’ordre le

plus

bas

reliant

IfnkÀ>

à

Ifn’ k’ h’ )

et contenant soit aucun, soit un, soit deux

6tats interm6diaires resonnants differents.

b)

On conserve tel

quel

le

diagramme

non

r6son-nant, ce

qui

donne le

premier

terme de

_{(I I. B. 13).}

c)

Dans chacun des autres

_diagrammes,

on

_garde

les _propagateurs des chaines extremes non

resonnantes;

pour le

diagramme

contenant un seul etat

intermé-diaire

_{résonnant r,}

on

remplace

la

partie

centrale

(propagateur

r

C’o

I r >

de 1’etat

_r)

par 1’616ment

diagonal

de

_{6*3 ( r I G I r >}

_(on

obtient ainsi tous les

termes du deuxieme membre de

_{(II . B .13)}

correspon-dant a r =

r’) ;

pour le

diagramme

contenant deux

6tats interm6diaires r6sonnants

différents r, r’,

on

remplace

la

_partie

centrale ou « chaine »

r I GOPRPGO I r’ >

reliant r et r’

par ( r I G I r’ > (ce

qui

donne tous les

autres termes de

_{(I I .}

B

_{13)) :}

en d’autres termes, nous

effectuons sur les

_diagrammes

a l’ordre le

_plus

bas une

renormalisation du

_propagateur

de la

_partie

résonnante a 1’aide des elements de matrice de PGP. Illustrons

cette renormalisation par deux

exemples emprunt6s

au cas d’un

spin J

=

1/2

et d’un

_champ

de

radio-frequence

6 et relatifs au cas d’un croisement

pair

et

d’un croisement

_impair

de niveaux

_{(cffig. 1) :}

- Croisement

pair :

Les niveaux

_qui

se croisent ne

sont

_couples

a aucun ordre _{par V.}

L’op6rateur

PGP

est

_diagonal

et un

_diagramme

ne _{peut passer que par}

l’un des deux niveaux r6sonnants a la fois. Celui

_qui

passe par le niveau a, a l’ordre le

plus

bas,

_correspond

a

_{I’amplitude :}

La

_regle

de resommation revient a

_remplacer

par 1’element de matrice

diagonal

L’amplitude

devient :

Sous 1’effet des transitions virtuelles d6crites _par

_Roo,

le

_propagateur

_Cooo

du niveau r6sonnant a ete

renor-malis6 en

Coo,

ce

_qui

a _pour effet de

_d6placer

d’une

quantite

du second ordre en V

_{1’6nergie Ea}

de ce

niveau.

- Croisement

impair :

Les niveaux a et b

_qui

se

croisent sont

_couples

_par V.

_{L’op6rateur}

PGP a des

elements de matrice non

_{diagonaux :}

en inversant

z

- 0’0

- PRP

(qui

est dans ce cas

_simple

une

matrice 2 X

_2),

on obtient sans difficulte :

11 existe donc des

_diagrammes

_passant

successivement

par les deux niveaux r6sonnants a

et b,

le

diagramme

a l’ordre le

_plus

bas

_{correspondant}

a

_{l’amplitude}

de transition :

La

_regle

de resommation conduit a

_remplacer

la

_partie

r6sonnante entre crochets de

_{(II . B - 17)}

La resommation modifie

_donc,

dans ce cas,

profon-dement la structure des denominateurs

_d’énergie

r6sonnants. Nous verrons _que cette modification

cor-respond

non seulement a un

deplacement,

mais aussi

a un

_{61argissement}

des raies de resonance

_magnétique.

C. CALCUL DES SIGNAUX DE RESONANCE

MAGNPTIQUE.

- 1.

Expression

du

_{signal optique}

mesuri. - La

proba-bilit6 _par unite de

_temps

_{Wfnkh - fn’ k’h’}

de la

transition

IfnkX >

-

Ifn’k’X’ >

s’6crit,

en _supposant

differentes les directions de k et de k’ :

Comme nous ne detectons _pas les

photons

de

radio-frequence

et _que nous

n’analysons

_pas

1’energie

des

photons

optiques

diffuses,

mais seulement leur direc-tion et leur etat de

_{polarisation,}

nous devons sommer

la

_probabilit6

de transition sur tous les 6tats finaux

correspondant

a des nombres n’ de

_photons

de

radio-frequence

differents et a des

_{energies E,,}

differentes. D’autre

_{part, l’onde}

_optique

incidente n’est pas

mono-chromatique :

on _peut la considerer comme constitu6e

par un

_{m6lange statistique}

de

photons

_{I kX >}

dont la

r6partition

en

energie

est donnee par une fonction

u(Ek) centréeautourd’unevaleur Ek

de

_{largeura ( fig. 2).}

La

_probabilite

de diffusion de cette onde s’obtiendra

en

ponderant

la

probabilite (II. C .1)

_par la forme de

raie.

Finalement,

la section efficace de diffusion dans la direction k’ avec la

polarisation

_{ex, s’6crira}

(7) :

Nous _supposerons, dans la suite de cet

_article,

_que

1’excitation

_optique

s’effectue en raie

large («

broad-line ») :

:

(7)

Les formules

(II.C.2)

et

_{(II. C. 4)}

ne sont valables

en toute

_rigueur

_que si 1’etat fondamental est

diama-gnétique (voir

note

_(3)).

Il est facile de les

_{généraliser}

à

un cas ou 1’etat fondamental est

_{paramagnétique.}

En d’autres termes, le passage du train d’onde sur

l’atome s’effectue en un _temps

_1/A

tres court devant

tous les _temps d’evolution _{propre du}

_systeme

_atomique

couple

a la

_{radiofrequence.}

Cette

_hypothese

est

parfai-tement

_justifi6e

dans le cas ou l’irradiation

_optique

est r6alis6e avec une source ordinaire

(nous

r6servons

a un

prochain

article 1’etude du cas inverse ou la

largeur A

est tres faible

_(excitation

« narrow-line

_{») ) .}

Nous pouvons

alors,

dans

_(II.

C .

_{2), remplacer}

la fonction

_U(Ek)

par

l’unit6,

et la section efficace « broad-line » devient :

Remarquons

enfin _que nous avons

_suppose

_que

1’etat initial de la

_{radiofrequence}

est un

_etat

_In>

incohirent. Nous aborderons en

_appendice

4 le cas d’un

champ

de

_{radiofr6quence}

coherent et 1’6tude des

mo-dulations de la section efficace de diffusion

_optique.

2. Transitions rielles à

_plusieurs

_quanta

_(champ

de

radiofr6quence

en

_{polarisation a) .}

-

PIaçons-nous

dans les conditions

_{du §}

I. C

_(excitation

en _s-,

detec-tion en

a+;

seuls B- et

_B’

sont non

nuls)

et au

_voisinage

d’un

_point

de croisement

_impair

_coo =

(2p

_-)-

1)

o.

D’apres (11. C. 4),

le

_signal

observe est la somme

d’un certain nombre de termes

_{correspondant}

chacun

a un nombre donne n’ de

photons

de

radiofr6quence

dans 1’etat final de diffusion et a une

_{energie donnee Ek}

du

_photon

_optique

incident. Chacun des termes de

(II.

C.

₄₎

est calcul6 a

_partir

de la formule

_{(11. B. 12)}

(dont

nous

_rappelons

qu’elle

correspond,

bien

qu’ap-proch6e,

a la resommation d’une infinité de

dia-grammes).

Nous allons faire l’inventaire de tous les

termes de

_(II.

C.

₄₎

et montrer _que l’un d’entre eux

est

_{beaucoup plus grand}

_{que les} autres.

a)

Inventaire des

_diagrammes

risonnants. -

Supposons

n’ et

_E,

fixes et

_appelons

_{I a ) et}

_{I b >}

les deux niveaux interm6diaires r6sonnants _pour cette

_energie

du

_photon

coo =

(2p

+

1)

m different de

(2p + 1) photons

de

radiofrequence.

Conformément aux

_{règles du §}

II. B.

3,

seuls interviennent dans le calcul de

_{l’amplitude}

de transition les

_{diagrammes (Dl2oC, P,}

_y)

dans

_lesquels

les

_{rectangles repr6sentent,}

comme dans

_(D11),

1’ex-pression

a l’ordre le

_plus

bas des chaines d’etats non

r6sonnants reliant deux niveaux. La

_probabilite

de transition fait intervenir le

_produit

deux a deux des contributions de ces

_diagrammes.

Chacun de ces

pro-duits n’est r6sonnant dans le

_champ

_wo =

(2p

+

_{1) w}

que s’il contient simultaniment les

propagateurs

des deux 6tats r6sonnants

_différents

_{I a > et}

_{[ b )}

_qui

se

croisent dans ce

_{champ (cf. §}

I.

_C).

Nous devons donc

tenir _compte des

_{quatre types}

de

_produits

differents

repy6sent6s

diagrammatiquement

dans

_(D13

oc,

_P,

Y,

a)

-Etant _{donne que les}

_premier

et dernier 6tats

inter-m6diaires de diffusion sont

_identiques

dans les deux

diagrammes

d’un

_produit

_(ce

sont les

_etats

_{I e_, n >}

et

_e+,

n’

_»,

on voit _que dans chacun des

produits

on

_peut

mettre en evidence au moins deux « chaines »

d’6tats interm6diaires relies les uns aux autres _par

l’interaction V

_qui

_permettent

de _passer de a a b

(ces

« chaines » sont

_symbolisees

_par des fleches

sur

(Dl3))’

Chacune de ces « chaines » 6tant d’ordre au moins

2p

_-p

1,

chaque produit

a un ordre mini-mum

_{2(2p + 1).}

Nous allons voir

cependant

_que,

bien que les contributions des

_quatre

_produits

cx,

_P,

Y, 3

puissent

etre toutes du meme ordre en

_V,

c’est la

probabilite

de transition associ6e a

_(Dl3cx)

_qui

1’em-porte sur les autres : elle

_correspond

en effet au carr6 d’un

_diagramme

contenant deux transitions intermé-diaires r6elles et aura donc

_quatre

d6nominateurs

d’énergie

r6sonnants;

par contre, les termes d’inter-f6rence

_(Dl3P,

_y,

₃₎

ne contiennent chacun que deux ou trois niveaux r6sonnants et donnent donc des contributions d’un ordre

_{r I(i)}

ou

]p2/CO2

fois

plus petites

que celle de

(Digx),

donc totalement inobservables.

Finalement,

nous ne conserverons _{donc que le}

terme

_(D13CX).

Pour

_qu’il

soit effectivement d’ordre minimum

_2(2p

-}-

1),

il faut _que les chaines d’entrée

et de sortie de ces

_diagrammes

_(marquees

_par des

croix)

soient d’ordre zero en V

_(autrement

_dit,

se

r6duisent au

simple

vertex

_j).

En

_effet,

chacun des

rectangles

centraux de ces

diagrammes

est

_de’j*’a

d’ordre

_2p

-t- 1. Cette condition revient a

_imposer

au niveau suivant imm6diatement

_{l’absorption}

du

photon

optique

incident

I e_, n)

et au niveau

prece-dant imm6diatement 1’emission du

_photon

diffuse

I e+, n’ >

d’etre les niveaux

_resonnants

_{I a) et}

_{I b ).}

Le nombre de

_{photons n’}

= _{n -}

(2p + 1)

de 1’etat final est alors

_impose

ainsi _que le croisement de

niveaux

I a ) === e_, n >, I b > = e+, n

-

(2p

+

₁₎

).

Le seul

_diagramme

_qui

intervient dans le calcul du

signal

de resonance est _{alors celui que} nous avions

envisage

dans la

_partie

_qualitative

de notre etude

(dans

le cas de la transition coo =

3m)

qui

se trouve

ainsijustifiée.

L’atome est excite

_optiquement

de

_faqon

r6sonnante dans

_1’6tat

_{I e-, n >,}

subit

_(2p

-)-

₁₎

tran-sitions de

_{radiofr6quence}

dont la derniere le conduit

au niveau

_resonnant

_e+,

n -

_{(2p + 1)}

d’oii il

6met le

_photon

diffuse.

b)

Calcul du

_{signal. Interpritation}

_physique.

-

L’ampli-tude de

_transition,

renormalisee suivant les

_regles

du

_§

_{II . B . 3,}

se deduit

_simplement

de

_{(11. B. 18)}

en _y

faisant F = F’ = P :

Le

_signal

de resonance

_magnétique

s’obtient alors en _reportant

_(II.

C.

₅₎

dans

_(II.

C.

₄₎

et en

_integrant

sur les

energies

Ek

_par la m6thode des residus :