Mathématiques Seconde : Droites et fonctions affines
Thèmes Exercices de base
Ex.B1 : Équation réduite d’une droite Ex.B2 : Signe de
Ex.B3 : Équation cartésienne d’une droite Ex.B4 : Intersection de deux droites Exercices d’approfondissement
Ex.A1 : Exemples de parties du plan décrites par des inégalités Ex.A2 : Droites concourantes
Ex.A3 : Droites et mouvement uniforme (fonction affine par morceaux) Dans tous les exercices de base, on demande de choisir trois entiers .
On pourra les choisir parmi les 44 triplets suivants (6,8,9 est celui utilisé pour les corrigés) :
Énoncés Exercices de base
Ex.B1
1. Choisir trois entiers tels que et .
Dans un repère, on considère les points et a) Calculer, lorsqu’elle existe, la pente des droites et . b) Donner l’équation réduite de ces six droites.
c) Déterminer l’équation réduite de la parallèle à qui passe par . d) Vérifier sur un graphique.
2. Choisir trois entiers tels que et .
a) Tracer les droites suivantes données par leur équation réduite (préciser des points à coordonnées entières) : b) Pour tout (entier entre et inclus) donner la pente de la droite lorsqu’elle existe c) Soit le point de d’abscisse – et celui d’ordonnée .
Calculer les coordonnées de et et vérifier sur le graphique.
d) Démontrer que n’appartient pas à et déterminer l’équation réduite de la parallèle à qui passe par .
Ex.B2
1. Choisir trois entiers tels que et . Donner le tableau de signes des expressions suivantes :
a) b) c) d) e) 2. Choisir trois entiers tels que et .
Déterminer des expressions affines et dont les tableaux de signes sont donnés ci- dessous :
a)
b)
Ex.B3
1. Choisir trois entiers tels que et . Dans un repère donné, on considère les points et
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite sous la forme indiquée :
a) avec entiers b) c) d) 2. Choisir trois entiers tels que et .
Dans un repère donné, on considère la droite d’équation réduite
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite sous la forme indiquée :
a) avec entiers b) c) d) 3. Choisir trois entiers tels que et .
Dans un repère donné, on considère la droite d’équation . Déterminer la pente de cette droite :
a) À partir de deux points de la droite b) À partir de l’équation réduite de la droite Ex.B4
1. Choisir trois entiers tels que et .
Soit et les droites d’équations respectives et dans un repère donné.
a) Justifier que les droites sont sécantes en un point . b) Calculer les coordonnées du point .
c) Vérifier sur un graphique.
2. Choisir trois entiers tels que et .
Soit et les droites d’équations respectives et dans un repère donné.
a) Justifier que les droites sont sécantes en un point .
b) Calculer les coordonnées du point en utilisant les équations réduites puis en résolvant le système
par combinaisons linéaires.
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. Dans un repère orthonormé, hachurer les parties du plan définies par les inégalités suivantes : a)
b)
c) Donner des inégalités permettant de caractériser l’intérieur du parallélogramme de sommets et .
Ex.A2
1. Dans un repère donné, on considère les points et .
a) Démontrer que toutes les droites qui passent par , sauf une que l’on précisera, ont une équation de la forme où est un réel quelconque.
b) Trouver l’équation réduite de la droite à partir du résultat précédent.
c) On considère les droites d’équation réduite avec . Démontrer que toutes ces droites ont un point commun que l’on précisera.
2. Soit trois réels distincts et trois réels quelconques.
Dans un repère donné, on considère, pour tout , la droite d’équation réduite .
Démontrer que ces trois droites sont concourantes si, et seulement si,
Ex.A3
1. Deux points A et B sont distants de km.
Un cycliste effectue le trajet de A vers B à la vitesse de km/h, s’arrête pendant 20 minutes puis effectue le trajet de B vers A à la vitesse de 20 km/h.
Un coureur part de A en même temps que le cycliste et effectue le trajet de A vers B à la vitesse de 8 km/h.
a) Représenter les déplacements du cycliste et du coureur sur un graphique :
En abscisses, représenter le temps en minutes depuis l’instant de départ de A ( ) En ordonnées, représenter la distance en km depuis le point A (
Choisir une unité convenable sur chaque axe.
b) Trouver graphiquement à quel instant et à quelle distance de A le cycliste et le coureur vont se croiser.
c) On note la fonction dont la courbe représente le déplacement du cycliste et celle dont la courbe représente le déplacement du coureur.
Donner les expressions de et de (en km) en fonction de (en minutes).
d) Retrouver les résultats de la question b) par le calcul.
Méthodes et indications Exercices de base
Ex.B1
1. a) Si , la pente de la droite est
; sinon, elle n’existe pas.
b) La droite de pente qui passe par a pour équation réduite et la droite parallèle à l’axe des ordonnées (qui n’a pas de pente) qui passe par a pour équation réduite .
c) Deux droites parallèles ont la même pente.
2. a) On trouve des points sur la droite en choisissant et en calculant avec l’équation de la droite.
Le tableur de la calculatrice permet de visualiser plusieurs points d’un seul coup (faire varier de en à partir de )
b) La pente de la droite d’équation est .
c) Un point appartient à une droite d’équation si, et seulement si, .
Ex.B2
1. Commencer par chercher la valeur de pour laquelle l’expression donnée vaut . 2. Poser et résoudre .
Ex.B3
1. Si sont trois réels non nuls, on a
en divisant successivement par .
3. Prendre deux points quelconques en choisissant leur abscisse. Le plus simple est de prendre et . Ex.B4
1. Si , les droites d’équation et sont sécantes en un point et on a
2. On peut se ramener à l’exercice précédent ou résoudre un système de la forme . On trouve en multipliant par et par – ( ) et en ajoutant les deux égalités obtenues. De même, on trouve en multipliant par et par – ( ) et en ajoutant les deux égalités obtenues.
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. On se ramène à des ensembles des points définis par ou
qui sont délimités respectivement par les droites d’équations et ou par les droites d’équations et .
Ex.A2
1. c) Trouver le point d’intersection en prenant deux valeurs particulières de . Vérifier alors que ce point appartient à toutes les droites.
2. Les droites sont concourantes si, et seulement si, le point d’intersection de et appartient à Ex.A3
a) Les déplacements à vitesse constante sont représentés par des droites puisque la distance parcourue est proportionnelle au temps mis pour la parcourir.
c) Convertir les vitesses en km/mn.
Pour le cycliste, distinguer les trois phases de déplacement. La fonction est affine par morceaux.
d) Résoudre l’équation en distinguant les trois cas correspondants aux trois phases de déplacement du cycliste.
Corrigés Exercices de base
Ex.B1
1. On a et a) donc la droite n’a pas de pente.
La pente de la droite est donnée par
. De même,
, (car )
et
b) La droite a pour équation et la droite a pour équation . La droite a pour équation soit ou encore .
De même ou encore ou encore ou encore
c) La droite est parallèle à donc elle a la même pente que .
Comme elle passe par , elle a pour équation ou encore . d)
On vérifie les pentes des droites de la façon suivante :
La pente est positive si augmente quand augmente sur la droite et elle est négative si diminue quand augmente. On lit sa valeur absolue en traçant un triangle rectangle dont l’hypoténuse est sur la droite et dont les côtés sont parallèles aux axes. C’est alors le rapport de la longueur du côté parallèle à l’axe des ordonnées (« vertical ») sur celle de la longueur du côté parallèle à l’axe des abscisses (« horizontal »).
Par exemple pour la droite , la pente est positive et sa valeur absolue est égale à
. Si la droite a pour équation réduite , on peut vérifier que est la pente et que est l’ordonnée du point de la droite d’abscisse , c’est-à-dire du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. On vérifie souvent une valeur approchée ; par exemple pour .
2. a) passe par tous les points d’abscisse et par tous les points d’ordonnée . passe par les points de coordonnées etc…
passe par les points de coordonnées etc…
passe par les points de coordonnées etc… (voir ci-dessous) b) n’existe pas ; ; ; et
c) On a et, comme , . Donc De même et donc . On en déduit d) et ; donc n’appartient pas à . La droite a la même pente que et passe par donc son équation réduite est
c’est-à-dire ou encore
Ex.B2
1. On obtient les tableaux suivants : a)
b)
c)
d)
e)
2. a) On a . Posons .
On a . Or, d’après le tableau de signes, on a avec . On peut donc choisir et c’est-à-dire .
b) On a . Posons .
On a . Or, d’après le tableau de signes, on a avec . On peut donc choisir et c’est-à-dire .
Ex.B3
1. On a et . La pente de la droite est donc la droite a pour équation réduite soit (a)
(b) en divisant par (c) en divisant par (d) en divisant par
Remarque. La droite qui passe par et a pour équation .
2. La droite a pour équation ou encore (d)
en multipliant par (a)
(b) en divisant (a) par
(c) en divisant (a) par 3. La droite a pour équation .
a) Soit avec . On a donc
Soit avec . On a donc et Alors, comme , on a .
a) donc la droite a pour équation réduite . On retrouve .
Ex.B4
1. On a et
a) Les droites sont sécantes en un point car elles n’ont pas la même pente ( ).
b) On a et donc . Ainsi donc et
c) On a on vérifie avec et
2. On a et .
a) L’équation réduite de est et celle de est . Ces deux droites n’ont pas la même pente donc elles sont sécantes en un point . b) On a donc, en multipliant par ,
soit ou encore
Alors
.
Remarque. On peut aussi résoudre le système
par combinaisons linéaires : donne soit
donne soit
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. Dans un repère orthonormé, hachurer les parties du plan définies par les inégalités suivantes : a)
est délimitée par les droites d’équations : et b)
ou donc est délimitée par les droites d’équations : et
c) On a et .
L’intérieur du parallélogramme est donc caractérisé par – Ex.A2
1. Dans un repère donné, on considère les points et . a) Si la droite est parallèle à l’axe des ordonnée son équation est .
Sinon, elle a une pente et son équation est ou encore b) Comme la droite passe par , on a ou encore soit . La droite a donc pour équation ou encore .
Remarque. On pouvait aussi trouver en utilisant le fait que c’est la pente de la droite . c) Si , on obtient la droite d’équation et si la droite d’équation .
Ces deux droites se coupent en et on vérifie que ce point appartient aussi à toutes les autres car, pour tout , .
Finalement toutes les droites passent par
2. Comme , les droites et sont sécantes en un point .
On a donc
et
.
donc les droites sont concourantes si, et seulement si, Ex.A3
1. a) En abscisses, carreau correspond à minutes En ordonnées, carreau correspond à km.
À l’aller le cycliste effectue km en minutes donc il effectue km en minutes.
Au retour, il effectue km en minutes donc il effectue km en minutes.
Les déplacements se font à vitesse constante donc ils sont représentés par des droites.
b) Graphiquement le cycliste et le coureur se croisent quand les courbes qui représentent leurs déplacements se coupent c’est-à-dire entre et km de A et vers minutes c’est-à-dire h après leur départ.
c) On note la fonction dont la courbe représente le déplacement du cycliste et celle dont la courbe représente le déplacement du coureur.
Déterminons .
h mn donc km/h
km/mn km/mn donc, dans le déplacement de A vers B, on a donc soit . De plus .
De même km/h km/mn donc, dans le déplacement de B vers A, on a donc
car la distance parcourue par le cycliste est pendant le temps .
On a donc ou encore .
Finalement
Déterminons . On a km/h
km/mn
km/mn donc
d) On veut résoudre pour .
,
donc il n’y pas de solution pour ,
donc il n’y a pas de solution dans l’intervalle
,
On a (arrondi à la minute) donc ce qui prouve que c’est une solution de l’équation. Si alors (arrondi au mètre).
Conclusion. Le coureur et le cycliste se croisent h après leur départ et à m de A environ.
