ATS 2021-22 TD M10
ONDES LE LONG DES CORDES
1 Vitesse limite des trains élec- triques*
Le pantographe est le dispositif articulé des locomo- tives électriques (TGV par exemple) en contact avec les ca- ténaires : fils conducteurs sous tension chargés d’alimenter le train. Ces derniers ont un diamètre d de 12 mm et sont en cuivre (ρ= 8.9 103 kg.m−3).
Le passage du pantographe, et la force de soulève- ment verticale qu’il exerce sur la caténaire, la fait osciller selon une amplitude pouvant atteindre 30 cm à très grande vitesse. En pratique la tension mécanique des caténaires est assurée par des tendeurs munis de contrepoids de 1000 kg (cylindre dans le bas de la photo ci dessous).
1. En utilisant le résultat du cours sur les cordes, déterminer la vitesse c à laquelle se déplace, le long de la caténaire, l’onde mécanique provoquée par les coups de pantographe. Que se passe-t-il si le train dépasse celle-ci ?
2. Proposer des solutions pratiques (et critiquez les) permettant d’augmenter cette vitesse de propa- gation (record TGV Est : 574 km/h) ? Comment variec en été ?
Réponse : 1)c= 98m/s
2 Vérification des hypothèses*
1. Parmi les approximations du modèle de corde étu- diée en cours figure le caractère supposément né- gligeable du poids de la corde devant sa tension.
Vérifier l’opportunité de cette hypothèse dans le cas d’une corde de guitare tendue àF = 100N, de masse linéique 1g/met mesurant 63cm.
2. Estimer l’ordre de grandeur des anglesαque fait la corde d’une guitare lorsqu’on en joue raison- nablement. Préciser l’erreur relative commise en confondantαet tanα.
3 Forme d’une "chaînette"**
Dans le cas où l’inertie d’une corde n’est plus négli- geable (cas de câbles métalliques, des chaînes...), la pesan- teur doit être pris en compte pour interpréter la dynamique ou la statique de celle-ci.
La forme d’un câble au repos est caractéristique de cet effet (cf photo ci-dessous) et le but de l’exercice est de trouver l’équation mathématique d’une corde pesante sta- tique, attachée à ses deux extrémités mais non tendue.
On considère que la corde est de masse linéique µ, et que l’angle α(x, t) que fait la tangente en x à la corde avec l’horizontal reste faible, de sorte qu’on puisse faire des développements limités.
On ne considère aucune perturbation ou onde, chaque point de la corde est en équilibre.
1. Faites l’inventaire des forces subies par un élé- ment de cordedl, représentez-les et projetez-les.
2. Montrer que la tension est constante en norme le long de la corde (on la notera ensuite To et sera considérée connue), puis déterminer l’équa- tion différentielle vérifiée pary(x).
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3. Déterminer l’équation de la corde y(x) et comparer-la à la photo du Golden Gate Bridge.
Vérifier la cohérence de la dépendance enTo.
Réponse : 3)y= 2Tµg
o(x2−L42)
4 Etude d’une corde par oscillations forcées**
Soit une corde de longueur L, de masse linéique µ, fixée à ses deux extrémités, et tendue avec une tension T. Soity(x, t) le champ décrivant la perturbation le long de la corde.
1. Rappeler l’expression de la célérité des ondes transversales le long d’une telle corde.
2. Quelle(s) condition(s) est(sont) imposée(s) aux ondes solutions par le fait que la corde soit atta- chée à ses deux bouts ? Dessiner intuitivement les 4 premiers modes propres stationnaires le long de cette corde. En déduire graphiquement le lien qu’il y a entre la longueur d’onde du nième mode propre λn et L.
3. Calculer µ sachant que L = 80 cm, T = 0.5 N et qu’en excitant la corde on observe 2 fuseaux à f2= 15Hzet 3 fuseaux à f3= 23Hz.
4. Etude théorique. Soit le dispositif de Melde : l’extrémité x = L d’une corde est fixée (les- tée par une masse M) et un opérateur impose à son extrémité x= 0 un déplacement transversal y(0, t) =acosωt.
(a) Trouver l’expression de l’amplitude des ondes stationnaires compatibles avec les conditions aux limites de l’exercice, en fonction dea, k, Let un entier.
(b) Déterminer l’expression des fréquences fn pour les lesquelles le vibreur fait résonner la corde. Commentaire.
Réponse : 3) µ = T /(L2f22) = 3.5 g/m 4a) ym =
a cos(kL−(2m+1)π/2)
5 Réflexion d’une onde sur une corde accrochée à un mur**
Soit une corde semi-infinie de masse linéiqueµ fixée sur un mur à l’une de ses extrémités (enx= 0) et tendue à l’autre avec une masse m. Au repos la corde est confondue avec l’axe (Ox) sur l’intervalle [−∞; 0].
1. Un expérimentateur produit une déformation si- nusoïdale en un point de la corde situé loin du mur. Proposer une expression mathématique yi(x, t) de l’onde se dirigeant vers le mur, en la choisissant à l’origine des phases. Comment qua- lifier cette onde ?
2. Ecrire la condition aux limites en x= 0. L’onde précédente peut-elle y satisfaire seule ? Interpré- ter le phénomène qui se produit et décrivez le mathématiquement en introduisant une nouvelle grandeur.
3. Appliquer la condition aux limites et déduisez- en l’expression et la nature de l’onde résultante y(x, t). Commentaire.
Formulaire :cos(a)−cos(b) = 2 sin(a+b2 ) sin(a−b2 )
Réponse : 3)y(x, t) =−2Asin(ωt) sin(kx)
6 Corde vibrante dont une extrê- mité est mobile***
On considère que la corde (de tension T uniforme, de masse linéique µ) est reliée en x = 0 à un point sans masse pouvant se déplacer librement le long de l’axe (Oy).
Ce point est accroché à un ressort de raideurKo, au repos quand l’extrêmité de la corde est à l’élongationy(0, t) = 0.
On suppose que l’autre extrémité de la corde est immobile : y(L, t) = 0.
1. Rappeler l’équation aux dérivées partielles véri- fiée par l’élongationy(x, t). On étudie les modes propres de vibrations de la corde en cherchant une solution sous la forme :
y(x, t) =Y(x).cos(ωt)
Etablir l’équation vérifiée par Y(x). On posera k=ω/c.
2. A l’aide de la condition enx=L exprimerY(x) en fonction de k, L, x et une constante. On pourra ne pas tenir compte d’une quantification si elle sans conséquence notable.
3. A l’aide de la condition en x = 0, produite par l’application du PFD au point sans masse, établir une relation entre ∂y∂x(0, t) ety(0, t).
4. En déduire que tan(kL) vérifie une équation im- plicite, dont les solutionskforment une suite dis- crète kn. En déduire l’équation vérifiée par les pulsations propresωn. On ne cherchera pas à ré- soudre.
5. Vers quelle valeur faire tendre la raideur du res- sort pour modéliser le cas d’une corde attachée à ses DEUX extrémités ? Déduire de la question précédente, l’expression des pulsations propres Ωn d’une corde attachée à ses deux extrémités et montrer que ΩnL/c=nπ.
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6. Tracer sur un même graphe d’abscisse ωL/c, l’allure des fonctions tan(ωL/c) et −ωT /(Koc).
Pointer lesωn et comparer les aux Ωn. Détermi- ner l’effet général sur les fréquences propres de la corde, de la prise en compte de l’élasticité d’une extrémité.
Réponse : 2) Y(x) = A(−1)p+1sin(k(x − L)) ; 3) T∂y∂x(0, t) =Koy(0, t) ; 4) tan(ωncL) =−ωKnT
oc
7 Modes propres d’une corde libre à une extrémité**
Soit une corde de longueur d, et de tension T, ac- crochée enx= 0 et terminée en x=d par un anneau sans masse coulissant sans frottement le long d’une tige verticale.
On supposera partout que l’angle que fait la corde avec l’ho- rizontal est très petit. On perturbe cette corde.
1. Représenter sur le schéma, à un instant quel- conque, les forces subies par l’anneau. Projeter les dans la base en fonction de l’angle α(d). En écrivant le PFD à l’anneau montrer que la condi- tion aux limites enx=dimpose :
∂y
∂x(d, t) = 0
Quelle est la deuxième condition aux limites im- posée à la corde ?
2. Partir d’une onde stationnaire quelconque et dé- duire les fréquencesfnimposées par les conditions aux limites (fréquences propres du problème).
3. Tracer les 3 premiers modes propres et retrou- ver graphiquement l’expression des fréquences propres.
Réponse : 2)fp= 2p−14d c
8 Questions de cours**
1. Appliquer le PFD à l’élément de corde situé entre xetx+dx, de coordonnées (x, y). Projeter le sur les 2 dimensions utiles du problème et simplifier ces 2 équations en s’appuyant sur la petitesse des anglesα.
2. En déduire que la force de tension de la corde est constante en norme.
3. En déduire l’équation de propagation des ondes le long des cordes, vérifiées pary(x, t). Quel nom porte cette équation et quelle est l’expression de la célérité des ondes décrites par cette celle-ci ?
9 Equation de propagation des ondes acoustiques*
On fournit l’équation différentielle vérifiée par la sur- pression acoustiquep(x, t), grandeur perturbée lors du pas- sage d’une onde sonore dans un fluide :
∂2p
∂t2 = 1 µoχs
∂2p
∂x2
avec µo la masse volumique du fluide et χS son coefficient de compressibilité (= sa facilité à être comprimer/dilater).
Exprimer la célérité des ondes sonores. Faire une ana- logie avec les ondes le long des cordes concernant la raideur et l’inertie du milieu.
Synthèse du chapitre
Objectifs principaux Exos
Je sais établir l’équation d’onde des cordes vibrantes : PFD à l’élément, DL, utilisation de α. Je connais α = ∂y∂x et les développements limités de cos, sin, tan.
3,6,8
Je sais reconnaître l’équation de d’Alembert et iden- tifier la célérité
8,9 Je connais l’expression de la célérité des ondes sur les cordes
1,4,7 Je sais résoudre rigoureusement une équation du type cos(Φ) = 0
4,6,7 Je sais utiliser des CL pour déterminer les solutions stationnaires (modes propres) d’une corde de lon- gueur finie (attachée aux deux bouts, excitée à l’un, libre à l’un...etc)
4,6,7
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