COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE
ANGLE SOLIDE SOUS-TENDU EN UN POINT PAR UN DISQUE CIRCULAIRE
par
Louis GILLY
Centre d'Etudes Nucléaires de Grenoble
Rapport CEA-R-4521
1974
Ja*
SERVICE DE DOCUMENTATION
C.E.N • SACLAY B.P. n ' 2 , 9 1 190 • GIF-sur-YVETTE - France
PLAN DE CLASSIFICATION DES HAPPORTS ET BIBLIOGRAPHIES CEA (Classification du système international de documentation nucléaire SIDON/INIS)
A 11 Physique théorique A 12 Physique atomique et moléculaire A 13 Physique de l'état condensé
A 14 Physique des plasmas et réactions thermomicléaires A 15 Astrophysique, cosmologie et rayonnements cosmiques A 16 Conversion directe d'énergie
A 17 Physique des basses températures A 20 Physique «les hautes énergies A 30 Physique neutronique et physique nucléaire B 11 Analyse chimique et isotopique
8 12 Chimie minérale, chimie organique et physico-chimie B 13 Radiochimie et chimie nucléaire
B 14 Chimie sous rayonnement 8 15 Corrosion B 16 Traileroeirt d« combustible
B 21 Métaux et alliages (production et fabrication) B 22 Métaux et alliages (structure et propriétés physiques) B 23 Céramiques et cermets
B 24 Matières plastiques et autres matériaux B 25 Effets des rayonnements sur les propriétés physiques
des matériaux 8 30 Sciences de la terre
C 10 Action de l'irradiation externe en biologie C 20 Action des radioisotopes et leur cinétique
C 30 Utilisation des traceurs dans les sciences de la vie C 4Xî Sciences de îa vie . autres études C 50 Radioprotection et environnement D 10 Isotopes et sources de rayonnements D 20 Applications des isotopes et des rayonnements
Thermodynamique et mécanique des fluides Cryogénie
instaUatioru pilotes et laboratoires Explosions nucléaires
installations pour manipulatioa de matériaux radioactifs
Accélérateurs Essais des matériaux Réacicuts nu délires (*n général) Réacteurs nucléaires (types) Instrumentation
Effluents et déchets radioactifs Economie
Législation nucléaire Documentation nucléaire Sauvegarde et contrôle
Méthodes mathématiques et codes de calcul Divers
E 11 E 12 E 13 E 14 E IS E 16 E 17 e 20 E 30 E 40 E 50 F 10 F 20 F 30 F 40 F 50 r 60
Rapport CEA-R-4S21 Cots-matière tie ce rapport : D.15
OESCRIPTION-WATIEfiE fmots clefs extraits du thésaurus SIDON/INIS}
en français GEOMETRIE ERREURS RENDEMENT
SOURCES DE RAYONNEMENTS DETECTION DU RAYONNEMENT TUBES COMPTEURS DE GEÎGER-MÛLLER DIMENSIONS
DISTANCE INTEGRALES
en anglais GEOMETRY ERRORS EFFICIENCY RADIATION SOURCES RADIATION DETECTION GEÎGER-MÛLLER COUNTERS DIMENSIONS
DISTANCE INTEGRALS
- Rapport CEA-R-4521 -
I I I
i Centre d'Etudes Nucléaires de Grenoble Laboratoire de Méthodes Nouvelles de Mesures de Rayonnements i
ANGLE SOLIDE SOUS-TENDU EN UN POINT PAR UN DISQUE CIRCULAIRE
par
- Janvier 1974 -
CEA-R-4531 - CIL.LY Louts
AKGLF. SOLiOE SOUS-TRNDU EN UN POINT P A S UN DISQUE CIRCULAIRE S o m m a i r e . • Les méthodes de calcul de l'angle solide aous-tendu par un c e r c l e en oh point r-ont anolyei-es, La notion d'ongle Bolide c amplement a i r e cet Intro- d u i s , o i ie pL-rmet la îialaon ontro ongle solide sous-lentlu p a r an c e r c l e ei nngli» solide aoua-tendu p a r una s p h e r e . Le ena <* le point consider* est o«- t O n e u r 4 l ' a r c do revolution du c e r c l e , fait l'objet d'une elud* tJt'toillic, L e s calcula c o r r e i p o s d a n t » sont ç î a s a t s inethudi<iuement ; calcul» p a r développe- ments en a c n é s , p a r i n t é g r a l e définie, p»r i n t é g r a l e * c u r v i l i g n e s , p a r inte- gral*» ellinUi|UGE, p a r analogie e l e c t r o s la tique, p a r Lpprcnimoilen g é o m é t r i - que. Une etiH.e complumentalr= originale e s t effectuée en partant d'une i o n n u - le duc a JAF;"EY. E l l e concerne l e s v a r i a t i o n s d e s angleo s o l i d e s , e n fonc- tion de l e u r s diver* p a r a m è t r e s . Ceci conduit Ala Rot Ion de r é s e a u r e c l l l l p : c el tit rtocBJ s i m i l a i r e puaiCdnnl des proprieties de l o n s o r s a t t o n . L e u r e x t r a - polation dane m e s p a c e reetasgiUflirc cat ïr-dia.uc'e. Quetoues.applications dans Je domaine de la Physique NucKalrc sont mentionnée* a t i t r e d'exemple. La bibliographie i s i complétée p a r une n n a l j s e detatllee d e s Table* numériques
1374 .. Commi isarinl 4 l'Energie Atomique - F r a n c e 10fl p.
CEA-H-4Sai - GILL.Y Louis
SOLID ANGLE SUBTENDED AT A POINT BY A CIRCULAR DISC Summary. - MeUods oT calculation of solid a n g l e s , subicnded by a c i r c l e at a poini a r c analyied. Complementary solid anale notion (a introduced, it facili- ties a ccnneetioi between the eolttJ angle oubtendeé by a c i r c l e , and Hie «olid onglt subtended by a surface. Case of which ih» peint ts et an off-azls posi- tion, i s deseriti !d in dcMÛ : corrcepoadiBg CSÎCUÎBB a r e meiïipdlcnîîy c l a a e i - fied aa follow : s e r ï e a deve!opn.*r,ts, defined i n t e g r a l , c u r v i l i n e a r i n t e g r a l s , elliptic I n t e g r a l s , e l e c t r o s t a t i c analogy, approximated geometric method. An oricln.il coroplen cr.lary «tudy is made froca IAFFEY'» formula at the beein- ntng. H (a concerning variations of solid tr-gle* *lth different p a r a m e t e r s . It lead» to notion o- r e c t i l i n e a r and c i r c u l a r distribution» which nave p r o p e r t i e s of ctjuai oolld angles. Ext r e m u a i on of them i r feetangular space la a l s o fiivsn. AppUcatior.B tn Nuclear Physics a r e added ae «naropica. Liât of n u m e - ric T a b l e s complete blUosrsphj-,
13T4 - C o m m i s s a r i a t 5 i ' E n e r f f e Atomique - F r o n c e 1GB p.
ANGLE SOLIDE SOUS-TENDU EN UN POINT PAR UN DISQUE CIRCULAIRE
1 - INTHODUCTION
Lee calcula d'angles solidvcs interviennent dans de trfcs nombreux d>>mainils 1J0 In Science et de la Technique. Ceint qui sont sous-tendus en un point par un contour vîreulaire sont souvent la base de calculs plua complexes, et occuj^nt ainsi une importance partie jliCre.
2 - DEFINITION (Figure I) [ 1 ]
Soit une portion de surface (S) intérieure a un contour (C). Suppurons que U-uU' droite passant par l'origine 0 des coordonnées, et intérieur*1 nu i <n\i- do sorruir'i Ci avaiit pour directrice le contour (C), rencontre la surface (S) en un seal point M . Soit (i.; la H|JII<'TO de rayon unité centrée en 0 et (Y) le contour déterminé sur cette sphere par los général rit-os du eflne ccnsldéré. L'angle solide sous lequel du point 0 est vue in surface (S) est l'aire n de la portion de sphère unité, intérieure au contour (y) , Désignons par dS' l'aire de la pi-oji'i' - tion orthogonale de l'aire élémentaire dS appartenant ù (S), sur le plûL. perpendiculaire i-n M il OM . Soit w l ' a n g e aigu que fait ce plan avec le plan tangent en M 1 (S). Les élément;; d'airo dS et dS' sont liés par la relation :
dS' = dS eos 'ii
L'angle solide élémentaire dC correspond pa<* homothétie de centre 0 et de rapp ' — A l'élément d'aire H£' :
dS cos m
d
" = F "
(DV'-BJ-)
D'où la formule fondamentale :
« • JJ — r
Si noua orientons la surface (S) er. désignant par côté exte- ur celui opposé BU point 0 , et si n est le vecteur unitaire de la demi-nor maie extérieur, et H le vecteur ayant pour mesure — — le long de OM , nous avons :
La formule O! peuî ainsi s ' é c r i r e sous la forms (2) :
JJ(S) "ISI « S , t . ! *> 3 / 2
D'où la définition suivante ;
- L'angle solide (fi) est égal au (lux du vecteur Mil - grad (- —) fl travers le 1 , cOté extérieur de la surface (S).
- L'angle solide d'une portion quelconque do surrace orientée par rapport nu point 0 est égal a l'intégrale de surface (2) étendue au côté positif de cette portion de surface.
3 - ANGLE SOLIDE DETERMINE PAR UN CERCLE ET UN POINT DE SON AXE DE REVOLUTION
3.1 - Calcul (Figure 2) [ 2 ]
Soit (C) une circonférence de centre C et de rayon a , dont le plan <-sl orthofiunnl à l'axe des z , située à la distance z de l'origine 0 des coordonnées. En désignant par Q (a,z) l'angle solide sous lequel est vu le disque circulaire (C) depuis le point 0 de son axe, nous avons :
fila, a) = 2 , (1 - CO
y désigne le demi-angle au sommet du cfine de révolution déterminé par le point 0 et ia circon- férence (C). L'angle solide fj s'exprime en stéradians.
ri fonction de a et de c 3a formule (3) peut PB mettre a
nia.») - 2 t (1 .
~~T7l
nia.») - 2 t (1 . nia.») - 2 t (1 .
vQ^J 1
En faisant intervenir la longueur D d'une génératrice du cOne considéré, (4) prendra la nouvelle forme (51 :
Cl {a.KÏ = a * [i • D »
f 2 Cl {a.KÏ = a * [i • D »
U » + i)
a) Var.Uitlon,en Jonction de, l.'anjflfc , fl. (Figure 3)
Cette étude sera effectuée à partir de la formule (3). Le second membre est une fonction périodiquo do péricde 2 ir «t la tangente en un poim de ïa courbe représentative a pour pente 2 n sln g . L,e Tableau 1 donne pour quelques valeurs de 0 , la valeur de f (9) oî celle de la pente - — au point correspondant de la courbe.
Pour 9 = -T- on obtient l'angle solide sous lequel, d'un point donne, ou voit tout le plan. Pour 8 - T , cet angle solide qui vaut 4 ir est celui eoua lequel, d'un point donné, e«l vu tout l'espace.
TABLEAU 1
0 £1 = 2 # (1 - oos 9) d n dO
D 0 0
-t vT '
-f VI
« V~2-r -
. \HT-f
2 ff 3 .T!
f
3 .T » \TT3
i -
2 , ( 1 +^ , JT v ^ T5
- r
2 » Il + - JVT"
3 1 s \TT•
4 , 0b) Varifltign_en fonction de a
Nous considérons les variations d'angle solide qui interviennent quand le plan de la circonférence (C} se déplace parallèlement à lui-même, son centre parc Jurant l'ase Ox et son rayon restant constant. La distance OC peut ainsi être une fonction s (t) d'un parain.it.-e t . L'inégalité ("v J i1 (t) < 0 permet de conclure que les variations de z et de fi sont inverse;, l'une de l'eutre.
- Exemple : Supposons que z (t) aoit de la forme : z il) = A + Bt
Pour t - 0
^
V (A + E
a) z- (t) > o nt < n0
b) a' ft) < o nt > n0
Quand t varie entre t et t , l'angle solide fl (t) aufait une variation :
[ (A + Btj) V |A + B t2)2 + a2 - (A + Btg) V (A + B t ^ VCfA + Btt ) + a ] C(A + Bt r + B * ]
Plaçons-nous dare> l'hypothèse où t, < t : a' (0 > o n < y - nfrj» < o z' U) <r o o<t2ï - nttj) > o
c) Varia tion_en fonction de a (Figure 4) [ 2 ]
Ces variations interviennent nut animent quand le rayon a de la circonférence (C) dépend d'un paramètre variable t , la distance z restant constante. L'accroissement de a entraîne celui du demi-angle au sommet 6 , et par suite, celui de l'angle solide [î, Pour a croissant indéfiniment, 8 tend vers ~ ~ , et fl tend vers l'angle solide sous lequel du point 0 on voit tout le plan, c'est-à-dire 2 n .
La Figure 4 présente la courbe représentative des variations de fl (a, z) . T obtenues à partir de l'équation (4). Sur la mfime figure, sont également t r a c é e s les courbes représentant les variations de l'approximation du premier ordre issue de l'équation (7) (courbe d'approximation extérieure), n s'y trouve de ^ m e la courtae obtenue à partir de l'équation (9) (approximation intérieure).
3.3 - Calculs approchés
Lo développement du second membre de la formule (4) conduit h l'expression
1
^"
i
fl'V"*
, <£' **
p
£ ^
^ - * -
•JiS*»**
» C
. ' •
^^
.•"•y, ^ f ^ / /
/
I 1
•u» aw a° i
Figure 4
J
J" • ' I • " - V t ï < T ' - f < T > * - Î T
(t ) •••••I
Cette dernière equation peut encore s'écrire sous la forme
Les deux premiers lermss de ce développement donnent une précision de 1 • / . pour toutes les valeurs de z ^ 3a .
Si z eel petit, ondêveloppe 0 [a.z) en fonction de — .
n !«.=) = a » z 1 z S 3 z S 5 z '
Les deux premiers termes donnent une précision de 1 °/B pour toute valeur de . vérifiant l'inégalité z <• 0,27a.
4 - ANGLE SOLIDE DETERMINE PAR UNE SPHERE ET UN POINT 4.1 - Calcul (Figure 5) [ 2 ]
L'étude de ce cas géométrique se ramène au cas précédent. Considérons une sphère de centre 1 et de rayon a- , vue sous l'angle solide fi depuis le point Û , Soit R la distance qui sépare l os points 0 et 1 , et a le rayon de la circonférence de centre C d é t e r m i . née comme courbe de contact du cOne de sommet 0 , et de la sphère (1, a ). L'angle solide sous-tondu par la sphère (1, a^ depuis le point 0 est la fraction de l'espace situé dans le cOne de révolution de sommet 0 , et dont les génératrices s'appuient sur la sphère considérée.
La circonférence ( C . a ) limite une calotte sphérique d'aire ; AS ' r R (1 . cos 0)
(D'opril-p]}
L'angle Bolide f)„ correspondant a donc pour valeur :
B désigne le demf-angle eu sommet du cOne correspondant.
Noua trouvons ainsi en (S) l'expression do l'an^c solide sous ]cqti"l v circonférence depuis un point de son axe.
Cette formule peut s'exprimer en fonction du rayon a dL- la sptuVi- c distance R qui sépare son centre au point 0 [Figure G} :
n-V'-<V
a , de la circcnférenrP do contai
lï \
•sfè \
~v —Y
* \ \ \
\ \ '
\ \ \
V
. 4\ -S,
* L \
*>*
>
x ::
3 _ V - - -
\____ 4 V_. __
4- ^__
\
i n1
„...E...
« -taot
DV«-w-)
Ainsi n'apparaît explicitement que le rapport des contact et de la sphère.
s de iii t-iri-miféri
* -2 - Cqlcul aflproch,?
Le développement par la formule du binOme de {7) dun ne [mur i-sprr;
approchée de n :
'\\ »,
2j
"s
l^l
1 * 4^ ' •"• 1
Le terme - — est le quotient de l'aire intérieure u une section iirlnciii.il B
de la sphère, par le carré de la distance de son centre au point 0 . a 2
Pour R = 5 a, , le terme -— (-r-*) apporte une correction rii- ( */. . 4 ' B '
b> J*_U
Le point 0 est alors situe sur la sphère (1, a^ m fl =• 1! * . L'angle «i.li.le ns
est a'.ors celui, aoas lequel du polm 0 , on voit le plan tangent en ce point, a la spher»*.
c) R _ ^ a , +_1_ (1 petit)
t >5= 2 „
• • ^ ' • t ^ >
, en fonction de H et de a,
« s -2'
« s -2'
>-V"t-"l
,-^'t-".
J
•î. 3 - Calcul des irrariileui-s associée;
En désignant par fi , l'angle solide sous lequel e8t vue 1B circonférence de .intact (C) de centre c et de rayon a , située à la distance d du point Q , nous obtenons les expressions suivantes :
\[77>
aD
- [
H - a, sin 0 1
aD
- [
y (R - aj sin 0)2 + a ,2 c e s2 S j La formule (16) ne fait pas apparaître explicitement lu distance d du point 0 au plan de la circonférence de contact dont ia longueur L a pour voleur ;h = 2 ir o , C09 Q
L = 2
^\T^F
L'aire ultérieur a cette circonférence est donnée par : S = » [ a / . l R - if 3 4 , 4 - Angle solide complément a ire (Figure 51
Nous appejerons angle solide complémentaire de l'angle solide fi sous lequel ent vue la KphCre ;S) depuis le point 0 , l'angle solide 0 sous lequel est vue la circonférence de contact (C) du cOno associé a 0 , depuis le centre l de la sphère.
En conservant î os mêmes notations, nous aurons successivement :
W
sT V , - »
13 -
D'où, par conséquent, l'exproanion de In somme dj- deux angles solides complétneni.-urcn : Dg^-rt-g » 2 i I 2 - (coa fl + sinfl) \
S : demi-angle au sommet du cdne de révolution de sommet 0 et admettant la viri-uWoren^o (Cl pour directrice.
5 - ANGLE SOLIDE SOUS-TENDU PAR UN CERCLE EN UN POINT EXTEtlEEUH A >.ON AXi:
j Ca3c«l par développements en aérien I
5.1 - Premiere méthode (E.L. SECREST} (Figure 7) I . ' ]
L'expression générale de l'angle solide élémentaire a été donnée pi-ecétlemmi-nt dfi =
Avec îes notations de celte figure, l'angle solide élémentaire df) BOUM leqov, du point A, on aperçoit l'éîément de surface p d p d i du cercle de rayon a . s'exprime \>ar l'équation ;
R p cos O d p (1$
dO . •i/2
( D ' ^ - K - )
L'angle solide cherché, t,1 obtient par Integration étendue & tout le disque : . 2 (r ,. a
DU encore
Jo h '" *"
c o s " — J o < • •
H p d p
- 2 H psin S cos 6)' 3 / 2
sin B eos e)
En posant x = -™ et y = sin fl cos $ , l'expression générale (20) de l'angle solide prend la forme
• J > V*
<<« ( 2 1 ) A v e c l ' h y p o t h e s * f a i t e i c i , s e l o n l a q u e l l e a ^ 1 , l ' e x p r e s s i o n p l a j é e s o u e l e s i f i n e s o m m e p r e n d l a f o r m e ;1 I x . j l = ; 1 1 - (1 - » j ) £ 1
- »
. - 0 ^ nC
2 (y) désigne le polynôme de Gegentiauer de dogrè n et d'indice «•• , L ea propriétés de récurrence de c e s polynômes conduisent a :« • + - n / - ~ \ 3 / 2
1 tx.y) = I — ( (y] (22
L'intégrale (21) peut donc a'êcrire ;
n = cos e r
.Ï: * r c::
(sin 8 cog | ) d f^ 3 / 2
( ^ desifne le polynflme de GCpenbauet- de dejrrê (n - 3) et d'Indice 3/2,
La conaidératlon de la parité de n conduit à deux eus dUlliicis :
Z , , 21*2 C """ "
i ( i a ( 124)' • * • , , » * ! f » ^-.3/2
: 11 • M 0 X g, <,1 I r liin 0 cm î) il { 1251
° " 2 ' * ' J 0 ^ 2 1 * 1
Si 3 est impair, ie po?.ynSme de C e ^ n b a u e r I s'exprime R..an la
^ 2 I + 1
Z ^ ^2 1 rif+U 5
( (y) « 1- D1 2 y ^ — F <- l.î T | : 3/2 ; y",
Le second membre est une fonction impaire de COB t et l'intégrale correspon- dante diâparstt dans ce eus.
Si n est pair, en posant x " cos $ , l'intégrale associée devien! .-
i * ; ; ; : * « »2 s ) »2t > - »> ; ai
( - i ) ' 2 r l | + l ) f î
) . r (f ) Jo
nt finalement une ea
f
2' ^ '
2, 2r,.+f)
DI ( W<HM-D» r- h ^
J o ^ 2 i . r (jl ' 2 > * i
iné comme étant égal a :
» • = n r2* 3.
1 v
f C
» » 1 J 0 V» - ' B 2 = 2
P
1 2 t + 1 On obtient finalement une expression faisant intervenir dee polynômes de Legendre :
c o s f l f ( (y} d î = { - i ï ' » * ^ - f — ' (cas Bî
n , qui a été précédemment donné comme étant égal S : - 2 » 3/2
tsln 9 cas f) à f
peut donc se mettre gems la forme suivante, en posant n - 2 = 2 1
Ù~**2 t — * -
1 = 0 a + i > . r t-r>
En tenant compte dee propriétéc de la fonction T et de la combinaison Ç j ,
I î = 2?x2 2
0 V _ v . l f2 1 + l
ans laquelle ( indique le coefficient binominal et où 0 g S ç —g- . Nous avons, d'une manière générale :
l = + «• 1 + 1 „ . (—•,
X r~ (~> u
2iP (
1 = 0 \ _ I ' 2 1 + 1
Cette série a pour terme principal èea, l'erreur effectuée en arrêtant le moindre que le frv + 1} ternie pris en valeur absolue
h + 2
3 0 . D'aprèa les propriétés des ième
terme een
» < ^ ) x3n + 2 p f |C 0 38 | i (29)
Ainsi, le premier terme représente il à 1 ' / , , ù condition d'avoir :
ft3 a 37, S 5 c o s2 8 - 3 a2 <3QÎ
La Figure 8 représente î e8 variations de ™ _ calculées à partir de 3a formule (28), ainsi que son approximation du premier ordre obtenue pour B = 3a .
b) R_i_a_ [ 2 ]
On pose dans ce cas, z = et y = sin S cos î , et l'expression générale de Cl donnée sous forme d'intégrale définie en (2Q) devient :
'I:"T^7 \Fr-
u>
/^sT~^t>- /
zto
•KO*
Xy^Pr"
/
>C A£A \^-"\ 7—"-^C / ^ \
/
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?C ' 1 / x j^\ \ \ ££.
/ /^^^jC *
ato*
1KÏ*
zso' n o '
/^sA\ XV / \ \ V-V~
-*C / X X J T \ Il•wo*
^^^cX-^
27Û SO"
* ^ | 1
too so1
£W*
7tf 300 CO*
i t t "
3 2 0 to'
\
\
(l>'.pris-[2^)
Le terme contenant le radical peut être écrit sous la forme ; 1_
<*-y) " ^ zn r~*2 (y)
]_
où [ ^ (y) est le polynflme de Gegenbauer de degré n et d'indice —, si bien que l'expres- sion sous ïe signe fomrae do (33 ) s'écrit :
-y) I "C
2qui se réduit finalement a :
1
n = 1
L'expression générale de fl donnée ci-desBous devient :
r 2 ir „ = + « n .
= cos fl f -. ••— M, 7~ - cos 8 S -^—
I [ J 1 + ein B cos } | I n = 1
2 jr 3/2
La première Intégrale a pour valeur 2 -a . Celles rencontrées dans la sommatioi par rapport à n , sont du type de celles Intervenant dans le cas R > a .
Pour n = 2 1 *-1 , l eB résultats obtenus au paragraphe H > a donnent : 2 * 3/2
'-•'J. G , '
(- i )!2 . r a + f )i ! r (
il p
et conduisent à la valeur zéro dans les autres c a s . On en déduit le développement suivant de fi :
I = + - 2 1 + 1 (- lfrd+p
2 1 + 1
ii r é
En faisant intervenir les coefficients binomijux
t P t.-.
C\-
ce développementC •*"• P '
^—•* I ' 2 1 * 1
136) se réduit à (8) pour 8 = 0.
A toute voJourdc 1 comprise erstre 0 et - , correspond une serre nfioi second membre de (36) contient leur GnmmaUon :
duitc en arrêtant lee séries au ï • n terme s e r a inférieure à 2 n + 3
C i R».
e) H _ L 3 _
Dans ce cas, i;l et l'équation (21) deyient :
fl = ces E _ i
Cette dernière équation se décompose en deux intégrales définies. I.a pr^mUTi- ;i pour valeur Z s e t , en remplaçant dans la seconde y par sin 0 cos * , on obtient :
2_eos_a / et
\i~P J 0 (1 + sin 9 cos »> \j~T- Le changement de variable t ° cos -J- conduit S
n= 2 » - 2 V 2 coa 6 1 dt ...
(I - sin 9) y ' i + s t o f l - j Q { 1 + v li j y ^ _ t2} ( 1 fc2 ,2,
2nsln « _ 1 * sin G . 2 1 - ssn a " i - sin a
H apparaît ainsi au aecond membre de l'expression (10), une ir.tegrale cSHptique complète du troisième ordre.
j
t20 -
5.2 - Peuxiùmc méthode JA.H. JAFFEV)
a* ÇâlSHlS^ïâÇÎS. ÎPigurc 9) [ 3 1
En conservant les notations de l'article analysé, la formule générale de dérinitlor
- / / ,
dA H Dfip désigne l'angle solide sous-tendu au point P par la surface circulaire d'aire A et de rayons a .
En appelant Gp - """ , ïe facteur géométrique d« système considéré, l a P méthode exposée utilise lu propriété qu'a Up , de satisfaire a l'équation de Laplace, et d'etre symétrique autour de l'axe tie revolution du contour circulaire,
A. H. JAFFEY ; -) J qu'à partir de cette propriété, pour les voleurs de p et D satisfaisant a l'inégalité -~~ «r 1 . on obtient le développement :
t'apù -13^
Le m<?me d^veloppemeol peut g'ecrire ;
•-•«,•**.?,
ii ^ r
1^ ^ . s
(- D " 14 n - 2 k l .1
(2 n - k) ! (2 n - 2 k + 1 ) • 1 > ! k !
C— et G correspondent a la m£me valeur de z .
Les coefficients M s'exprimer' a l'aide des polynômes de l.o gendre conduit a é c r i r e la formule (43] sous la forme
°P-°P.
+Ï ?, - T ^ ' ë - ^ - ^ n . , » ^ ' » » - ' - ^ '
" u = P - l-K-l
P„„ <») = <- D 1-3.5 (2 n - 1) <- U (3 n) I 2-*-6 2n " ^ n . l . Z
L'expression (46) présente l'avantage d'iitDiser des polynômes de Leetndrc talniKs Pour * - t r è s voisin de l'unité, il est préférable d'utiliser la forme (49) :
GP -GP ' * ï f ï X, 2 i rP2 n " > "p- 2 n1 <^ f rl
La précision et le détail des Tablée de la fonction dérivée P' na sont malheu- reusement pas aussi élevés que ceux des Tables des polynômes de Legendre,
Le terme général de chacune des séries de (43) et (49) ne fait apparaître p qu'ut seule !t>is par so s puissances successives paires. Cette propriétés est particulièrement exploi- table quand le point P se déplace dans un plan parallèle a celui du cercle. Il suffit dang ce dernier cas, pour chacune des positions P, de calculer les puissances correspondantes de p , le reste de chaque terme demeure valable.
Les séries considérées ne convergent pas pour p > D et convergeDt seulement lentement dans le voisinage de p = D.
Une autre méthode a été proposée par L .H. ZUMWALT [4 ] . En utilisant un développement en séries blnomiales, suivi d'une intégration terme à terme, cet auteur a obtenu une série qui converge pour toutes les valeurs de p :
l > ; (A, - j A I
, n ! ,2
\-\«0 • JVI°> * **„
Ao ' ' : Al
1
b) C a l l u s jiper.ocMf b. 1 - Formules
La différence Gp - G„, étant voisine du second ordre en p , on j»>ul «rnivi-nt effectuer l'approximation qui consiste à remplacer Gp par Ci . ï'aur m» faiMe val*'m* dt* ~f.
on peut utiliser l'équation :
C p - Gp, • - | P2 [ " ^ 1 )
Si -a- est également petit, on utilisera l'expressi
b . 2 - Variation du rapport ——
" GP ' b . 2,1 - E n fonction de p
Le coefficient de B~ donB (S31 a une valeur maximum pour s voiuin dr 0, B .-•
Une variation donnée do p aura d'autant plus d'influence sur la valeur du rapport —— qu>-
s e r a vole in de 0,8 a. r'
Pour les iaibles voleurs du rapport , nous AVOAB approxim.ilivi'mF-ni :
o
p= | « - i - i -
En conséquence, pouf tes points P proches du plan du disque circulaire, C „ varie irfc-, peu • fonction de (j , c'eat-à-dlre en fonction du déplacement de p par rapport a l'axe géuRtctriqu*.
du Bystème.
Pour les vxieurs importantes de = , l'équation (53) montrf de m<*n»' qut> C f
«lors t r è s peu influencé par les variations de p . b . 2 . 2 - En fonction de a
La considération du second membre de (52) donne :
<SG„
d z
La variation relative de Gp l , donc de Gp , pour un déplacement donné dss , s'accroli lentement quand z varie de 0 a 0, 6 a et décroît ensuite quand z augmente.
5. 3 - Compléments
Cette étude e s t faite en partant de la formule (43).
o) Variations de G eii jonction.de a_.
Nous considèions le cas où le point P est fixe par rapport au repère constitué par le plan du disque et son axe de révolution, et où le rayon du diBque dépena d'un paramètre variable t . En posant a = a ( t ) ; z = c ; D = C . l'équation (43) conduit à l'Inégalité :
dG
( - j p - ï - a f t ) , a' (1) > n
!
D en resul'.e que, les variations de Gp (t) et de a (t) ont toujours lieu dans le me"me sens. L'équation suivante donne la variation d'angle solide correspondant à une variation donnée du rayon du disque circulaire,
GP ' V -GP < V • Gp . ' V - Gp . " i >= iDpt.1 ta (V -a < V]
b) YâT.i3ÏlPI>ë.-d£._G D
Le cas ici envisagé, est celui où la distance p du point P à l'axe du disque, est fonction d'un paramétre variable t , La différence de6 valeurr G— (p ) et Gp {p ) correspon- dant a deux valeurs û=p l t , ) et e , = p (t,) a pour express». ' :
^ l y * - u n = l 24 n( n J )Z
G - étant une fonction décroissante de p , s £ p, - p , :> 0 , nous aurons Gp (p J - G„ (p_) < t
c' Variations de G en fonction de z
Le point P décrivant une droite parallèle à l'axe du disque, nous étudierons les variations de Gp qui en résultent. Nous supposerons deux positions P, et P de P , définies
respectivement par les voleurs z, et ï , * j , auxquelles correspondent les aiigjei; »o]jdi>»
C tp{ ï , ) e t C_ ( z2t , La valeur de G „ décroît avec !'éloigne ment du point P d u d i s q u e . Dans le cas particulier où P est situé dana le plan du disque, a l'Intérieur de la circoitferviitt' qui lt> limite, noua retrouvons l'angle solide sous lequel d'un point donné eal vu loul l» p!.i", c'i-,,1 .
&~dire 2 ir, La variation de G„ considérée a pour expression :
GPfel|- ' V = 2l"-2 D - k . o K ' " -
; v - 2 * > ) ,
Mk <v. ^ [V - ^ • . io!li! : ' 2k: ' i i ! i . i
dl Variation» de ç. en fonction de p
Considérons le cas où le point P décrit une droite rixe C a i située dans u parallèle au plan du disque. A chaque position du point P sur cette droite (Figure 1 o) ci pond une valeur de p qui mesure toujours la distance du point P à 3'axe du dtequi* circt
Soit H la projection orthogonale du point P' eur la droite ( à) et d la distance HP' . En choisissant un sens de parcours arbitraire sur [ 4) , quand le point P décrit cette droite de - m a •*• a, o varie depuis + =• , décroît jusqu'à un minimum égal a d pour croître à nouveat indéfiniment. En même temps que cette variation de p , Gp croît, passe par un maximum et décroît a nouveau quand P s'éloigne sur la droite ; a ) . Le maximum de O est donné par l'équation suivante ;
A deux positions de P , symétriques par rapport â H , correspondent deux valeu égales pour o , donc deux valeurs égales pour l'angle solide G . Le plan passant par l'axe di disque, et orthogonal à ( a ) constitue un plan de symétrie du système géométrique étudié.
A toute droite ( ù ) donnée appartenant au plan | n ) mené par P ' parallèlement au plan du disque, correspondent trois outres droites (A,) . ( à , ) , (ù ,) possédant les mêmes propriétés (Figure 11 ). Ces quatre droites se coupent en quatre points constituant les sommets d'un carré dont le point P1 occupe le centre. Ce c a r r é est entièrement déterminé par la donnée de la direction ({,) et la valeur de d . Eri conservant (0) et en faisant varier d , on obtient dans le plan (=•) un réseau de droites orthogonales qu'on peut repérer par rapport fL deux axes de coordonnées rectangulaires qui leur sont parallèles. Soit (D) une droite quelconque passant par P' . Elle coupe (û 1 et (û„l respectivement aux points P , et P symétriques par rappoi au centre P1 du réseau. Ces points correspondent ù la même valeur de p , donc à une môme valeur de l'angle solide G . Elle coupe de même les droites (û ) et (4 | aux points P„ et 1 qui correspondent à une mffme valeur de l'angle solide, différente de la précédente, l'ne droite (o.) donr.ee peut être considérée comme le lieu des points P , tels que C ait un maximum C (d.) donné.
En faisant varier z , le plan (TT) se déplace parallèlement à l'axe du disque et le considérations précédentes demeurent valables dans chacun des pions (ir.) considérés. Chaque droite (a.) génère un ensemble de droites parallèles (t -.) constituant les arfftes de cubes qui admettent tous, le point P ' pour centre. Toute droite passant par P ' et non située dans un plan (n ). coupe deux plans [% ) et [t) symétriques, en deux points M et M qui correspondent a ur.e même valeur de p et à des valeurs de a différentes. A ceg points, correspondent dee angles solides différente G 1Q , z I et Gp (o, z. ), La même droite coupe lea plans {ir,} et liig) symétriques par rapport au plan (ir) , en deux points N. et N„ caractérisés par la même valeur de p . et deux valeura différentes de z . Lea sommets du réseau cubique considéré pos- sèdent la propriété remarquable suivante, Pour un cube donné, les quatre sommets situés dans un même plan (ir.) correspondent à une même valeur d'angle solide, et ceux appartenant au plan d . (ï caractérisent une autre valeur, différente de la précédente. En considérant un ensemble de n mailles cubiques centrées en P' , déterminées comme il a été dit précédemment, il lui correspondra "T" valeurs distinctes d'ongles solides,
Wr
e) Variations de G_ , le [joint P dec rjvant^unejijr conference
Supposons que le point P décrive une circcnfêreoce {C! du plan (v) centrée on P".
Tous 1«H points de (C) nant caractérisés par une même valeur de p et de z . Cette circonférence constitue donc dans le plan, le lieu dea points P pour lesquels l'anglp solide G a une valeur constante (Figure 12), Noua pouvons ainsi dans le plan In) mené par P" parallclcmtirt au plan du disque, t r a c e r des circonférences correspondant chacune a une valeur donnée de G . Chacune de ces circonférences peut être considérée comme engendrée pur rotation autour de P', du point H défini précédemment, îa droite {BJ qui lui est associée, admet la circonférence (CJ pour enveloppe. A l'ensemble des droites parallèles du plan (c ], supposées deu* à deux symétriques par rapport au point P ' , correspond l'ensemble des circonférences du plan, en nombre moitié
de celui dee droites. Toute translation du plan (») effectuée pa r a i l clement a l'axe du disque circulaire, entraîne la génération par chaque circonférence (C) d'un cylindre circulaire de ré lution, coaxial à l'axe du disque. D en résulte l'existence d'un ensemble de cyllndrea circulai!
de révolution, coaxiaux au diique donné et tels que, le long d'une génératrice rectiligne de chï d'eux, p soit constant et z variable. On passe du réseau cubique étudié précédemment, à et ensemble de cylindres, par rotation de l'ensemble des maûles cubiques autour de leur axe de symétrie.
5.4 - Troisième méthode (L.B. ZUMWALT) (Figure 13) [ 4 ]
On considère une circonférence de rayon B vue du point S sous l'angle solide : et on désigne respectivement par h et p les distances de S au plan du disque et à. son axe de révolution. D est la distance séparant S du centre de la circonférence, et d sa distance au point P du disque de coordonnées polaires r et $ . L'élément de surfare entourant le point a pour aire r d r d f , et 8' est l'angle que Tait SP avec la normale au plan du disque, menée par S .
L'angle solide élémentaire sous-tendu par l'élément de surface r dr d* depuis le point S , a pour expression ;
L'angle Bolide £1 soue-tendu au point S par tout le disque, s'obtient en Intégrai par rapport à r , entre r = 0 et r = n ;
a - î h f t * - * - * — F — = r - ? " " " + h2» , j -,,
, 2 n D En posant b = - r ~ - 3** Obtient
D + R
2 V ! _ (J L ) ç* 1 + <-%-, {-§-) cos;
D'où, en développant l'élément différentiel en puissances de (-^-)
+ u tAs(b> - f r Vb> 3 ' F u l f i l Aa 'b> - fA7 ,b>]<-D> * • • • 3 Tf „ a ' t ' * ï t A2 IM - £ A, I»)] (5-) *f t A, ibi - •§• A3 V 1 • (g-i
L e s coefficients A, (b) ont lea valeurs suivantes ; A. (b) • ; >
V»' ' it" *ï
b25s
"6 ™ 102* t +7W<> * î » +• . I ' I .1. .
A7( b' - 2 M Bb * S l * l lb +ï >
6435 8 231
3ZÎ6fl " 10Z4 735 b + S b + J
fn'ftù-isty
L'intégrale précédente peut a
D ( z . a . e ) - 2 ir ] S 10) p d0 Hirj)
^ ^ , > L d 1 dC
dans laquelle — apparaît n rois.
En faisant intervenir les variations d'intensité d'un point de la source à un juin S (p) se met sous la forme L S p p , la contribution de chaque terme est considérée s6|u rément et la substitution de S p dans (65) conduit à :
1/2 j =
D = 2 sr S y «2J
2i „ ! i2
i - o 2 -J[ j ! ) '
< v + «">
! + e2) ' /2
2 2 J*P ]
C E )
2' "
1En posant G (R) 4 n R du détecteur, donne l'angle solide 0 ( z , 3 , c) :
(z + e )
et S = 1 , l'expression (G4) de la reprmse M {•/.,
fa | " ! Î % Dd p d 9
"Z , a'£ | " ~" 2 2 1 5 7 5"
J o j o [,'tp tt'.!ipc«l) 2 2 1/2
On obtient ainsi la formule suivante valable pour e < (ï + a |
0 =
ï " Th
R£
i o m 1
1- Dm 2 l ï
[2(n+m ) - i 0 =
ï " Th
R£
i o m 1 ( n - m } ! (n + m-
i l . ™ ! >
2f " r a l — l ' I " " " r El ! W r t 2 ^ a » + ^
L . . 2 . 3,J ^ - L . . 2 . 2 . J ' • '
4 | l2 + t2 ,l / 2 n = 0 4 ( z2 + s3) * k = 0 4 (Z 2+e 2) ( n - k ) ! |n+k)! ( k l )2 (Gï Les équations (67) et (68) permettent le calcul de fl pour toutes l es valeurs de.
paramètres.
5. G - Ç i i ^ ^ m e j n é t h g d e (M.W. GARRETT) a) Généralités [ 6 ]
Cet article complète la publication [ 3 ] de A.H. JAPFEY donnant plusieurs développements en série, M.W. GARRETT re marque que les auteurs qui ont publié sur ce se ,-;ont partis de points de départ différents et ont mené leurs calculs indépendamment de la litté ,ure antérieure sur les champs magnétiques et les inductances mutuelles.
Toutes les séries proposées ont des termes en progressions harmoniques sauf l'une d'elles. q u i cst l'équation (51). Dans l'article de A. H. JAFFEy; [ 3 ] , s t a d e ces aérjes sont explicitées ainsi que quatre autres ^ui en sont déduites par combinaisons algébriques. Le six formes proposées ainsi que deux ai.trcs, proviennent de deux séries complémentaires dorn par Clerk MAXWELL [ 7] , Sur les ruit séries distinctes données pour G et G , cinq sont éliminer. Pour le calcul de Gp , d a ns le domaine de validité des variables, deux séries soin concurrentes ; mais elles convergent différemment sauf dans un domaine étroit.
bl Choix des s é r i e s
Les notations adoptées sont celles de la Figure 5. Le disque circulaire de rayon ; a pour centre C et est vue sous l'angle solide G depuis le pain; P. r e l u i . c i om éli'ipiv iU- la distance p de l'axe de révolution du disque, et de la distance z de son pl.iri. 1 >• pnîni I" ili'-sic In projection de P sur l'axe do la circonférence, et D egt la distance de I" a un [mini ar-lùtiai- rement choisi sur celle-ci. Si, Q est un point quelconque du ceÎ-tie. It el 1 (l^sijîiM'ni i-i's|*-r- tivement lea distances de P nu point Q et au centre O . Ces divers par.inielros verim-n! ten relations :
D2 .a2 • ,2
l2 • z2 • P2
J,C. MAXWELL f 7] a (tonné deux séries Harmoniques pour l'angle .solide fl sous-tendu en P par le cercle de rayon a . Soit 0 une origine arbitraire sur l'axe C I " , r et r sont l eB distances respectives de 0 à un point quelconque de la circon.'érenct' de raynn ,-t
et au point P .
On considère deux cas distincts suivant que P egt situé à l'intérieur ou A l'exté- rieur de la sphère de centre 0 et de rayon r .
- P est a l'intérieur de la sphère : les premières séries de Maxwell en puisânni-**;
de {- ' -) convergent.
- P eat b. l'extérieur de la sphère : les secondes séries de Maxwell en pinssanirs de f——J convergent.
Dons les Jeux cas les plus simples, 0 coincide avec C' ou avec P', - 0 est en P ' : r = D et r = p et les deux séries générales prenra-nt ti-s formes :
. 1 2 » p n to> p« < ^ - ï ir— ) ] (pou.
n = 2 , 4 . . . "
°*" * ~y „*!,.... ^
p»"»->vt-"T'
L'équation (69) est située dans l'article [ 3 ~ de A, H. JAFFEy, - 0 est en C : r = a et r = 1 .
c p
La solution générale de Maxwell se réduit a deux séries dont la pn-mi n puissance de (—-—).
Cp = - £ ^- Pn (0) Pn = t {-*-) {-f) (pour o > a) [71)
La seconde de ces séries est en puissances de (—) : n - - 2 n «
S " ! t ' -n2o P2„ I ° I - P2 n + 1 • <T> 1 <™
Les equations (71) et 172) ci-dessus, correspondent respectivement aux équations (7b) et (7a) de [ 3 ] .
Les relations D" = a + z~ et 1 = z + p entraînent les inégalités a < O et - < 1 d'où l'on déduit :
- Pour n < 1 , l'équation (7Q) converge, et d'autre part, a < D < o < l . f l e r i résulte que (71 ) converge plus rapidement que (70) et est la meilleure équation.
- Pour 1 < a , l'équation (72) converge, et d'autre part, p < 1 < a < D . D en résulte que (69) converge plus rapidement que (72) et est la meilleurs equation.
Le résultat de cette discussion peut ainsi se résumer : p < a on utQise l'équation (69) p > a on utilise l'équation (71) c) Calculs pratiques
Les calculs algébriques sur les s é r i e s harmoniques, leur intégration, leur diffe- rentiation, e t c . . , sont faciles à effectuer sur leurs expressions générales. L'auteur re command le calcul direct à partir des formes générales de ces séries, et jamais it partir des polynfimes constitués par quelques-uns de leurs t e r m e s . Il préfère effectuer les calculs à l'aide de r e l a - tions de- récurrence, plutflt qu'à l'aide de Tables,
Les 16 premières fonctions P (0) , P' (0) et —— apparaissent sous une forme convenable pour les calculs, dans la Table V de la référence [ 8 ] . Si les Tables sont utilisées pour le calcul de P ' (u) , la meilleure tabulation directe est celle de Z, MUBSI [ 9 ] , D e s ! parfois plus pratique, de calculer P ' (u) , a partir des Tables de P (u) . Cette méthode donne P" (u) pour au moins quatre formes, me"me quand u = 0, 909 et conduit lea séries jusqu'à 1 Fi termes (jusqu'à P1 ). Pour toute série totalement paire ou Impaire, les meilleures formules utilisables pour ce calcul sont :
- 35 -
P «n i l lu) ' P 'n^ (u) + (2 n+t) Fn ,u) [7-0
Ces équations présentent l'avantage d'utiliser seulement til's "rdn-s nlU't-irfs il.-s fonctions tabulées. Ainsi P (*>) d'ordre onze, suffi! pour ihatune iK-s sftii's it)ii&fU?v*».
Le Tableau 2, publié dans l'article [ 1 0 ] de M.W. cAHHETT dut)ne li'x 7 ou 8 coefficients <*es fonctions tie Legendre P M e( de ieura dérivées premières !" m] itar rapport a u .
Chacune de ces fonctions peut s'écrir ; BOUS la forme :
Pn( u > = «n ( Anun- An_2 u " "2 * A «n""* - . . - . ) 17S1
P 'n( u > - M1^ ( A 'n_( u " "1 - A 'n 3 u " "3^ A 'n_5u " "5- . . . ) 17") A toute valeur de n donnée, correspond un ensemble 'le !1 lignes t-uuieu.-ut! li's
valeurs de ces coefficients. En posant x = r cos B et y s r sin 0 , chaque Hj-nc sup6rieur<> . i.n- tienl les coefficients des séries en cosinus, La ligne médiane cormsuaad ,,ia séries d<- |niL^n..fn'-.s de — et •*- , et la ligne inférieure correspond aux séries de sin 8 , I-i\s iiev<.*Ji>p[ici<ifnt.s «V P jusqu'à n * 4 sent donnes ci-deasoue a titre d'exemple :
Le Tableau 3 rassemble quelques propriétés de Pn , P 'n et de leurs harmonium.'s.
TALLOciST, PREVOST et IWUR5I ont publié les Tables les plus utiles de I' ci Je P^" . I^ririi les fonctions associées, P sont îea seules utiles pour le problème qui nous occupe, et s'ecrt-
n j vent avt„ les notations adoptees sin B P" , Pour n plus grand que 10 , P peut <*trt "xtro-
polé a partir de la Table de Mursl, en utilisant l'équation :
n p' n r i +,11 + 1|p'ili M 2 n + U u P 'n eu le Tableau 4,
Le calcul direct de P ou de P* est un peu plus long qu'une Interpol ai ion du second ordre a pariir des Tabîes numériques. Quand on veut avoir toutes lee valeurs de n , on utilise l'ensemble des relations :
( n t l l P ^ ^ n P ^ j -- ( 2 n * l ) u Pn (7T)
n P' n 1 * 'n*1> fn. i M 2 n * H u P 'n (ï8) Ono souvent uniquement besoin que des fonctions alternées. Elles peuvent s'obte:
à l'aide du Tableau 4 qui donne l eB coefficients Ce récurrence alternés de P + et de P* + , pour {n * 2) pair ou impair, jusqu'à n *• 2 = 20.
Cette Table a été construite en utilisant les relations de récurrence suivantes •
Pn * 2 , U ) ^ "M t (A u2 - B) Pn lu) - C PR 2 (u) ] 179) P 'n + lu) = -^7" [ (A' u2 - B<! P 'B (u) - C P 'n _ 2 <uj ] (80) Les coefficients correspondants ont pour valeur :
M - in * i) <n + 2>(2 n - 1) M' » n [ n U ) | 2 n - l ) A * ( 2 n - i) (2 n + M ( Z n + 3) A' « (2 n - 1) (2 n + l ) (2 n 4 3)
B , 2 n2i2n . 3 ï - i î 8 î>
B' = 2 n (n + 2) {2 n - i ) - 3 0 - n l n - 1) (2n + S) C - n{n + 1) (2 n *3)
Afin de comparer Leur taux de convergence, plusieurs series wit été utilisées pour calculer |R cas a = p - z . pour lequel ~~ = - ~ - = 0, 70.71 et -^~ = 0, 61 ODS. Cela nécessite- 7 termes i partir de s'équsîion JH), o termes S l'aide de î'équation {63) et iZ termes aver l'équation :5î ), pour obtenir 4 chiffres exacts. B faut ajouter respectivement 5 , 3 et 4 termes pour s ' a s s u r e r de l'exactitude du 5ème chiffre.
] Calcul a t'aide d'une .itegrale définie 1 tFigure 15) [11 ]
A. G. VVEiisTEH itnnne l'expression de l'angle solid© sous-tendu en un point par un disque circulaire, à î'.nide d'une intégrale définte. Celle-ci fait intervenu' les coordonnées eyilrilrSqui-'s (a . z) conformément a la figure eitee on référence ;
P'-r-MJ)
0 {1 ; o. si • 2
•/. "
Jn <• 0 . J, (t) dt
Quand i, = û , l'intégrale ci-dessus est dircontjnue pour g •
C a l e . ' à l'otdo d'intégrnles c (Figure 15] [12 ]
.'A. V. MASKETï Soil un disque circulaire de rayon prie pour unité. On considère l'angle solide qu'il souc-tend en un point 0 . éloigné de a de son plan, et distant do p de son nice de symétrie. Trois cos sont étudies séparément suivant les valeurs de g ;
La formule de base du calcul des angles solides &n coordonnées polaire» dans
r'c = / / s i t l e d g dtt>
abouti! icj a l*e«crcssion ;
fl„-2r- / [ oos 8 ($> ] d<ç (83(
C (C)
où iC> assigne un contour fermé dans l'espace, entourant totalement }<axe polaire.
Le calcul pratique de Q„ conduit à prendre pour axe polaire- ou wee de» se , l'ax mené par > point 0 parallèlement a l'axe d<" symétrie du disque, et perçant le plan de ce d e r - nier en un point p qui ïai est intérieur. L'axe des x est celui mené par 0 parallèlement au diamètre du disque sur lequel est situé le point P . Dans ce cas, l'axe polaire est placé a l'inté- rieur de la portion d'egp3ce limitée par l'angle solide Q_ , La difficulté due 4 l'intégration en $ s'élimine en remplaçant le contour (C) par un contour (C) obtenu par déformation continue de (C (t-'igune ICI. Celys-ct eg! tel que, l'axe polaire soit **clu du nouvel ù , par suppression d'un angle solide infinitesitnel qui l'entoure. On obtient ainsi ;
^ O * Ha six. o de d* ^ - | t c M 8 i J * » * d , « / t c o s B i ç i ] < iœ- nc
et finalement :
[ CDS 9 l e ) 1 d e = - j COÏ B (ts) d o = - f IF (6) sin S do
1 .'CI Jf C >
Avec ces remarques, l'équatson (83} s'écrit
2 . a 1/2 S, « ocos tc + " - P
L i q u a t i o n (84) peut encore se mettre sous la forme suivante
0 . <1 ; 0 , s ) ' 2 f £ » * f , • < ! M , ) 1/2
av*c f. " ' . Ceci a pour avantage, dana le cas d'un calcul fait par ordinateur d'aioir va fir.de calcul, des différences de nombres qui ont toutes le même ordre de grarujeur. Un nouvr-l arrangement et ut) développement permettent d'écrire :
A,
J.fA,VA,%
S. (1 ; B, z ) = /
1 o
(a > p * 1)
L'Intégration terme a terme conduit finalement a la série suivante
1
= 1 K = 0
O j d ; * > p + U - » X 2 Cnao Kp 2 1
n - k [2 n - 1) (2 n - 2) . . . 15 n - 2 K)
n prenant lee cinq premiers termes de ce développement, on obtient
- ( g ! (• * 13 p* * 1 8 „ n , „ ° U -8 * , ; § ) „ + 20 0 ! + 60 ^ « „6 * 5 „», z -1 0 •
Le développement (86) eut valable pour lee valeurs de z et de e vérifiant la condition z » p . n possède la symétrie axiale en coordonnées cylindriques. Deux termes di
cette série sont suffisants i»our z ^, 50 et 0 ^< 1, En posant :
K = n - 1
-2n v aK
Le développement (86) peut être généré terme à terme par les conditions :
2 C 2 + ( o ) a p 3 * n + l
&z ft p
Cl, (1 ; 0,z) = 2 ff [ t - (I + z ) 3 - ir -^ n> (0,z) (90)
1 n = 1
L'expression de la solution {36} de l'équation de Laplace, eat superficiellement analogue au développement axialemant symétrique de la forme utilisée en coordonnées polaires sphériques :
0 = " I . r " l "+ 1 ) P (COS 6) r > 1 n = 0 "
Chaque terme de (86) n ' eat pas séparément jne solution de l'équation de Laplace.
H ne semble pas possible d'obtenir un développement n série simple correspondant au cas :
Cï1 (1 : O-z} Po u r z < <si>
Le cas général s'écrit :
/ ^ r '
2- » > , . „ . ,
1.
PV
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, ,/ " [ . . - p
21/2
Toutes les intégrales qui contiennent des puissances impaires de cos cp dispa- aissent, Les termes restants peuvent être intégrés grSce aux fonction elliptiques de Jacobi.
En s'arrfftant au terme en z , nous obtenons :
:
< ° > i —
2> 4
2 ( l +0 1 2) t 3 ( l * p2) E ( K ) - 4 p1 2K ( p ) (—S-j-) -y
L'axe polaire coupe, ou est tangent au contour (C) au point P , ! l'expreesion (83) de ft_ devient :
/ .
p - / [ COB 8 (cp) ] dtp
où 0 < t p < 2 n eet un angle qui dépend de la forme de (C) au point de c nnt act l'. Un t-xi-t comme précédemment l'axe polaire du domaine de l'angle solide. En prenant j - r , l'equatit (93) s'écrit :
f 2 2 , - 1 / 2 D2( 1 : 1 , I ) = « - 2 Î {7. + S " ) clcp
(p - 1 )
a v e c S = 2 c o s cp ( F i g u r e 1 7 ) . A p r è s t r a n s f o r m a t i o n , o n a b o u t i t a l a f o r m u l e
(«M)
n2 (1 ; l . z ) = î t - k z F ( ~ , kl
(p - 1 )
[-*-, k) = / (1 . k2
F | — , k) est l'intégrale elliptique complète de première espace prise a De même que dans le cas précédent, (95) peut s'écrire :
k" - 4 (4 + K " )
n2 U ; ! . * ) •
(p = 1 )
•/.*'[
1 + f + (i + o c , W2 HLe développement (86) dans le cas où p - 1 s'écrit pou? toute valeur de
D2 (1 ; l . a ) = T
(z > 2)
- 2 9 - 4 25 - 6 1225 8
Z "4Z + 4 3 " G 4 Z +"
- 42 -
P Figures 17 et 16
Ce même développement aurait encore pu s'obtenir par intégration ferme a terme de l'équatinn (94), La formule (95) se prête particulièrement bien au calcul de fl par inter- polations.
S -9 - *?•> '
L'axe polaire est dans ce cas, totalement extérieur au domaine de l'angle solide fl . I e contour (C> peu; donc être utilise sans aucunt iif formation,
nr = • / C co» e (»> ] d e • - I [ « ( » ) ] « i n 8 do
•"(CI " { C I
En utilisant les notations de la Figure 18, l'angle solide étudié s'exprime pur
f'
!>3I1 : ( , < ! • ! ! I te > 1) J 0
A r c s i n , — I , i / 2 , I
- (a • S > ( a " » S ~ l
(0 > H •< 0
I " ' 2 2
Pour z > 1 • û - le développement de fi (1 : p,z) est encore donne pui
Calcul S l'aide d'intégrales eU]ptiques
S.10 - Premiere méthode (P.A. MACKL1N) f i a ]
Cet auteur exprime l'angle solide étudié a l'aide de la formule suivant
(ICI ; e . 2 ) = 2 « + 2 (K - F ) j F (k\ 6! + F (k', i l
- 2 K j E lk', fi) + E Sk'. ( l | + i + to + e r
1/2
!M . . .2) ! "2
•J
1 * l o + B I
Cl < • ( ( • * M 1 » H- , ' ) - f ^
8 > [ t |
K = F (k, - ^ - ) ; E = E (k , ~ )
K intégrale elliptique complote do première egpèee.
E intégrale elliptique complète de seconde espèce,
5.11 - Deuxième méthode (F. PAXTON) r 1 5 1
solide n considéré est donné par la formule générale :
7-
élément de surface, dont la projection est nds , sur le plan perpendiculaire au rayon vecteur joignant le sommet de l'ongle solide, ou centre de ]'eiemenl d s . distance du sommet do l'angle solide, ù l'élément ds •
On utilise dans tout ce qui suit les ! la Figure 13. qui : t leg suivantes : sommet de l'angle solide fl sous-tendu par lo disque,
normale inentfe par le point P au plan du disque.
Sonyucu.- de PO , dislance de p au disque, point arbitrairement choisi sur le disque, rayon de la circunfécCnce limitant le disque.
angle que Tait le rayon vecteur PC ave,. la normale PO.
distance de la projection 0 de p , ; iu centre .<\ du disque, .-o;irdurinées imlnii-oa du ;>oir.t C .
1
j
A l'aide de ces notations, la formule j-cnerale () oo) peut »'cerirr dp (13
/ / '
Avec les relations p = L tg 0 el cos 8 = y • (lui) prvnd ]n (omw (101!) qui exprime l'angle solide en coordonnées p r a i r e s dans l'espace :
n = I l s l n f l i
La figure formée par le point P <?l Je disque circulaire, t'sl loujtium r,y:ii.Urii|ti«- par rapport au plan mené par ce point, perpendiculairement au cercle. C est ain>a possilik- d'efrectuer le calcul du demi-angle solide sous-tendu en P par le deml-ciTt-lo, '•! do dmililt-r le résultat a Tin d'obtenir Cl.
Les positions relatives dw point P et du disque, conduisent n la i-oii«id<,T;.l:iii ili- plusieurs cas :
Le point P se projette a l'intérieur de la circonférence qui parlant do l'équation (L02) -?t en utilisant la remarque faite précédemment.
+ -IL
C désigne la frontière limitant la moitié du domaine sous-tendu par fi.
o 3
2 max 8 dépend des valeurs relatives de r i
L'intégrale. (1041 peut s'évaluer en fonction de ~
- Expression de cos 9 en fonction de QS
\P-7
2 2 ^ 2
. 2 r r cos
0g - u u tpg = angle OAD
- Expression de dg en fonction, de (p
d'où, par dérivation
d9 = <r r eos ç, c - rm) d oc
<'. - *
m« * *
S>
• • s- m ' U WSLa valeur de cos R est fournie par l'équation :
Les équations (107) et |I08) conduisent à
2 2 A_
Les valeurs de cos 9 et de dn en fonction de IJL , associées à l'équation (1D4) entralnen- l'équation :
, 2 '/2
