/!? SERVICE DE DOCUMENTATION «COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE

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CEA-R-5280

« COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE

E41

PROBABILITES DE «REPONSE» (ABSOLUES ET INTRINSEQUES) PAR DES SCINTILLATEURS

A GEOMETRIES TRONC-CYLINDRIQUES DROITES, A DES PHOTONS EMIS PAR

DES SOURCES DE MEMES FORMES

ETUDE POUR SOLUTION ANALYTIQUE (AU PREMIER EVENEMENT)

par

Antoine BECKER, Jeanne GORRY, Jacques LAMÉ

OFFICE DES RAYONNEMENTS IONISANTS Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay

Rapport CEA-R-5280

1984 SERVICE DE DOCUMENTATION

C.E.N.-SACLAY 91191 GIF sur-YVETTE Cedex FRANCE

/!?

(Classification du système international dé; documentation nucléaire SIDON/INIS)

A 11 Physique théorique

A 12 Physique atomique et moléculaire A 13 Physique de Fétat condensé

A 14 Physique des plasmas et réactions thermonucléaires A 15 Astrophysique, cosmologie et rayonnements cosmiques A 16 Conversion directe d'énergie

A 17 Physique des basses températures A 20 Physique des hautes énergies

A 30 Physique neutronique et physique nucléaire B 11 Analyse chimique et isotopique

B 12 Chimie minérale, chimie organique et physico-chimie B 13 Radiochimie et chimie nucléaire

B 14 Chimie sous rayonnement B 15 Corrosion

B 16 Traitement du combustible

B 21 Métaux et alliages (production et fabrication) B 22 Métaux et alliages (structure et propriétés physiques) B 23 Céramiques et cermets

B 24 Matières plastiques et autres matériaux B 25 Effets des rayonnements sur les propriétés physiques

des matériaux B 30 Sciences de la terre

C 10 Action de l'irradiation externe en biologie C 20 Action des radioisotopes et leur cinétique

C 30 Utilisation des traceurs dans les sciences de la vie C 40 Sciences de la vie : autres études

C 50 Radioprotection et environnement D 10 Isotopes et sources de rayonnements D 20 Applications des isotopes et des rayonnements

Thermodynamique et r lécanique des fluides Cryogénie

Installations pilotes et lu "oratoires Explosions nucléaires

Installations pour manipulp'ion de matériaux radioactifs

Accélérateurs Essais des matériaux

Réacteurs nucléaires (en général) Réacteurs nucléaires (types) Instrumentation

Effluents et déchets radioactif:

Economie Législation nucléaire Documentation nucléaire Sauvegarde et contrôle

Méthodes mathématiques et codes de calcul Divers

E 11 E 12 E 13 E 14 E 15 E 16 E 17 E 20 E 30 E 40 E 50 F 10 F 20 F 30 F 40 F 50 F 60

Rapport CEA-R-5280 Cote-matière de ce rapport : E.41

DESCRIPTION-MATIERE (motsclefs extraits du thesaurus SIDON/INIS)

en français

CONFIGURATION CYLINDRIQUE DETECTEURS A SCINTILLATIONS TRANSMISSION

RENDEMENT ATTENUATION SOLUTION ANALYTIQUE SPECTROMETRES GAMMA FONCTIONS DE REPONSE DETECTION DES RAYONS X EMISSION DE PHOTONS

DETECTION DU RAYONNEMENT GAMMA

en anglais

CYLINDRICAL CONFIGURATION SCINTILLATION DETECTORS TRANSMISSION

EFFICIENCY ATTENUATION ANALYTICAL SOLUTION GAMMA SPECTROMETERS RESPONSE FUNCTIONS X - R A Y DETECTION PHOTON EMISSION GAMMA DETECTION

RAPPORT CEA-R-5280 - Antoine BECKER, Jeanne GORRY, Jacques LAME, PROBABILITE DE "REPONSE" (ABSOLUES ET INTRINSQUES) PAR DES SCINTIL- LATEURS A GEOMETRIES TRONC-CYLINDRIQUES DROITES, A DES PHOTONS EMIS PAR DES SOURCES DE MEMES FORMES. Etude pour s o l u t i o n - a n a l y t i q u e Cau p r e m i e r événement).

Sommaire. - Beaucoup de " s o u r c e s " de s u b s t a n c e s r a d i o a c t i v e s s o n t de g é o m é t r i e c y l i n d r i q u e , ( f û t s de d é c h e t s p a r exemple) e t g é n é r a l e m e n t l e s d é t e c t e u r s en s p e c t r o r a é t r i e gamma p r é s e n t e n t , quant à l e u r s p a r - t i e s e f f i c a c e s en d é t e c t i o n ( s é l e c t i v e ) , l a symétrie de r é v o l u t i o n a u t o u r d'un axe. P a r e i l l e s i t u a t i o n permet d ' e s p é r e r un accès a n a l y - t i q u e à l a connaissance de l a r é p o n s e d'un d é t e c t e u r c y l i n d r i q u e â un rayonnement p r o d u i t de façon homogène dans un c y l i n d r e é m e t t e u r . Par s e s p o s s i b i l i t é s s é l e c t i v e s ( e f f e t p h o t o é l e c t r i q u e notamment) l a s p e c - t r o m é t r i e permet en e f f e t de r a i s o n n e r purement en termes de t r a n s m i s - s i o n e t d ' a b s o r p t i o n ce qui a u t o r i s e une formulation t e l l e qu'on l a r e n c o n t r e en optique géométrique. Dans l e p r é s e n t t e x t e on a f a i t p r o - g r e s s e r l ' e x p r e s s i o n a n a l y t i q u e au d e l à des l i m i t e s à p a r t i r d e s q u e l l e s l a p l u p a r t des t e x t e s t r a i t a n t de s u j e t s analogues ont f a i t appel à l ' i n t é g r a t i o n p a r t i r a g e s au h a s a r d . Dans une s i t u a t i o n t o u j o u r s c o a - x i a l e mais pour des dimension r e l a t i v e s d i v e r s e s des t r o n c s de c y l i n - dre d r o i t s (émetteurs e t r é c e p t e u r s ) on a dégagé des i n t é g r a l e s *

RAPPORT CEA-R-5280 - Antoine BECKER, Jeanne GORRY, Jacques LAME.

ABSOLUTE AND I N T R I N S I C RESPONSE P R O B A B I L I T I E S OF SCINTILLATORS P R E S E N - TING STRAIGHT TRUNCATED CYLINDRICAL GEOMETRIES TO PHOTONS IMITTED BY SOURCES OF THE SAME SHAPE.

Summary. - Many " s o u r c e s " of r a d i o a c t i v e s u s b t a n c e s j p o s s e s s c y l i n d r i c a l geometry (waste drums for example) and gamma s p e c t r o m e t r i c d e t e c t o r s , as f a r as t h e i r a c t i v e ( s e l e c t i v e ) e l e m e n t s a r e concerned, a r e g e n e r a l - l y c h a r a c t e r i s e d by r o t a t i o n a l symmetry about an a x i s . Such a s i t u a t i o n may o f f e r an a n a l y t i c a l approach t o t h e d e t e r m i n a t i o n of t h e r e s p o n s e of a c y l i n d r i c a l d e t e c t o r t o a r a d i a t i o n produced homogeneously i n a c y l i n d r i c a l e m i t t e r . Owing to t h e s e l e c t i v e p o s s i b i l i t i e s of s p e c t r o - metry ( i n p a r t i c u l a r p h o t o e l e c t r i c e f f e c t ) i t i s p o s s i b l e t o r e a s o n p u r e l y i n terms of t r a n s m i s s i o n and a b s o r p t i o n , which allows a formu- l a t i o n of t h e kind encountered in g e o m e t r i c a l o p t i c s . In t h e p r e s e n t t e x t we have developed the a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n beyond tho l i m i t s from which most a r t i c l e s d e a l i n g w i t h s i m i l a r s u b j e c t s have employed random sampling i n t e g r a t i o n . Using a c o a x i a l s e t - u p in a l l c a s e s , b u t w i t h v a r i o u s r e l a t i v e dimensions of t h e r i g h t c y l i n d e r t r u n k s ( e m i t t e r s and r e c e i v e r s ) , we have e x t r a c t e d f o u r f o l d d e f i n i t e i n t e g r a l s ( w i t h c e r t a i n v a r i a b l e l i m i t s ) g i v i n g t h e a b s o l u t e and i n t r i n s i c e f f i c i e n c i e s

./...

quadruples définies (à certaines bornes variables) fournissant des ef- ficacités absolues et intrinsèques dont les rapports pourraient être optimisés par des dimensionnements relatifs appropriés des des troncs de cylindre droits (d'émission et de réception).

Commissariat à l'Energie Atomique - France.

of wich the ratios could be optimised by appropriate relative sizing of the right cylinder trunks (enission and detection).

56 p.

Commissariat à l'énergie Atomique - France.

' \

• Rapport CEA-R-5280 -

Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay Office des Rayonnements Ionisants

Département des Applications et de la Métrologie des Rayonnements Ionisants Laboratoire de Métrologie des Rayonnements Ionisants

PROBABILITES DE «REPONSE» (ABSOLUES ET INTRINSEQUES) PAR DES SCINTILLATEURS A GEOMETRIES TRONC-CYLINDRIQUES DROITES,

A DES PHOTONS EMIS PAR DES SOURCES DE MEMES FORMES ETUDE POUR SOLUTION ANALYTIQUE (AU PREMIER EVENEMENT)

par

Antoine BECKER, Jeanne GORRY, Jacques LAME

-Juillet 1984-

1. P o s i t i o n du problème.

2 . Systèmes de r e f e r e n c e s e t I n t e r r e l a t i o n s . 3 . A s p e c t s généraux de 1 ' e q u a t i o n de b a s e . 4 . D i s c u s s i o n de l ' é q u a t i o n de b a s e .

5 . Bornes d ' i n t é g r a t i o n des e x p r e s s i o n s d ' a n g l e s s o l i d e s . 6 . Levée de quelques i n d é t e r m i n a t i o n s .

a . F r a c t i o n des photons émis par S e t p a r v e n a n t à D.

b . C l a r i f i c a t i o n des c a s où, avec (A3+B*)-Ra > CT, on a d'une p a r t C < (T e t d ' a u t r e p a r t H < C.

7 . F r a c t i o n s d é t e c t é e s des f a i s c e a u x é l é m e n t a i r e s l o r s q u e , S e t D é t a n t coaxiaux, H < C e t R > R.

S

8. Expression complete de l ' e f f i c a c i t é absolue dans l e cas H < C, R > P..

S

9. F r a c t i o n s d é t e c t é e s des f a i s c e a u x é l é m e n t a i r e s l o r s q u e , S e t D é t a n t c o a x i a u x , *1 t o u j o u r s < C mais i c i P. > R.

S

a . I n d i c a t i o n s pour l e c a s g e n e r a l .

b . E f f i c a c i t é absolue dans l e cas l e p l u s s i n p l e . 1C. I n t é r ê t d'un recours a l a s o l u t i o n par s i m u l a t i o n .

\

1. POSITTOr DU H^,."ELE;^rE.

On considère une source de rayonnement electroma»netieue dont l a forme e s t c e l l e d'un tronc de cylindre d r o i t de rayon P e t de hauteur V , tous deux

S S quelconques; dans l a s u i t e on parlera simplement de la source cylindriaue ou en- core plus simplement de l a source S; sa c o n s t i t u t i o n e s t supposée hcroo?ene et son taux d'émission volumiaue c ' e s t - à - d i r e l e nombre de s e s emissions de photons de type X ou de type gamma, par unite de temps e t par u n i t e de volume,

e s t constant e t désigne par g dans ce qui s u i t ; i l e s t admis, en outre que c e t t e emission e s t , isotrope autour de tout point de S.Le milieu c o n s t i t u - t i f de l a source e s t évidemment a u s s i "absorbant" pour son propre rayonnement;

son pouvoir d'absorption ( l i n é i q u e ) sera symbolise' par l e c o e f f i c i e n t a ; i l en S

r e s u i t e que l ' i n t e n s i t é d'un faisceau élémentaire f r a n c h i s s a n t , en lip.ne d r o i t e , une distance d dans l e milieu en q u e s t i o n , se trouve atténuée; la fraction

'transmise" s ' o b t i e n t en pondérant l ' i n t e n s i t é ' i n i t i a l e par l e facteur -a .d

S

f (a ,d) - é ; t S

i l convient de s i g n a l e r encore que P. e t H ne seront pas donnes de façon i n - S S

dépendante mais q u ' i l s seront l i e s par 2

V "T.-?, .H , S S

V étant une constante donnée; en d'autres termes, pour un taux d ' e r i s s i o n t o - t a l de g.V événements par unite' de temps, l a forme Beome'tricme adopte'e pour la source la fera apparaître tantôt comme un segment d'un " f i l " cylindrique, tantôt comme un "disoue" étendu e t f i n .

La géome'trie du de'tecteur D d e s t i n e a recevoir l e rayonnement émis car la source e s t elle-même c e l l e d'un tronc de cylindre droit avec l e s dimensions R et H respectivement pour l e rayon e t la hauteur; pour ce nui e s t de ce mi- l i e u récepteur, l u i aussi homogène, on s ' i n t é r e s s e e s s e n t i e l l e m e n t a la fraction de rayonnement absorbée (toujours par i n t e r a c t i o n s primaires) ou, Dour être plus p r e c i s , a l a f r a c t i o n de rayonnement i n t e r a g i s s a n t avec l e milieu traverse;

avec un pouvoir d'atténuation ( l i n é i q u e ) symbolise par a, on trouve, pour l ' e x - pression de l a f r a c t i o n de faisceau detecte'e sur un parcours rectilijçne de Ion- Sueur d ' , l a s u i v a n t e :

- a . d ' f ( a . d ' ) - 1 - é

a

F.n résume d s e r a , en general, l e t r a j e t du faisceau depuis son point ri'emis- sion a l ' i n t e ' r i e u r rie la source jusqu'à son point rie s o r t i e de c e t t e dernière;

pour d' i l s ' a g i t du trajet entre l e point d'entre'e du f a i s c e a u dans le rietéc- teur et son point rie s o r t i e de c e l u i - l à même.

A condition évidemment de r e s t e r extérieurs l'un a l ' a u t r e , l e s Heux so- l i d e s en question pourraient prendre n'iranorte r u e l l e s p o s i t i o n s l'un rar rsr-

p o r t à l ' a u t r e . Q u e l l e s aue s o i e n t , dans l ' e s p a c e , l e s s i t u a t i o n s de S e t de P, l e développement des c a l c u l s u l t é r i e u r s exige l e choix d'un ou de p l u s i e u r s systèr.es de réfe'rence e t c e l u i des coordonnées d ' e x p r e s s i o n dans c e l u i - l à ou dans ces d e r n i e r s . A p r i o r i , on peut t e n i r pour nuasi e v i d e n t nue deux systè"^

mes d ' e x p r e s s i o n en coordonnées s e m i - p o l a i r e s ( c y l l n d r i a u e s ) , chacun l i e à l ' u n des deux s o l i d e s , sont l e s plus a p p r o p r i é s pour d é c r i r e p o s i t i o n s de p o i n t s e t d i s t a n c e s en j e u dans S e t D ( s é p a r é m e n t ) .

Cn c h o i s i t i c i d ' a t t a c h e r au d e ' t e c t e u r l e s coordonne'es a, r e t z ( s y s t è - me D ) , l ' a x e Oz é t a n t superpose' à c e l u i de symétrie de D e t l e s z p o s i t i f s é t a n t évalués à* p a r t i r d'une o r i g i n e 0 , c e n t r e du c e r c l e p o u r t o u r de l ' u n e des s e c t i o n s d r o i t e s l i m i t a n t P, dans l a d i r e c t i o n de l ' a u t r e s e c t i o n d r o i t e (qui e l l e e s t a i n s i s i t u é e à l a c o t e z » R).A l a source on a t t a c h e p a r e i l l e m e n t l e s coordonne'es â'\ r ' e t z ' avec pour o r i g i n e 0 ' c e n t r e du c e r c l e pourtour de l ' u n e des s e c t i o n s d r o i t e s l i m i t a n t S, l a d i r e c t i o n O ' z ' " p o i n t a n t " a u s s i v e r s l ' a u t r e s e c t i o n d r o i t e . E n p l u s du f a i t q u ' i l faudra e n c o r e é t a b l i r l a l i a i s o n e n t r e l e s deux systèmes ( c e q u i exige de s a v o i r commentF e s t place p a r r a p p o r t a P) i l semble u t i l e d ' i n t r o d u i r e un t r o i s i è m e réf e ' r e n t i e l , mobile c e l u i - l à , parce que c e n t r e sur chacun des volumes é l é m e n t a i r e s é m e t t e u r s , con- s i d é r é s continûment dans S; son système d ' e x p r e s s i o n en coordonnées p o l a i r e s

(sphériques) tp, y , e (système £) se r a t t a c h e à" un t r i è d r e de coordonnées r e c - t a n g u l a i r e s Ex"y"z" de même sens que Oxyz ( r e p é r a n t n ) , t e l que Ez" e t Oz

- >

s o i e n t de même o r i e n t a t i o n d i r e c t i o n n e l l e e t t e l que Ex" s o i t o r i e n t e v e r s l ' a x e Oz dans l e plan OzE ( i s o m e t r i e v e c t o r i e l l e d i r e c t e ) . P o u r se f a i r e , de l a s i t u a t i o n , dans un cas quelconque, une "opinion" v i s u e l l e , on se r e p o r t e aux f i g u r e s 1 e t 2> , ,

Les o b j e c t i f s immédiats de c e t t e etude sont l a d e t e r m i n a t i o n , par c a l - c u l , de l ' e f f i c a c i t é absolue et c e l l e de l ' e f f i c a c i t é ' i n t r i n s è q u e du d é t e c t e u r D au rayonnement é l e c t r o m a g n é t i q u e i s s u de S; par e f f i c a c i t é absolue on en- tend ( r é f é r e n c e b i b l i o g r a p h i q u e 1) l e r a p p o r t du nombre de photons X ou f i n - t e r a g i s s a n t , pendant un temps donne, au moins une f o i s avec l e d é t e c t e u r , au nombre des e n t i t é s photoniques émises p a r S dans l e même i n t e r v a l l e de temps;

par e f f i c a c i t é i n t r i n s è q u e on d é s i g n e l e rapport e n t r e l e nombre de ces mères e n t i t é s provoquant au moins un événement d e t e c t a b l e dans P e t c e l u i de ces p a r - t i c u l e s ayant p é n è t r e dans l a m a t i è r e d e t e c t r i c e e t c e l a t o u j o u r s dans un i n t e r - v a l l e de temps f i x e ; on v o i t q u ' i l s e r a n é c e s s a i r e de d e t e m i r . e r , pour tout p o i n t d ' é m i s s i o n E dans S, l ' a n g l e s o l i d e sous l e q u e l de F on " v o i t " P;

l ' i n t r o d u c t i o n du t r o i s i è m e r e f é r e n t i e l trouve l à sa r a i s o n d ' e t r e . Comme o b j e c t i f médiat de c e t e s s a i i l a é t é envisage' l a d e t e r m i n a t i o n des v a l e u r s du r a p p o r t E /R , l e volume V de la source e t l a s i t u a t i o n de c e t t e d e r n i è r e p a r rapport au d é t e c t e u r é t a n t é t a b l i s , pour l e s q u e l l e s l ' u n e ou S S

l ' a u t r e des e f f i c a c i t é s en cause a t t e i n t un maximum.

SYSTEMES PE REFERENCE ET INTERRELATIONS.

C'e^st par r a p p o r t au t r i e d r e t r i r e c t a n r l e de sens d i r e c t a t t , considère comme p r i n c i p a l que l ' o n s i t u e r a l a source P; l e p o i n t 0 ' de étant à l a d i s t a n c e r de l ' a x e Oz e t a l a cote z dans l e système r>

P ' 0 ' - >

pour l e v e c t e u r 0 0 ' :

ache a P e t

3 - > _^ ___

00* = r .cosrf . i + r . s i n $ '-'•T+ z .k ; o' ' " o"" '""'.o'.:;.:;":o.t o'

s o i t ençore™ej,:un;:yectBÛ^ d i r e c t i o n e t o r i e n - t a t i o n que l e demi-axe O ' z ' - j ' a v e c h l e s t r o i s ^!axes Ox,; Oy-et Oz i î f a i t r e s - pectivement l e s a n g l e s d f . y S e t J- -d ' o ù l e s c o s i n u s d i r e c t e u r s :

u = cosdf ,v » cos/3 ,w «• c o s J '

e t l e s t r o i s composantes de e^ sur l e s t r o i s a x e s : u . i , v . j , v . k avec l a l i a i - son:

u^a + v * + v * - 1.

Un point quelconque P ' sur l ' a x e O ' z ' , de c o t e z ' , dans l e système S, aura donc pour coordonnées, dans l e système r , l e s composantes du v e c t e u r

- > _^_

OP' » (r . c o s ^ + u . z ' ) . i + ( r . s i n < ? + v . z ' ) . 7 " + (z + w . z ' ) . ! T . 0 ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 ' S o i t ^ e ^ un a u t r e v e c t e u r u n i t a i r e d ' o r i g i n e 0 ' , p e r p e n d i c u l a i r e à ej et pa- r a l l è l e au p l a n xOy; avec comme e x p r e s s i o n s r e s p e c t i v e s dans l e t r i e d r e p r i n - c i p a l

e_j - p . i + q . j e t e^. - u . i + v . j + w.k, i l v i e n t :

e^.e^. - Cf » u.p + v.q d'où u.p « - v . q ce q u i , avec p* + q^a = 1, donne

1/2 q = - u / ( l - wa)

P •

v/a

%.

v

.T +

%.

ci

.T +

*

(1 - w*)

Les v e c t e u r s u n i t a i r e s du t r i è d r e t r i r e c t a n g l e en 0 ' s e r o n t en p l a c e après l a d e f i n i t i o n de ej p a r è ^ A e^ - ë^ d ' o ù , t o u s c a l c u l s e f f e c t u e ' s :

. 1 + . j j . . ( , . 1/2 1/2 1/2 (1 - w*) (1 - w*) (1 - „*)

on v é r i f i e nue son I n t e n s i t é e s t é g a l e à l ' u n i t é .

Un p o i n t Q' quelconque, de coordonne'es s e m i - p o l a i r e s S' , r ' e t z ' dan

-> u.w.r'.cos^' v . r ' . s i n ^ ' _^

0(J' «. [r .casa - - - - ~ - ~ — - + — — — - -ⁱ— - + u . z ' ] . i 0 ' 0 ' 1/2 1/2

(1 - w^a) (1 - w*)

v . w . r ' . c o s ^ ' u . r ' . s i n ^ ' _ + [r . s i n £ + v . z ' l . j

0 ' 0 ' 1/2 1/2 (1 - « * ) (1 - w^l)

(u*+v*).r'.cos#' _ + [z + » + w . z ' ] . k ,

0* 1/2 (1 - «*)

" • v.cosff.l + r . s i n ^ j + z.k;

s i , pour simplifier l ' é c r i t u r e , on pose

x ™ r ,cos d- , y - r . s i n £ , 0' 0' 0' 0* 0' 0'

on é t a b l i t entre l e s systèmes B e t S, d'expression en coordonnées semi-polai- res pour l'un et l ' a u t r e , l'ensemble des relations "implicites":

/ 1/2 / 1/2 r . c o s ^ » x - u . w . r ' . c o s ^ ' / U - w²) + v . r ' . s i n ^ ' / ( 1-w*) + u . z ' ,

0 ' / / / 1/2 / 1/2 r . s i n ^ - v - v.w.r'.eos^'/U-w'*) - u . r ' . s W ' / ( l - * 0 + v . z ' ,

V / /

/ 1/2 z => z + ( u^{a ,}+ v * ) . r ' . c o s ^ ' / a - wⁱ) + w . z ' .

0 ' /

Par rotation autour de 0 ' , on peut amener la source dans une position particulière t e l l e que les axes du système S aient mêmes d i r e c t i t n s et orien-

tations que ceux du système Dj s ' i l y a homologie entre e^ et i , e et j ,

~?^z et k, la rotation ainsi intervenue se traduit par les expressions :

-u.w -v.w ( ua +• v^s) .1 + (<+ r'- I 1/2 1/2 1/2 (1 - wa) (1 - w*) (1 - <'2)

-u.w / -v.w / ( uâ+ v^x) I

./l

«

= 1»,

1/2/ 1/2/ 1/2/

(1 - w*) (l - w2) (1 - w*)

d'où

5

- u . w -v.w (u + v^a)

— — - - — — - ^ 1 . • :;-;;; : " - ^ — n ,

• ï / 2 1/2 1/2 (1 - w*) (1 - w*) (1 - w * )

p u i s

—.or + . î + tf.nr - i 1/2 1/2 (1 - w * ) (1 - w » )

/ - u / ./a / i - nr/tf,

, 1/2/ o 1/2/

(1 - w^a) ( i - w³) d'ou

/ 1/2 / 1/2 v / U - u) » tf, - u / ( 1 - w * ) - 1,

/ /

e t enfin

u.rf + v.tf + w . l • 1 u/tf - v/(f = w/1 , d'où

u-tf, v-tf, w» 1.

De ce qui precede i l découle a l o r s , pour l ' e n s e m b l e des r e l a t i o n s de l i a i s o n e n t r e l e s systèmes S e t D, l a n o u v e l l e f o r m u l a t i o n :

r.cos<?= x + r ' . c o s ^ ' , r . s i n < # - y + r'.sinâ', z = z + z ' ;

0 ' . . . 0 ' 0 '

s i S e t D sont c o a x i a u x , on a, p l u s simplement encore:

r . c o s ^ = T'.cos&" , r . s i n ^ = r ' . s i w ? ' , z = z + z ' ; 0 '

pour des r a i s o n s é v i d e n t e s de complexité dans l a f o r m u l a t i o n , c ' e s t à c e t t e d e r n i è r e s i t u a t i o n q u ' o n l i m i t e r a l e s o b j e c t i f s de c e t t e e'tude.

Pour l ' i n t r o d u c t i o n du t r o i s i è m e r é f e ' r e n t i e l , mobile c e l u i - l à , on se p l a - ce en un p o i n t E de l a source; a p a r t i r du volume é l é m e n t a i r e e n t o u r a n t ce d e r n i e r , i l y a u r a emission i s o t r o p e de

dA - g . r ' . d ^ ' d r ' . d z '

photons par u n i t e de temps e t dans A J " s t e r a d i a n s d ' o ù , p a r s t e r a d i a n , la norbre ( g / 4 r ) - r ' . d < ? ' . d r ' . d z ' .

Si l ' o n s ' i n t é r e s s e au nombre d ' e n t i t é s , émises oar u n i t e ' d e t e r p 3 a p a r t i r de D v e r s l e de'tecteur T>, i l faut e'valuer l'anctle s o l i d e sous l e o u e l on " v o i t "

me exprime en coordonne'es sphériques avec (on se reporte à l a f i g u r e Z) f" angle longitudinal (azimutal) /

/J'!- angle c o l a t i t u d i n a l ( z é n i t h a l ) , f" module du rayon-vecteur.

On va supposer que.ee point E de S a ^précisément l e s coordonnées r ' , ^ ' e t z ' dans le.système S;" a t r a v e r s é e s "relations: développées c i - d e s s u s i l a l e s coor- donne'es r , d'et a dans l e système IULa t r l e d r e t r i r e c t a n g l e que l ' o n va pla- cer en E sera de même'sens que l e s deux autres s o i t , i c i , s i n i s t r o r s u m ; pour son o r i e n t a t i o n on procède comme s u i t :

l e vecteur u n i t a i r e e ' sera d i r i g e e t o r i e n t e comme k d'où e ' • ki

3 3 l e vecteur u n i t a i r e e ' , perpendiculaire au precedent donc p a r a l l è l e au plan

2

xOy sera exprime s e l o n J ' • l . i + m.j avec 1 + m - 1 ; 2

quant au vecteur u n i t a i r e e ' , t e l que e' A e" » e ' , s o i t e' - m.i - l . j , on , 1 2 3 1 1

l ' o r i e n t e , comme indique plus haut, en sens contraire de

( c o s ^ ) . i + ( s i n ô ) . j d'où ra - -COBS', 1 » s i n u s o i t finalement

ë^r- - ( c o s ^ X - ( s i n f à r T , 1

ë*"- ( s i n ^ ) X - {cosê)7T, 2

e*"-"kl 3

Feprenant l e s expressions de l i a i s o n entre l e s coordonnées c y l i n d r i q u e s dans S e t dans D, on pose

r . c o s f f - x - u . w . r . ' . c o s a ' / U - w * ) + v . r ' . s i n t f ' / U - wz) + u , « ' • M t ' / , !1) , 0 ' / /

a / 1/2 „ / 1/2

r . s i n f f - y - v . w . r ' . c o s ^ ' / ( 1 - w T - u . r ' . s i n t f ' / a - w * ) + v . z ' = M r ' J' . z ' ) , 0 ' / /

/ 1/2

z - z + ( u^a+ v^z) . r * . c o s t f¹' / ( ! - « * ) '-H'.z' - C(r' J' , z ' ) . 0 ' /

On en t i r e r^a - A^Z'(r'J',z') + R*(r' J' , z ' ) d'où r,

\

A A A B

p u i s cosff = , s i n C = - .

, l'2 , 2 . 1/2

(A* + B*) (A* + B*)

A ce stade donc, on peut choisir, dans S, le triplet (r',^',z') et en déduire

— ,

—

—

e' - [-A/(AA+ B*) ].i + [-B/(Aa-+ 3a) ] . j 1

-~ ^{1 / 2} _~ ^{1 / 2} —

e ' - [ + E / ( Aⁱ+ B²-) ] . i + [-A/(A*+ B*) ] . j . 2

->

Soit alors F.un point de D; le vecteur EP, de moduleP, aura comme compo- santes carte'siennes dans le système E:

O.sin/.costfl, p.siiy.sin<0, Q.cosY, d ' o ù , dans l e système D:

-> , / , , 1/2 / 1/2 , _ EP - {[-A.«J.sin£.cos<ff/(A +BH ] + [ B.0.sin£.sinjP/(A +B ) ]> . i

f ; i 5. 1/2 7 a. i 1/2 ï —

+ | [ - E - P . s i n r . c o s c * / ( A +BH ] + [-A.P.sinJ.sintf/ CA +B ) ] | . j

+ O . c o s r . k .

I l e s t a l o r s p o s s i b l e d'exprimer de deux p a n i è r e s , dans l e système V, un v e c - ->

t e u r quelconque OP; d'une p a r t , en e f f e t , on peut s ' e x p r i m e r " d i r e c t e m e n t "

moyennant

OP « r „ . c o s 8 p . i + r^p. s i n f l p . T " + Zp"k;

d ' a u t r e p a r t , on peut f a i r e i n t e r v e n i r un contour de coordonnées p a s s a n t par l e p o i n t E de l a source moyennant

-> r _ / 1/2 / 1/2 OP = j r .cas<7 - [ u . w . r ' . c o s # ' / U - w^a) ] + [ v . r ' . s i n 7 ' / ( l - * 0 ] ^x u . z '

L 0 ' 0 ' / /

. / ^£ . 1/2 / , 1/2 . _

- [/l.j).sinY.cos«5/(/f +&) ] + [3.f.siny.sir.œ/(A +/9* ] | . i / 1/2 / 1/2 + { r . s i n t f - [ v . v . r ' . c o s ^ / U - V⁴) ] - [u.r* . s i n ^ / (l-u^Z) ] +v.z'

l 0 ' 0 ' / /

+ s o i t encore

/ 1/2

j z + [ ( u * + v * ) . r ' . c o s ^¹' / ( ! - « * ) ] + v z ' + p . c o s ^ j ."ki

-> . / 1/2 » OP - JA + « . s i n j . [ ( B - s i n W - A.costf)/(A* + B*) ](•

f ' a. * ^1/2 1 -

+ ) B - P.sinV. [(B.cos<0 + A.sin<0)/(A + E ) ] > . j i 1/2 , _

+ (C + p.coslf).k

d'os

1/2 r . c o s # » A + O . s i n Y . [ ( B . s i n i 0 - A.cos«))/(A'^a + B*) ]

1/2 in<7 - B - p . s i n £ . [(B.cos<0 + A.sinlfl/CA* + S*) ] r . s

P P

z ™ C + P . c o s y ;

par d e f i n i t i o n z e s t l a c o t e du p o i n t P dans l e système I); o r on ne s ' i n t e - r e s s e , dans l a s u i t e , q u ' a des p o i n t s du d é t e c t e u r , donc a des p o i n t s dont la cote e s t c emprise e n t r e tf e t !!;• c e t t e c o t e f a i s a n t o f f i c e de p a r a m è t r e , pn p o - se h=z avec l f $ h t H.Comme h = C + p . c o s / , on v o i t que l ' o n e s t a oeme d ' e l i - n i n e r a d e s t r o i s e q u a t i o n s que l ' o n v i e n t d ' é c r i r e d ' o ù l e système de r e l a t i o n s ramené' a

.8

P P

A * (h - C ) . [ ( B . s i n e û - A.cospî/ÇA²' + R*) ] .t*V, 1/2 r . s i n $ - B - (h - C ) . [ (B.cosJ0 + A . s i n t O / U1* + Ba) ] . t p p une d e r n i è r e e l i m i n a t i o n p o r t a n t sur O permet e n f i n de se ramener a une e c u a - t i o n i m p l i c i t e ea<û,Y e t h a s a v o i r

( * a.^1/2 )²

G(y5,y,h) -JK+ (h-C).[(B.sintf-A.cosj0)/(A +*> ) l ' t E T t *

r 1 / 2 . 2 2

+ JB - (h-C).[(B.cosyM-A.sinfi)/(A*'+'»*) ] , t" X ( " r = ^' On note de s u i t e que l e cas p a r t i c u l i e r ou r » fl' c ' e s t - a - d i r e le c?s ou l e

P

\

p o i n t F e s t s u r l ' a x e Oz, conduit a deux s o l u t i o n s

< ^

* V

A

«*&

"

t g

4

(h -C) (.B-s±nUI-A-e.osf),

(4

) a

* * (h - C ) ( £ . c o s p > + 4 . s i n ^ ces d e r n i è r e s s o n t é g a l e s s i

(B.COS5O+ A.3in«0)/B - - ( B . s i n ^ - A.costf)/A s o i t s i

( A / B ) . s i n t f l - - ( B / A ) . s i n ^

d ' o ù , comme A.*fr & e t B T^fl", sin^9» flV donc CÛ = ± n . ? 7 ,' Pans l e c a s g é n é r a l on e s t c o n d u i t à l ' é q u a t i o n du second degTe, en tgY, s u i -

(h

- O *

V ( 5 . s i n « 0 - , 4 . c o s « ) + (£.cose> + >4-.sin(9) > - t g r

2 . ( h -G) r I -I .}4-(#.sinC0-<4.cos«?) ^T5 . ( 9 . c o s < ^ + / 4 - s i n y o l . t s r

(AW-)

+ (A*' + B2" - r * ) - 0 P qui s ' é c r i t encore

'X. A „ .£ „ * 1/2 r .2. A jO (h - C ) . t g > - 2 . ( h - C ) - ( - 4 + - 3 ) . c o s t « t g V + UA +S ) - r

C'est c e t t e e q u a t i o n qui e s t fondamentale pour l e problème o o a e . 3 . ASPECTS GENERAUX DE L'EOUATTON DE BASE.

I l e s t p e u t - ê t r e bon de r a p p e l e r d ' a b o r d ce que r e p r é s e n t e l a r e l a t i o n nue l ' o n v i e n t d ' é c r i r e ; i l s ' a g i t , en ce qui l a concerne, d ' u n e l i a i s o n i m p l i c i t e e n t r e l e s a n e l e s (fi e t / pour l a v a l e u r h d ' u n paramètre; p l u s précisément e t en s ' e x - p r t e a n t dans l e système D, i l s ' a g i t de l a r e l a t i o n e x i s t a n t e n t r e jd at*

l o r s q u ' u n rayon-Vecteur d ' o r i g i n e f i x e au point, de coordonnées c a r t é s i e n n e s A, B e t C " v o i t " son extréraite' d é c r i r e , dans un plan p e r p e n d i c u l a i r e à l ' a x e Os e t a l a c o t e h , un c e r c l e de rayon r de c e n t r e sur l e mère axe; i l e s t e n t e n -

P

du, j u s o u ' a nouvel o r d r e , que f(•£ r 4 R e t oue A +P. > R l o r s q u e P

Contre l ' o n ne s ' i n t é r e s s e évidemment q u ' a des v a l e u r s r é e l l e s de t g r^{f /} on ne pourra a c c e p t e r que des v a l e u r s de cos <0 t e l l e s que l e d i s c r i n i n a n t r é d u i t

A' - (h -C)*".[(A^A + B * ) . ( c o s % 0 - 1) + r * ] P

s o i t nul ou p o s i t i f , c ' e s t - a - d i r e t e l l e s que cos aJ > 1 - [r /(A + 3 * ) ] ; . ' P on voit de suite que le problème ne se pose qu'a partir du moment ou

r*/(A*+B*> < 1;

P

1/2 i l faut a l o r s que l ' o n a i t s o i t c o s t 0 S - [ l - r /(A +E ) ] ,

' P 1/2

s o i t [1 - r°/(A*+B, a)l * cos<#

P

l e choix de l ' o r i e n t a t i o n du système E p a r r a p p o r t a l ' a x e Qz e s t t e l aue tous l e s p o i n t s du c e r c l e de rayon r dans D s o n t , en v e r t u de l ' i n é g a l i t é

P

r * / ( A * + 8^a) < 1, p

dans l e s q u a d r a n t s I e t IV de x*Ey*; des v a l e u r s n e g a t i v e s de cosfiSn'etant pas a d é q u a t e s , on v o i t que l ' i n é g a l i t é

i * *. 1/2

[1 - r /(A +B ) ] •? cosûO

1/2 1/2 conduit a l ' a d o p t i o n de v a l e u r s de <p t e l l e s que

1/2

- A r c c o s f l - r /(A^+B*)] 4. <tf$Arccos[l - r * / (A^+B*) ] P-\ . ^T - f .

ffl s e r a doue compris e n t r e (fi e t c0 donnes par l e s arcs c o s i n u s é c r i t s c i - d e s s u s avec deux r a c i n e s d i s t i n c t e s en tgV pour (ù < </>< V> ou une r a c i n e double en t%y pour (fi • c5 e t ^ » C0 .

^ ' 1 s , «.

Four résumer ce qui p r e c e d e , on peut n o t e r ce que v o i c i :

A, B e t r é t a n t donnes, on évalue r*/(A*'*!!*') ; s i ce r a n n o r t e s t s u p é r i e u r

P ^/ p

ou au moins é g a l à l ' u n i t é ' , on a t o u j o u r s caste £• 1 - r / ( /2 -+ " ) e t c û peut

P _, prendre n ' i d p o r t e q u e l l e v a l e u r et donc en p a r t i c u l i e r , v a r i e r de -^KlZ a +'//-;

i l y a u r a dans ce cas deux r a c i n e s d i s t i n c t e s en t?V"tiour -772 < 05 < -^fflZ e t

\

une r a c i n e double en t g / pour <P=-7l2 ouj0=>+-772; s i p a r c o n t r e , on trouve nue r^/CA^+H*) < 1 , on c a l c u l e

11

«J - - A r c c o s U - r^a/(A*+B*)]

1/2

pour çp <<J> < çû on aura deux r a c i n e s d i s t i n c t e s en t g y e t pour <0 • <p ou <fi = C0

i s ' i s

on s e r a en p r e s e n c e t ' m e r a c i n e double en t g / » 4. DISCUSSIOÎI DE L'EPUATIOIÎ DE BASE.

La forme sous l a q u e l l e on va s ' i n t é r e s s e r à l ' é q u a t i o n de hase e s t c e l l e du trinôme

.* -*U l

TijP,f,k) - tg*V - [2.(A*+B*) . c o s y / ( h - C ) ] . t g / + [(A^+B^-K^l/Ch-C)*;

r / / ' l e r a y o n - v e c t e u r r ayant e t e remplace p a r R, rayon du d é t e c t e u r , on v o i t que

P . ' , FC^./.h) ~ a exprime l a l i a i s o n e n t r e « e t j ' l o r s q u e l ' e x t r é m i t é du vecteur EP i s s u i.M p o i n t d e coordonnées c a r t é s i e n n e s A,E e t C dans E ( l e choix du p o i n t d é c o u l a n t de c e l u i des coordonnées c y l i n d r i q u e s r * , 9' e t z ' dans S) d é - c r i t l e c e ï c l e £?•• de ravon R l i m i t a n t l a s e c t i o n d r o i t e du t r o n c de c v l l n d r e V a l a c o t e h.En e f f e t , l e premier but i c i p o u r s u i v i é t a n t 1 e x p r e s s i o n de 1 an-h

g l e s o l i d e sous l e q u e l l e t r o n c de c y l i n d r e d r o i t D e s t "vu" du p o i n t E, s o i t I l e p o i n t d ' i n t e r s e c t i o n du v e c t e u r EP avec l'a sphere de rayon u n i t e centrée sur E; l a courbe I d é c r i t e par l e p o i n t I sur l a sphere l o r s q u e l e p o i n t F

•i „ i ^h v .. ' . ." :"'v ' "

décrit J. délimite sur cette sphere une surface c ; mis a part la situation

h . .. , , ^h , v.

ou h « C auquel cas la "surface" ainsi "découpée" se réduit a un arc de grand cercle (d'où alorsY en confondant dans un même svmbole surface et aire, <y = C',

/ ' . h

pour h « C ) , on a en general

(J4..0

«r - C S (sintt.dtf.d/iérf'

h ^£(*.»>

A

pour l ' a i r e de domaine spherique a i n s i d é l i m i t e ; dans c e t t e sonre double, Y (0,...) e t V " ( C ? . . 0 s o n t , dans l ' o r d r e Y < Y , l e s deux r a c i n e s d i s t i n c t e s ou confondues t i r é e s de T(&,Y,b). Incidemment, on peut f a i r e l e rapprochement avec l e problème physique a u ' e t u d e en remarnuant oue l e nor.bre de Dhotons " a r - ma émis, par u n i t e de temps, à" p a r t i r de E, a" t r a v e r s l a s e c t i o n d r o i t e dp. ^r en h , e s t donne p a r

( f f 7 A7J) .g . r ' .dff' . d r ' . d z ' - 6 * .g . r ' M' -dr' . d z '

h h

en introduisant l e facteur géométriqueft> ; c l a i r e n e n t , c e qui i n t e r e s s e , c ' e s t

- -....' - h

l a connaissance du nombre de photons gamma émis, par u n i t e de temps, à p a r t i r de E, à travers toutes l e s s e c t i o n s d r o i t e s de D pour h v a r i a n t de t ' à H , bornes comprises; c e l a s i g n i f i e q u ' i l faut envisager l a reunion, au sens ensen- b l i s te de ce terme, de tous l é s â t¹' s o i t

h

SL~ Us*;.

'H

CfehjH .

Pîins l ' e n s e a b l e i n f i n i d e s û > on d i s t i n g u e r a un "premier" element & c o r r e s -

h

/ °

pondant a l a s e c t i o n droite en h=0*, l e s elements Cf en' nombre i n f i n i correspon- h

dant aux sections droites pour lesquelles tf < h < H, un "dernier" élément 0* • En posant . E

h h 0<h<H

i l v i e n t :

r\ ff h - •• H 47T on e s t sur d ' a v o i r (par d e f i n i t i o n ) :

ff-/7-£=6- et5Z/?6- - C ;

ff Cf H H

mais on peut a v o i r : CT if C " & • avec £_,- (0" C / C ) =,Bf,

e

c

Cr/le ±0 > a v e c H - ( C r ^ C ) ~ff, CI H f H

s-Her -G"» avec2- (o-6'a) = / ,

B n Cf Cf H 6 - D i T - «*• a v e c £ , - CC" i / f f ) = ff.

0* H H IT H

Pour é t a b l i r l a l i a i s o n entre l e s r e l a t i o n s d'algèbre ensembliste que l ' o n vient d ' é c r i r e et l'équation FCCP./.h) on introduit c e t t e dernière dans l e s deux cas s u i v a n t s : ' '"-

s

13

*

7{f,Y,(<) - t g y - [LU?*??) .coso>/(-C)].tgV + [(A*+E*)-?*] /C = (T

=• t g y - s . t p y + p = tf

r $ r <s

1/2

avec s = [2.(A*+B*) .costf/(-C)l - (tgV) + (tgY) et p - [ ( A ' W V l f t / C * - (tgV) -(tgV)

er . A- di A- ife d'une p a r t , e t

1/2

F(UW,K)=tg<r - t 2 . ( A * + Ba) .costf/(F.-C)].tg +[(A*+B*)-R*]/(F-C) -<T

" » t g y - s . t e y + p «• ff A H A- H

1/2

H / ~A ni A Y.2

s - [2.(A +B ) .costf/(H-C)] = ( t £ j ) + (tgy)

e t p = £(A*+3*)-E*]/(H-C)^a' - (tgV) .(tgV)

H

r n i

d ' a u t r e p a r t .

Les r e l a t i o n s é c r i t e s permettent de " v i s u a l i s e r " ( v o i r f i g u r e 3) - l e s v a r i a t i o n s de s e t s en f o n c t i o n de C,

6* F

- l e s v a r i a t i o n s de p • e t p , e n c o r e en f o n c t i o n de C, n a i s , de p l u s , dans

J H

l e s deux cas de (4 + S ) - E * ' , l a c o n s t a t a t i o n l a p l u s immediate é t a n t que - pour (A*+B*)-R²' > 0 , l e s r a c i n e s sont t o u j o u r s . d e mené

s i g n e ,

- pour (A*+B*)-F.*' < 1 , l e s r a c i n e s sont t o u j o u r s de signes c o n t r a i r e s .

Ayant t o u j o u r s en vue d ' é c r i r e l e s s u i t e s ordonnées des d i f f é r e n t e s r a c i n e s pour l e s d i f f é r e n t s "cas de f i g u r e " , on examine ces r a c i n e s sous l e s formes s u i - v a n t e s ; en e f f e t , é t a n t entendu q u ' o n a u r a toujours (A'>C)

( A^a+ B * ) . ( c o s ^ - l ) + R '^a = (A*+B*).cosV-[(A*+3^a')-R*] £ <

i l v i e n t

ai-r).

( 1/'* 1/^ I (tflV) - |(A'¹+B*) " . c o s û M - [ ( A^a' + B^{J Ï}' ) . c o s ^ - t ( A^a+ r^a) - P^a] l " >>

( a. a. ^{1 / 2} f i a - a - ^ * . 1^{1 / 2}1

(tsY) = UP. +B ) .cosfl!- (A +F ) . c o s t j -[(A"+B )-P ] ^ U ( l / - C ) ,

( t g j ) - I (A*+»ⁱ') .costf+j(A²'+E²').cos1ji-[(^+H*')-P.*-l|- >. [1/CF-C)1 ,

1

(A*+n*) .cosd-j(A*+S Î . C O S . D - U A ' + E ' V P * ] } - L

14

[ l / ( n - C ) J . En i n s p e c t a n t d i r e c t e m e n t l e s f o r n u l e s c i - d e s s u s , t o u t en se r e p o r t a n t u t i l e - ment aux t r a c e s de s , s , p , p coimne l e s p r é s e n t e l a f i g u r e 3 , on a r r i v e a

V H IT H

dans l e s F2

cas s u i v a n t s ( v o i r a u s s i f i g u r e 4 ) :

w a. ' 1 .T

ordonner, au moins p a r t i e l l e m e n t , (tgY) , (tgY) , (tpY) » (tgY)

A 01 A-02 A H I A l

a) (A +E )-R > (1:

a ) - pour C < n, t o u t e s l e s r a c i n e s en t g V s o n t p o s i t i v e s e t ordonnées comme s u i t : A

^ < («Y) < (tgTf) , < (tgtf , A. H2 "" P2 A ffl ff < (tgY) < (tgy) < ( t g i o . ,

A H2 A FI *• 01

l a comparaison e n t r e ( t g y ) e t (tgTO r e s t a n t p r o v i s o i r e m e n t en A 02 *- PI

s u s p e n s ;

/5)- pour (T" < C < H, l e s r a c i n e s ( t g / ) sont t o u t e s deux n e g a t i v e s avec (tgY) < (tgY) , l e s r a c i n e s (tg)/) é t a n t , e l l e s , p o s i t i v e s avec

A 01 A 02 A F.

(tgY) < (tgY) , d ' o ù l e s q u a t r e r a c i n e s ordonnées cor.re c e c i : A !'2 A Hl

(tgV) < (tgT) < 0 < (tgY) < (tgY) ;

A c i r 02 A^E2 A m

> ) - pour H < C, t o u t e s l e s r a c i n e s en (tgY) sont n e g a t i v e s e t ordonnées comme s u i t : *»

(«en < (tgn < (tgvo < <

A H I A 01 r 02

( t^BY ) < ( t g ï ) < (tpV) < (Tî

" n i 't K2 M12

l a comparaison e n t r e (tgY) e t (tvY) n ' é t a n t pas i r p e d i a t e a ce

A 01 A K 2

s t a d e ;

b) (A*'+3*)-R*'< (T?

flO- pour C < 0^ deux r a c i n e s en t£Y*sor.t n e g a t i v e s , l e s 1eux a u t r e s é t a n t p o s i t i v e s ; leur s u i t e ordcmne'e se p r é s e n t e a i n s i :

\

15

B)- pour u < C < IT, i l n ' y a pas de comparaison a é t a b l i r c a r c e t t e s i t u a t i o n e s t impossible p a r c o n s t r u c t i o n , aucun p o i n t de S ne pou- vant ê t r e i n t é r i e u r à D;

X)- pour F < C, i l y a encore deux r a c i n e s p o s i t i v e s e t deux n e g a t i v e s a v e c , pour l a s u i t e ordonnée, l a d i s p o s i t i o n que v o i c i :

(tgW < (tgV) < 8/< (tgY) < CtgY) .

5. SORITES D'TITTECEATIOH DES EXPRESSIONS D'AITCLES SOLIDES.

I l f a u t évidemment, pour l e c a l c u l d ' a n g l e s s o l i d e s moyennant

SI m——'r é

! siny.dt4dr,

procéder au p a s s a g e des t g y v e r s l e s a n g l e s T ; s i l e s a n g l e s a i n s i c a l c u l e s d o i - vent s e r v i r a l a d é t e r m i n a t i o n d ' a n g l e s s o l i d e s à" l ' i n t é r i e u r desquels tous l e s deni-axes o r i e n t é s i s s u s de E " t r a v e r s e n t " effectivement l e système D, i l f a u t , en r a i s o n des s i t u a t i o n s r e s p e c t i v e s des systèmes 5^et P> q u ' i l s s o i e n t des c o l a t i t u d e a comprises e n t r e <f e t T " l o r s q u e (A*+B*)-R > Oi i l en r é s u l - t e qu'aux d e t e r m i n a t i o n s p r i n c i p a l e s , de type Arc t g , n e g a t i v e s , 11 conviendra

d ' a d d i t i o n n e r l ' a n g l e ^ f ; on a b o u t i t a i n s i , , - l o r s q u e (A'ⁱ+B^a'}-Rⁱ > tf, aux d i s t i n c t i o n s s u i v a n t e s pour l e s e v a l u a -

t i o n s des ÇA , (A , y e t Y : R* 1/2

<X> - - Arc c o s ( l —) , (fi m - (p ; A i A*+H*- ' s '1 - pour C < tf

Y (f,...) - Arc t g [ ( t g V ) ] > (f ,V < ^ , . . . ) = Arc t g [ ( t n Y ) ] > (f;

- pour 0 < C < H

V ( y , . . . ) = Arc tg[(tgV) ] > (f, V ( W . . . ) = f + A r c t e t ( t t ^ ) ] > ff, - pour E < C

Y ( C A . . . ) - f + A r c t g [ ( t g n ] > rf.Y ( ^ , . . . ) = f ~ + A r c trt(t<tf> 1 > C.

Pour se r e n d r e compte de ce oui se p a s s e

- l o r s q u e (/i +B*)-R^{2 /} < f, on se r e p o r t e a l a f i p u r e 4 c i - a r r e s ; cour

s

16 l e s Xp , (fi , y e t y , on a b o u t i t aux expressions qui s u i v e n t :

CO - - T T / 2 , 0> - + f / 2 ;

' i l 's

- pour C < 0

y ( © , . . . ) - Arc tgt(tgV) ] < </, Y ( % . . . ) - Arc t g t ( t g V ) ] > C;

- pour H < C

v (y5,...)-f+Arc tg[(t

/) I > tf,r (^,...)-/f+Arc tg[<t

V)

' F2 Remarque.

On n o t e , sur l a figure U, l ' o r i e n t a t i o n du système E en haut et a ?,au- :he; e l l e e s t conforme aux conventions f a i t e s supra e t e n t r a î n e , entre autres, l ' i n t e r v e r s i o n de Hl e t H2.

6. LEVEE PE QUELOUES IBDETERMIKATIONS.

Au stade où l ' o n a ete conduit a travers l a d i s c u s s i o n c i - d e s s u s , on e s t a même d'évaluer l ' a n g l e s o l i d e sous l e q u e l on "voit" l e d é t e c t e u r à partir de n'lnporte quel p o i n t a son extérieur mais on ne s a u r a i t , dans un cas general de dinensionnenent e t de positionnement de l a source, n c r i r e l a somme d ' i n t é g r a l e s quintuples

f r* z' U> Y (A...)

1 r s s s 1 ^rs A s ^T 1

I . . . + S S S .( Ç \ s i n r . d ^ . d y ) . r ' . d ^ ' . d r ' . d z ' + . . . I

qui, en l ' a b s e n c e d'autoabsorption dans la source, représente l a fraction des photons transmis, par u n i t é de temps, au détecteur; en e f f e t i l faudrait, pour c e l a , que l e s bornes d', 6', r ' , r ' , z ' , z' soient c h o i s i e s de t e l l e manière

: i - s i s i " s

que pour (£ , <fi , V e t Y on retrouve l e s cas de "figure" é t a n t apparus au cours de l'examen qui précède*

a. Fraction des photons émis par S e t parvenant à T>.

Cependant, dans l e cas de la c o a x i a l i t e de S e t de D, on peut expri- mer relativenent simplement, lorsque R > R, l e nombre de photons transmis, par unite de temps, au détecteur, compte tenu aussi de l ' a b s o r p t i o n dans S.

En e f f e t , ayant a l o r s toujours, c ' e s t - a - d i r e ouel que s o i t C, - z ' = d.cosr,

i l v i e n t , s i par exemple H < C: H - (H ) + (î! ) ' t t 1 t 2

\

17 a >z

/ec * ( # . . . ) =5f~+Arc tg[(tg7) ] et J ( « . . . ) - / T + A r c tg[(tgV) ]

a .z

s r ^ / ^ o ><<?>...> — —

1/2

avec p - - Arc cos[l - P. /(A*+Bⁱ')] , 00 - - «5.,

V (%...)-"f+Arc t g [ ( t g / ) ] e t Y (<f>, ...)=f+Arc tg [ (tçV) ] . On peut signaler des a present qu'avec, par contre, P. < S, la situation est

c

plus d i f f i c i l e a cerner»

b . Clarification des cas où, avec (A +B )-P.^{2 /} > P^

on a d'une part '" < tf et d ' a u t r e part E < C.

Ee s e r a i t - c e que dans la situation encore relativement simple envlsapee au paragraphe precedent, i l est nécessaire, pour a l l e r plus loin c'est-à"-dire pour calculer, selon des relations adéquates, après le nombre des photons transmis, par unite de temps, au détecteur, l e nombre de ceux qui, dans le même temps, présentent au moins une Interaction "detectable" dans P, de l e - e r les indéterminations acceptées provisoirement quant aux situations respectives sur l'axe des t g /

- de (tg/> et (tg/) , lorsaue C < rf, A Ri % é

- de (tp?) e t (tq/) lorsnue H < C . ri H2 A A

Pour ce faire i l convient de calculer et d'examiner le resultant T ries deux trir.ones F «jP,p et F (©,/) ; s i

18 2 2

F - t g y - s . t g y + p e t F - t?,Y - s -tgY + p , i l v i e n t :

2

T s (p - p ) + (a - s ) . ( s . p - s .p ) H tf H <f K (f (f H

y

s o i t , tous c a l c u l s e f f e c t u e s ,

T S lOi +/f)-A U'—^i [M + 5 )-/? ] — ,-+4 - . c o s * t û \

ç* l C*.(fHf CahCf ')

Le f a c t e u r [(A*+B*)-R*].(11*70*) é t a n t t o u j o u r s p o s i t i f , on v o l t que T s ' a n n u l e l o r s q u e

[(A^a+B*)-R'^B].(2.C-H)*' 4.(A*+B*).C.(H-C)

on v o i t de s u i t e que pour C n é g a t i f ou C p o s i t i f s u p é r i e u r a IT, l e membre de d r o i t e s e r a t o u j o u r s de s i g n e p o s i t i f ; pour q u ' i l y a i t d e s s o l u t i o n s en r

cosÇPil f a u t , que € Si cos tù £ 1; pour q u ' e l l e s s o i e n t c o m p a t i b l e s avec l e s r é s u l - t a t s déjà a c q u i s , i l faut que l ' o n a i t p l u s précisément

[ ( A V S³) - * * ] [ ( A^a+ B * ) - R * ] . ( 2 . C - E f

4 ! ; „< 1 ; ( A~+B~ ) 4 . (A^ô+B~ ) . C . (H-C )

l ' i n é g a l i t é de gauche e s t t o u j o u r s v é r i f i é e dans l e s c o n d i t i o n s dans l e s q u e l - l e s on s ' e s t p l a c e ; comme ces mènes c o n d i t i o n s font que l a q u a n t i t é C.(C-H) e s t t o u j o u r s p o s i t i v e , l ' i n é g a l i t é de d r o i t e s ' é c r i t encore

t(A'^S+B-^a)-R*].(2.'C-H)ⁱ« - 4 . ( Aⁱ+ B^{; t}) . C . ( H - C ) B * . ( 2 . C - H f

s o i t (A +B ) 4 . H*

En d ' a u t r e s t e r m e s , pour tous l e s p o i n t s de S pour l e s q u e l s , H e t P. é t a n t donnes p a r c o n s t r u c t i o n , l e s coordonnées A, B e t C o b é i s s e n t à

R* < (A^+B*) «S

RA.(Z.C-H)*

i l e x i s t e

. . tc4*+/3W].(2.C-/50'

' )i/2 y> - - >4rc cosi T~Z r

y ' « I t*.(.A +a).c.(c-H) J d

avec y>i < tyS?-* <fij^<¥li dans l e s c a s non particiO i r i s e s .

Dans l e c a s pre'sent, l e r e s u l t a n t T é t a n t l ' o r d o n n é e du p o i n t d ' i n t e r - s e c t i o n de deux p a r a b o l e s o r i e n t é e s p a r e i l l e m e n t ( c o n c a v i t é s v e r s l e s ordonnées p o s i t i v e s ) l a n é g a t i v i t é de ce d e r n i e r implique l ' e n c h e v ê t r e m e n t pour l e s r a c i - nes de F « C e t F - f f e t v i c e v e r s a . L e tableau c i - d e s s o u s se p r é s e n t e c o r -

S'

19

• / - / - r

me un resume de l a s i t u a t i o n dans l e s cas p a r t i c u l i e r s envisages i c i :

c < d H <a

1 1 1

*

*V»

4 ^ "tf* !

* / l -* #2 ^ O'I ^ rfe

0 < c

%

^ V i

V

 °

! (tgr) <(tgy)

<(tgiO , <(tgv) •so' A #1 A # 2 A rfi A c<2 y < .-r.-.. < v < r < ff A ^ i A / 2 A ( ( i Arf

T > rfj Ç J . < j 0 < p U 1 9!i<¥ <</>* T > «Tj

i

* + * a

CÏ ( t g / ) ( t^g7 ) ou(tgy) (tg7>

^ #2 * #1 / 02 / W l

1

< _ + . . _ * * (tg7) ( t g ï ) ou(tgV) (tgV) IP"

t- H\ * 0-1 A ffl A 02

0<:(tgY) <(tgr) - ( t g / ) <'(tgy)

* 111 f-'H f 02 A rtï

A #i ^ / 2 A r<i *

< /

^ 2 V f t "hi

^\ ! /îf 1 V / 2 °/rfl Vrfz *

_ T - C f ; ^; #>--%, ,---

j : f^--7V..-.T---K5

1

él

H'n •«*>*

V *

^oi ;

1 1

" ^ ^ « ^ V i ^ * ! " t f V T ^ W

^

r-lf-i Afl-2 Afi /irti ! / f i

Tm

fh

1«2 *

T < tf; <p <(p<<pj | % < j * < ^ y

< -<;

c < 1/ ? < C l

1 1 1

e l

<«p

w,r

Vh

fn !

% i

r r t

^ v

^ "

0<;<tgy) <(tgy) -(tgT) <(tçVî I

A ^ t e s A / 1 /l et 1 ' ^ ^ J V ' T V T ^

/&i ^ r t " / ^ Art

- - c i y> = < ^

1

"i (tgYv <t

to, (tgw (t

v) ,

,

f y i

f t

£ V

/TV

"

(KCtgW <(tgT), <(tpW <(tgV)

/• ^2 I¹ ^H f t î A r t

i

T^T^

tV

f*?

A ^

]C[ftr

Jti M ! A/FI 7f2 Aft Art *

T > C; fy<(p<tf< I ^ « f t

=

pour-une v i s u a l i s a t i o n schématique de ce qui p r e c e d e , on e s t p r i e de se re;

t e r S l a f i g u r e 5 .

7. ÎT.ACTÎCÎTS DÉTECTÉES CES EAISCEACT ELEÎ'EÎT- TAÏP.ES LORSQUE, S ET P ETAET HOAXÎAITX, R < C ET R > ?..

S

On se p l a c e dorénavant d e l i b e r e n e n t dans la s i t u a t i o n p a r t i c u l i è r e dt c o a x i a l i t e ' de S e t de D; de plus on a d m e t t r a aue !' < C. fiu d e l à de ces con- d i t i o n s , d e s o m a i s immuables, on r e s t e provisoirement dans l a s i t u a t i o n où r > P ; comme on l ' a vu, e l l e ne p r é s e n t e pas de d i f f i c u l t é n a j e u r e nour t e n i r compte de l ' a u t o a b s o r p t i o n dans S; en e f f e t , i l n ' e s t cas n é c e s s a i r e de d i s t i n - guer e n t r e l e s p o i n t s pour l e s q u e l s r ' < P e t ceux pour l e s q u e l s r ' > F ; l e precedent p a r a r r a p h e a montre' que pour l a " v i s i o n " de T* à p a r t i r de ? i l f a l - l a i t nue, p a r r i l e s p o i n t s de S t e l s aue r ' > R, on d i s t i n g u e e n t r e ceu:: pour

\

21 lesouels r' < P..(2.C - H)/F - R.[2.(z + z') - PI]/F

0' et ceux pour lesquels

r' > P..[2.(z + z') - F]/F 0'

é t a n t entendu, b i e n évidemment, que l a v a l e u r maxiraun de r ' ne d é p a s s e r a pas ^ ; d ' a i l l e u r s , a ce d e r n i e r propos, on peut remarquer que t r o i s s i t u a t i o n s géné- r a l e s sont p o s s i b l e s à s a v o i r ( v o i r l e s f i g u r e s fi): .

1) P . ( 2 . z - H)/H > R ,

0 ' S

2) i l e x i s t e un tf < z ' < H t e l que R. [ 2 . ( z + z') - R]/F = R ,

S O * S

3) P..[2.(z + H ) - H]/H < F. ;

0 ' S S

c ' e s t dans c e t t e d e r n i è r e s i t u a t i o n que l ' o n estiraera ê t r e p l a c e .

Le c a l c u l du nombre î ' ^ d e s photons c o n d u i s a n t , par u n i t e d e temps, dans D, à des événements d é t e c t a b l e s , exige m a i n t e n a n t l a c o n n a i s s a n c e , donc l e c a l - c u l , dans chaque s i t u a t i o n , de l a v a r i a b l e d' de f ^ ( a , d ' ) . Pour t o u t point- d'émission E de S on c o n n a î t l e s c o s i n u s d i r e c t e u r s du demi-axe " p o r t a n t " l e f a i s c e a u é l é m e n t a i r e à s a v o i r

u ' - ^±aV^.casU>, v ' - s i n r . s i n W , w* « c o s / (dans t o u t e l a s u i t e < <"0;

pour un p o i n t quelconque de ce demi-axe, a l a d i s t a n c e p de F., on a l e v e c - p . ( s i n r . c o s < 0 . e ' + s i n T . s i n t f . e ' + cosV-.e');

A, E et C étant les coordonnées de E dans le système D, on a inversement pour les coordonnées de 0, origine de E , dans le système E:

1/2

(A + B ) , n'.-C.

A p a r t i r de l a on e s t en é t a t de c a l c u l e r l a d i s t a n c e de E au p o i n t d ' i n t e r - s e c t i o n du demi-axe avec tout plan a l a c o t e z (dans l e système t») moyennant p . C D S | » z - C, d ' o ù , p a r exemple, pour un c e r t a i n d ' , l a v a l e u r

J ' - P - p - - C / c o s J - (H - O / c o s V s o i t d' - - H / c o s y (»d' ) .

„ A w

En se r e p o r t a n t a l a f i g u r e 7 r e p r é s e n t a n t l a n r o j e c t i o n des p o i n t s du c y l i n - dre F e t de ceux du demi-axe, support d e o , sur l e plan x"Ey", on v o i t eue l e s coordonnées x" e t y" sont lie'es '

1/2 2 2 2 n 2

par [(A^P*^-) - p .sinT.costf] + p . . s i n Y .sin<J> = P. cour L , , e t

. «- *.

22 1/2 2 2 2 2 2

p a r [ O ^ . s i n T . c o s W - (A +B ) ] + p ^ . s i n v - . s i n t f - R pour I&. L'une e t l ' a u t r e conduisent a

s i n V . p - 2.(A +B ) . s i n T . (cosù) .6) + [(A +E ) - R ] = ^ dont l e d i s c r i m i n a n t r é d u i t d ' e x p r e s s i o n à,' " s i n p . [ ( A +B ) .(coso7-D+T". J e s t t o u j o u r s p o s i t i f en v e r t u d e s c o n d i t i o n s imposées p l u s h a u t . I l en r e s u i t e pour l ' e x p r e s s i o n des r a c i n e s l a s u i v a n t e :

( - x 1/2 , _ 1/2}

? « " } <^{A + B} ^ . c o s p > ± [ ( A +B ) . ( c o s ^ > - l ) + R ] f-/sinV.

La s i t u a t i o n que l ' o n appréhende l e p l u s aisément e s t c e l l e pour l a q u e l l e (A< a+EB ,)-R*"> ff; en e f f e t , dans ce c a s , c o s p e t sinjf s o n t p o s i t i f s tous l e s deux e t l a d i s t i n c t i o n e n t r e l a p l u s grande e t l a ' p l u s p e t i t e des deux r a c i n e s aise'e.En e f f e t lorsque l e f a i s c e a u é l é m e n t a i r e aura p e ' n e t r é ' d a n s F par l a s e c - t i o n d r o i t e à l a c o t e H pour en s o r t i r par l a s u r f a c e l a t é r a l e on aura

Î:

111 1/2 (A^+B*) . c o s « + [ ( Â N - B ^ M C O S ^ - I ) + l»*]

• (s comme s o r t i e ) H - C

e t P - - • - (e comme e n t r e e )

' e C08/

1/2 1/2 (A^+B*) .cosû7+ t(Âa'+B6).(cosfl?-l) + R*] H - C

d'où d ' « '- , (=d' ) ; s i n 7 cosJ' EL

i t t t t ' f

lorsque l e f a i s c e a u é l é m e n t a i r e aura p é n è t r e dans D p a r l a s u r f a c e l a t é r a l e pour en s o r t i r p a r l a s e c t i o n d r o i t e a l a c o t e z e r o , on a u r a

1/2 1/2 - C (A*+B*) .cos«>- [ ( A ^ + T l ^ . C c o s ^ - l ) + P*]

d ' =. i '- (=d* ) ;

cosX sinZ' Lf!

l o r s q u ' e n f i n l e faisceau é l é m e n t a i r e aura p é n è t r e dans D p a r l a s u r f a c e l a t é - r a l e pour en s o r t i r encore p a r l a même, on aura

1/2 2.[(A*+B^B).(coso<>-l) + 8*]

d ' L (=d' ) .

s i n T LL Pour m a î t r i s e r l e cas de [(A^a+B*') - E*] < K, on se p l a c e r a dans des s i t u a -

ions ou, l ' a n g l e Y r e s t a n t < ^"7 sinjK r e s t e r a p o s i t i f de s o r t e que l a r a c i n e