1980 Ga COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE

FfL. %V D •L.^S'b

| COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE

E.11

CEA-R-6087

ETUDE DE LA STABILITE DES FILMS LIQUIDES AVEC FLUX DE CHALEUR A LA PAROI ET CHANGEMENT DE PHASE A L'INTERFACE

par

Bertrand SPINDLER

DEPARTEMENT DE TRANSFERT ET CONVERSION D'ENERGIE

Centre d'Etudes Nucléaires de Grenoble

Rapport CEA-R-5067

1980

Ga

SERVICE DE DOCUMENTATION

C.E.N • SACLAY B.P. n' 2, 91 190 - GIF-sur-YVETTE • France

Physique théorique

Physique atomique et moléculaire Physique de l'état condensé

Physique des plasmas et réactions thermonudéaires Astrophysique, cosmologie et rayonnements cosmiques Conversion directe d'énergie

Physique des basses températures Physique des hautes énergies

Physique neutronique et physique nucléaire Analyse chimique et isotopique

Chimie minérale, chimie organique et physico-chimie Radiochimie et chimie nucléaire

Chimie sous rayonnement Corrosion

Traitement du combustible

Métaux et alliages (production et fabrication) Métaux et alliages (structure et propriétés physiques) Céramiques et cermets

Matières plastiques et autres matériaux Effets des rayonnements sur les propriétés physiques des matériaux

Sciences de la terre

C 10 Action de l'irradiation externe en biologie C 20 Action des radioisotopes et leur cinétique

A 11

t

\

¹²

A 13 A 14 A 15 A 16 A 17 A 20 A 30 B 11 B 12 B 13 B 14 B 15 B 16 B 21 B 22 B 23 B 24 B 25

C 30 Utilisation des traceurs dans les sciences de la vie C 40 Sciences de la vie : autres études

C 50 Radioprotection et environnement D 10 Isotopes et sources de rayonnements D 20 Applications des isotopes et des rayonnements

Thermodynamique et mécanique des fluides Cryogénie

Installations pilotes et laboratoires Explosions nucléaires

Installations pour manipulation de matériaux radioactifs

Accélérateurs Essais des matériaux

Réacteurs nucléaires (en général) Réacteurs nucléaires (types) Instrumentation

Effluents et déchets radioactifs Economie

Législation nucléaire Documentation nucléaire Sauvegarde et contrôle

Méthodes mathématiques et codes de calcul Divers

E 11 E 12 E 13 E 14 E 15 E 16 E 17 E 20 E 30 E 40 E 50 F 10 F 20 F 30 F 40 F 50 F 60

Rapport CEA-R-5067 CotHtutièn de ce rapport :EJt

DESCRIPTION-MATIERE (mots clefs extraits du thesaurusSIDON/INIS)

ECOULEMENT PAR FILM ECOULEMENT LIQUID EVAPORATION

CONDENSATION DES VAPEURS STABILITE DE PHASE INTERFACES

VITESSE D'ECOULEMENT CONDUCTION THERMIQUE

FILM FLOW LIQUID FLOW EVAPORATION VAPOR CONDENSATION PHASE STABILITY INTERFACES F LOW RATE

THERMAL CONDUCTION

- Rapport CEA-R-5067 -

t

Centre d'Etudes Nucléaires de Grenoble Département de Transfert et Conversion d'Energie

Service des Transferts Thermiques

ETUDE DE LA STABILITE DES FILMS LIQUIDES AVEC FLUX DE CHALEUR A LA PAROI ET CHANGEMENT DE PHASE A L'INTERFACE

par

Bertrand SPINDLER

-Septembre 1980-

s u r une p a r o i p l a n e a v e c f l u x de c h a l e u r à l a p a r o i e t c h a n g e m e n t de p h a s e a l ' i n t e r f a c e e s t é t u d i é e . Deux é t u d e s s é p a r é e s s o n t f a i t e s s e l o n q u ' i l s ' a g i t de l ' é c o u i e t w n t a v e c un f i l m p r é e x i s t a n t o u de l ' é c o u l e m e n t d ' u n f i l m d e c o n d e n s a t i o n . On t i e n t c o m p t e d a n s l e s d e u x c a s de l a v a r i a t i o n d ' é p a i s s e u r d u f i l m due au c h a n g e m e n t de p h a s e . L ' e f f e t du c h a n g e m e n t d e p h a s e s u r l a s t a b i l i t é e s t m. s e n é v i d e n c e ( s t a b i l i s a t i o n p o u r l a c o n d e n s a t i o n , d é s t a b i l i s a t i o n n o u r l ' ë v a p o r a t i o n ) , a i n s i que l ' i n f l u e n c e d e l a v a r i a t i o n d ' é p a i s s e u r du f i l m ( s t a b i l i s a t i o n p o u r 1 ' e v a p o r a t i o n , d é s t a b i l i s a t i o n p o u r l a c o n d e n s a t i o n ] .

C o m m i s s a r i a t à l ' E n e r g i e A t o n i q u e - F r a n c e

CEA-R-5067 - B e r t r a n d SPINDLER

PHASE^LCHANGE^{U D Y} °^{F LIQUID FIL}"^{S WI}™ ^{W A U}" ^{HEAT FLUX AN}D r N T E R pA C I A L Summary. The l i n e a r s t a b i l i t y o f a l i q u i d f i l m f l o w i n g o v e r a p l a n e w i t h w a l l h e a t f l u x a n d i n t e r f a c i a l p h a s e c h a n g e i s s t u d i e d . Two d i f f e r e n t s t u d i e s a r e m a d e , t h e f i r s t f o r t h e f l o w w i t h a p r e e x i s t i n g f i l m a n d t h e s e c o n d f o r a c o n d e n s a t i o n f i l m f l o w . The f i l m t h i c k n e s s v a r i a t i o n i n d u c e d by t h e p h a s e c h a n g e i s t a k e n i n t o a c c o u n t . The i n f l u e n c e o f t h e p h a s e c h a n g e on t h e f l o w s t a b i l i t y i s s t u d i e d ( s t a b i l i s a t i o n f o r c o n d e n s a t i o n , d é s t a b i l i s a t i o n f o r e v a p o r a t i o n ) , a s w e l l a s t h e i n f l u e n c e o f t h e f i l m t h i c k n e s s v a r i a t i o n ( s t a b i l i s a t i o n f o r e v a p o r a t i o n , d é s t a b i l i s a t i o n f o r c o n d e n s a t i o n ) .

C o m m i s s a r i a t à l ' E n e r g i e A t o m i q u e - F r a n c e

SOMMAIRE

NOMENCLATURE INTRODUCTION

1. EQUATIONS GOUVERNANT L'ECOULEMENT 1 . 1 . Rappels

1.2. Mise sous forme adimensionnelle des équations 1.3. Ecoulements de oase

1.4. Système d'équations

2. METHODES DE CALCUL DE LA STABILITE 2.1. Développement limité en a 2.2. Méthode d'Anshus et Goren 2.3. Méthode de Solesio

3. STABILITE DE L'ECOULEMENT AVEC FILM PREEXISTANT 3. !. Nombre de Reynolds

3.2. Influence du changement de phase sur la stabilité 3.3. Influfuce de la variation d'épaisseur sur la stabilité 3.4. Influence de la nature de la condition thermique à la paroi 3.3. Nature du fluide

3.6. Vitesse de la perturbation

3.7. Stabilité temporelle et stabilité spatiale 3.5. Conclusion

4. STABILITE D'UN FILM DE CONDENSATION 4.1. Nombre de Reynolds

4.2. Influence du changement de phase sur la stabilité 4.3. Influence de la variation d'épaisseur sur la stabilité 4.4. Comparaison avec les études antérieures

4.5. Influence de la condition thermique à la paroi 4.6. Nature du fluide

4.7. Stabilité temporelle et stabilité spatiale 4.8. Conclusion

REFERENCES FIGURES

jf fonction (éq. 1.4.8)

a Epaisseur adimensionnelle (éq. 1.2.1) C Chaleur massique

p . û .

c Vitesse de la perturbatxon, c » c + i c.

c' ' c - a2/2 (éq. 2.2..3)

e * + 1 dans le cas de lrevaporation; • - I dans le cas de la condensation g Accélération de la pesanteur

Ku Nombre de Kutateladze (éq. 1.2.3) L Chaleur de vaporisation

Pe Nombre de Peclét (éq. 1-2.10) Pr Nombre de Prandtl (éq. 1.2.9) q Densité de flux de chaleur Re Nombre de Reynolds (éq. K2.6) Re Nombre de Reynolds local (éq. 3.3.2) r - c - u(a) + (n/i a) (3v/3y)a (éq. 1.4.9) T Temps

t Temps adimensionnel (éq. 1.2.1) U Composante longitudinale de la vitesse

u Composante longitudinale adimensionnelle de la vitesse (éq. 1.2.1) V Composante transversale de la vitesse

v Composante transversale adimensionnelle de la vitesse (éq. 1.2.1) We Nombre de Weber (éq. 1.2.7)

X Coordonnée longitudinale

x Coordonnée longitudinale adimensionnelle (éq. 1.2.1) Y Coordonnée transversale (Y - 0 à la paroi).

y Coordonnée transversale adimensionnelle (éq. 1.2.1) Z Fonction (éq. 1.4.8)

a llombre d'onde (éq. 1.2.1) A9 Ecart de température de référence

n - Y /X , rapport des échelles de longueur (éq. 1.2.5) S Température

3 Température adimensionnelle (éq. 1.2.1) A Longueur d'onde de la perturbation

\ Conductibilité thermique U Viscosité dynamique v Viscosité cinématique

il

I

p Masse volumique a Tension superficielle

<$ Fonction (éq. 1.1.8)

¥ Fonction de courant

î! Angle du plan incliné avec un plan horizontal ai Fréquence de la perturbation

Indices

r Valeur de référence s Saturation

indice "prime" : terme de perturbation

MTRODUCriOH

On rencontre dans de nombreux appareillages industriels des écou- lements de films liquides avec flux de chaleur à la paroi et changement de phase à l'interface : ëvaporateurs, condenseurs, réacteurs nucléaires (assèchement de paroi d'un canal chauffant, possibilité de migration de gaine de combustible fondu), etc* Les vagues qui se propagent à la surface des films liquides ont une grande influence sur les phénomènes de transfert.

Il est donc intéressant de pouvoir prédire les conditions dans lesquelles des perturbations de l'écoulement sont amplifiées et forment des vagues, ou amorties. C'est dans ce but qu'on étudie la stabilité linéaire de l'écou- lement.

On s'intéresse à l'écoulement d'un film liquide sur une paroi plane avec flux de chaleur à la paroi et changement de phase à l'interface. La vapeur qui surmonte le film a pour seul mouvement celui induit par l'écoule- ment du film. Deux configurations d'écoulement sont envisagées : l'écoulement avec film préexistant (figure 1 ) , où le changement de phase peut être .evapo- ration ou condensation, et l'écoulement d'un film de condensation (figure 2 ) . Dans un précédent rapport (SPINDLER,, 1980), les équations qui permettent l'étude de stabilité de tels écoulements ont été étudiées et simplifiées. On présente ici l'étude de la stabilité des écoulements, en utilisant, à partir de l'équation d'Orr-Sommerfeld modifiée pour rcenir compte de la présence du changement de phase, les méthodes de SOLESIO (1977 a) et d'ANSHUS et GOKEN

(1966) dont les performances sont comparées, ainsi qu'un calcul par dévelop- pement limité pour les petites valeurs du nombre d'onde. Cette étude permet de mettre en évidence l'influence du changement de phase sur la stabilité linéaire de l'écoulement.

1. EQUATIONS GOUVERNANT L'ECOULEMENT

1.1. Rappels

Dans un rapport précédent (SPINDLER, 1980), nous avons étudié les équations gouvernant l'écoulement plan d'un film liquide avec flux de chaleur à la paroi et changement de phase à l'interface, en vue de l'étude de la stabilité linéaire d'un tel écoulement. Ces équations, écrites sous leur forme la plus générale sont d'une grande complexité. Le hut du rapport cité est de les simplifier de manière rationnelle, en déterminant l'ordre de grandeur respectifs des différents termes des équations. Pour ce travail, un certain

2.

nombres l'hypothëses simples ont été faites, dont les principales sont les suivantes :

Le fluide de référence est l'eau à température de saturation sous pression atmosphérique. L'étude peut s'appliquer à tout fluide ayant des caractéristiques analogues 3 celle de l'eau, en particulier les rapports respectifs de la masse volumique et de la viscosité dynamique de la vapeur à celle du liquide doivent être négligeables par rapport à I. La variation des propriétés physiques du fluide est supposée faible.

L'écoulement de la vapeur surmontant le film est celui induit par le ruis- sellement du film. Dans la couche de vapeur en mouvement, les forces d'inertie équilibrent les forces de viscosité. La vapeur est supposée être à la tempé- rature de saturation.

Enfin, dans le film liquide, les forces de viscosité équilibrent les forces d'inertie, et le. transfert de chaleur se fait essentiellement par conduction*

L'étude de la stabilité linéaire est faite par la méthode des perturbations : on superpose à l'écoulement de base (écoulement laminaire permanent) des petites perturbations dont on veut étudier les caractéristiques.

Pour l'écoulement d'un film liquide sur une paroi plane avec flux de chaleur à la paroi et changement de phase à l'interface, l'écoulement de base n'est pas uniforme : dans le cas de 1'evaporation, l'épaisseur du film de base diminue, alors que dans le cas de la condensation, elle augmente (l'écoulement de base a été calculé dans le rapport cité).

Le fait que l'écoulement de base ne soit pas uniforme nécessite de prendre des précautions pour l'étude de la stabilité. Deux méthodes ont été envisagées.

La méthode dite des échelles multiples permet de suivre l'évolution d'une

perturbation avec l'abscisse X mais conduit à des calculs d'une grande complexité.

La méthode d'approximation locale ne permet, elle, que l'étude du devenir d'une perturbation née en une abscisse X fixée. Cette méthode conduit à des calculs relativement simples, peu différents par exemple de ceux qui permetteut l'étude de la stabilité de l'écoulement d'un film isotherme, pour lequel l'écoulement de base est uniforme. C'est cette dernière méthode qui a été choisie. Elle consiste à remplacer, dans les variables de base figurant dans les équations aux perturbations, la variable X par une valeur X fixée, puis à traiter le système d'équations aux perturbations comme dans le cas où l'écoulement est uniforme, X n'étant alors plus qu'un paramètre supplémentaire.

Four plus de details concernant ces deux méthodes et les équations aux perturbations, on pourra se référer au rapport déjà cité (SPINDLER, 1980).

Le présent rapport présente l'étude de la stabilité de l'écoulement à partir des équations du type Orr-Sommerfeld obtenues â partir des équations aux perturbations en supposant des perturbations de type sinusoïdal.

1.2. Mise sous forme adimensionnelle des équations

Les définitions suivantes sont utilisées pour mettre les équations sous forme adimensionnelle :

x è x/sr ; y - Y/Yr ; a â A / ?r ; a - 2 TT Yr/A u - D/Ur ; v â V/V ;

9 è (0 - eg)/A9 t * T/T (1.2.1)

où A est l'épaisseur du film, Q la température de saturation, A la longueur d'onde de la perturbation et a son nombre d'onde adimensionnel.

La différence de température de référence A0 est définie de la manière suivante t

Dans le cas où la température de paroi 9 est constante :

AG â e( 0w - 9s) (1.2.2)

dans le cas où le flux de paroi q est constant :

ÛG â e q^ Yr/X (1.2.3)

où e est dâfini de la manière suivante :

e =• + 1 dans le cas de l'evaporation /, « ,,

A (1.2.4)

e » - 1 dans le cas de la condensation

4.

Les nombres adimensionnels suivants sont introduits dans les équations : n * Y /X , (1.2.5), rapport des échelles de longueur trans-

versale et longitudinale

Re * U Y /v , (1.2.6), nombre de Reynolds, rapport des forces d'inertie aux forces de viscosité.

We » oyp U Y ,(1.2.7), nombre de Weber, rapport des forces de A 2 tension superficielle aux forces d'inertie Ku * C A0/L , (1.2.3), nombre de Kutateladze, rapport de la chaleur

transportée par convection à la chaleur de vaporisation

Pr a u C /A , (1.2.9), nombre de Prandtl, rapport de la viscosité cinématique â la diffûsivitë thermique.

0.2.10) nombre de Peclet, rapport de la chaleur transportée par convection à la chaleur transportée par conduction.

On a montré (SPINDLER, J980) que les hypothèses faites au sujet de l'écoulement, dont certaines sont rappelées au paragraphe 1.1 conduisent aux résultats suivants

n r

" g sin n £,

V r

= n u

^r

T

r

⁼

V

^U

r n - Ku/Pr

Re Ku

« I

(1.2,11)

Compte tenu des définitions (ëqs. 1.-.I-10) les equations 1.2. M conduisent aux égalités suivantes :

Re - g sin S! Y^/v2 (1.2.12)

We - a o "1 (g s i n S2 vA)~1/3 R e "5' '3 ( 1 . 2 . 1 3 )

le fait que Ku doit être tris petit par rapport à 1 conduit à une limitation de la différence de température entre paroi et interface, ou a une limitation du flux de chaleur à la paroi dans le cas ou celui-ci est constant.

Dans la suite de l'étude, on utilise comme fluide l'eau à température àe satu- ration (I00°C) sous pression atmosphérique, et également le réfrigérant R.12

(dichlorodifluorométhane) à température de saturation (16CC) sous uae pression de 5 bar. Les valeurs numériques des propriétés physiques de de ces liquides sont représentées dans le tableau î. Elles ont été obtenues en consultant les ouvrages suivants : GALLANT (1968), RAZNJETtC (1976) et WEAST (1972).

P

kg m - 3

V I Cp

kg m"1 s " ' j J k g- 1 K '!

X 1 L

» m^{- 1} K" M J k g "¹ a S m^{- 1}

? r

eau 9 , 6 . 1 0² 2 , 8 . 1 0 "4 4 , 2 . 1 03 6 , 8 . IO"1 2 , 3 . 1 06 5 , 9 . I O "2 1,7 R12 1 , 3 . ! 03 2 , 4 . Î O- 4 9 , 6 . 102 1 , 1 . 1 0 "1 1 , 5 . I O⁵ 1 , 3 . I O "² 2 , 1

Tableau 1 : Valeur des propriétés physiques de l'eau à température de saturation (100°C) sous pression atmosphérique et du réfrigérant RI2 à tempéra- ture de saturation (16°C) sous une pression de 5 bar.

1.3. Ecoulements de base

Les écoulements de base sont définis par les équations suivantes (pour le calcul, voir SPIHDLER, 1980) :

u - a y - •£- 3a 2

V

- " ^

^y

(1.3.1)

dans 1- cas où la température de paroi esc constante

8 - e (1 - i ) (1.3.2)

6.

dans le cas où le flux de paroi est constant

8 - e (a - y) (1.3.3)

Le tableau 2 montre la valeur de a(x) peur les différentes configurations d'écoulement envisagées.

écoulement avec film préexistant (figure 1)

Condensation en film (figure 2) température de paroi

constante

0 - 4 e x >1 / 4 ( 4 x ) " *

Flux dé parai cons tant

< > - 3 e . s )1 / 3 (3 x ),/3

Tableau 2 : Valeur de a(x) pour les différentes configurations d'écoulement.

1.4. Système d'équations

Le système d'équations du type Orr-Sommerfeld qui permet l'étude de la stabilité par la méthode d'approximation locale est le suivant (SPIHDLER, 1980).

vT V(xo,y) - 2 a2 V'Cx,, y) + c* *<xo, y) - i a Re [(u - c) (*"(xo> y)

- a

²

*(x

^o

, y)) - 0 *(x

^o

, y)] - 0 (J.4.1)

Z"(x0, y) " a2 Z(xo, y) - i a Pe [(u - c) Z(xo > y) - f | » & „ , y)] = 0 (1.4.2)

<t(xo, 0) - 0

*'<V°> " '•> (,.4.3) 2(x , 0) » 0 si la température de paroi est constante

Z1(x , 0) * 0 ii le flux de paroi est constant

* " ' ( x^o, a) + Re i a (c - u) - 3 a² * ' ( x^Q, a)

- i a (cotg Q + a² We Re)ifc • 0 (!.>':,4)

*"(x , a) + a² <Hx^o, a) - i t - 0 ( 1 . 4 . 5 )

Z ( xⁿ, « ) + ! ! # ' 0 ( 1 . 4 . 6 )

o 9y

r j t - *(x a) + 7 ^ - | * +'(=c , *)-•£: Z'(x . a) ( 1 . 4 . 7 ) o l a ax o i a a où 4, Z et ft sont reliés aux termes de perturbation de la fonction de courant Y, de la température a' et de l'épaisseur a' par les équations suivantes :

'*(xQ, x, y, t) - *<xo, 7) exp | i p (x - c £)J

8'(xo, x, y, t) - Z(xo, y) exp U— (x - c t)J (1.4.8) a'(xQ, x, t) -jX (xQ) exp N ^ p (x - c t) j

e t r a l a d é f i n i t i o n s u i v a n t e :

r

à

^c

.

^{uU > +I}

! L | X |

^{a 0}

.

⁴

.

^{9 )}

Les équations 1.4.4-7 peuvent également s'exprimer de la manière suivante, après élimination deft, et en éliminant les termes dont l'ordre de grandeur est négligeable :

it M/ % [\> • / \ o 2~\ ii/ •> i ci (cotg fl + a2We Re)

• (x , a ) + Re i ct(c - u) - 3 o ' U ( i , a ) i s '

0 L ' J ° c - u 4>(xQ, a) - 0

$ " ( xo > a) • ( a2 - i ) * ( xo > a) -7 J _ Jfi f ( v «> + - i - Z- (Xo>a) » o Z (x , a) + -—•— -r— -r— $ (x , a) + — -r— £ (x , a) - -. -r— Z (x , a) =0

o* i a r 9x 3y o* ' r 3 yro * i a r 9y * o* '

( 1 . 4 . 1 0 ) Ce q u i d i s t i n g u e l e système d ' é q u a t i o n s 1.4.1-7 du système c o r r e s p o n d a n t au cas de l ' é c o u l e m e n t dru n film i s o t h e r m e , o u t r e l e f a i t q u ' a u problème dynamique s o i t couplé un problème thermique e t que l ' é c o u l e m e n t de b a s e dépende de l ' a b s c i s s e x, c ' e s t l ' é q u a t i o n de b i l a n de masse à l ' i n t e r f a c e , qui e s t dans l e système d ' é q u a t i o n s c i - d e s s u s l ' é q u a t i o n 1.4.7. Dans l e cas de l ' é c o u l e m e n t

s.

d'un film isotherme, cette équation s ' é c r i t de la manière suivante : c - u(a)J;fk - 4(a)

Les termes proportioned â n/a dans les équations 1.4.7, 9 traduisent l'effet du changement de phase sur la stabilité du film. La valeur des nombres de Reynolds des films est dans la pratique limitée inférieurement à des valeurs proches de 1 ; les équations 1.2-10 permettent d'en déduire que, pour des liquides dont le nombre de Frandtl est de l'ordre de grandeur ou supérieur à 1, le rapport n est toujours très petit par rapport à 1. Ainsi, le rapport n/a qui apparaît dans les équations 1.4.7, 9 a une valeur négligeable par rapport à I sauf lorsque le nombre d'onde a est lui-même très petit. C!est-â-dire que l'on peut déjà prévoir que l1influence du changement de phase se bornera aux faibles valeurs du nombre d'onde a. On verra plus précisément dans la suite

(paragraphe 3.2.1, 4.2) ce qu'il en est.

2. METHODES DE CALCtJL DE LA STABILITE

Trois méthodes de calcul ont été envisagées. Tout d'abord un calcul par développement limité en a, c'est-à-dire valable uniquement pour les faibles valeurs du nombre d'onde a, correspondant aux perturbations de grande longueur d'onde.

Ensuite sont présentées la méthode d'ANSHTJS et GOBEN (1966) et celle de SOLESIO (1977 a) qui permettent d'étudier les caractéristiques de la perturbation pour toutes les valeurs du nombre d'onde et, mais nécessitent la mise au point d'un programme de calcul numérique sur ordinateur*

2*1. Développement limité en a

Lorsque le nombre d'onde a est petit, on peut définir par approximations suersssives une solution du système d'équatious 1.4.1-7. On choisit de normer la fonction de courant en posant :

A - i

les fonctions $ et Z sont supposées décomposées de la façon suivante :

* i^o * a *j + o(a²)

Z - Z + a Z, + o ( a2) o J

(2.1,1)

les équations 1.4,1-6 permettent les calculs successifs de 4> , Z , <j>. et Z. .

Pour la célérité complexe c, on ne considère pas un développement en a du typ^ 2.1.I, comme pour $ et Z : la célérité c est déterminée à partir de l'équation de bilan de masse 1.4.7 où l'on remplace <J>, <*>'» et Z* par leur développement suivant les équations 2.1.1. O n obtient ainsi pour c une valeur dont la précision est meilleure que si l'on avait développe c suivant a.

2.1.!. Approximation d'ordre zéro

L'approximation d'ordre zéro est obtenue en posant :

Les équations 1.4.1.-6 s'écrivent alors sous la forme suivante :

i •L V /

*o ^(% o ' " - 0

K <*o

^{. 7) ' 0}

V v

^{0) • 0}

*o<V

^{0) - 0}

Z' (x , o o ' 0) - 0 Z ' ( x , o o ' 0) - 0 +"'(*„ ^{, a) ~ 0}

+o<V

a

> ' '

l e système d ' é q u a t i o n s 2 . 1 . 2 a pour s o l u t i o n

10.

dans le cas où la température de paroi est curetante

a

dans le cas où le flux de paroi est constant

Zo "e

2. 1.2. Approximation^'ordre un

L'approximation d'ordre un est obtenue en ne conservant dans les équations qu% les termes en a et en négligeant les termes en a2, sauf celui où figure le produit a2 We Re, le produit We Re pouvant atteindre de grandes valeurs (par exemple, pour un écoulement vertical d'eau à 100° sous pression atmosphérique, We Re - 2014 pour Re * 20).

Il faut signaler que les cerises a Re it a Re.Pr sont supposés d'ordre d'appro- ximation un, c'est-à-dire que le nombre de Reynolds et le nombre de Prandtl ne doivent pas être trop élevés. Dans le cas contraire, il faudrait conserver les termes en a Re et a Re.Pr â l'ordre d'approximation zêrc, ce qui rendrait les calculs beaucoup plus compliqués.

Les équations 1.4.1-6 s'écrivent sous la forme suivant. :

*f Cx

^o

, , ) . I U [<u - c) ^ <

^V

y) - g *

⁰

<V

^y

>]

2»(xo, y) - i Pe [(« - c) Zo( xo, y) - - | *0<V y)]

*,(x0, 0) - 0

*|(xo, 0) - 0 ZjC^, o) » o

(2.1.3)

(2.1.4)

(2.1.5)

ou

z;<v o) - o

•I'^t , a) + Re i (c - u) *g(xQ. a) - ifcotg !) + a2 We Re)

*'1'(xo, a) - 0

W

^{a) (2.1.6)}

L e système d'équations 2.1.6 a pour solution les equations suivantes, compte tenu des équations définissant les écoulements de base (éqs. 1.3.1-3) :

* l( xo '7) " i '.20 24

^ < =

^J

«

+ i (cotg Q + a2 He Re) (^- (2.1.7) dans le cas où la température de paroi est constante :

Z, (V y) - . i P. .- 40-p- ^ 3-

[- !"ë-î<T-t>] »•'•»>

dans le cas or le flux de paroi est constant :

a _ 3 2 aH

W

^{y )}

"

^{e iPe (}

6 2 " T

( 2 . 1 . 9 ) L'équation 1.4.7 permet maintenant le calcul de c. En posant

c - c + i c ,

On obtient, en négligeant les termes en Ku :

Dans le cas où la température de paroi est constante : a2 R e2 a1 0

r 2.. e Ku e_73Ku.

I

^a

° " 6-57 120—

⁾ 64 2 II» R»1 <S_!1 + 5 "2 ??e a ?) j + (cotg Sî + a2 We Re) ( j -1 +

^ 25 a2 R e2 ar

!/('

^{2 e Ku} _{3 Pr}

576

-)

,. . r3 e n ,. Ku e e Ku, 2 a2 R e

c

i • L ~ ^ ~ "

^{( 1}

"T

^{- +}

3

^_

PT

^{) +}

— —

(2.1.10) e Ku 31 e Ku.

128 Pr 128 - Ta 2 a2 (cotg n + a2 We Re) (1 + fg^H- - - S ^ ) ] /

12.

(1 - 2 ? K" + 2 e Ku + 25 a2 R e2 a8. . .

U 3 * 3 Pr 376 ; w'1,1"

dans le cas où le flux de paroi est constant

a2(l • ^ g - * - * " ! " > + °2 g f a'° + Ccotg a + «* W« Re)

D

<f

^{+ 5}

°

2 7 2 R e a 7

> } a

<f

⁺

" V " ^

^{0 +}

Hfr

²

"

2 a e K u

* " °576

e 2 a 8 )

( 2 . 1 . 1 2 )

f2 n e , . _. e a Ku _. ,, ^ 2 a² Re a⁶ , , . e a Ku e a _ K u ,

- ^ a²( c o C g n + a² We Re) (1 + ^ j f - f g - e a K u ) ] /

(1 H- l ^ | J S i - 2 a e Ku + Z5 a3?f2 a° ) (2....3)

Les équations 2.1.11, 13 permettent d'étudier les variations du coefficient d'amplification temporelle a c. en fonction du nombre d^fonde^t c*est-à-dire d'étudier la s t a b i l i t é de l'écoulement. Ceci sera l'objet des chapitres 4 et S.

On peut déjà cependant remarquer que la valeur i n i t i a l e (pour a * o) du coefficient d'amplification temporelle a c. est :

dans le cas où la température de paroi est constante : . 3 e n

a c . • „ 1 a2

dans le cas où le flux de paroi est constant : 2 e n

(2.1.14)

(2.1.15) Outre le fait que ces valeurs initiales sont nécessaires pour utiliser la méthode d'AUSHUS et GOBEN ou celle de SOLESIO, ces valeurs initiales montrent qu'aux faibles nombres d'onde, l'évaporation (e • + 1) a un effet déstabilisant

(a c. > 0), alors que la condensation (e • - 1) a un effet stabilisant (a c. < 0 ) . On peut également observer qu!à valeurs égales de a et de n, le coefficient d'amplification est plus grand en valeur absolue, dans le cas où la température de paroi est constante, que dans le cas où le flux de paroi est constant*

Pour les deux calculs présentés ci-dessous, on se restreint au cas d'un écoulement vertical, qui conduit â des expressions algébriques plus simples,

et on n'écrit pas les termes ea Ku, qui sont toujours très petits par rapport à 1.

(i) Stabilité neutre

La stabilité neutre est obtenue pour a c. • 0, c'est-à-dire pour la valeur de a donnée par les équations suivantes :

dans le cas où la température de paroi est constante : a - M R e5 / 6[ . ±(1 + e N R e -I 1 / 3)1 / 2], / 2

M à (ÏIJL)1'2 ( g v " ) "6

N âJ 2 f K u " < a v V^1/3 (2.1.16)

dans l e cas où l e flux de paroi est constant :

0- M R e5/6[ l ± (1 + e H' R e -1 0'3)1'2] "2

„ , A 150 Cp e % a , , - 2 / 3 . , , , , ,

S ' - - ^ j j - j - g - - ( , » ) (2.1.1/) a

dans le cas où le flux de paroi est constant, le nombre de Kutateladze Eu est fonction du nombre de Reynolds par l'intermédiaire de Y (éqs. 1.2.8, 3, 12)

c'est pourquoi Ku ne figure pas dans l'équation définissant N' (éq. 2.1.17), mais est dévelopoé suivant l'équation (2.1.18).

(ii) Nombre de Reynolds critique

Dans le cas de la condensation (e * - I), il existe un nombre de Reynolds critique Re en deçà duquel a c. est toujours négatif, c'est-à-dire en deçà duquel l'écoulement est toujours stable.

Dans le cas où la température de paroi est constante, Re est donné par la formule suivante :

14.

Re » I T3'1 1 , c ' e s t - â - d i r e :

Re

^c

- a"

³

[225 f* f (, v V

^{, / 3}

f " (2.1. .9,

dans l e cas où l e f l u x de paroi e s t constant, Re e s t donné par l a formule

Re^c - N^{, 3 / 1}° , c ' e s t - â - d i r e :

- 3 T ^CD ^e % ° - 2 / 3 ~ l^{3 / ! ù}

R e

c "

a

I .

1 5 0

Pr X

1 (

C g v )

Z / 3

J (2.1.20)

2 . 2 . Méthode d'AUSHUS e t GOREH

AUSHDS e t GOREN (1966) remplacent dans l e s équations 1 . 4 , 1 - 2 l a v i t e s s e de base u(y) (éq. 1.3.1) par sa valeur à l ' i n t e r f a c e :

2 u(a) - - | -

et gardent à la dérivée seconde 32u/3y2 sa valeur réelle, qui est constante (éq. 1.3.1). Il en est de même pour 30/3y (éq. 1.3.2-3)

lies équations 1.4.J-2 deviennent ainsi des équations à coefficients constants dont la solution peut se mettre sou3 la forme suivante :

<Kx0, y) « A sin Bj y + B cos 8, y + C sin 32 y + D cos S, y

Z(x , y) - E sin 6. y + F cos S, y + G sio 8, y + H cos 6, 7

(2.2.1)

6 ]

. [ii|S_çl .

o 2 + ( 1

„

^{R e}

. ^ ^ c ' ^ . / 2 j ^

B 2

. [L&MçL -

^a

2 .

^{a a R e}

. « d - s i ^

²

, ' / 2 ]

^{1 / 2}

<

²

.

²

.

^{2 )}

t j • ( i . Pe c' - c t2)1 / 2

, A a

: - c - - j - ( 2 . 2 . 3 )

6,2 t o ' - i o 7 e c'

„ 36

iaPe^ y B

1,2 • »2 - i » Pe ?

+ oz - i a Pe c' l a Pe -r-

^ -_ D (2.2.4)

B2 2 + a* - i a Pe c

Les 6 conditions aux limites (iqs. 1.4.3, 10) forment alors un système homogène de 6 équations à 6 inconnues : A, B, C, D, I, J. Pour qu'il existe une solution non triviale, le déterminant du système doit être nul : on obtient ainsi une relation f (a, c, Re, Pr, Ru, We, î!) « 0 .

Les conditions :

*(x , 0) - 0 o

et *'(x , 0) - 0 (éq. 1.4.3) se traduisent par les égalités suivantes :

D « - B

C - --!• A (2.2.5)

B2

qui permettent de réduire le nombre d'inconnues à 4 : A, B, I, J, et par suite l'ordre du déterminant. La relation f (a, c, Re, Pr, Ku, He, îi) • 0 s'explicite de la manière suivante :

F 6

i

L

i *è[ - iq>

T L

i <S7 " ^ >

- Bj cos 6,a + S, iî cos 8-a 8? sin S,a - sj sin B, a + L, S. (cos S.a - cos S,a) + L2(- S, sin 8 a + S2 sin B2a) + L,(sin 6,a - — sin S, a) + L-(cos S, a - cos S, a)

I

16.

, - 8f s u 6, a + Bj 62 sin B2 a

| + L4(sin B, a - |- sin 82 a + L5 S](cos B! a - cos B2 a)

cos 3. a cos B. a

+ e. ^L6^Li <—NT s r -⁵ sin S, a 6.

V

^-

• ; BTTÇ

^{3 i n 6}

2

^a

>

* L7(sin Jj a - | - sin 6_ a) + Lg Bj(cos Sj a - cos 8, a)

cos 8, a cos 8« a

+ L 1 L

9

⁶

i

⁽

— ¥ j N 7 ~ >

F S,

sin B, a + Lg 6, cos 8, a

- 32 cos B, + Si cos B, + L,(cos B. a - cos 8- a) + L5( - 6, sin 8, a + 82 sin B2 a)

6, sin B. a 8, sin 6, a

+ Lf i L, (- - L , 1 — • . 2 )

cos 8, a cos 8. a

+ L7(cos 6.

+ LR( - 8. sin 8. a + 6, sin 3, a) 6. sin 6. a B, sin 8,

- L6 B3 sin S3

cos 8, a - L„ 6, sin 8, a (2.2.6)

T - 1 dans le cas où la température de paroi est constance T * 0 dans le cas où le flux de paroi esc constant F â 1 - I

N ' S2 + a2 - i a Pe c'

4 "' • -' i a Pe c' N-. S B2 + a2

. A i a Pe 36/3y

(2.2.7)

L„ » Re i a c - o aA

L . • • i 8 ( c o t g £1 + a2 We R e ) / c ' L⁴ è a² - 1/r

L- - i n ( 3 a / 3 x ) / a r Lg * - i n / a r L^? 4 ( 3 6 / 3 y ) / r

L⁸ - - i n a ( 3 a / a x ) C 3 e / 3 y ) / a r

L

g

â i n(ae/a

y

)/a r (2,2.8)

Une résolution numérique de la relation 2.2.6 est effectuée, en utilisant la méthode de Newton pour le calcul de c et de a c. en fonction de a. Pour initia-

liser ce calcul, on utilise les valeurs :

c * a + i — 2 " " ^ dans le cas où la température de paroi est constante ou

c • a + i dans le cas où le flux de paroi est constant a a

Calculées par développement limité en a (éqs. 2.I.IO-13).

Remarques

(i) ANSHUS et GOREN (1966) étudient le cas de l'écoulement dTun film isotherme, en choisissant connue origine des ordonnées l'interface (Y - 0 à l'interface).

Ils. aboutissent ainsi à un déterminant d'ordre 4. Si le même choix avait été fait dans notre cas, on aurait abouti à un déterminant d'ordre 6 qu'il n'aurait pas été possible de réduire simplement à l'ordre 4 comme il a été fait ci^-dessus (éqs. 2.2.5). Dans le cas d'un film isotherme, le fait de choisir comme origine des ordonnées la paroi (Y « O à la paroi) aurait conduit à une réduction du déterminant de l'ordre 4 à l'ordre 2.

(ii) La méthode d'AUSHUS et GOREN qui consiste à remplacer le profil de vitesse u(y) par la valeur de la vitesse à l'interface est une approximation qu'on peut tenter de justifier en remarquant que les perturbations intéressent une zone proche de l'interface où la vitesse u(y) est pratiquement constante et égale à la vitesse à l'interface. Une autre justification de la méthode est une justification a posteriori par les résultats auquels elle conduit (voir paragraphe 2.4).

IS.

2.3. Méthode de Solesio

La méthode de quadrature par differentiation proposée par SOLESIO (1977 a) se présente df la manière suivante :

2.3.1. Développement de ^ et Z

On cherche pour les fonctions tf>(x • y) et Z(x , y) des développements limités au voisinage des points y - 0 et y • a. Soit au voisinage de y • 0 :

W ^{7 )} * ^do ^{+ d}i y ^{+ d}2 ^{y 2 +} •••• ^{+ d}s y⁶

2 3 4

Zo( x=, y) •" eQ + ej v + e2 y + e, y + e^ y ( 2 . 3 . 1 ) e t au v o i s i n a g e de y » a :

* a(V "} " bo + bl Cy - a) + b , (y - a )2 + . . . . + b5 (y - a )6

Za( xo, y) - f0 + f, (y " a) + f2 (y - a )2 + f j <y - a )3 + î^ (y - a )4

( 2 . 3 . 2 ) Le nombre de c o e f f i c i e n t s r e t e n u s p o u r r a i t ê t r e p l u s é l e v é , mais SOLiSIO (1977 b) a montré que l a p r é c i s i o n obtenue é t a i t s u f f i s a n t e dans l e cas de l ' é c o u l e m e n t d ' u n f i l m isocherme, avec l e s développements 2 . 3 . 1 - 2 . On a v é r i f i é q u ' i l en é t a i t de même dans n o t r e c a s , en p r e n a n t des développements pour 0 e t Z r e s p e c t i v e m e n t a l ' o r d r e 7 e t à l ' o r d r e 5 .

On exprime e n s u i t e que 4 e t Z v é r i f i e n t l e s é q u a t i o n s 1 . 4 . 1 - 3 . On a b o u t i t a i n s i à un système de 9 é q u a t i o n s â 12 inconnues

d4 - - j j (2 o2 - Re i a c ) d2

d5 - ± (2 Œ2 - Re i a c ) d3 • a SSJL* i %

d

6 " 35

^{( 2}

°

²

"

^{R e l}

'

^c

'

^d

4

⁺

T ^

^d

3

⁺

m

^{( R e}

* °

^{3 c}

"

^a

">

^d

2

e . » TT ( a2 - Pe i a c ) e

L L o 1 , 2 T> \ , Pe i a a

e , - -r (a" - Pe i a c ) e , + e _{J o 1 g o} 1 / 2 a • \ ^ 1 - . i a a Pe i Q - -• -r~ Kar - Pe i a c ) e , + — v "

=4 12 '•" * = ' • • * w=2 ,.- cl 24 co 12 3^ "2 ( 2 . 3 . 3 )

(T et F sont définis au paragraphe 2.2 eq. 2.2.7)

soit d-, d, et (T e. + F e ) les variables indépendantes. Les variables a.(i » 0,6) et e. (j - 0,4) peuvent donc être exprimés â partir du système 2.3.3 en fonction de d~, d- et e. ou e par une égalité du type suivant :

d . - D? d , + D? d , 1 i 2 v i 3

ej * ^Ei ^d2 ^{+ E}i ^d3 ^{+ E}i ^eo ^{+ E}î ^al <²-³-⁴>

De même, on exprime que $ fee Z v é r i f i e n t l e s é q u a t i o n s 1 . 4 . 1 , 2 , 10. On a b o u t i t a i n s i à un second système de 9 é q u a t i o n s à 12 inconnues :

f - -L 21 g + 1 i le. IS. t, i n 38 . o * ~ r 3y o a r Sx 3y 1 ~ a r 3y 1 . 1 / 2 U v i n Sa . . i n -

b2 " " I ^{( 0} 7^{} h}o " T T 7 âî ^bi ⁺ 7T7 ^f i i a ( c o t g t! + o2 We Re) . ^ 3 a2 - Re i o c ' . 3 6 c o 6 1

| ( a2 - Pe i o c ' ) f J38 Pe i a

f2 1 7 ~ bo + 2

38 Pe i a . . 1 , 2 „ • , , .

£3 " - - S y — bl + 6 <•* "Pe 1 « e' » |

. 38 Pe i a . ^ 1 , 2 n • >•>* P e i a c f4 ' " 3y — i l - ^b 2 * l ï ⁽ " - ^{, e i} » ^{c ) f}2 ' ~ 2 4 - ^fo b4 =• -ry (2 a2 - Re i a c ' ) b2 + 5 j (Re i o3 c ' + Re i a - a1*) bo

b⁵ = ^ (2 a² - Re i a c ' ) b³ + -jjjj (Re i a³ c ' + Re i a - a") bj b⁵ - - ^ (2 a² - Re i a c ' ) b⁴ + - ^ (Re i a³ c ' - a^h) b²

+ 1

M ô

^{£ b}

o ».

³

.5)

( c ' e s t d é f i n i au paragraphe 2 . 2 , ëq. 2 . 2 . 3 )

S o i t h , b . e t f. l e s v a r i a b l e s i n d é p e n d a n t e s . Les v a r i a b l e s b . ( i =• 0 , 6 ) e t f. ( i " 0,4) p e u v e n t , à p a r t i r du système 2 . 3 . 5 ê t r e exprimées en f o n c t i o n de b , b . e t f, par une é g a l i t é du type s u i v a n t :

2 0 .

b. » B? b +

B!

b, + cl f,

1 1 O i l i l

f. - F? b +

F !

b, +

G!

f, (9.3 6}

J 1 0 i l i l k^.J.a;

2.3.2. Quadrature par differentiation

La méthode de quadrature consiste à approcher l'expression

"f

-1 ^{f(y) dy} par la quantité

k-n-1

7

^k - f^{( k )}

(o) + (- l )

^k

f ° ° (1)

ou f est la dérivée d'ordre k k fn-k) !k!

SOLESIO (1977 b) montre que la précision est suffisante en prenant n - 3 (on n'a alors besoin que des développements de $ et Z respectivement I l'ordre 6 et à l'ordre 4, eqs. 2.3.1-2).

On obtient alors :

[f(o) + f c n j + ^ ^ ( o ) _ f (|.)J

⁺

-l_[^

^f

»(

⁰

)

^{+ f}

»

^{( 1 )}

J

(2.3.7) Cette méthode n'utilise uqe les valeurs aux bornes de la fonction f et de ses dérivées successives. Pour avoir comme bornes o et 1 et non o et a comme c'est le cas pour les fonctions <j> et Z, les changements de variable et de fonctions suivants sont introduits

X (z) - K y )

ç (z) - Z(y) (2.3.8)

Les fonctions x(z)et ?(z) ont pour bornes o et 1*

En appliquant la formule de quadrature 2.3.7 aux fonctions x1 » x"» X, , T» X » Ç1

et ç" et en remplaçant la valeur aux bornes de ces fonctions ainsi que des fonctions xet Ç Pa r la valeur que prennent leur développements limités en o et 1 calculés à partir de $ , Z , <J> et Z , on obtient un système homogène de 6 équations â 6 inconnues ; d«, d_, (T e. + F e ) , b , b. et f,.

Ce système possède une solution non triviale si son déterminant est nul. On obtient ainsi une relation f(a, c, Re, Pr, Ku, We, Î2) • 0 qui s'explicite de la manière suivante :

2 3

5 20 U

3 2

2 + -i^_â_ D2 + a3 D2 3 a + a3 Dj 0

7 2 2 1 2 7 1 1 1

2 â D, + 2 a DZ + aJ D* I + 2 a D + a D 0 4 5 6 5 6

3 , , 2 , 3 ,

T

^E

4 °

^{T ( 1 +}

-.

^S

3 * T

^E

I>

+ F(a Eo + 3_ai Eo + ^ Eo)

2 3 2 , 3 , 2 ,

• a -o a „o a _ a -1 a „1 a „1

1 ~ B2 + 20 B3 2 — B2 * 2 Ô B3 T C2

2 3 , , 2 , 3 , , 3 o 3 a -o a -o _. _1 3 a „!, a „1 - U rl 2 ~ B3+T B4 ,+a B2 5 ~B3+TB4 a C2+T " C4

2 „ , , . „ „ , , , , .„ 2 -^{2 B}°⁺3 a B ° - i ^ B °⁺a³ B° -2 B>⁺3a^B' - - £^{a2 B}'⁺a³ B ' - 2 c ' - i l -³- ^³ c i

2 3 5 4 5 2 3 : J 4 5 2 4 5

-B°+2a B.°-2a2 B °+a3 B° -B'+2a B,!-2a2 s i + a3 B ' 2a C.'-2a2 c ' + a3 c !

3 4 5 6 3 4 5 6 4 5 6

2 2 3 2 3

Fo ~ F2 Fo TF2+2 ÔF3 Go+T ~G2+2 ÔG3

a F2 + s F4 a F2 — . F3+ - _ F4 I+a G., 5 - G 3 + T G4 ( 2 . 3 . 9 )

22.

Une r é s o l u t i o n numérique e s t e n s u i t e e f f e c t u é e , en u t i l i s a n t l a méthode de Newton, pour l e c a l c u l de c e t a c- en f o n c t i o n de a, de l a même manière que pour l a méthode d'AUSHUS e t GOREN d é c r i t e au paragraphe 2 . 2 .

2 . 4 . Comparaison des méthodes

La méthode de SOLESIO permet d ' é t u d i e r l a s t a b i l i t é sans f a i r e d ' h y p o t h è s e concernant l e p r o f i l de v i t e s s e , a l o r s que c ' e s t l e cas pour l a méthode d'AUSHUS e t GOREN. L ' i n c o n v é n i e n t de l a méthode de SOLESIO e s t de n é c e s s i t e r des c a l c u l s a l g é b r i q u e s f a s t i d i e u x e t qui s o n t source d ' e r r e u r s , e t d ' a b o u t i r â l a r é s o l u t i o n d ' u n d é t e r m i n a n t d ' o r d r e 6 , a l o r s que l a méthode d'AUSHUS e t GOREN, moins l o u r d e à m e t t r e en o e u v r e , c o n d u i t à l a r é s o l u t i o n d ' u n d é t e r m i n a n t d ' o r d r e 4 seulement.

Cela se t r a d u i t pas un temps de c a l c u l s u r o r d i n a t e u r e n v i r o n deux f o i s p l u s c o u r t pour la méthode d'AUSHUS e t GOREN que pour l a méthode de SOLESIO.

Les l i g u r e s 3 e t 4 m o n t r e n t que l e s deux méthodes donnent des r é s u l t a t s t r è s v o i s i n s pour l e c a l c u l du c o e f f i c i e n t d ' a m p l i f i c a t i o n comme pour c e l u i de l a v i t e s s e de l a p e r t u r b a t i o n .

On a donc u t i l i s é exclusivement l a méthode d'AUSHUS e t GOREN pour é t u d i e r l a s t a b i l i t é de l ' é c o u l e m e n t . La méthode de SOLESIO n ' e s t cependant pas â r e j e t e r complètement, p u i s q u ' e l l e permet de j u s t i f i e r l ' e m p l o i de l a méthode d'AUSHUS e t GOREN qui repose s u r une a p p r o x i m a t i o n .

Sur l a f i g u r e 3 e s t r e p r é s e n t é e également l a v a l e u r du c o e f f i c i e n t d ' a m p l i f i c a t i o n t e m p o r e l l e a c . c a l c u l é e par développement l i m i t é en a (éq. 2 . J . 1 J ) .

1 - 2

Pour un nombre d oiide a s u p é r i e u r à 4 . 1 0 e n v i r o n , l ' é q u a t i o n 2 . ] . M f o u r n i t un c o e f f i c i e n t d ' a m p l i f i c a t i o n 2 f o i s p l u s grand e n v i r o n que c e l u i c a l c u l é par l e s méthodes numériques. La v a l e u r de o c o r r e s p o n d a n t à la s t a b i l i t é n e u t r e (a c . =* 0) donnée par l ' é q u a t i o n 2 . 1 . 1 6 e s t é g a l e à 10% p r è s e n v i r o n à c e l l e c a l c u l é e par l e s méthodes numériques. La f i g u r e 3 correspond au cas où l e noir*?re de Reynolds du l i q u i d e e s t de J00. L ' a c c o r d e n t r e l ' é q u a t i o n 2 . 1 . 1 1 e t l e s méthodes numériques e s t b i e n m e i l l e u r pour des ncrr:<7?es de Reynolds p l u s f a i b l e s , comme l e montre l a f i g u r e 5 , q u i ^epré.ience l e s v a r i a t i o n s du c o e f f i c i e n t d ' a m p l i f i c a t i o n pour un nombre de ReyiK _ds é g a l à 20. L ' é c a r t e n t r e l e s deux courbes pour l e f a c t e u r d ' a m p l i f i c a t i o n maximal n^Ti : s t p l u s que de 8% e n v i r o n . I l f a u t remarquer également que l e maximum d ' a m p l i f i c a t i o n correspond à un nombre d'onde a p l u s f a i b l e

pour Re» 20 que pour Re - 100, ce qui explique aussi que le calcul par dévelop- pement limite en a représente mieux la réalité.

Four la suite de l'étude, les calculs sont tous effectués avec la méthode d'AUSHUS et GOREN. La méthode de développement limité en a a cependant été également utilisée, principalement pour déterminer les courbes de stabilité neutre, comme on va le voir dans les deux chapitres suivants*

3. STABILITE DE L'ECOULEMENT AVEC FILM PREEXISTANT 3.1. Nombre de Reynolds

Ce chapitre présente l'étude de la stabilité de l'écoulement d'un film liquide sur une paroi plane avec flux de chaleur à la paroi et changement de phase à l'interface dans le cas où le film est déjà formé â l'abscisse X » 0 où débute le changement de phase, le changement de phase pouvant être evaporation ou conden- sation (figure 1).

LTécoulement: dépend de deux variables indépendantes qui sont l'épaisseur initiale du film Y et la différence de température entre la paroi et l'interface ou le flux de paroi dans le cas où il est constant. A ces deux variables indépen- dantes correspondent le nombre de Reynolds (éq. 1.2.J2) et le nombre de Kutateladze (ëqs. 1.2.8, 2, 3).

L'étude a été faite en considérant des écoulements ayant des nombres de Reynolds compris entre 5 et 500. On a pris comme borne inférieure Re = 5 pour la raison suivante : la longueur d'assèchement théorique X dans le cas de 1'evaporation, calculée à partir de l'équation figurant au tableau 2 du paragraphe 1.3 (température de paroi constante) en faisant a(x) - 0, a pour valeur, dans le cas où Re - 5, X - 7,5 mm, c'est-à-dire que le film s'évapore pratiquement avant que l'écoulement ait pu se développer suffisamment pour que des vagues y prennent naissance. La limite supérieure Re * 500 (pour laquelle, à titre indicatif, X * 3^t^ m) a été choisie parce qu'au delà les calculs effectués risquent d'être loins de la réalité pour deux raisons essentielles (PIERSON et WHITAKER, J977) :

La première est que pour des nombres de Reynolds importants, la longueur d'entrée du film devient du même ordre de grandeur que la distance au bout de laquelle les vagues commencent à se former, c'est-à-dire que pour représenter la réalité, il faudrait choisir pour écoulement de base celui calculé en tenant

24.

compte du fait que l'épaisseur du film varie dans la zone d'entrée. Dans le cas ou. il y a flux de chaleur à la paroi, une manière d'essayer de s'affranchir de ce problème est de placer l'abscisse X * 0 â laquelle débute le changement de phase à la fin de la zone d'entrée du film (figure 7). La seconde raison est que pour des nombres de Reynolds important, la théorie de la stabilité linéaire risque r"etre caduque parce que les vagues deviennent non-1inéaires.

Une autre limite supérieure au nombre de Reynolds est environ Re - 1200, au delà de laquelle l'écoulement en film cesse d'être laminaire (FÏÏLFORD, 1964).

3.2. Influence du changement de phase sur la stabilité 3.2.1. Résultats

La première conclusion que l'on peut t i r e r des calculs effectués montre, comme on l ' a déjà signalé en calculant la valeur i r ^ c i a l e de et c. (ëqs. 2.1.14-15) que 1'evaporation a un effet déstabilisant, alors que la condensation a un effet s t a b i l i s a n t .

La figure 6 montre les variations du coefficient d'amplification temporelle a c. en fonction du nombre d'onde a pour des nombres de Reynolds compris entre 5 et 500 (écoulement v e r t i c a l d'eau, abscisse x • 0, température de paroi constante, Ru » 10 ) . Pour les grands nombres de Reynolds, les courbes correspondant à -2 1'evaporation et à la condensation se confondent très rapidement, le maximum d'amplification étant confondu avec celui correspondant à l'écoulement isotherme : l'influence du changement de phase sur la s t a b i l i t é est alors négligeable.

Aux faibles nombres de Reynolds par contre, l'écoulement est toujours stable dans le cas de la condensation, quel que soit le nombre d'onde. Pour 1'evaporation, le maximum d'amplification est a t t e i n t pour de très petites valeurs du nombre d'onde a.

La figure 8 représente les valeurs de et correspondant à la s t a b i l i t é neutre (a c. » 0) en fonction du nombre de Reynolds. Dans le cas de la condensation, i l existe un nombre de Reynolds critique Re en deçà duquel l'écoulement est toujours stable. Sa valeur calculée avec l'équation 2.1.J9 coïncide avec celle obtenue en u t i l i s a n t la méthode d'AUSHUS et GOREN.

Pour un écoulement v e r t i c a l d'eau (température de paroi constante, Ku » JO , x » 0) on obtient Re * 14,8.

Pour un écoulement vertical de réfrigérant R12 (température de paroi constante, Ru - 10 , x » 0 ) , on obtient R e-2 c . 9,60.

Pour un écoulement sur un plan incliné d'un angle Î2 par rapport à l'horizontale, Re (à l'abscisse x - 0) est le même que pour un écoulement isotherme, pour lequel Re calculé par développement limité en et a pour valeur (YIH, 1963) :

Re - -J c o t8 n

Pour îî • 1°C, on trouve, dans le cas de l'eau Re « 143. On remarque sur la figure 8t qu'à, l'abscisse x - 0, les courbes correspondant à 1'evaporation et à la condensation sont confondues avec la courbe correspondant au cas de l'écoulement isotherme à partir d'un nombre de Reynolds de 30 environ pour l'écoulement vertical, à partir de Re pour l'écoulement correspondant à il * 1°.

3.2.2. Interprétation

Comme on l'a indiqué au paragraphe 1.4, les termes qui rendent compte du changement de phase dans les équations permettant l'étude de la stabilité (iqs. 1.4.1-7) se trouvent dans l'équation de bilan de masse à l'interface (éqs.

1.4.7, 9).

Certes l'existance du changement de phase ne se traduit pas que dans Inéquation de bilan de masse à l'interface, mais on a montré (SPINDLER, 19S0) que les termes rendant compte du changement de phase figurant dans les autres équations, et en particulier dans l'équation de bilan de quantité de mouvement à, l'interface en projection normale à l'écoulement, ont tous une influence négligeables et sur l'écoulement de base, et sur la stabilité.

L'effet du changement de phase à l'interface dans l'équation de bilan de masse à, l'interface peut être rapporté à la vitesse de la vapeur à l'interface, perpendiculairement à l'écoulement : une vitesse de vapeur dirigée vers l'interface

(condensation) stabilise l'écoulement. Une vitesse de vapeur dirigée hors de l'interface (evaporation) déstabilise l'écoulement.

3.2.3. Comparaison avec les études antérieures

Plusieurs auteurs ont étudié la stabilité d'un écoulement de film liquide sur une paroi plane avec flux de chaleur à la paroi et changement de phas. à l'interface. Mais BANKOFF (1971), MARSCHALL et LEE (1973), de même que LIN (1975)

26.

ne font intervenir l'effet du changement de phase que dans l'équation de bilan de quantité de mouvement à l'interface en projection normale, et non dans l'équation de bilan de masse à* l'interface (3FINDLER et al., 1978). La comparaison des résultats obtenus avec ceux de ces auteurs ne présente donc pas d'intérêt.

KOCAMUSTAFAOGULLARI (1971), par contre, prend correctement en compte l'effet du changement de phase dans l'équation de bilan de masse à l'interface* Il en tient compte également dans l'équation de bilan de quantité de mouvement à l'interface en projection normale- Les résultats qu'il obtient montrent que l'effet de ce dernier terme est effectivement négligeable lorsque le nombre de Kutateladze Ku est très petit par rapport à I- Kocamustafaogullari n'utilise pas, dans sen

étude, des équations locales instantannées pour décrire l'écoulement du film, comme dans la présente étude, mais des équations moyennees sur l'épaisseur du film.

La courbe de stabilité neutre qu'il obtient est représentée par l'équation suivante (en utilisant les mêmes variables adimensionnelles que dans la présente étude, ëqs. 1.2.1-10) :

e

«* [¥

^{+ 2}

3

^U

Re

⁽

pr"

^{J )}

] °

²

- T

( c o t g

"

⁺

°

2 M e R s )

" ° <

³

-

²

-

^{J )}

Cette équation est à comparer à celle dérivée de l'équation 2.1.13, qui correspond au cas où le flux de chaleur à la paroi est constant, qu'envisage Kocamustafaogullari, et qui s'écrit de la manière suivante :

2 e n ,, . Ku e a „ » . 2 a2 Re a6 ,, ^ e a Ku e a Ku.

— — °

⁺

T F "

K u e a ) +

— Ï 3 °

⁺

T28-p?

⁺

- 2 4 - >

- -y a2(cotg n + a2 We Re)(] +e^ *" - e a Ku) = 0 (3.2.2) 2 " 2

Le terme 2 Ku (y - ï)o-/J Re Pr de l'équation 3.2.1 est celui correspondant au terme représentant le changement de phase dans'1'équation de bilan de quantité de mouvement à l'interface en projection normale (y est le rapport de la masse volumique de la vapeur à celle du liquide). En négligeant Ku devant 1 et en se plaçant dans le cas d'un écoulement vertical, les deux équations 3.2.1 et 3.2.2 deviennent :

e n + Re_oi . H ^ | e ^ . 0 ( 3.2.3 )

Kocamustafaogullari considère a priori que l'influence sur la stabilité de l'écou- lement de la variation d'épaisseur du film due au changement de phase est négligeable•

On verra dans le paragraphe suivant ce qu'il en est. Pour comparer les deux équations 3.Z.3 et 3.2.4, on se place donc à l'abscisse x - 0, où l'épaisseur du film est l'épaisseur initiale, et qui correspond à la valeur a(x) - 1.

L'équation 3.2.4. s'écrit alors :

2en+ i _ S p i .We f «* . 0 (3.2.5)

Là figure 9 représente les courbes de stabilité neutre correspondant aux deux équations 3.2.3 et 3.2.5 pour un écoulement d'eau avec un flux de paroi constant

4 -2

ae valeur absolue 4.10 W m . O n constate que les deux courbes sont très voisines.

Les résultats de Kocamustafaogullari (éq. 3.2.3) indiquent un domaine de stabilité un peu plus grand pour 1Tevaporation, et un peu plus petit pour la condensation que les résultats de la présente étude (éq. 3.2.5). Ainsi, le nombre de Reynolds critique dans le cas de la condensation est de 9,90 pour Kocamustafaogullari et de 10,92 pour la présente étude. La différence entre les deux premiers termes des équations 3.2.3 et 3.2,5 peut s'expliquer par le fait que Kocamustafaogullari suppose que l'épaisseur du film de base est constante, ce qui entraîne que, dans ses équations, les termes où figureraient 3a/3x ou la vitesse v en projection per- pendiculaire à l'écoulement disparaissent. Dans notre étude, on trouve de tels termes dans l'équation de bilan de masse a l'interface (ëqs. 1.4.7,9).

La différence entre les deuxièmes termes des équations 3.2.3 et 3.2.5 ne peut être attribuée qu'à la différence des méthodes utilisées pour décrire l'écoulement : équations moyennees dans l'espace ou équations locales. Il faut signaler que, pour l'écoulement de base, Kocamustafaogullari utilise comme vitesse moyenne et comme terme de frottement à la paroi les valeurs calculées avec les équations locales.

3.3. Influence de la variation d'épaisseur sur la stabilité 3.3.1. Résultats

Les figures 10, 11 et 12 montrent les variations du coefficient d'am- plification temporelle ac^ en fonction du nombre d'onde pour un écoulement vertical d'eau à température de paroi constante, aux abscisses x - 0, x * 0,01 et: x » 0,1 pour un nombre de Reynolds égal à 50, aux abscisses x =* 0 et x » 0,1 pour des