Recueil d'Examens(1997 - 2009)Analyse Numérique

(1)

Université de Tunis El Manar

Recueil d'Examens (1997 - 2009)

Analyse Numérique

Niveau : Formation Ingénieur

Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis B.P. 37 – 1002 Le Belvédère Tunis – Tunisie

Tél. (+216) 71 874 700 Fax : (+216) 71 872 729 http://www.enit.rnu.tn

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E.N.I.T. Unité Pédagogique de Mathématiques Appliquées

Examen –Analyse Num´erique Date : 11 mars 1998

Enseignants : H. BOUHAFA – H. CHAKER – H. EL FEKIH Dur´ee : 1h30

Classe : 1ère année GC - GE - GI - GM Documents non autorisés

Exercice : Soitg: [a, b]→[a, b] (a, b∈R) une fonction de classeC¹telle que M ≡ max

x∈[a,b]|g⁰(x)|<1.

1– On consid`ere la suite (xn)_n≥0 d´efinie par :

x0∈[a, b], xn+1=g(xn), n≥0 Montrer que la suite (xn)n≥0 converge vers l’unique point fixeαdeg.

2– Montrer que pour toutn∈N, il existe ε_n tel que

e_n+1= (g⁰(α) +ε_n)e_n avec lim

n→+∞ε_n= 0 o`uen=xn−α.

3– On consid`ere la suite (yn)_n≥0d´efinie par :

yn=xn− (xn+1−xn)² xn+2−2xn+1+xn

, n≥0

Montrer que lim

n→+∞

yn−α xn−α = 0

4– Comparer la vitesse de convergence des deux suites (xn)_n≥0 et (yn)_n≥0.

Problème : On considère la formule de quadrature de Gauss-Legendre àk+ 1 points,k≥0, donnée par :

(1)

Z 1

−1

f(x)dx=

k

X

i=0

λif(xi) +E(f) où nous avons désigné par :

•E(f) le terme d’erreur (on ne s’intéresse pas ici à l’étude deE(f));

•xi, 0≤i≤k, les nœuds d’int´egration v´erifiant : −1< x0< x1<· · ·< xk <1;

•λ_i, 0≤i≤k, les poids d’int´egration.

On rappelle quex₀, . . . , x_ksont lesk+ 1 racines du (k+ 2)-i`eme polynˆome orthogonal de LegendreQ_k+1∈ Pk+1

(qui est unitaire) associ´e `a la fonction poidsw≡1 sur l’intervalle [−1,1].

Le but de ce probl`eme est de calculer les (k+ 1) nœudsx₀, . . . , x_k ainsi que lesk+ 1 poidsλ₀, . . . , λ_k de la formule de quadrature de Gauss-Legendre donn´ee par (1).

Le problème est divisé en trois parties. La première est une étape préliminaire, la deuxième concerne le calcul des nœudsxi et la dernière porte sur le calcul des poidsλi.

Partie I : Soient r0 < r1 < · · · < rm, (m + 1) réels, m > 0, et P ∈ Pm+1 le polynôme défini par P(x) = (x−r0) (x−r1) · · · (x−rm).

On considère la méthode de Newton appliquée à la résolution de l’équationP(x) = 0. On rappelle que cette méthode génère la suite définie par :

t₀ donn´e, t_`+1=t_`− P(t_`)

P⁰(t`), `≥0 On suppose quet0> rm.

I.1– Montrer que∀`,t_`> r_met que la suite (t_`)_`≥0 est d´ecroissante.

I.2– En d´eduire que la suite (t_`)_`≥0 est convergente et que lim

`→+∞t_`=r_m.

(3)

Partie II: On considère le (k+ 2)-ième polynôme orthogonal (de Legendre)Q_k+1 associé à la fonction poids w≡1 sur l’intervalle [−1,1], et ses (k+ 1) racines notéesx₀< x₁< . . . < x_k.

II.1– Montrer que la méthode de Newton appliquée à Qk+1, avec une initialisation t0> xk, génère une suite (t`)_`≥0qui converge vers xk.

II.2– On suppose que les racinesxk, x_k−1, . . . , xj (1< j ≤k) deQk+1 ont été déjà calculées et on se propose de calculerx_j−1.

On considère le polynômeRj∈ Pj défini par : Rj(x) =Qk+1(x)/Qk

i=j(x−xi)

Montrer que la méthode de Newton appliquée au polynômeRj, avec une initialisationt0 =xj, génère une suite (t`)`≥0 qui converge versxj−1.

II.3– En d´eduire un algorithme qui permet de calculer les (k+ 1) racinesx0, x1, . . . , xk deQk+1.

Partie III: On s’intéresse dans cette partie au calcul des poidsλ_iintervenant dans la formule de Gauss-Legendre donnée par (1). Rappelons que cette formule est de degré 2k+ 1.

Montrer que les poidsλi,i= 0, . . . , k, sont donn´es par

λi= 1

Q⁰_k+1(xi) Z 1

−1

Q_k+1(x) x−xi

dx

2

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Examen –Analyse Numérique Date : 17 mars 1999 Enseignants: H. CHAKER – H. EL FEKIH – H. RIAHI Durée : 1h30 Classe : 1ère année GC - GE - GI - GM Documents non autorisés

Exercice 1

1– Etudier les variations de f(x) =xexp(x) pour x∈R et montrer quef est une bijection de [0,+∞[ sur lui mˆeme.

Etant donn´ea >0, on notera α >0 l’unique solution de f(x) =a.

2–Soit N la fonction d´efinie sur [0,+∞[ par

N(x) =x−f(x)−a f⁰(x) 2–aMontrer que, pour tout x≥0, il existe c∈I(α, x) tel que

N(x) =α+1

2(α−x)²f⁰⁰(c) f⁰(x) où I(α, x) désigne l’intervalle fermé d’extrémitésα etx.

2–b En d´eduire que, pour tout x≥0, on aN(x)≥α.

3–Notonsx0≥α un r´eel donn´e et, pour toutk≥0,x_k+1 =N(x_k).

3–aMontrer que la suite (x_k)k≥0 est d´ecroissante, qu’elle converge et calculer sa limite.

3–b Montrer que, pour tout x≥α, on a N(x)−α≤(α−x)². 3–c En d´eduire que, pour tout k≥0,x_k−α≤(x0−α)²^k. Exercice 2

Soit aetbdeux r´eels etf : [a, b]→R une fonction de classeC³. On souhaite approcherD₂f ≡f⁰⁰(^a+b₂ ) par une expression du type :

∆2f ≡λ0f(a) +λ1f(a+b

2 ) +λ2f(b) de telle sorte que E(f)≡D2f−∆2f v´erifie :

(1) ∀P ∈ P₂, E(P)≡D₂P−∆₂P = 0

On supposera dans toute la suite que les réels λ0, λ1 et λ2 sont tels que la propriété (1) soit vérifiée.

1– Montrer que f[a,â+b₂ , b] = ¹₂∆₂f, où f[a,â+b₂ , b] désigne la différence divisée d’ordre 2 de f aux points a,â+b₂ , b.

2– Soit P_f le polynˆome d’interpolation de Lagrande de f aux points a,^a+b₂ , b et r(x) = f(x)−Pf(x).

2–aMontrer qu’il existe c∈[a, b] tel quer⁰⁰(c) = 0.

2–b Montrer queE(f) =r⁰⁰(^a+b₂ ).

2–c En d´eduire que

|E(f)| ≤ b−a

2 sup

x∈[a,b]

|f⁰⁰⁰(x)|

3–Calculer les réelsλ0, λ1, λ2 en fonction de aetbpour que la propriété (1) soit vérifiée.

(5)

Examen – Analyse Numérique Date : 3 avril 2000 Enseignants : H. BOUHAFA–H. CHAKER – H. EL FEKIH – H. RIAHI Durée : 1h30 Classe : 1ère année GC - GE - GI - GM Documents non autorisés

On considère le problème de Cauchy pour une équation différentielle du second ordre y⁰⁰(t) =f(t, y(t)), t∈I₀ =]t₀, t₀+T[

y(t0) =y0, y⁰(t0) =z0. (1)

où y₀,z₀ sont donnés dansIR etT >0. On suppose que la fonctionf est de classeC² de I0×IR dansIR et vérifie la condition de Lipschitz:

∃L >0,∀t∈I0,∀y, z ∈IR |f(t, y)−f(t, z)| ≤L|y−z|

et que la solution y(t) de (1) est de classeC⁴.

Pour r´esoudre le probl`eme (1), on introduit une subdivision uniforme de I0

tn=t0+nh, 0≤n≤N, h= T N

on note (yn, z_n+1/2) une approximation du couple (y(tn), y⁰(t_n+1/2)) o`u on a not´e t_n+1/2 =t0+ (n+¹₂)h.

On consid`ere alors le sch´ema explicite y_n+1 =y_n+hz_n+1/2

z_n+3/2 =z_n+1/2+hf(tn+1, yn+1) , n≥0, (y0, z_1/2) donn´es.

(2)

1. Etude de la consistance et de l’ordre (a) On pose

ε_n+1/2 =y(t_n+1)−y(t_n)−hy⁰(t_n+1/2), n≥0

En utilisant un d´eveloppement de Taylor au pointt_n+1/2, montrer que:

|ε_n+1/2|=O(h³) (i.e. ∃c >0 ;|ε_n+1/2| ≤ch³)

(b) On pose

η_n=y⁰(t_n+1/2)−y⁰(t_n−1/2)−hf(t_n, y(t_n)), n≥1.

En utilisant un d´eveloppement de Taylor au pointt_n, montrer que:

|η_n|=O(h³)

(6)

2. Etude de la convergence (a) On pose

α_n=y(t_n)−y_n. β_n+1/2=y⁰(t_n+1/2)−z_n+1/2. Montrer que

|α_n+1| ≤ |α_n|+h|β_n+1/2|+|ε_n+1/2|

|β_n+3/2| ≤ |β_n+1/2|+hL|α_n+1|+|η_n+1|.

(b) On pose

ξ_n=|α_n|+|β_n+1/2|.

Montrer que, pour h≤T, on a :

|ξ_n+1| ≤(1 + Λh)|ξ_n|+ϕn

o`u

Λ = max(L,1 +LT), ϕn= (1 +LT)|ε_n+1/2|+|η_n+1|.

(c) En d´eduire que

|ξ_n| ≤ |ξ₀|exp(Λ(t_n−t₀)) + exp(Λ(t_n−t₀))−1

Λh max

0≤k≤n−1ϕ_k. (Indication: on pourra utiliser l’in´egalit´e 1 +k < exp(k))

(d) Choisir alors z_1/2 de fa¸con qu’on ait

0≤n≤N−1max |ξ_n|=O(h²).

2

(7)

E.N.I.T. 14 juillet 2000 Examen – Session de rattrapage

Analyse Num´erique

Enseignants: H. BOUHAFA–H. CHAKER – H. EL FEKIH – H. RIAHI Dur´ee : 1h30

Classe : 1ère année GC - GE - GI - GM Documents non autorisés

Exercice 1

Soitf ∈C²([−1,1]) etP le polynˆome d’interpolation d’Hermite def au point−1 v´erifiant : P(−1) =f(−1) et P⁰(−1) =f⁰(−1)

1–D´eterminer l’expression deP.

2–On consid`ere la formule de quadrature suivante :

Z 1

−1

f(t)dt=α0f(−1) +α1f⁰(−1) +E(f) (1)

2–aD´eterminerα₀ etα₁pour que la formule (1) soit de degr´e au moins 1.

2–bMontrer qu’il existeη∈[−1,1] tel queE(f) = ⁴₃f⁰⁰(η).

Indication : On rappelle que pour toutt∈[−1,1], il existeξt ∈ [−1,1], d´ependant de t, tel quef(t)−P(t) =

1

2(t+ 1)²f⁰⁰(ξt).

Exercice 2

1–SoitB= (b_ij) une matrice à nlignes etncolonnes, à coefficients réels, vérifiant :

bij≥0 ; 1≤i, j≤n sup

1≤i≤n

(

n

X

j=1

bij)<1

Montrer queI−B est inversible et que (I−B)⁻¹ est à coefficients positifs ou nuls (I désigne la matrice identité).

2–SoitA= (a_ij) une matrice ànlignes etncolonnes, à coefficients réels, vérifiant :

aii>0 ; 1≤i≤n a_ij ≤0 ; 1≤i6=j≤n

n

X

j=1

aij >0 ; 1≤i≤n

et soitD la matrice diagonale form´ee par la diagonale de A :D_ii =a_ii pour 1≤i ≤n, D_ij = 0 pour 1≤i6=j≤n.

2–aMontrer queDest inversible. On pose alorsC=D⁻¹A.

2–bCalculer les coefficients de la matriceCen fonction de ceux deA.

2–cMontrer queAest inversible et que les coefficients de la matriceA⁻¹ sont positifs ou nuls.

Exercice 3

On se donne une matrice A réelle, symétrique définie positive à nlignes et n colonnes, et un vecteur b∈IRⁿ.

On considère, pourr >0 donné, la suite d’éléments de IRⁿ définie par :

x^(o)donn´e dansIRⁿ

x^(k+1)=x^(k)−r(Ax^(k)−b) ,k≥0

1–Montrer que si la suite (x^(k))k∈IN converge vers ¯xalors on aA¯x=b.

2–Montrer que pourr∈]0, 2 λn

[ la suite (x^(k))k∈IN est convergente. (λn= max1≤i≤nλi,λi∈Sp(A).

3–En déduire un algorithme de résolution du système linéaireAx=b.

(8)

E.N.I.T. 2000/2001 Examen – Analyse Num´ erique

Date : 2 Avril 2001 Enseignants

:

H. CHAKER – H. EL FEKIH – M. JAOUA

Dur´ ee : 1h30 Classe :

1ère année GC – GE – GI – GM Documents non autorisés

Exercice 1

Soit A ∈ M

_n

( R ) une matrice sym´ etrique et λ

₁

, . . . , λ

_n

ses valeurs propres (compt´ ees avec leur ordre de multiplicit´ e) v´ erifiant :

|λ

₁

| ≤ · · · ≤ |λ

_n−2

| < |λ

_n−1

| < |λ

_n

|

On consid` ere la matrice B d´ efinie par B = A − λ

_n

u

_n

u

^t_n

, o` u u

_n

est un vecteur propre de A associ´ e ` a λ

_n

, tel que ku

_n

k

₂

= 1.

1. Montrer que Bu

n

= 0.

2. Montrer que Bu

_i

= λ

_i

u

_i

, 1 ≤ i ≤ n − 1, o` u u

_i

est un vecteur propre de A associ´ e λ

_i

, 1 ≤ i ≤ n − 1.

3. En d´ eduire une m´ ethode qui permet de calculer λ

_n−1

. Exercice 2

Soit A ∈ M

_n

( R ) et B ∈ M

_m

( R ) deux matrices inversibles admettant chacune une factorisation ”LU ” :

A = L

A

U

A

, L

_A

∈ M

_n

( R ) triangulaire inf´ erieure ` a diagonale unit´ e U

_A

∈ M

_n

( R ) triangulaire sup´ erieure

B = L

_B

U

_B

, L

_B

∈ M

_m

( R ) triangulaire inf´ erieure ` a diagonale unit´ e U

_B

∈ M

_m

( R ) triangulaire sup´ erieure

Soit M ∈ M

_n+m

( R ) d´ efinie (par blocs) comme suit : M =

A O

O B

1. Montrer que M est inversible.

2. Montrer que M admet une factorisation LU unique.

3. Proposer alors une m´ ethode pour r´ esoudre le syst` eme lin´ eaire M x = b, o` u

b ∈ R

^n+m

et donner le nombre d’op´ erations ´ el´ ementaires.

(9)

Exercice 3

Soit A ∈ M

_n

( R ) une matrice inversible et b ∈ R

ⁿ

. On consid` ere le syst` eme lin´ eaire

(1) Ax = b

dont on notera ¯ x sa solution.

1. Montrer que la matrice A

^T

A est sym´ etrique d´ efinie positive.

2. Pour r´ esoudre le syst` eme (1), on consid` ere la m´ ethode du gradient ` a pas constant appliqu´ ee au syst` eme A

^T

Ax = A

^T

b :

(2)

x

⁽⁰⁾

∈ R

ⁿ

x

^(k+1)

= x

^(k)

− rg

^(k)

, k ≥ 0 o` u r ∈ R

^∗+

et g

^(k)

= A

^T

Ax

^(k)

− A

^T

b.

2.a Montrer que la m´ ethode du gradient ` a pas constant (2) est convergente, si et seulement si 0 < r < 2

kAk

²₂

, o` u k·k

₂

d´ esigne la norme matricielle subordonn´ ee

`

a la norme vectorielle k · k

₂

. Quelle est dans ce cas la limite de la suite (x

^(k)

)

_k≥0

d´ efinie par (2) ?

2.b Soit ε > 0, montrer que kg

^(k)

k

₂

kA

^T

bk

₂

≤ ε = ⇒ kx

^(k)

− xk ¯

₂

k xk ¯

₂

≤ ε[cond

2

(A)]

²

o` u cond

2

(A) = kAk

₂

kA

⁻¹

k

₂

et ¯ x d´ esigne la solution de (1).

2.c Ecrire l’algorithme de la m´ ethode du gradient ` a pas constant appliqu´ ee au syst` eme A

^T

Ax = A

^T

b.

2

(10)

E.N.I.T. 2000/2001

Examen– Analyse Num´erique Date : 13 Janvier 2001

Enseignant(s): H. EL FEKIH Dur´ee : 1h30

Classe : 1ère année INFO & TELEC Documents non autorisés

Exercice 1

Soitx1, x2, . . . , xn, npoints distincts de [a, b]⊂R, etV la matrice :

V =







1 x1 x²₁ · · · xⁿ⁻¹₁ 1 x2 x²₂ · · · xⁿ⁻¹₂ ... ... . .. · · · ... ... ... ... . .. ... 1 xn x²_n · · · xⁿ⁻¹_n







1–Montrer, en utilisant l’interpolation de Lagrange, queV est inversible.

2– Soit L₁,· · ·, L_n les polynˆomes de Lagrange aux points x₁, . . . , x_n. On pose, pour j = 1, . . . , n, Lj(x) =

n

X

i=1

uijxⁱ⁻¹. Montrer queV⁻¹=U, o`uU = (uij)1≤i,j≤n.

Exercice 2

On considère l’équation différentielle : (E)

y⁰ =f(x, y), x∈[a, b]

y(a) =Y0

oùf est une fonction de [a, b]×R−→RLipschitzienne par rapport à y et de classeC³. On noteraY la solution exacte de (E). Pour approcher l’équation différentielle (E), on propose le schéma numérique suivant :

(S)







y0=Y0, h= b−a N

y_n+1=y_n+αhf(x_n, y_n) +βh²f⁽¹⁾(x_n+λh, y_n+λhf(x_n, y_n)), n≥0

oùα,β et λsont des réels≥0, etxn,n= 0,· · ·, N, (N+ 1) points équidistants de [a, b]. On rappelle quef^(k) est donnée par :

f^(k)(x, y) = ∂f^(k−1)(x, y)

∂x +f(x, y)∂f^(k−1)(x, y)

∂y , k≥1,avecf⁽⁰⁾ =f

1–Montrer que si la fonctionf⁽¹⁾ est lipschitzienne par rapport à la deuxième variable, alors le schéma (S) est stable.

2–A quelle condition le sch´ema (S) est-il consistant ?

3–D´eterminer α,β etλpour que le sch´ema (S) soit d’ordre (au moins) 3.

4–En d´eduire, que pour ce choix de α, β et λ, le sch´ema (S) est convergent. Donner alors une estimation de l’erreur max

n |yn−Y(xn)|en fonction deh.

Exercice 3

On se donne deux points distinctsτ1etτ2dans l’intervalle [-1,1], et deux nombres r´eels non nulsω1etω2. Soit la formule de quadrature suivante :

Z 1

−1

f(t)dt=ω1f(τ1) + ω2f(τ2) +E(f) o`uE(f) est le terme d’erreur.

1–Quelle condition doivent vérifierω1et ω2pour que cette formule soit exacte pour les fonctions constantes ? 2–Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que la formule soit exacte pour les polynômes impairs de degré inférieur ou égal 3 est queτ1 = −τ2 etω1 = ω2.

3–En déduire les valeurs deτ1,τ2,ω1 etω2pour que la formule soit exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal 3. A quelle famille appartient la formule obtenue ?

(11)

E.N.I.T.

11 juillet 2001 Examen – Session de rattrapage

Analyse Num´erique

Enseignant(s) : H. EL FEKIH Dur´ee : 1h30

Classe : 1ère année INFO & TELEC Documents non autorisés

Exercice

Soit a etb deux r´eels et f : [a, b]→R une fonction de classe C³. On souhaite approcherD₂f ≡f⁰⁰(^a+b₂ ) par une expression du type :

∆₂f ≡λ₀f(a) +λ₁f(a+b

2 ) +λ₂f(b) de telle sorte que E(f)≡D₂f−∆₂f v´erifie :

(1) ∀P ∈ P2, E(P)≡D2P −∆2P = 0

On supposera dans toute la suite que les réels λ₀, λ₁ et λ₂ sont tels que la propriété (1) soit vérifiée.

1– Montrer que f[a,â+b₂ , b] = ¹₂∆₂f, où f[a,â+b₂ , b] désigne la différence divisée d’ordre 2 def aux pointsa,â+b₂ , b.

2– Soit Pf le polynˆome d’interpolation de Lagrande de f aux points a,^a+b₂ , b et r(x) = f(x)−P_f(x).

2–a Montrer qu’il existe c∈[a, b] tel quer⁰⁰(c) = 0.

2–b Montrer que E(f) = r⁰⁰(^a+b₂ ).

2–c En d´eduire que

|E(f)| ≤ b−a

2 sup

x∈[a,b]

|f⁰⁰⁰(x)|

3–Calculer les réels λ₀, λ₁, λ₂ en fonction de aetb pour que la propriété (1) soit vérifiée.

Probl` eme

On considère la formule de quadrature de Gauss-Legendre à k + 1 points, k ≥ 0, donnée par :

(1)

Z 1

−1

f(x)dx=

k

X

i=0

λ_if(x_i) +E(f) où nous avons désigné par :

• E(f) le terme d’erreur (on ne s’intéresse pas ici à l’étude de E(f));

• x_i, 0≤i≤k, les nœuds d’int´egration v´erifiant : −1< x₀ < x₁ <· · ·< x_k <1;

• λ_i, 0≤i≤k, les poids d’int´egration.

On rappelle quex₀, . . . , x_k sont lesk+ 1 racines du (k+ 2)-ième polynôme orthogonal de Legendre Qk+1 ∈ Pk+1 (qui est unitaire) associé à la fonction poids w≡1 sur l’intervalle [−1,1].

Le but de ce probl`eme est de calculer les (k+ 1) nœuds x₀, . . . , x_k ainsi que les k+ 1 poidsλ₀, . . . , λ_k de la formule de quadrature de Gauss-Legendre donn´ee par (1).

Le problème est divisé en trois parties. La première est une étape préliminaire, la deuxième concerne le calcul des nœuds x_i et la dernière porte sur le calcul des poids λ_i.

(12)

Partie I : Soient r₀ < r₁ < · · · < r_m, (m+ 1) réels, m > 0, et P ∈ P_m+1 le polynôme défini par P(x) = (x−r0) (x−r1) · · · (x−rm).

On considère la méthode de Newton appliquée à la résolution de l’équationP(x) = 0.

On rappelle que cette méthode génère la suite définie par : t₀ donné, t_`+1 =t_`− P(t_`)

P⁰(t`), `≥0 On suppose que t₀ > r_m.

I.1– Montrer que ∀`, t_` > r_m et que la suite (t_`)`≥0 est d´ecroissante.

I.2– En d´eduire que la suite (t`)`≥0 est convergente et que lim

`→+∞t` =rm.

Partie II : On considère le (k + 2)-ième polynôme orthogonal (de Legendre) Q_k+1 associé à la fonction poids w ≡ 1 sur l’intervalle [−1,1], et ses (k + 1) racines notées x₀ < x₁ < . . . < x_k.

II.1–Montrer que la méthode de Newton appliquée àQ_k+1, avec une initialisationt₀ > x_k, génère une suite (t`)`≥0 qui converge versxk.

II.2– On suppose que les racines x_k, xk−1, . . . , x_j (1 < j ≤ k) de Q_k+1 ont été déjà calculées et on se propose de calculerxj−1.

On considère le polynôme R_j ∈ P_j défini par : R_j(x) = Q_k+1(x)/Qk

i=j(x−x_i)

Montrer que la méthode de Newton appliquée au polynôme R_j, avec une initialisation t₀ =x_j, génère une suite (t_`)`≥0 qui converge vers xj−1.

II.3– En d´eduire un algorithme qui permet de calculer les (k+ 1) racines x₀, x₁, . . . , x_k deQ_k+1.

Partie III : On s’intéresse dans cette partie au calcul des poids λ_i intervenant dans la formule de Gauss-Legendre donnée par (1). Rappelons que cette formule est de degré 2k+ 1.

Montrer que les poids λi, i= 0, . . . , k, sont donn´es par

λ_i = 1

Q⁰_k+1(x_i) Z 1

−1

Q_k+1(x) x−x_i dx

2

(13)

E.N.I.T. 2001/2002

Examen– Analyse Num´erique Date : 12 Mars 2002

Enseignant(s): H. EL FEKIH Dur´ee : 1h30

Classe : 1ère année GE & TELEC Documents non autorisés

Exercice 1

Soitu∈Rⁿ\ {0}tel que kuk₂ <1, o`uk · k₂ d´esigne la norme euclidienne de Rⁿ.

1– Soit A ∈ M_n(R) la matrice donnée par A = uu^t. Calculer |||A|||₂, où ||| · |||₂ désigne la norme matricielle subordonnée à la norme vectoriellek · k₂.

2– Soit B la matrice donnée par B = I+A, où I désigne la matrice identité. Montrer que B est inversible.

Exercice 2

Soient A ∈ M_n(R) et B ∈ M_m(R) deux matrices inversibles admettant chacune la factorisation

”LU” :

A=LAUA, LA∈ M_n(R) triangulaire inférieure à diagonale unité U_A∈ M_n(R) triangulaire supérieure

B =LBUB, L_B ∈ M_m(R) triangulaire inférieure à diagonale unité UB ∈ M_m(R) triangulaire supérieure

Soit M ∈ M_n+m(R) d´efinie (par blocs) comme suit : M =

A O

O B

1–Montrer queM est inversible.

2–Montrer que la matrice M admet une factorisation “LU” unique.

3– Proposer une méthode pour résoudre le système linéaire M x = b, où b ∈ R^n+m, et donner le nombre d’opérations élémentaires.

Exercice 3

SoientA∈ M_n(R) une matrice inversible etb∈Rⁿ. On considère le système linéaire

(1) Ax=b

dont on notera ¯x sa solution.

1–Vérifier que le système (1) est équivalent au système :

(2) A^TAx=A^Tb

2–Montrer que la matrice A^TAest sym´etrique d´efinie positive.

(14)

3– Pour résoudre le système (1), on considère la méthode du gradient à pas constant appliquée au système (2) :

(3)

x⁽⁰⁾∈Rⁿ

x^(k+1) =x^(k)−r∇J(x^(k)), k≥0 o`ur ∈R^∗+ etJ(·) est la fonctionnelle d´efinie sur Rⁿ par :

J(x) =1

2(A^TAx, x)−(A^Tb, x) (·,·) d´esigne le produit scalaire euclidien dansRⁿ.

3–a Montrer que la m´ethode du gradient `a pas constant (3) est convergente, si et seulement si 0 < r < 2

kAk²₂, où k · k₂ désigne la norme matricielle subordonnée à la norme vectorielle k · k₂. Quelle est dans ce cas la limite de la suite (x^(k))k≥0 définie par (3) ?

3–bOn note g^(k) =∇J(x^(k)). Soit ε >0, montrer que kg^(k)k₂

kA^Tbk₂ ≤ε=⇒ kx^(k)−xk¯ ₂

k¯xk₂ ≤ε[cond2(A)]² o`u cond2(A) =kAk₂kA⁻¹k₂ et ¯x d´esigne la solution de (2)(ou de (1)).

3–cEcrire l’algorithme de la méthode du gradient à pas constant appliquée au système (2).

2

(15)

E.N.I.T. juillet 2002 Examen – Session de rattrapage Analyse Num´erique

Enseignante: Henda El Fekih Dur´ee : 1h30

Classe : 1ère année GE 1-2 & TELEC 1-2 Documents non autorisés

Exercice 1

On considère le système linéaireAx=coùAune matrice carrée inversible d’ordren. On noteλ_ises valeurs propres ordonnées comme suit : 0< λ1< λ2< .... < λ_n−1< λn. SoitB une autre matrice carrée inversible d’ordren.

1. Montrer que le système linéaireAx=cest équivalent au système : x= (I−B⁻¹A)x+d, oùI est la matrice idendité etdun vecteur que l’on exprimera en fonction dec.

2. On suppose queB=αI(α >0) et on considère la méthode itérative :x^(k+1)= (I−B⁻¹A)x^(k)+d, (k≥0).

On note par la suiteF =I−B⁻¹Aetρ(F) le rayon spectral de la matrice F.

2.1Exprimerρ(F) en fonction de α,λ1 etλn (on discutera l’expression deρ(F) avecα).

2.2En déduire une condition surαassurant que la méthode itérative est convergente.

2.3. Pour quelle valeurαodeαla vitesse de convergence est-elle la plus ´elev´ee ? Que vaut dans ce casρ(F)?

Exercice 2

On considère le système linéaireAx=boù A=





1 0 α

β 1 0

0 γ 1



 b=



 1 3 2



, o`uα, β, γ∈Rsont donn´es.

1-Ecrire les méthodes itératives de Jacobi et Gauss-Seidel pour résoudre le système linéaireAx=b(donner explicitement les expressions des composantes dex^(k+1)).

2- Calculer dans les deux cas le vecteur x⁽¹⁾ obtenu après la première itération, à partir du vecteur initial x⁽⁰⁾= (1,1,1)^t.

3-Trouver sous quelles conditions surα, β, γ les m´ethodes de Jacobi et Gauss-Seidel sont convergentes.

4-Dire laquelle des deux m´ethodes converge la plus vite.

Exercice 3

On consid`ere la matrice carr´ee d’ordre 4 suivante :

A=







2 1

4 4 4 2







o`u les termes manquants sont des z´eros.

1-calculer la factorisationLU de la matriceAet comparer la structure (c’est-à-dire la position des éléments non nuls) des matricesLetU obtenues avec celle deA.

2-Si on consid`ere maintenant une matrice d’ordrenavec la structure suivante :

A1=







α1 β1

α2 β2

. .. ... αn−1 βn−1

γ1 γ2 · · · γn−1 αn







où tous les coefficientsαi, βi etγi sont des réels donnés, quelle est la structure des matrices LetU ? 3-En revanche, que se passe-t-il si on prend une matrice de la forme suivante :

A2=







α1 β2 β3 · · · βn

γ2 α2

γ3 α3

... . ..

γn αn







?

Help! On rappelle qu’à l’étape pde la factorisationLU, la p-ème ligne deU et lap-ème colonne deL sont déterminées comme suit :

u_pj =a_pj−

p−1

X

k=1

`_pku_kj, p≤j `_ip= a_ip−

p−1

X

k=1

`_iku_kp

!

/u_pp, p < i.

(16)

E.N.I.T.

2002/2003 Examen –Analyse Num´erique Date : 11 Juin 2003

Enseignant(s) : H. El Fekih Dur´ee : 1h30

Classe : 1ère année GM Documents non autorisés

Exercice 1

On suppose que l’´equation

(1) f(x) = g(x)

admet une unique solution simple α sur [a, b],o`u f et g sont monotones et d´erivables.

1– D´emontrer que si |g⁰(α)

f⁰(α)|<1, alors la méthode itérative x₀ donné, f(x_n+1) = g(x_n), n≥0 est convergente.

2– On suppose que |g⁰(α)

f⁰(α)|>1. Proposer une m´ethode it´erative convergente pour calculer α.

Exercice 2

Soit A ∈ M_n(R) une matrice symétrique dont on connait une valeur propre λ et un vecteur propre associé ude norme kuk₂ = 1, où k · k₂ désigne la norme euclidienne de Rⁿ.

Soit B ∈ Mn(R) la matrice d´efinie par B =A−λuu^t.

1– Montrer que 0 est une valeur propre deB de vecteur propre associ´e u.

2– Soit β une autre valeur propre de A (β 6=λ) de vecteur propre associ´e v.

Montrer que β est une valeur propre de B de vecteur propre associ´e v.

3– Soient λ₁, λ₂, . . . , λ_n les valeurs propres de A, comptées avec leur ordre de multiplicité, vérifiant :

|λ₁| ≤ |λ₂| ≤ · · · ≤ |λ_n|

En utilisant la méthode de la puissance, donner une méthode qui permet de calculer λ_n et λn−1 et préciser les hypothèses sous lesquelles la méthode proposée converge.

(17)

Exercice 3

Soit n ∈ N, n ≥ 2. Soit A ∈ M_n(R), A = (a_ij)1≤i,j≤n. On suppose que A est inversible et admet la factorisationA=LU, oùL∈ M_n(R) est triangulaire inférieure à éléments diagonaux

égaux à 1, et où U ∈ Mn(R) est triangulaire supérieure.

Pourk∈ {1,2, . . . , n}, on noteA_k la matrice deM_k(R) obtenue à partir deAen ne gardant que les k premières lignes et les k premières colonnes, soit A_k= (a_ij)1≤i,j≤k.

1– Montrer que pour tout k ∈ {1,2, . . . , n}, la matrice Ak admet la factorisation Ak =LkUk, oùL_k ∈ M_k(R) est triangulaire inférieure à éléments diagonaux égaux à 1, et oùU_k ∈ M_k(R) est triangulaire supérieure.

2– On pose, pour k ∈ {2,3, . . . , n} :

A_k =







Ak−1 vk

w_k^t a_kk







, o`uv_k∈R^k−1 et w_k ∈R^k−1.

En supposant connue la factorisation Ak−1 =Lk−1Uk−1 et en ´ecrivant :

A_k =







Lk−1 0

m^t_k 1













Uk−1 q_k

0 ukk







, o`u m_k ∈R^k−1, q_k ∈R^k−1 etu_kk ∈R,

montrer comment on peut d´eterminer la factorisationA_k=L_kU_k.

3– Déduire de ce qui précède une méthode pour la détermination de la factorisation LU de la matriceA.

2

(18)

E.N.I.T. 2 juillet 2003 Examen – Session de rattrapage

Analyse Num´erique

Enseignants: H. El Fekih – M. Jaoua – M. Moakher – A. Sakat Durée : 1h30 Classe : 1ère année GC – GE – GI – GM – INFO – TELEC Documents non autorisés

Exercice 1

1–Soit H∈ M_n(R) une matrice symétrique définie positive (ou seulement symétrique positive).

1-aMontrer que pour tout r´eel r >0 la matrice rI+H est inversible.

1-b Montrer que pour tout r´eel r >0 la matrice (rI−H)(rI+H)⁻¹ est sym´etrique.

1-cSoitλune valeur propre deH etu un vecteur propre qui lui est associ´e. Montrer que r−λ r+λ est une valeur propre de (rI−H)(rI+H)⁻¹ associ´ee au vecteur propreu.

1-d En déduire que k(rI −H)(rI +H)⁻¹k2 < 1 pour H symétrique définie positive, et que k(rI−H)(rI +H)⁻¹k2 ≤1 pour H symétrique positive. (k · k₂ désigne la norme matricielle subordonnée indice 2).

2– Soit H1 une matrice symétrique définie positive et H2 une matrice symétrique positive. On suppose que les deux matrices H1 et H2 commutent. Pour u0 et b donnés dans Rⁿ, on définit la suite (u_k) par :

(rI +H1)u_k₊1

2 = (rI−H2)uk+b (rI +H2)uk+1 = (rI−H1)u_k₊1

2 +b

2-aEcrireu_k+1 en fonction deu_k sous la formeu_k+1 =Bu_k+c, où la matriceB et le vecteur c sont à déterminer.

2-b Montrer que la suite (u_k) converge vers un vecteur u et que u est solution d’un système linéaire à déterminer.

Exercice 2

1–Soit B= (bij)1≤i,j≤n une matrice à coefficients réels, vérifiant : b_ij≥0 , 1≤i, j ≤n kBk∞≡ max

1≤i≤n( Xn j=1

b_ij)<1

Montrer que I−B est inversible et que (I−B)⁻¹ est à coefficients positifs ou nuls (I désigne la matrice identité).

2–Soit A= (aij)1≤i,j≤n une matrice à coefficients réels, vérifiant : a_ii>0 , 1≤i≤n a_ij ≤0 , 1≤i6=j≤n Xn

j=1

a_ij>0 , 1≤i≤n

et soitD la matrice diagonale form´ee par la diagonale de A :dii =a_ii pour 1≤i≤n, d_ij = 0 pour 1≤i6=j≤n.

2–a Montrer queD est inversible. On pose alorsC =D⁻¹A.

2–b Calculer les coefficients de la matriceC en fonction de ceux deA.

2–c Montrer queAest inversible et que les coefficients de la matrice A⁻¹ sont positifs ou nuls.