Contrôle du vendredi 15 mars 2019 (50 minutes)

(1)

TS1 spécialité

Contrôle du vendredi 15 mars 2019 (50 minutes)

Prénom : ……… Nom : ………

Note : …. / 20

I. (5 points : 1°) 1 point ; 2°) 4 points)

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On pose an³1 et bn³n. Le but de l’exercice est de déterminer le PGCD de a et b en fonction de n.

1°) Conjecturer à l’aide de la calculatrice le PGCD de a et b en fonction de n.

On rédigera en répondant sous la forme d’une phrase quantifiée (quantification très importante !) de la manière suivante : « On peut conjecturer que pour tout entier naturel n2 le PGCD de a et de b est égal à … ».

…..………

2°) En observant que a  b n 1, justifier que ^PGCD

 

^{a b}^; ^^PGCD



^{b n}^; ^¹



puis démontrer la conjecture émise à la question précédente.

…..………

II. (2 points) Question de cours

Compléter l’algorithme ci-dessous afin que le résultat affiché en sortie soit égal au PGCD de a et de b.

On précise que les variables sont a, b, r sont des entiers naturels et que les valeurs de a et b saisies en entrée ne sont pas toutes les deux nulles.

Entrée : Saisir a Saisir b

Traitement : Tantque b0 Faire

r prend la valeur du reste de la division euclidienne de a par b a prend la valeur b

b prend la valeur ….

FinTantque

Sortie : Afficher ….

III. (2 points) Question de cours

Soit a, b, c trois entiers relatifs quelconques vérifiant les conditions suivantes :

 

C : « a divise bc » ; ¹

 

^C² : « a et b sont premiers entre eux ».

Que peut-on en déduire ?

…..………

On donne ci-dessous dans le désordre les différentes phrases qui permettent de démontrer ce résultat.



En multipliant les deux membres de

 

1 par c, on obtient l’égalité : acu bcv c.



Donc a divise toute combinaison linéaire de a et de bc à coefficients entiers relatifs.



Comme a et b vérifient la condition

 

^C² , d’après le théorème de Bezout, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au bv 1

 

^{1 .}



On en déduit que a divise acu bcv c’est-à-dire c.



Or a divise a de manière évidente et bc d’après la condition

 

^{C .}¹

Remettre les phrases dans l’ordre en écrivant uniquement les numéros sur la ligne ci-dessous.

…..………

(2)

IV. (3 points)

Écrire ci-dessous l’algorithme d’Euclide pour les nombres 1098 et 450.

…..………

V. (2 points)

À la fin d’une fête de village, tous les enfants présents se partagent équitablement les 397 ballons de baudruche qui ont servi à la décoration. Il reste alors 37 ballons. L’année suivante, les mêmes enfants se partagent les 598 ballons utilisés cette année-là. Il en reste alors 13. Combien d’enfants, au maximum, étaient présents ?

…..………

VI. (3 points : 1°) a) 1 point ; b) 1 point ; 2°) 1 point)

1°) Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. On note d leur PGCD.

• Compléter la phrase suivante correspondant à une propriété du cours :

Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs ………..

• Traduire la propriété en complétant l’équivalence suivante pour k entier relatif :

k divise a et k divise b ⇔ ………

2°) Application :

Soit x et y deux entiers relatifs dont le PGCD est égal à 21.

Quels sont les diviseurs positifs communs à x et y ?

Écrire la liste sans faire de phrase ni justifier sur la ligne suivante :

………

VII. (3 points)

Soit a et b deux entiers premiers entre eux.

Quelles sont les valeurs possibles du PGCD de a b et a b ?

Le début de la rédaction est donné ci-dessous. Il est demandé de le recopier avant de poursuivre et d’achever le raisonnement.

Soit k un diviseur commun à a b et a b .

k divise donc la somme et la différence de ces deux nombres.

…..………

(3)

Corrigé du contrôle du 15-3-2019

I.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On pose an³1 et bn³n. Le but de l’exercice est de déterminer le PGCD de a et b en fonction de n.

1°) Conjecturer à l’aide de la calculatrice le PGCD de a et b en fonction de n.

On rédigera en répondant sous la forme d’une phrase quantifiée (quantification très importante !) de la manière suivante : « On peut conjecturer que pour tout entier naturel n2 le PGCD de a et de b est égal à … ».

On peut conjecturer que pour tout entier naturel n2 le PGCD de a et de b est égal à n1.

2°) En observant que a  b n 1, justifier que ^PGCD

 

^{a b}^; ^^PGCD



^{b n}^; ^¹



puis démontrer la conjecture émise à la question précédente.

On a a  b n 1, relation que l’on peut écrire a   b 1 n 1. D’après le lemme d’Euclide, on a donc ^PGCD

 

^{a b}^; ^^PGCD



^{b n}^; ^¹



^.

Or ^b^^{n n}

 

²^{ }¹ ^{n n}

^{  }

^¹ ⁿ^¹ ^.

Comme ^{n n}

 

^¹ est un entier naturel, on peut affirmer que b est divisible par n1. Par propriété du PGCD, on peut donc affirmer que ^PGCD



^{b n}^; ^{  }¹



ⁿ ¹^.

On en déduit que ^PGCD

 

^{a b}^; ^{ }ⁿ ¹^.

Autre méthode :

On a : ^a^{   }ⁿ³ ¹³

 

ⁿ ¹



ⁿ²^{ }ⁿ ¹



^et^b^^{n n}

^{    }

^¹ ⁿ^{  }¹ ⁿ ¹



ⁿ²^ⁿ



^.

On peut donc écrire ^PGCD

   

^{a b}^; ^{ }ⁿ ^{1 PGCD}



ⁿ²^{ }ⁿ ^{1 ;}ⁿ²^ⁿ



^.

Or le PGCD de deux entiers consécutifs est égal à 1.

On en déduit que ^PGCD

   

^{a b}^; ^{    }ⁿ ¹ ¹ ⁿ ¹^.

II. Question de cours

Compléter l’algorithme ci-dessous afin que le résultat affiché en sortie soit égal au PGCD de a et de b.

On précise que les variables sont a, b, r sont des entiers naturels et que les valeurs de a et b saisies en entrée ne sont pas toutes les deux nulles.

Entrée : Saisir a Saisir b

Traitement : Tantque b0 Faire

r prend la valeur du reste de la division euclidienne de a par b a prend la valeur b

b prend la valeur r FinTantque

Sortie : Afficher a

III.

Soit a, b, c trois entiers relatifs quelconques vérifiant les conditions suivantes :

 

C : « a divise bc » ; ¹

 

^C² : « a et b sont premiers entre eux ».

Que peut-on en déduire ?

On peut en déduire que a divise c.

On donne ci-dessous dans le désordre les différentes phrases qui permettent de démontrer ce résultat.



En multipliant les deux membres de

 

1 par c, on obtient l’égalité : acu bcv c.



Donc a divise toute combinaison linéaire de a et de bc à coefficients entiers relatifs.



Comme a et b vérifient la condition

 

^C² , d’après le théorème de Bezout, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au bv 1

 

^{1 .}



On en déduit que a divise acu bcv c’est-à-dire c.



Or a divise a de manière évidente et bc d’après la condition

 

^{C .}¹

Remettre les phrases dans l’ordre en écrivant uniquement les numéros sur la ligne ci-dessous.



^;



^;



^;



^;



IV.

Écrire ci-dessous l’algorithme d’Euclide pour les nombres 1098 et 450.

1098450 2 198  450 198 2 54   198  54 3 36 54  36 1 18 36 18 2 0  

On en déduit que PGCD 1098 ; 450

 

18 (dernier reste non nul de l’algorithme d’Euclide).

On vérifie évidemment le résultat à la calculatrice.

(4)

V.

À la fin d’une fête de village, tous les enfants présents se partagent équitablement les 397 ballons de baudruche qui ont servi à la décoration. Il reste alors 37 ballons. L’année suivante, les mêmes enfants se partagent les 598 ballons utilisés cette année-là. Il en reste alors 13. Combien d’enfants, au maximum, étaient présents ?

On note x le nombre d’enfants, q le nombre de ballons par enfant la première année et 'q le nombre de ballons par enfant la deuxième année.

On a 397 qx 37 et 598q x' 13.

Ces deux égalités donnent immédiatement qx360 et 'q x585. On en déduit que x est un diviseur positif commun à 360 et à 585.

D’après la calculatrice, PGCD 360 ; 585

 

45. Il y avait donc 45 enfants au maximum.

VI.

1°) Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. On note d leur PGCD.

• Compléter la phrase suivante correspondant à une propriété du cours :

Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de d

• Traduire la propriété en complétant l’équivalence suivante pour k entier relatif :

k divise a et k divise b ⇔ k divise d 2°) Application :

Soit x et y deux entiers relatifs dont le PGCD est égal à 21.

Quels sont les diviseurs positifs communs à x et y ?

Écrire la liste sans faire de phrase ni justifier sur la ligne suivante :

1 ; 3 ; 7 ; 21

VII.

Soit a et b deux entiers premiers entre eux.

Quelles sont les valeurs possibles du PGCD de a b et a b ?

Le début de la rédaction est donné ci-dessous. Il est demandé de le recopier avant de poursuivre et d’achever le raisonnement.

On en déduit que k divise 2a et 2b.

k est donc un diviseur commun à 2a et 2b (cf. propriété rappelée dans l’exercice VI). C’est donc un diviseur du PGCD de 2a et 2b.

Or ^{PGCD 2 ; 2}



^a ^b



^^2PGCD

 

^{a b}^; (propriété sur le PGCD).

On sait par hypothèse que a et b sont premiers entre eux donc leur PGCD est égal à 1.

Par conséquent, ^{PGCD 2 ; 2}



^a ^b



^²^.

Les diviseurs positifs de 2 sont 1 et 2. On en déduit que les valeurs possibles du PGCD de a b et a b sont 1 et 2.