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BASES DE LA DYNAMIQUE
I Lois de Newton
1) Grandeurs utiles a) Masse
C’est une grandeur scalaire (non vectorielle), positive, qui s’exprime en kilogramme (kg) dans le système international.
C’est une grandeur caractéristique de la quantité de matière du corps, qui se conserve en mécanique classique au cours du temps (contrairement à la mécanique relativiste où elle peut se transformer en énergie selon la célèbre formule d’Einstein E
= mc2) et par changement de référentiel (elle a la même valeur dans n’importe quel référentiel).
On ne considère cette année que des systèmes fermés de masse invariable (ceci exclut la fusée par exemple qui éjecte des gaz pour sa propulsion). Ce système peut être cette année un point matériel ou un solide.
b) Quantité de mouvement
Plus que la masse ou la vitesse prises séparément, une combinaison des deux apparaît comme une grandeur plus pertinente en mécanique, comme par exemple dans l’expression de l’énergie cinétique
€
Ec=1
2mv2 d’un point matériel.
Ainsi, pour un point matériel de masse m qui se déplace à la vitesse
€
v ! dans le référentiel d'étude, on définit son vecteur quantité de mouvement par la relation
€
p =! m!
v . Plus généralement (répartition discrète de points matériels, répartition continue, solide, plusieurs solides), on a
€
! p =mv ! G où G est le centre d’inertie.
Ce vecteur a donc même direction et même sens que la vitesse, et possède une norme mvG s’exprimant en kg.m.s-1.
2) Première loi de Newton
En mécanique classique, les interactions entre systèmes sont décrites par des grandeurs vectorielles, les forces, qui s’expriment dans le système international en Newton (N). Ces forces sont invariantes dans tout changement de référentiel.
La première loi de Newton (ou principe d'inertie) sert de définition au référentiel galiléen : un système isolé (qui n'est soumis à aucune force) ou pseudo-isolé (soumis à des forces qui se compensent) dans un référentiel galiléen est en mouvement rectiligne uniforme (
€
v ! G=Cte) ou au repos (cas particulier du précédent où la constante est nulle :
€
v ! G=! 0 ).
Aucun référentiel existant n'est strictement galiléen mais ceux qui existent sont plus ou moins galiléens et utilisés en fonction de la précision recherchée sur le résultat. C’est donc l’expérience qui permet de tester le fait qu’un référentiel soit proche d’être galiléen ou non.
On montre que les différents référentiels galiléens se déduisent les uns des autres par un mouvement de translation rectiligne et uniforme.
Parmi les référentiels les plus couramment utilisés (du "plus galiléen" au "moins galiléen"), on peut citer :
* Le référentiel de Copernic :
- origine : centre de masse du système solaire (pratiquement confondu avec le centre du Soleil du fait que ce dernier est beaucoup plus massif que toutes les planètes réunies)
- axes : en direction de 3 étoiles "fixes", c’est-à-dire paraissant fixes pendant la durée de l'expérience.
Ce référentiel peut donc être considéré comme galiléen si la durée de l’expérience est très faible devant la période de révolution du Soleil autour du centre de masse de la galaxie, soit environ 210 millions d'années. C’est la très grande valeur de cette période qui fait de ce référentiel le plus galiléen de tous.
On utilise aussi le référentiel de Képler (où héliocentrique) : axes identiques au précédent mais origine au centre de masse du Soleil. Cela fait peu de différence à cause de la remarque faite précédemment sur l’origine.
* Le référentiel géocentrique : - origine : centre de la Terre
- axes : en direction de 3 étoiles "fixes".
Ce référentiel est donc en translation pure mais non uniforme par rapport au référentiel de Copernic.
Ce référentiel peut donc être considéré comme galiléen si la durée de l’expérience est très faible devant la période de révolution de la Terre autour du Soleil, soit une année. Il est donc moins galiléen que le précédent.
* Le référentiel terrestre (couramment utilisé en Terminale) : - origine : centre de la Terre
- axes : liés à la Terre, donc entrainés par la Terre dans sa rotation autour de l’axe des pôles.
Ce référentiel est donc en rotation pure par rapport au référentiel géocentrique.
Ce référentiel peut donc être considéré comme galiléen si la durée de l’expérience est très faible devant la période de révolution de la Terre sur elle même, soit une journée. Il est donc le moins galiléen de tous.
3) Deuxième loi de Newton
Aussi appelée relation fondamentale de la dynamique (RFD) ou principe fondamental de la dynamique (PFD).
C’est un postulat (relation non démontrée mais considérée comme vraie tant qu’aucune expérience ne l’infirme).
Dans un référentiel galiléen, la force (ou la résultante des forces) qui s'exerce sur un point matériel est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement.
€ F =! d!
p dt
Plus généralement : Dans un référentiel galiléen, la force extérieure (ou la résultante des forces extérieures) qui s'exerce sur un système est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement.
€
F ! ext=d! p dt
En effet, la résultante des forces intérieures est nulle d’après le principe des actions réciproques (voir paragraphe 4 ci-dessous).
C’est cette relation fondamentale qui indique comment les actions s’exerçant sur un système influent sur son mouvement.
Quelques remarques :
* Si la masse m du système reste constante (système fermé), on obtient
F ! ext = d dt m!
v G
( )
=mdv ! G
dt ce qui donne finalement :
F ! ext =m! γ G
Soleil Axe des pôles
Terre
Etoile "fixe"
Référentiel de Copernic Référentiel
géocentrique Référentiel
terrestre
3/5 C’est la relation la plus couramment utilisée.
* Cas d’un système isolé ou pseudo - isolé :
€
F ! ext =! 0 donc
€ d!
p dt =!
0 donc
€ p ! =
€
Cte
:
la quantité de mouvement se conserve au cours du temps.Pour un système de masse constante, cela donne
€
v ! G=Cte donc le mouvement est rectiligne uniforme (ou au repos si la constante est nulle).
On retrouve donc le principe d'inertie : la première loi de Newton est en fait contenue dans la deuxième.
* Quelle est la condition d'équilibre d'un système (particule au repos, c’est-à-dire immobile) ? Il y a équilibre si
€
v ! G=!
0 quelque soit t.
Il faut donc pour cela que la résultante des forces soit nulle (
€
F ! ext=!
0 ) pour que la vitesse soit constante, et en plus que la vitesse initiale soit nulle (
€
v ! o=!
v G
(
t=0)
=! 0 ) pour que cette constante soit nulle.Par conséquent,
€
F ! ext=!
0 est unecondition nécessaire, mais non suffisante, d’équilibre.
Stabilité d'un équilibre :
- Un équilibre est stable si la force qui apparaît lorsqu'on écarte un peu le point matériel de sa position d'équilibre a tendance à l'y ramener.
- Un équilibre est au contraire instable si la force qui apparaît lorsqu'on écarte un peu le point matériel de sa position d'équilibre a tendance à l'en écarter encore plus.
- Un équilibre est indifférent (cas limite des deux cas précédents) s'il n'apparaît pas de force lorsqu'on écarte un peu le point matériel de sa position d'équilibre.
Exemples : un point matériel soumis au seul champ de pesanteur et placé au fond d’une cuvette est en équilibre stable, en équilibre instable sur un sommet, et en équilibre indifférent posé sur un plan horizontal.
4) Troisième loi de Newton
On l’appelle aussi principe des actions réciproques ou plus anciennement principe de l’action et de la réaction.
On considère deux systèmes (notés 1 et 2) en interaction. On note
€
F ! 12
la
force de 1 sur 2 et€
F ! 21
la
force de 2 sur 1.Alors, on a :
€ F ! 12+!
F 21=! 0
Les deux forces ont même module, même direction et sont de sens opposé.
De plus, elles sont portées par M1M2 pour deux points matériels :
€ F ! 12∧M1M2=!
0 (l’axe M1M2 étant alors axe de symétrie de révolution).
Ce principe est valable à chaque instant, quelque soit le mouvement des points matériels, quelque soit le référentiel, pour toutes les forces citées auparavant. Cependant, il n’a pas une portée très générale car il n’est pas valable lorsque des interactions ne se propagent pas instantanément comme par exemple la force électromagnétique entre particules chargées en mouvement.
Stable
Instable
Indifférent
M1 M2
F12 F21
II Interactions principales
1) Interactions à distance
Elles s’exercent à travers le vide sans besoin de contact entre les deux systèmes en interaction.
La physique actuelle distingue quatre interactions fondamentales qui gouvernent le fonctionnement de l’univers.
* Interaction gravitationnelle :
De portée infinie, toujours attractive, elle est prépondérante à l'échelle planétaire et responsable pour l'essentiel du poids (petite différence entre les deux due à la rotation de la Terre sur elle même).
La force exercée par la masse
€
m2 sur la masse
€
m1 s’écrit :
€ F =! −Go m1m2
r2 u ! r est la distance entre les deux masses,
€
u ! un vecteur unitaire dirigé de
€
m2 vers
€
m1, et Go = 6,67.10-11 USI la constante de la gravitation universelle.
On peut aussi écrire cette force sous la forme
€ F =! m1!
G où
€ G =! −Go m2 r2
u ! est appelé champ de gravitation créé par
€
M2. Le poids s’écrit
€
P =! m! g avec
€
g ! champ de pesanteur (ou accélération de la pesanteur). Il s’applique au centre de gravité du corps (barycentre des masses).
* Interaction électrostatique :
De portée infinie, elle peut être attractive (entre charges de signes opposés) ou répulsive (entre charges de mêmes signes).
La force exercée par la charge
€
q2 sur la charge
€
q1 s’écrit :
€
F =! q1q2 4πεor2
u ! loi de Coulomb r est la distance entre les deux masses,
€
u ! un vecteur unitaire dirigé de
€
q2 vers
€
q1, et εo =
€
1
36π109 USI la permittivité du vide ; on a donc
€
1 4πεo
= 9.109 USI.
On peut aussi écrire cette force sous la forme
€
F =! q1! E où
€
E =! q2 4πεor2
u ! est appelé champ électrostatique créé par
€
M2.
* Force forte : elle assure la cohésion du noyau atomique et est donc de faible portée (
€
≈ 10-15 m, ordre de grandeur du rayon d’un noyau atomique).
* Force faible : elle est responsable de processus de désintégration (radioactivité β par exemple) et est de faible portée.
2) Forces de contact
Contrairement aux précédentes, elles nécessitent le contact entre les deux systèmes pour exister.
Elles n’ont pas la portée fondamentale des interactions à distance. Ce sont des lois phénoménologiques empiriques (déduites de l’expérience).
a) Force de liaison exercée par un support : réaction
€ R !
- Cas d’une particule se déplaçant sur une surface (on parle de liaison unilatérale car la particule peut "décoller", c’est-à-dire quitter la surface) : elle se décompose en
€ R ! =
€ T ! +
€ N !
.
€
N ! : composante normale (orthogonale au plan tangent au support en M) ; elle empêche le point matériel M de traverser le support donc elle est dirigée du support vers le point M. Elle s’annule quand cesse le contact.
!
T : composante tangentielle (dans le plan tangent). Lorsque le point M glisse sur le support, !
T s’y oppose s’il y a frottement. !
T est donc opposée à la vitesse (même direction ! T ∧!
v =!
0 , sens opposé ! T .!
v <0). En l’absence de frottement, T = 0 et la réaction !
R = !
N est normale.
F u
M1 (q1) E
M2 (q2)
F u
M1 (m1) G
M2 (m2)
Cas q1 > 0 et q2 < 0
5/5 Le frottement est régi par les lois de Coulomb :
Lorsqu’il y a glissement : T = fd.N, avec fd coefficient de frottement dynamique, d’autant plus élevé que le frottement est important donc que les surfaces sont rugueuses (par exemple 0,1 à 0,2 pour un contact métal/métal ; 0,3 à 0,4 pour un contact bois/bois).
Lorsqu’il n’y a pas glissement : T ≤ fs.N avec fs coefficient de frottement statique. 0 < fd < fs (il est plus difficile de mettre un système en mouvement que d’entretenir celui-ci, par exemple quand on déplace un meuble en le faisant glisser sur le sol). Comme fs
€
≈ fd, on simplifie en général en prenant fs = fd = f, coefficient de frottement.
- Cas d’une particule se déplaçant sur une courbe (liaison bilatérale car la particule ne peut quitter le support, ce qui est plus contraignant que la liaison unilatérale) : anneau enfilé sur un fil par exemple. On a aussi
€ R ! =
€ T ! +
€ N !
.
€
T ! tangent à la courbe (défini de façon unique).
€
N ! normal à la courbe (il existe une infinité de directions à priori, mais on peut déterminer de façon unique ce vecteur une fois le problème entièrement résolu).
b) Force de rappel d'un ressort
Considérons un ressort au repos (ni étiré, ni comprimé) de longueur à vide lo dont une extrémité à gauche est fixe et dont l’autre extrémité M est mobile et se trouve en O (figure 1). On a alors
€
F =! ! 0
.
Lorsque
€
M≠O, on observe l’apparition d’une force de rappel (dirigée vers O) et donc la norme est proportionnelle à l’élongation OM.
Soit vectoriellement
€
F =! −kOM : loi de Hooke avec k > 0 constante de raideur du ressort (en N/m).
Cette formule est valable pour un ressort à spires non jointives dans la limite d’élasticité.
En projetant sur l’axe Ox, on obtient Fx = - k x avec x "élongation"
(algébrique et origine O au point de repos).
Attention, l’élongation s’écrit x – lo si l’origine des x est placée au point d’attache du ressort.
c) Tension d'un fil
C’est la force exercée par le fil sur le point M placé à son extrémité.
Elle compense le poids sur la figure ci-contre à l’équilibre du point M.
Le fil est tendu si T > 0, et T = 0 lorsque le fil n’est pas tendu.
Il n’existe pas d’expression analytique de cette force (contrairement à celle exercée par un ressort) ; on trouve sa valeur une fois le problème entièrement résolu.
d) Amortisseur
C’est un cylindre rempli par un fluide (liquide ou gaz) et fermé par un piston. On en trouve par exemple dans les dispositifs de suspension automobiles.
Il s’oppose au mouvement (comme pour le ressort), mais en exerçant une force
€ F !
proportionnelle ici à la vitesse.
Il est caractérisé par un coefficient de frottement f > 0 tel que
€
F =! −fL ˙ e ! x.
e) Poussée d’Archimède
On rappelle le principe d’Archimède : tout corps plongé dans un ensemble de fluides subit de la part de ceux-ci une force verticale dirigée vers le haut, dont le module est égal au poids des fluides déplacés et qui s'applique au centre de poussée (centre de gravité des fluides déplacés).
T M(m)
N v
pas de frottement M
N
glissement avec frottement M
R T
x M 0
x 0 M
L
x x M=O
lo
Plan tangent au support en M
(1)
(2)
(3)
