Préparation des oraux — maths & Python

PSI* 2020/2021

Préparation des oraux — maths & Python

1. (Centrale) On note χ_n le polynôme caractéristique deAn=











0 0 · · · 0 1/n 1 ... ... ... ...

0 ... ... 0 ...

... ... ... 0 ...

0 · · · 0 1 1/n











∈ Mⁿ(R).

a)Écrire une fonction Python prenant pour paramètre net renvoyant les coefficients deχ_n sous forme d’un tableaunumpy (cf. numpy.poly).

b)Afficher les coefficients de χn pour n∈[[2,8]]et conjecturer la valeur de χn. Démontrer ce résultat.

c)Afficher les modules des racines de χn pour n ∈ [[2,8]]. Que peut-on conjecturer ? Démontrer ce résultat.

2. (Centrale) Programmer en Python le calcul deun=

1 0

3x²−2x^{3 n}dx.

Écrire un comme une somme et en déduire une autre implémentation du calcul de un.

Calculer unpour n∈[[0,50]]par les deux méthodes et commenter. Montrer que(un) converge vers 0.

Tracer les valeurs de √

nun pour n= 100k, k∈[[0,100]]. Conjecturer.

Montrer que un∼ A

√n où A=

+∞

0

e^−3t2dt(on pourra utiliser le changement de variable u= 1−x).

3. (Centrale) Donner un code Python permettant de calculer un= 1

n

n

k=1

cos kπ

n arctan k n . a)Tracer les un pour n∈[[1,100]]. Que remarque-t-on ? Le démontrer.

b)On note ℓ la limite de (un) etvn= n

π(ℓ−un). Tracer les vn pour n∈[[1,100]]. Conjecture ? c)Soit g une fonction de classeC² sur [0,1]etM = max

[0,1] |g^′′|. Montrer que, pourn≥2:

∀k∈[[1, n]] ∀t∈ k−1 n ,k

n g(t)−g k

n −g^′ k

n t− k

n ≤ M

2n². En déduire :

1 0

g(t) dt− 1 n

n

k=1

g k

n = g(0)−g(1)

2n +o 1

n .

4. (Centrale) Pourn≥3, montrer que l’équation(En) e^x=xⁿadmet une unique solution un dans[1,2].

Afficher avec Python lesun pour n= 10k, k∈[[1,100]]. Conjecture ? Démontrer le résultat.

On note ℓ la limite de(un). Avec Python, conjecturer les valeursa,b telles que un−ℓ= a

n+ b

n² +o 1 n² . Démontrer le résultat.

5. (Centrale) Justifier que P, Q =

1

−1

P Q définit un produit scalaire etN∞(P) = max

[−1,1]|P|une norme sur E=R[X].

Soit F = R₅[X] ; déterminer la base orthonormale (E0, . . . , E5) déduite de la base canonique par l’algorithme de Gram-Schmidt.

Tracer les graphes des Ei et déterminer les valeurs de toù N∞(Ei)est atteinte.

Montrer que, si P ∈F vérifie P = 1, alorsN∞(P)≤3√

2. Quand a-t-on égalité ?

Trouver a etb tels que, pour toutP deF,a P ≤N∞(P) ≤b P . Donner des exemples de P pour lesquels il y a égalité à droite ou à gauche.

6. (Centrale) Intégrerxy^′′−y^′+ 4x³y= 0à l’aide du changement de variablet=x². On pose a= π/2.

On trouve que la solution f vérifiantf(a) =f^′(a) = 1 estx→sin x² −cos x² 2a .

Comparer les graphes sur[a,4]de cette solution exacte, de la solution approchée fournie par la méthode d’Euler (que l’on programmera) et de celle fournie par la fonction scipy.integrate.odeint.

7. (Centrale) Une particule se déplace sur une surface comportant 4 positions possibles : A0 et A3 qui sont des puits, A1 et A2 qui sont des positions intermédiaires. À chaque étape :

• si la particule est dans un puits, elle y reste avec une probabilité de 1

• si elle est en A1, elle va en A0 avec une probabilitép, en A2 avec une probabilité1−p

• si elle est en A2, elle va en A1 avec une probabilitép, en A3 avec une probabilité1−p On note xn la variable aléatoire donnant la position de la particule à l’étape n: xn(Ω) = [[0,3]].

a)Écrire une fonction Python qui donne xn+1 en fonction de xn et de p, puis une fonction renvoyant xn en fonction den,x0 etp.

b)Tracer l’histogramme desxn obtenues durantN essais (cf. matplotlib.pyplot.bar).

c)Soit Xn =







P(xn= 0) P(xn= 1) P(xn= 2) P(xn= 3)





. Trouver A ∈ M4(R), indépendante de n, telle que Xn+1 = AXn pour tout n.

d)Montrer que A est diagonalisable si et seulement sip∈]0,1[.

e)Pour p = 1/2, diagonaliser A avec Python et calculer lim

n→∞Xn. Comparer avec les résultats précé- dents.

N.B.Prendre garde que, siAest un tableaunumpycarré etnun entier naturel,A**nse contente d’élever chaque coefficient deAà la puissancen!! Cf. numpy.linalg.matrix_powerpour un calcul efficace des puissances d’une matrice carrée, ou programmer soi-même une exponentiation rapide. . .

8. (Centrale) On donne n+ 1entiers naturels a0< a1 <· · ·< an et, pourP ∈R_n[X], on pose P _A= max

i∈[[0,n]]|P(ai)| où A= (a0, . . . , an). Écrire une fonction Python N(A,P)qui renvoie P _A.

Montrer que · Aest une norme sur R_n[X]. On veut évaluerdn, distance deXⁿ àR_n−1[X].

PourA= (0,1), calculer le minimum des X+a _A pour adécrivantR.

PourA= (0,1,2), calculer le minimum des X²+aX+b _Apour(a, b)décrivantR² (on pourra utiliser la fonction fminde scipy.optimizequi prend comme argument une fonction f et un point initial et renvoie le minimum de f).

Dans le cas général, pour P ∈ R_n−1[X], montrer qu’il existe une unique famille de réels (b0, . . . , bn) telle que

Xⁿ+P(X) =

n

k=0

bk

j∈[[0,n]]\{k}

(X−aj). Calculer ⁿ

k=0

bk et montrer que

∀k∈[[0, n]]

j∈[[0,n]]\{k}

|ak−aj| ≥ n!

n k

. En déduire que Xⁿ+P(X) _A≥ n!

2ⁿ. Calculer dnlorsque A= (0,1, . . . , n).

9. (Centrale) Pourp dansN^∗, on définit le polynôme

Qp(X) = (2p+ 2)X^2p+1−2pX^2p−1−(2p−1)X^2p−2− · · · −2X−1.

En utilisant le module Polynomial, écrire une fonction Python renvoyantQp.

Calculer les racines de Qp pourp∈ {3,4,5,10} ; quelle conjecture peut-on faire sur les racines réelles ? Tracer les racines des Qp pour p <30 ainsi que le cercle unité ; quelle conjecture peut-on faire sur les racines complexes ?

Écrire une fonction Python renvoyant le minimum des modules des racines de Qp.

Montrer que Rp(X) =−X^2p+1Qp(1/X) admet une unique racine réelle positive. En déduire qu’il en est de même deQp.

Montrer que Qp(X) = (2p+ 2)X^2p+1−1−X^2p+1

(1−X)² +(2p+ 1)X^2p 1−X .

En déduire qu’à partir d’un certain rang 3/2< αp <2, oùαp est la racine réelle positive deQp. 10. (Centrale) Dans Rⁿ on désigne par · et ·,· la norme euclidienne et le produit scalaire canoniques.

PourA etB dansMn(R), on note(N) la propriété

∀X∈Rⁿ AX = BX . Montrer que A etBvérifient (N) si et seulement si

∀(i, j)∈[[1, n]]² Ci(A), Cj(A) = Ci(B), Cj(B) où Cj(M) désigne le j-ième vecteur colonne de la matriceM.

Coder en Pythond(A, B) =

n i=1

n j=1

Ci(A), Cj(A) − Ci(B), Cj(B) ², puis une fonction booléenne renvoyant Truesi et seulement siA etB vérifient(N).

Montrer que, siAest inversible,AetBvérifient(N)si et seulement s’il existe une matrice orthogonale Ωtelle que B= ΩA.

11. (Centrale) On fixe un entierN ≥2, un réel p dans]0,1[et l’on pose q= 1−p. Une infinité de joueurs (Jk)_k∈Nparticipent à un tournoi : le match 1 opposeJ0 àJ1 etJ0 l’emporte avec la probabilitép. Puis, pour k≥2,Jk affronte le vainqueur du matchk−1 avec la probabilitép de gagner. Chaque perdant est définitivement éliminé.

Le tournoi s’achève lorsqu’un même joueur parvient à enchaînerN victoires consécutives, ledit joueur étant alors déclaré vainqueur.

On note TN,ple nombre de matchs nécessaires pour qu’un joueur soit vainqueur.

Pourn∈N^∗ on noteAn l’événement “il n’y a pas de vainqueur au match n”.

Écrire une fonction Python T(N,p)qui renvoieTN,p suite à une simulation d’un tournoi.

Écrire une fonctionmoyenne(N,p)qui renvoie la moyenne des TN,p obtenus lors de 10⁴ tournois.

Que donnentmoyenne(3,0.3) etmoyenne(6,0.5)? Montrer que

∀n∈[[1, N −1]] P(An) = 1 et P(AN) = 1−q^N−1. Que représente l’événement An−1\An ? Établir

∀n≥N+ 1 P(An−1)−P(An) =pq^N−1P(An−N). Montrer l’existence et calculer les valeurs de lim

n→∞P(An) et ^∞

n=1

P(An).

En déduire l’espérance de TN,pet comparer avec les résultats des simulations.