TS : feuille d’exercices n
o1
I
La suite (vn) est telle que v0=1 et, pour toutn, vn+1=3vn−1.
Calculerv2. Exprimervn+2en fonction devn.
II
(un) est la suite de terme généralun= n n2+4. Exprimerun+1,un+1,u2n,un+2etun+2 en fonction den.
III
1. Soit (un) la suite définie parun= 1
n2+3; calcu- leru4.
2. Soit (un) la suite définie par :
½ u0=1
un+1=2un+n+3 pour toutn∈N Calculeru4.
IV
Soitf :x7→ 2x+3
5x+4une fonction.
1. Sur quel ensemble est définie cette fonction ? 2. Étudier les variations de cette fonction.
3. Soit (un) la suite définie parun=2n+3 5n+4. Que peut-on dire des variations de cette suite ?
V
1. (un) est une suite arithmétique.
On sait queu4=13 etu8=29.
Calculer u0 et la raison de cette suite ; en dé- duire la valeur deu20.
2. (un) est une suite géométrique.
On sait queu2=18 etu8=13 122.
Calculer u0 et la raison de cette suite ; en dé- duire la valeur deu20.
Correction
I
La suite (vn) est telle que v0=1 et, pour toutn, vn+1=3vn−1.
v1=3v0−1=3×1−1= 2 etv2=3v1−1=3×2−1= 5.
vn+2=3vn+1−1=3 (3vn−1)−1= 9vn−4
II
(un) est la suite de terme généralun= n n2+4.
• un+1= n+1
(n+1)2+4= n+1 n2+2n+5 .
• un+1= n
n2+4+1=n+n2+4
n2+4 = n2+n+4 n2+4 .
• u2n= 2n
(2n)2+4= 2n
4n2+4= n 2¡
n2+1¢ .
• un+2= n+2
(n+2)2+4= n+2 n2+4n+8
• un+2= n
n2+4+2= 2n2+n+8 n2+4
III
1. Soit (un) la suite définie parun= 1 n2+3. u4= 1
42+3= 1 19 .
2. Soit (un) la suite définie par :
½ u0=1
un+1=2un+n+3 pour toutn∈N La suite est définiepar récurrence; il faut cal- culer les termes successifs :
u1=u0+1)=2u0+0+3=5.
u2=2u1+1+3=14.
u3=2u2+2+3=33.
u4=2u3+3+3=72.
IV
1. f est définie surDf =R\
½
−4 5
¾ .
2. f′(x)= − 7
(4x+5)2<0 surDf.
3. un = f(n). N est inclus dans l’intervalle
¸
− 4 5 ;= ∞
·
; f est décroissante sur cet inter- valle, donc la suite (un) est décroissante.
V
1. (un) est une suite arithmétique.
On sait queu4=13 etu8=29.
u8−u4=4r donc r=4.
u4=u0+4r doncu0=u4−4r= −3. u20=u8+12r=29+48= 77.
2. (un) est une suite géométrique.
On sait queu2=18 etu8=13 122.
u8
u2=q6=13122
18 =729 d’où q=3. On en déduitu2=u0q2doncu0=u2
q2 = 2. On en déduit que, pour toutn∈N,un= 2×3n . u20=u0×q20=2×320= 6 973 568 802.
