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Introdu ion `a l’alg`ebre g´en´erale
Groupes, anneaux et corps
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Universit´e d’Eleuth´eria-Polites
Cours de Licence—/
Bruno Deschamps Version.
Table des mati`eres
Struure de groupe
. Magmas . . .
.. Lois de compositions internes. . .
.. Morphismes . . .
.. Relations d’´equivalences compatibles . . .
. G´en´eralit´e sur les groupes . . .
.. Groupes . . .
.. Sous-groupes . . .
.. Morphismes . . .
.. Groupes produits . . .
.. Somme diree dans un groupe ab´elien . . .
. Groupes quotients . . .
.. Indice, th´eor`eme de Lagrange . . .
.. Relations d’´equivalences compatibles et groupes quotients . . .
.. Sous-groupes normaux . . .
.. Propri´et´es des groupes quotients, th´eor`emes d’isomorphisme . . .
Etude de quelques familles usuelles de groupes
. Groupes monog`enes et cycliques . . .
.. Cara´erisation . . .
.. Sous-groupes d’un groupe monog`ene . . .
.. G´en´erateurs . . .
.. D´ecomposition en produit cart´esien d’un groupe cyclique . . .
. Groupes sym´etriques . . .
.. Rappels, propri´et´es . . .
.. σ-orbite . . .
.. Cycles et transposition . . .
.. G´en´erateurs . . .
.. Signature d’une permutation . . .
.. Le groupe altern´eAn . . .
. Groupes di´edraux . . .
. Groupes simples . . .
. Groupes r´esolubles . . .
.. Suites de composition . . .
.. Propri´et´es et cara´erisation . . .
Th´eorie de Sylow
. Groupe op´erant sur un ensemble . . .
.. G´en´eralit´es . . .
.. Stabilisateurs et orbites . . .
.. Points fixes . . .
.. Produit semi-dire . . .
. Th´eor`emes de Sylow et applications . . .
.. Les th´eor`emes de Sylow . . .
.. Applications aux groupes finis . . .
.. Classification des groupes finis d’ordre≤10. . .
G´en´eralit´es sur les anneaux
. Anneaux et morphismes . . .
.. Anneau . . .
.. Morphisme . . .
.. Cara´eriique . . .
. Id´eaux et anneaux quotients . . .
.. Id´eaux et sous-anneaux . . .
.. Anneaux quotients . . .
. Anneaux euclidiens, principaux, faoriels . . .
.. Arithm´etique des anneaux . . .
.. Anneaux faoriels . . .
.. Anneaux principaux . . .
.. Anneaux euclidiens . . .
Anneaux de polyn ˆomes
. Polynˆomes en une variable . . .
.. G´en´eralit´es . . .
.. Propri´et´es de l’anneauA[X] . . . .
.. D´erivation . . .
.. Composition . . .
.. Irr´eduibilit´e . . .
.. Racines . . .
.. Fonions polynˆomiales . . .
. Polynˆomes en plusieurs variables . . .
.. D´efinitions, propri´et´es . . .
.. Polynˆomes sym´etriques . . .
Arithm´etique des entiers
. Pr´esentation axiomatique des entiers naturels . . .
.. Axiomatique . . .
.. Arithm´etique surN. . .
. L’anneauZdes entiers relatifs . . .
.. Conruion . . .
.. Propri´et´e de l’anneauZ. . .
. L’anneauZ/nZ. . .
.. L’anneauZ/nZ . . .
.. Le cryptosy`eme R.S.A. . .
Introduion `a la th´eorie des corps
. G´en´eralit´es . . .
.. Anneaux et corps . . .
.. Polynˆomes . . .
. Extensions . . .
.. G´en´eralit´es . . .
.. Extensions alg´ebriques . . .
.. Clˆoture alg´ebrique . . .
.. Extensions transcendantes . . .
.. Corps de rupture et corps de d´ecomposition . . .
. Corps finis . . .
.. Th´eor`eme de Wedderburn . . .
.. Corps finis . . .
. Notion de s´eparabilit´e . . .
Chapitre
Stru ure de groupe
. Magmas
. . Lois de compositions internes.
D´efinition.—SoitEun ensemble. On appelle loi de composition interne surEtoute application deE×EdansE. Si∗ d´esigne une loi de composition interne surEet sixetysont deux ´el´ements deE, on note plus volontierx∗y`a la place de
∗(x, y). Un ensemble non vide muni d’une loi de composition s’appelle un magma.
Exemples :a)E=Ret pourx, y∈R,x∗y=x2+y2.
b)E=P(X) (ensembles des parties d’un ensembleX) et pourA, B∈ P(X),A∗B=A∪B.
c)E=CCet pourf , g∈E,f ∗g=f ◦g.
d)E,∅et poura, b∈E,a∗b=a.
e)E=Mn(C) et pourA, B∈E,A∗B=AB−BA.
f)E=Zet pourn, m∈E,n∗m=n−m.
D´efinition.—Etant donn´e un magma fini(E,∗), disonsE={x1,· · ·, xn}on appelle table de Cayley le tableau carr´e den lignes etncolonnes obtenu en inscrivant `a la i-`eme ligne et `a la j-i`eme colonne l’´el´ementxi∗xjdu magma.
R´eciproquement, ´etant donn´e un ensemble finiE={x1,· · ·, xn}et un tableau carr´e (ui,j)1≤i,j≤navecui,j∈E, on d´efinit une loi de composition interne∗surEparxi∗xj=ui,j. On remarque qu’alors, la table de Cayley du magma (E,∗) ele tableau (ui,j)1≤i,j≤n.
D´efinition.—Soit(E,∗)un magma. On dit que∗e
•commutative, si∀x, y∈E,x∗y=y∗x. On dit alors que le magma(E,∗)ecommutatif.
•associative, si∀x, y, z∈E,(x∗y)∗z=x∗(y∗z). On dit alors que le magma(E,∗)eassociatif.
Dans les exemples pr´ec´edent, a) ecommutative non associative, b) ecommutative et associative, c) et d) sont associatives et non commutatives, e) et f) ne sont ni associatives ni commutatives.
Exercice :Comment se lit sur une table de Cayley le fait qu’un magma fini soit commutatif?
D´efinition.—Soit(E,∗)un magma eteun ´el´ement deE. On dit queee
•eun neutre `a gauche pour∗si pour toutx∈E,e∗x=x.
•eun neutre `a droite pour∗si pour toutx∈E,x∗e=x.
•eun neutre bilat`ere (ou plus simplement neutre) pour∗sieeun neutre `a droite et `a gauche pour∗, c’e-`a-dire si pour toutx∈E,x∗e=e∗x=x.
Un magma muni d’un ´el´ement neutre bilat`ere eappel´e magma unif`ere (ou unitaire).
Proposition.—Soit(E,∗)un magma ete, e0∈E. Sieeun neutre `a gauche ete0eun neutre `a droite alorse=e0. En particulier, dans un magma unif`ere il n’y a qu’un seul ´el´ement neutre bilat`ere, c’eaussi le seul neutre `a gauche (resp. `a droite).
Magmas Preuve :Par d´efinition, pour toutx∈E, on ae∗x=x, donc pourx=e0, on ae∗e0=e0. De mˆeme, pour touty∈E, on ay∗e0=ydonc poury=eon ae∗e0=e, ce qui prouve bien quee=e0.
Exercice :Dresser la lie des neutres `a droite (resp. `a gauche, resp. bilat`eres) dans les exemples a), b), c), d), e) et f). En particulier, montrer qu’un magma peut tr´es bien poss´eder plusieurs neutres `a droite (resp. `a gauche).
D´efinition.—Soit(E,∗)un magma,e∈Eun neutre `a droite (resp. `a gauche) etx∈E. On dit quexposs`ede un inverse
`a gauche (resp. `a droite) relativement `aes’il exiey∈Etel quey∗x=e(resp.x∗y=e). Si(E,∗)eunif`ere on dit que xposs`ede un inverse s’il poss`ede un inverse `a droite qui eaussi un inverse `a gauche.
Exercice : Dans les exemples a), b), c), d), e) et f) donner, le cas ´ech´eant, des exemples d’´el´ements inversibles `a droite ou `a gauche et donner leurs inverses.
D´efinition.—Soit(E,∗)un magma. On appelle sous-magma deE toute partie non videAdeE able pour∗(i.e. si x, y∈Aalorsx∗y∈A).
SiAeun sous-magma de (E,∗), on voit alors que la reriion de∗`aA×Aeune loi de composition interne et donc que (A,∗) elui-mˆeme un magma. On remarqu’alors siE eassociatif (resp. commutatif) alorsAl’e aussi.Que penser de (A,∗) si (E,∗) eunif`ere?
. . Morphismes
D´efinition.—Soit (E,∗) et(F,⊥) deux magmas. On appelle morphisme (ou homomorphisme) du magma E vers le magmaFtoute applicationf :E→Fqui satisfait
∀x, y∈E, f(x∗y) =f(x)⊥f(y)
Sif einjeive (resp. surjeive, resp. bijeive) on dit quef eun monomorphisme (resp. ´epimorphisme, resp.
isomorphisme) de magmas. LorsqueE=F, les morphismes sont appel´es des endomorphismes et les isomorphismes des automorphismes.
Proposition.—Sif : (E,∗)→(F,⊥)eun morphisme de magma, alorsf(E)eun sous magma de(F,⊥). Si(E,∗)e associatif (resp. commutatif, resp. unif`ere) alorsf(E)l’eaussi.
Preuve :Exercice.
. . Relations d’´equivalences compatibles
Rappels :Une relation d’´equivalence sur un ensembleEeune relation binaireRqui ereflexive, sym´etrique et transitive. Six∈Eon notexla classe dexmoduloR, c’e-`a-dire l’ensemble des ´el´ementsy∈Etel quexRy(on
´ecrit alorsx≡y(R)).
L’ensemble des classes d’´equivalences moduloRforme une partition de l’ensembleEet que cet ensemble e not´eE/R, on l’appelleensemble quotient deEmoduloR.
L’applications:E→E/Rd´efinie pars(x) =xeune surjeion que l’on appelle surjeion canonique deEsur son quotient. Une famille{xi}i∈I d’´el´ements deEsatisfaisant aux deux conditions suivantes
(1) s({xi}i∈I) =E/R
(2) ∀i, j∈I, i,j=⇒s(xi),s(xj) eappel´eeclasse de repr´esentantsdeE/RdansE.
D´efinition.—Soit(E,∗)un magma etRune relation d’´equivalence surE. On dit queRecompatible `a gauche (resp.
`a droite) si pour touta, x, y∈Eon a
x≡y(R) =⇒a∗x≡a∗y(R) (resp. x∗a≡y∗a(R)) QuandRecompatible `a droite et `a gauche, on dit plus simplement queRecompatible.
Proposition.—Soit(E,∗)un magma etR une relation d’´equivalence compatible surE. Soientx, x0, y, y0∈E tels que x≡x0(R)ety≡y0(R). On a
x∗y≡x0∗y0(R)
G´en´eralit´es sur les groupes
Preuve :Commex≡x0(R), on ax∗y≡x0∗y(R). De mˆeme commey≡y0(R), on ax0∗y≡x0∗y0(R). Par transitivit´e deR, on en d´eduit quex∗y≡x0∗y0(R).
En particulier, quandRecompatible, six, y∈Ela classex∗ydex∗ymoduloRne d´epend pas du choix des repr´esentants des classesxety. Ainsi, on peut d´efinir sur l’ensemble quotientE/Rune loi de composition∗(et une seule) qui satisfait, pour toutx, y∈E,
x∗y=x∗y
D´efinition.—Le magma(E/R,∗)d´efini pr´ec´edement s’appelle le magma quotient deEmoduloR.
Exercice : Montrer que la surjeion canoniques:E→E/Reun ´epimorphisme de magma. En d´eduire que si (E,∗) eassociatif (resp. commutatif, resp. unif`ere) alorsE/Rl’eaussi.
Exemple fondamental :On consid`ere le magma (Z,+). Soitn≥2 un entier. On consid`ere surZla relation binaire Rnd´efinie poura, b∈Z, par
aRnb⇐⇒ndiviseb−a
Usuellement, on notea≡b(n) `a la place dea≡b(Rn). La relationRn eune relation d’´equivalence surZ compatible avec laruure de magma (exercice), on l’appelle relation de congruence modulonet la relation a≡b(n) se lit ”aecongru `abmodulon”.
Le magma quotientZ/Rnse note plus usuellementZ/nZouZ/n. Par exemple, pourn= 4, la table de Cayley du magmaZ/4Ze:
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Exercice :Montrer que pour toutn≥1,Z/nZeun ensemble fini `an´el´ements et qu’une classe de repr´esentants dansZdeZ/nZe, par exemple, l’ensemble{0,1,· · ·, n−1}.
Montrer que c’eun magma associatif, commutatif et unif`ere dans lequel tout ´el´ement poss`ede une unique inverse.
. G´en´eralit´e sur les groupes
.. Groupes
D´efinition.—On appelle groupe, tout magma associatif et unif`ere dans lequel tout ´el´ement admet un inverse. Un groupe dont la loi de composition ecommutative eappel´e groupe ab´elien.
Nous avons vu pr´ec´edement que le neutre d’un magma unif`ere eunique. Dans un groupe, on a aussi : Proposition.—Dans un groupe, chaque ´el´ement poss`ede un unique inverse.
Preuve : Soit (G,∗) un groupe de neutree,x∈Gety, y0 ∈Gdeux inverses dex. On a (y∗x)∗y0 =e∗y0 =y0 et y∗(x∗y0) =y∗e=y. Comme la loi∗eassociative, on a(y∗x)∗y0=y∗(x∗y0) et par suitey=y0.
L’usage veut que, g´en´eralement, la loi de composition d’un groupe se note.o `u mˆeme plus fr´equement ne se note pas. Ainsi, on pour deux ´el´ementxetyd’un groupe, on notexyle r´esultat de la composition dexet deypar la loi interne. Lorsque le groupe eab´elien, on note usuellement + sa loi de composition.
SiGeun groupe etxun ´element deG, on note g´en´eralementx−1son inverse, si l’on utilise la notation.et
−xsi l’on utilise la notation + pour sa loi de composition.
R`egles de calcul :(Exercice) Soit (G, .) un groupe de neutree.
a) Pour toutx∈G, (x−1)−1=x(l’inverse de l’inverse e ´egal `a l’´el´ement).
b) Pour toutx, y∈G, (xy)−1=y−1x−1(le passage `a l’inverse renverse l’ordre).
G´en´eralit´es sur les groupes c) Six∈Getn∈N∗, on notexn=x.· · ·.x(nfois). On convient quex0=e. On a alors (xn)−1= (x−1)n. Cela permet de d´efinirxn lorsqueneun entier n´egatif, en posant dans ce casxn= (x−1)−n= (x−n)−1. On a alors la relation suivante :
∀x∈G,∀a, b∈Z, xa+b=xa.xb
On fera bien attention `a ne pas se laisser pi´eger : g´en´eralement pourx, y ∈Get n∈Z, on a (xy)n ,xnyn. Toutefois sixety sont tels quexy =yx (on dit alors quexety commutent, ce qui etoujours le cas dans un groupe ab´elien) alors pour toutn∈Z, on a (xy)n=xnyn.
d) Soientx, a, b∈G. Siax=ay(resp. xa=ya) alorsx=y (on dit queaer´egulier). On remarquera que cette propri´et´e ne cara´erise pas les groupes parmis les magmas associatif et unif`ere (penser, par exemple, au magma (Z∗, .)).
On en d´eduit que si dans un groupe un ´el´ementysatisfait l’´equationxy=x(ouyx=x) pour un seulx, alors y=e.
Exemples de groupes :(Exercice)
a) Les magmas (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+), (Q∗, .), (R∗, .),(C∗, .) sont des groupes ab´eliens.
b) Sin≥1 d´esigne un entier, l’ensembleµn={exp(2ikπ/n)/ k∈Z}eun groupe ab´elien pour la multiplication complexe. De mˆeme, l’ensembleU={z∈C/|z|= 1}eun groupe ab´elien pour la multiplication complexe.
c) Sin≥1 d´esigne un entier, les ensemblesGLn(C) ={M∈ Mn(C)/ detM,0}etSLn(C) ={M∈ Mn(C)/ detM= 1} sont des groupes pour la multiplication des matrices.
d) SoitE un ensemble non vide et Perm(E) l’ensemble des bijeions deE dans E. L’ensemble Perm(E) e un groupe (non commutatif sauf pour quelques cas que l’on pr´ecisera exauivement) pour la composition des ap- plications. Si n≥1 d´esigne un entier et si En ={1,· · ·, n}, le groupe (Perm(En),◦) s’appelle len-i`eme groupe sym´etrique et se noteSn. Un ´el´ementσ∈Snse note par son image, ´el´ement par ´el´ement :
σ= 1 2 · · · n
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
!
Ainsi le neutre deSn(qui el’identit´e) ee= 1 2 · · · n 1 2 · · · n
! .
e) SoitP le plan affine et euclidien etΩ une partie du planP. L’ensemble des isom´etries qui envoientΩ sur lui-mˆeme eun groupe pour la composition des applications.
f) Le magma (Z/nZ,+) eun groupe ab´elien.
g) On consid`ere un ensembleE et P(E) son ensemble de parties. Sur P(E), on d´efinit une loi de composition interne appel´ee diff´erence sym´etrique, not´ee∆et d´efinie par :
∀A, B∈ P(E), A∆B=CA∪BA∩B= (A−B)∪(B−A) Le magma (P(E),∆) ealors un groupe ab´elien.
h) On consid`ere l’ensemble conitu´e des huit matrices deM2(C) suivantes : ( 1 0
0 1
!
, −1 0 0 −1
!
, 0 1
−1 0
!
, 0 −1
1 0
! ,
0 i i 0
!
, 0 −i
−i 0
!
, −i 0 0 i
!
, i 0 0 −i
!)
C’eun groupe pour la multiplication des matrices. On le noteQ8et on l’appelle le groupe quaternionique.
Il enon ab´elien.
Table de Cayley d’un groupe fini : (Exercice) La table de Cayley d’un groupe fini a une particularit´e : c’e toujours un carr´e latin (c’e-`a-dire un tableau carr´e dans lequel dans chaque ligne et chaque colonne apparait une et une seule fois chaque ´el´ement du groupe). Il e`a not´e que le fait d’ˆetre un carr´e latin ne cara´erise pas les
G´en´eralit´es sur les groupes tables de Cayley des groupes, comme le montre l’exemple suivant avec un ensembleE={e, a, b, c, d}`a 5 ´el´ements :
∗ e a b c d
e e a b c d
a a e d b c
b b c e d a
c c d a e b
d d b c a e
(V´erifier que la loi de composition∗n’epas associative)
. . Sous-groupes
G´en´eralit´es
D´efinition.—Soit(G, .)un groupe. On appelle sous-groupe deGtout sous-magmaHdeGtel que(H, .)soit un groupe.
Exemple :Neun sous-magma de (Z,+) mais n’epas un sous-groupe.
Proposition.—Soit(G, .)un groupe de neutreeetH un sous-groupe deG. Le neutre deH ee et pour toutx∈H, l’inverse dexdansHel’inverse dexdansG.
Preuve : Par hypoth`ese, (H, .) e un groupe. Notonsf son neutre. On af .f =f dansHet donc dansG. Mais comme dansG on a f =f .e, on en d´eduit que dans G, f .f =f .e et par suite comme f er´egulier (G e un groupe), on af =e.
Soitx∈H, notonsy son (unique) inverse dansH. On a doncxy=yx=edansH mais donc dansGaussi. Il s’ensuit quey e un inverse dexdansG, mais comme l’inversex−1 dexdansGe unique, on en d´eduit que y=x−1.
Corollaire.—(Axiomes faibles)Soit(G, .)un groupe etHune partie deG. Les propositions suivantes sont ´equivalentes :
i)Heun sous-groupe deG,
ii)H,∅et pour toutx, y∈H,xy−1∈H.
Preuve : i)⇒ii)H n’eclairement pas vide car (H, .) eun magma. La proposition pr´ec´edente montre que si y∈Halorsy−1∈H. Ainsi, six, y∈H, on ay−1∈Het donc, comme (H, .) eun magma, on axy−1∈H.
ii)⇒i) Soitx∈H. En prenanty =x, on ae=xx−1∈H. Par suite, pour touty ∈H, on aey−1=y−1∈H. Donc six, y∈H, on ax, y−1 ∈H et doncxy =x(y−1)−1∈ H. Ainsi, (H, .) eun sous-magma de (G, .). Comme Ge associatif,Hl’eaussi. Commee∈H,Heunif`ere et enfin comme tout ´el´ement deHadmet un inverse, (H, .) ebien un groupe.
Dans un groupeG de neutree, il y a deux sous-groupes ´evident : G tout entier et{e}. On les appelles les sous-groupes triviaux deG. Les sous-groupes non triviaux sont appel´esris ou propres.
On remarque que siHeun sous-groupe deGet queDeun sous-groupe deHalorsDeun sous-groupe deG(exercice), la relation ”ˆetre sous-groupe de” edonc transitive.
Dans la suite siHeun sous-groupe deG, on noteraH≤G. La transitivit´e se traduit alors par D≤H et H≤G=⇒D≤G
Proposition.—SoitGun groupe et{Hi}i∈I une famille de sous-groupes deG. La partie\
i∈I
Hi eun sous-groupe deG.
Preuve :V´erifions les axiomes faibles. PosonsH=T
i∈IHi. Sied´esigne le neutre deG, alors comme chaqueHi eun sous-groupe deG, on ae∈Hi pour touti∈I et par suitee∈H. AinsiHenon vide.
Consid´eronsx, y∈H. Pour touti∈I, on ax, y∈ Hi et par suitexy−1 ∈Hi puisque chaqueHi eun sous- groupe. On en d´eduit donc quexy−1∈H.Hedonc bien un sous-groupe deG.
G´en´eralit´es sur les groupes Ce r´esultat ebien sur faux en g´en´eral pour la r´eunion[
i∈I
Hi (exercice). On a toutefois le r´esultat suivant : si {Hi}i∈I une famille de sous-groupes deGv´erifiants que pour touti, j∈I il exiek∈Itel queHi ≤HketHj≤Hk, alors[
i∈I
Hieun sous-groupe deG(exercice). C’ele cas, par exemple, lorsque la famille{Hi}i∈Ieen fait une suite croissanteH0≤H1≤ · · · ≤Hn≤ · · ·de sous-groupes deG.
Exemples de sous-groupes :(Exercice)
a) Les groupes (Z,+), (Q,+) (R,+) sont des sous-groupes de (C,+).
b) Pour toutn≥1, le groupe (µn, .) eun sous-groupe de (U, .) qui elui-mˆeme un sous-groupe de (C∗, .).
c) (Sous-groupes de (Z,+))
•Sin∈Z, alors le sous-ensemblenZ={nk/ k∈Z}eun sous-groupe du groupe additif (Z,+).
•Pour toutn∈Z, on anZ= (−n)Z. Plus pr´ecis´ement, sia, b∈Zalors aZ=bZ⇐⇒ |a|=|b|
•Sia, b∈Z, alorsaZeun sous-groupe debZsi et seulement sibdivisea.
•La proposition suivante eun r´esultat qui permet de dresser la lie exauive des sous-groupes de (Z,+) : Proposition.—SoitGun sous-groupe de(Z,+). Il exie un unique entiern≥0tel queG=nZ.
Preuve :SiG={0}, on voit quen= 0 ele seul entier qui convienne. Supposons queG,{0}et soitx∈G− {0}, comme−x∈G, on en d´eduit queG∩N∗,∅. Il exie donc un plus petit entierriement positifndansG∩N∗. CommeGeun groupe, on a 2n=n+n∈Get par r´ecurrence imm´ediate, on a pour toutk >0,kn∈G. Par passage
`a l’oppos´e on en d´eduit quek∈Z,kn∈G, c’e-`a-dire quenZ⊂G.
R´eciproquement, consid´erons un entierm∈Get effeuons sa division euclidienne par l’entier n. Il exie donc un uniqueq∈Zet un uniquer∈ {0,· · ·, n−1}tels que
m=qn+r
CommeGeun groupe et que met qnsont dansG, on en d´eduit que r=m−qn∈G, mais commer≥0, on a r∈G∩N. Commer < n, par minimalit´e den, on en d´eduit quer<G∩N∗ et par suite quer = 0, c’e-`a-dire m=qn. AinsiG⊂nZ.
L’unicit´e de l’entier positifnd´ecoule des remarques pr´ec´edentes.
d) SoitGun groupe, on appellecentredeGl’ensemble
Z(G) ={x∈G/∀y∈G, xy=yx}
conitu´e des ´el´ements deGqui commutent avec tous les ´el´ements deG. L’ensembleZ(G) etoujours un sous- groupe deG, c’ebien ´evidemment un sous-groupe ab´elien.
Parties g´en´eratrices
Proposition-D´efinition.—SoitG un groupe etAune partie de G. Il exie un plus petit sous-groupe (au sens de l’inclusion) qui contienneA. On le note< A >et on l’appelle le sous-groupe deGengendr´e parA.
Preuve : Consid´erons la famille{Hi}i∈I conitu´ee des sous-groupe deG qui contienne A. Cette famille n’e pas vide carG tout entier e un sous-groupe de Gqui contientA par hypoth`ese. Consid´erons la partieH = T
i∈IHi. On sait queH e un sous-groupe, il contient visiblement la partieA. C’e le plus petit sous-groupe deG contenantAcar si H0 d´esigne un autre sous-groupe contenantA, il exie j ∈ I tel queH0 =Hj et donc H=T
i∈IHi⊂Hj.
Proposition.—SoitGun groupe etAune partie non vide deG. On a
< A >={x1.· · ·.xn/ n∈N∗, xi ∈A ou x−i1∈A pour tout i= 1,· · ·, n}
G´en´eralit´es sur les groupes
Preuve :Posons
H={x1.· · ·.xn/ n∈N∗, xi∈A ou xi−1∈A pour tout i= 1,· · ·, n}
et v´erifions par les axiomes faibles queH e un sous-groupe : H n’evisiblement pas vide puisqueAne l’e pas. Soitα, β∈H, il exie doncn∈N∗,x1,· · ·, xn∈Gavecxi∈Aouxi−1∈A,m∈N∗,y1,· · ·, yn∈Gavecyi∈Aou yi−1∈Atels queα=x1.· · ·.xnetβ=y1.· · ·.ym. On a alors
α.β−1=x1.· · ·.xn.ym−1.· · ·.y1−1=z1.· · ·.zl
avecl=n+m,zi =xi pouri= 1,· · ·, netzi =yl−−1i+1pouri=n+ 1,· · ·, l. On azi∈Aouzi−1∈Apar hypoth`ese, donc αβ−1∈H.
Par ailleurs, il eclair queA⊂H. Il ne nous ree plus qu’`a montrer queHela plus petit sous-groupe ayant cette propri´et´e. SoitH0 un sous-groupe deGcontenantAet soitn∈N∗etx1,· · ·, xn des ´el´ements deGtels que xi ∈Aoux−i1∈A. PuisqueH0 eun groupe, il e able par passage `a l’inverse, et commeA⊂H0, on en d´eduit quexi∈Hpour touti= 1,· · ·net par suite quex1.· · ·.xn∈H0. AinsiH⊂H0.
Exemples :(Exercice) a)QuandA={x}eune partie `a un seul ´el´ement, on a
< A >={xn/ n∈Z}
b)QuandA=S
i∈IHio `u{Hi}i∈Id´esigne une famille de sous-groupes deG, alors
< A >={x1.· · ·.xn/ n∈N∗, xi ∈A pour tout i= 1,· · ·, n}
D´efinition.—SoitGun groupe et Aune partie de G. On dit queAeg´en´eratrice si< A >=G(on dit aussi queA engendreG).
S’il exie une partieAfinie g´en´eratrice deG, on dit queGede type fini.
SiGeengendr´e par une partie r´eduite `a un seul ´el´ement on dit queGemonog`ene et si, de plus,Gefini on dit queGecyclique.
SiGeun groupe monog`ene, alors tout ´el´ementx∈Gtel queG=< x >eappel´e g´en´erateur deG.
Exemples :(Exercice)
a) Un groupe finiGede type fini. La r´eciproque de cette proposition ebien sur fausse : (Z,+) eun groupe infini mais de type fini (c’emˆeme un groupe monog`ene puisqueZ=<1>).
b) Les groupesZetZ/nZsont des groupes monog`enes.
D´efinition.—Etant donn´e un groupe finiG, on appelle ordre deGle cardinal deG(fini ou infini), on le noteo(G).
Etant donn´e un ´el´ementx∈G, on appelle ordre dexdansGl’ordre du groupe< x >, on le noteo(x).
Proposition.—SoitGun groupe de neutree,x∈GetOx={n∈N∗/ xn=e}.
•SiOx=∅, alorsxed’ordre infini. On a alors
< x >={· · ·, x−2, x−1, e, x, x2, x3,· · · } (xn,xmpour n,m)
•siOx,∅, alorsxed’ordre fini eto(x) = minOx. On a alors
< x >={e, x,· · ·, xn−1} o`un=o(x).
En particulier, un ´el´ementx∈Ged’ordrensi et seulement sixn=eetxk,epour toutk= 1,· · ·, n−1.
Preuve :SiOx=∅alors pour toutn,m, on axn,xm, car sinon,xn−m=eet|n−m| ∈Oxce qui eimpossible.
SupposonsOx,∅et soitn= minOx. On sait que
< x >={· · ·, x−2, x−1, e, x, x2, x3,· · · }
Montrons que pour touta∈Z, il exier∈ {0,· · ·, n−1}tel quexa=xk : on effeue la division euclidienne de aparn
a=qn+r, q∈Z, r∈ {0,· · ·, n−1}
G´en´eralit´es sur les groupes
et on trouve alors quexa=xqnxr. Mais commexqn= (xn)q=eq=eon axa=xr. On en d´eduit donc que
< x >={e, x,· · ·, xn−1}
Les ´el´ementsxk sont diins deux `a deux pourk = 0,· · ·, n−1, sinon il exierait deux entiersa < b dans {0,· · ·, n−1}tels quexa=xb. On aurait alorsxb−a=eet par cons´equentb−a∈Ox, mais commeb−a < nceci serait alors absurde.
On en d´eduit donc que
o(x) =] < x >=]{e, x,· · ·, xn−1}=n
Il e`a noter que (exercice) dans cette proposition, la conditionOx,∅ ´equivaut `a dire qu’il exiea, b∈Zavec a,btels quexa=xb.
Exemples.—(Exercice)
a) Dans un groupe, le seul ´el´ement d’ordre 1 ele neutre.
b) Dans (Z,+) tous les ´el´ements (sauf 0) sont d’ordre infini.
c) DansZ/nZ,o(1) =n.
d) On consid`ere le groupe sym´etriqueS3et les deux ´el´ementsσ= 1 2 3
2 3 1
!
etτ= 1 2 3
2 1 3
!
. On aσ◦τ=
1 2 3
3 2 1
!
,τ◦σ = 1 2 3
1 3 2
!
etσ2= 1 2 3
3 1 2
!
. On en d´eduit donc que S3={e, σ , σ2, τ, σ◦τ, τ◦σ}
c’e-`a-dire queσ etτ engendreS3. Par ailleurs, on aσ2◦τ=τ◦σ etτ◦σ2=σ◦τ, ce qui permet de dresser la table de Cayley deS3:
◦ e σ σ2 τ σ◦τ τ◦σ
e e σ σ2 τ σ◦τ τ◦σ
σ σ σ2 e σ◦τ τ◦σ τ
σ2 σ2 e σ τ◦σ τ σ◦τ
τ τ τ◦σ σ◦τ e σ2 σ
σ◦τ σ◦τ τ τ◦σ σ e σ2 τ◦σ τ◦σ σ◦τ τ σ2 σ e On voit aussi queo(σ) = 3 et queo(τ) = 2.
Sous-groupes engendr´es par des sous-groupes
SoitGun groupe etHetK deux sous-groupes deG. On note
HK={hk/ h∈H et k∈K}
De mani`ere g´en´eral l’ensembleHKdiff`ere deKHet n’epas forc´ement un sous-groupe deG. En fait, on a : Proposition.—SoitGun groupe etH, K deux sous-groupes deG. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : i)HK eun sous-groupe deG,
ii)KHeun sous-groupe deG, iii)HK=KH.
Preuve: i)⇒iii) Soith∈H etk ∈K, on a kh= (h−1k−1)−1 ∈HK. Comme H etK sont des sous-groupes, on a h−1∈Hetk−1∈K et donckh∈HK, c’e-`a-direKH ⊂HK. Soitz∈HK, on a z−1 ∈HK, donc il exieh∈Het k∈Ktels quez−1=hket par suitez=k−1h−1∈KH. DoncHK⊂KH.
iii)⇒i) V´erifions les axiomes faibles. CommeeedansHet dansK, on ae∈HK et doncHK,∅.
Soit h1, h2 ∈ H etk1, k2 ∈K, on a (h1k1)(h2k2)−1 =h1((k1k2−1)h−21). Comme (k1k−21)h−21 ∈KH =HK, il exie h3∈Hetk3∈Ktel que (k1k2−1)h−21=h3k3et par suite (h1k1)(h2k2)−1= (h1h3)k3∈HK.
G´en´eralit´es sur les groupes
On d´emontre de la mˆeme mani`ere queii)⇐⇒iii).
Remarques :a) Dans cette situation, on a alorsHK=KH=< H∪K >.
b) SiGeab´elien, alorsHKetoujours un sous-groupe deG.
Corollaire.—SoitGun groupe etH1,· · ·, Hndes sous-groupes deGv´erifiants que pour touti, j= 1,· · ·, n,HiHj=HjHi, alors l’ensemble
H1· · ·Hn={x1· · ·xn/ xi ∈Hi pour tout i= 1,· · ·, n} eun sous-groupe deG.
Preuve:Exercice.
. . Morphismes
D´efinition.—Soit(G,∗)et(H,⊥)deux groupes. On appelle morphisme du groupeGdans le groupeHtout morphisme de magma deGdansH.
Dans cette situation, un morphisme de groupe e donc une application f : G→ H qui v´erifie pour tout x, y∈G,f(x∗y) =f(x)⊥f(y). Suivant l’usage introduit pr´ec´edement, nous notons.(ou rien) pour d´esigner la loi de composition d’un groupe. Par commodit´e, en g´en´eral, quand nous consid´ererons deux groupes, nous utilis- erons la mˆeme notation pour la loi de composition des deux groupes et ainsi nous ´ecrirons pour un morphisme : f(x.y) =f(x).f(y) `a la place def(x∗y) =f(x)⊥f(y). Il faudra faire tr´es attention `a ne pas oublier que malgr´e ces notations abusives, les lois de groupes ne sont pas les mˆemes, et quand cela deviendra trop ambigu, nous choisirons d´elib´erement de bien noter diff´erement ces lois.
Proposition.—Soitf :G−→G0 un morphisme de groupes. Sie(resp. e0) d´esigne le neutre deG(resp. deG0), alors f(e) =e0. Par ailleurs, six∈G, alorsf(x−1) = (f(x))−1 et plus g´en´eralement, cons´ecutivement `a la convention d´ecrite pr´ealablement, pour toutn∈Z, on af(xn) = (f(x))n.
Preuve :Exercice.
Proposition.—Soitf :G−→G0 un morphisme de groupes. L’image dired’un sous-groupe deGparf eun sous- groupe deG0et l’image r´eciproque d’un sous-groupe deG0parf eun sous-groupe deG.
Preuve : Notonse ete0 les neutres respeifs deGetG0. Prenons un sous-groupeH deGet notonsH0=f(H) l’image diree deHparf. V´erifions les axiomes faibles :H0 n’epas vide care∈Het donce0=f(e)∈H0. Soit maintenantx0, y0∈H0, par hypoth`ese, il exiex, y∈Htels quex0=f(x) ety0=f(y). CommeHeun sous-groupe deG, on axy−1∈Het doncf(xy−1)∈H0, orf(xy−1) =f(x)f(y−1) =f(x)(f(y))−1=x0y0−1.
Soit maintenant un sous-groupeH0deG0et posonsH=f−1(H0). V´erifions les axiomes faibles : Commee0∈H et quef(e) =e0, on en d´eduit quee∈H. Soit maintenantx, y∈H, c’e-`a-diref(x) =x0∈H0 etf(y) =y0=∈H0. Commef(xy−1) =f(x)f(y−1) =f(x)(f(y))−1=x0y0−1∈H0, on en d´eduit quexy−1∈H.
En particulier, si l’on prend G tout entier comme sous-groupe, alors f(G) e un sous-groupe de G0. On l’appelle l’image def et on le note Im(f). De mˆeme, si l’on prend pour sous-groupe deG0 le sous-groupe{e0}o `u e0d´esigne le neutre deG0, alorsf−1({e0}) eun sous-groupe deG. On l’appelle le noyau def et on le note Ker(f).
Proposition.—Soitf :G−→G0un morphisme de groupes. On a a)f esurjeif si et seulement siIm(f) =G0.
b)f einjeif si et seulement siKer(f) ={e}(eele neutre deG).
Preuve :a) e´evident.
b) Supposonsf injeive, commef(e) =e0, six∈Gv´erifief(x) =e0 (i.e. six∈Ker(f)) alorsx=eet donc Ker(f) = {e}. R´eciproquement, supposons que Ker(f) ={e}. Soitx, y∈Gtel quef(x) =f(y), on a donc dansG0f(x)(f(y))−1= e0, c’e `a diref(xy−1) =e0 et doncxy−1∈Ker(f). Ainsixy−1=e, c’e-`a-direx=y.f ebien injeive.
G´en´eralit´es sur les groupes
Exemples de morphismes :(Exercice)
a) SoitGun groupe etH un sous-groupe, l’injeion canoniquex7→xdeHdansGeun morphisme injeif de groupe. PourG=H, ce morphisme el’identit´e.
b) SoitGetG0 deux groupes, l’applicationx7→e0eun morphisme de noyau ´egal `aGtout entier. On l’appelle le morphisme trivial, o `u le morphisme nul.
c) Consid´erons les groupes (R,+) et (C∗, .). L’application d´efinie parf(x) = exp(ix) eun morphisme de groupe.
On a Ker(f) = 2πZ={2kπ/ k∈Z}et Im(f) =U.
d) Consid´erons le groupe (GLn(C), .) et (C∗, .). L’application d´efinie par f(M) = det(M) e un morphisme de groupe. On a Im(f) =C∗(c’edonc un ´epimorphisme) et son noyau eKer(f) =SLn(C).
Notations : Etant donn´es deux groupeGetG0, l’ensemble des morphismes deG dansG0 e not´e Hom(G, G0).
C’eun ensemble qui n’ejamais vide (voir b) ci-dessus). LorsqueG=G0, on note plus simplement Hom(G). Le sous-ensemble de Hom(G) conitu´e des automorphismes de groupes enot´e Aut(G).
Proposition.—SoientG, G0etG00trois groupes. Pour tousf ∈Hom(G, G0)etg∈Hom(G0, G00)on ag◦f ∈Hom(G, G00).
Preuve :Exercice.
Proposition.—SoientG, G0 deux groupes etf ∈Hom(G, G0). Sif eun isomorphisme, alorsf−1∈Hom(G0, G)et, en particulier,f−1eaussi un isomorphisme.
Preuve : Soitx0, y0∈G0. Par hypoth`ese il exie un uniquex∈Get un uniquey∈Gtel quef(x) =x0etf(y) =y0. Commef(xy) =f(x)f(y) =x0y0, on af−1(x0y0) =f−1◦f(xy) =xy=f−1(x0)f−1(y0). Ainsi,f−1∈Hom(G0, G). La bijeivit´e def−1assure quef−1ebien un isomorphisme.
D´efinition.—SoitG, G0 deux groupes. On dit queGetG0 sont isomorphes s’il exie un isomorphisme de groupe entre GetG0. On note alorsG'G0.
Remarque : L’int´erˆet de la notion de groupes isomorphes eque, quand deux groupes sont isomorphes, toutes les propri´et´es li´ees `a laruure de groupe valable pour l’un sont valable pour l’autre. Par exemple siGetG0 sont deux groupes isomorphes alors si l’un efini l’autre l’eaussi et dans ce cas leurs ordres sont les mˆemes.
De mani`ere g´en´erale, la th´eorie des groupes s’int´eresse `a d´ecrire tous les groupes `a isomorphismes pr`es (vae programme...).
Proposition.— Soitf :G−→G0 un isomorphisme de groupes. L’applicationf d´efinit une bijeion entre les sous- groupes deGet ceux deG0.
Preuve :Exercice.
Proposition.—SoitGun groupe. Le magma(Aut(G),◦)eun groupe, c’eun sous-groupe de(Perm(G),◦).
Preuve :La composition donne visiblement uneruure de magma associatif `a Aut(G). La fonion identit´e e visiblement un ´el´ement neutre de Aut(G). La proposition pr´ec´edente montre que sif ∈Aut(G) alorsf−1∈Aut(G).
Ainsi, Aut(G) ebien un groupe.
Ree `a voir que Aut(G) eun sous-ensemble de Perm(G). Ceci e ´evident puisque par d´efinition, Perm(G) el’enesemble des bijeions deGdans lui-mˆeme.
Automorphismes int´erieurs(Exercice) SoitGun groupe. Pour toutg, on consid`ere l’application σg: G −→ G
x 7−→ gxg−1
L’ensemble Int(G) ={σg/ g ∈G}eun sous-groupe de (Aut(G),◦). On l’appelle groupe des automorphismes int´erieurs deG.
G´en´eralit´es sur les groupes
Proposition.— Soitf :G−→G0 un morphisme de groupes et Aune partie de G. On af(< A >) =< f(A)>. En particulier, siAengendreGet sif eun ´epimorphisme alorsf(A)engendreG0.
Preuve : Comme f(A) ⊂f(< A >) et que f(< A >) e un sous-groupe, on a < f(A)>⊂f(< A >). SoitH0 un sous-groupe deG0contenantf(A), alorsH=f−1(H0) eun sous-groupe deGqui contientA. Donc
f−1(< f(A)>) =f−1( \
f(A)⊂H0
H0) = \
f(A)⊂H0
f−1(H0)
et par suite
< A >= \
A⊂H
H⊂ \
f(A)⊂H0
f−1(H0) =f−1(< f(A)>) et doncf(< A >)⊂< f(A)>.
On en d´eduit que sif :G−→G0 eun ´epimorphisme de groupe et queGede type fini (resp. monog`ene, resp. cyclique) alorsG0 ede type fini (resp. monog`ene, resp. cyclique).
Bien qu’il soit tentant de le penser, si B e une partie deG0, alors f−1(< B >) n’e pas forc´ement ´egal `a
< f−1(B)>. Par exemple, consid´eronsG=Z/2Z={0,1}etG0 =Z/4Z=={
◦
0,
◦
1,
◦
2,
◦
3}et l’applicationf :G−→G0 d´efinie par
f(0) =
◦
0et f(1) =
◦
2
On v´erifie sans mal quef eun morphisme de groupe. PosonsB={1}, on a< B >=Z/4Zet doncf−1(< B >
) =Z/2Z, maisf−1(B) =∅et donc< f−1(B)>={0}.
. . Groupes produits
On consid`ere une famille non vide de groupes{Gi}i∈I. Par commodit´e, on note la loi de composition de chacun desGipar l’absence de notation, et pour touti∈I, on noteei le neutre deGi. Sur le produit cart´esien
Y
i∈I
Gi={(xi)i∈I/∀i∈I, xi∈Gi} on d´efinit la loi de composition suivante :
Y
i∈I
Gi×Y
i∈I
Gi −→ Y
i∈I
Gi
((xi)i∈I,(yi)i∈I) 7−→ (xiyi)i∈I
(la composition se fait coordonn´ee par coordonn´ee)
On voit alors que muni de cette loi de composition, Q
i∈IGi eun groupe. En effet, la loi e visiblement associative puisqu’elle l’e pour chaque Gi, l’´element (ei)i∈I ∈ Q
i∈IGi e visiblement un neutre et pour tout (xi)i∈I∈Q
i∈IGi, on conate que (x−i1)i∈I ∈Q
i∈IGi eun inverse de (xi)i∈I.
D´efinition.—Avec les notation, pr´ec´edent le groupe obtenu s’appelle le groupe produit diredesGi. Toujours dans cette situation, on consid`ere pour toutk∈I, les applications suivantes
lak-i`eme projeion canonique pk: Y
i∈I
Gi −→ Gk
(xi)i 7−→ xk
et lak-i`eme injeion canonique qk: Gk −→ Q
i∈IGi xk 7−→ (xi)i
o `u l’´el´ement (xi)ied´efini parxi=ei sii,ketxi=xk sii=k.
Les applicationspk etqk sont respeivement des ´epimorphismes et monomorphismes de groupes (exercice).
