Stanislas
Thème
Théorème de Mertens
PSI2016-2017
Soient(an)et(bn) deux suites à valeurs réelles. Pour tout entier natureln, on pose cn=
n
X
k=0
akbn−k. La sérieP
cnest le produit deCauchydes sériesP
an etP
bn. Pour tout entier natureln, nous noteronsAn=
n
P
k=0
ak, Bn=
n
P
k=0
bk etCn=
n
P
k=0
ck leurs sommes partielles.
1. Un contre-exemple. Montrer qu'il existe deux suites (an) et (bn) telles que P
an et P bn
convergent mais telle queP
cn diverge.
On souhaite montrer le théorème de Mertens : Si P
an converge absolument et P
bn converge, alorsP
cn converge et
+∞
X
n=0
an
!
·
+∞
X
n=0
bn
!
=
+∞
X
n=0
cn.
2. Le cas positif. On suppose, uniquement dans cette question, que (an) et (bn) sont à valeurs positives. Montrer que pour tout entier natureln,
Cn6An·Bn6C2n.
Conclure.
3.Montrer que, pour tout réelε >0, il existe un entier natureln0tel que pour tout (n, m)∈N2, sin>n0 etm>n0, alors
m
X
k=n
|ak|6εet
m
X
k=n
bk
6ε.
4. Soitn∈N. Montrer que
C2n−AnBn=
n
X
j=0
aj
2n−j
X
k=n+1
bk
! +
2n
X
j=n+1
aj 2n−j
X
k=0
bk
! .
5. En déduire que(C2n−AnBn)converge vers0.
6. Montrer de manière analogue que(C2n+1−AnBn) converge vers0. 7. Conclure.
8. Peut on supprimer l'hypothèse d'absolue convergence dans le théorème de Mertens ?
Stanislas A. Camanes
