Le Théorème De Mertens Dans Les Progressions Arithmétiques

République Algérienne Démocratique et populaire

Ministère de l’Enseignement Ecole Normale Supérieure Supérieur et de la Recherche ENS-Kouba-Alger Scientifique

MEMOIRE

Pour l’obtention du grade de

MAGISTER

Département de Mathématiques ENS-Kouba, Alger

Spécialité : Mathématiques

Option : Algèbre et Théorie des nombres Présenté par

ELHADRA TOUFIK

Le Théorème De Mertens Dans

Les Progressions Arithmétiques

Soutenu le …/…../2015 Devant jury

 BENAYAT Djilali, Professeur, ENSKA, ………. Président

 MOUSSAOUI Mohand Arezki, Professeur, ENSKA, ……… Examinateur

 HERNANE Mohand, Professeur, USTHB, ……… . Examinateur

 BAYAD Abdelmejid, Professeur, Universi té d’Evry Val d’ Essonne, Paris, … Examinateur

 DERBAL Abdallah, Professeur, ENSKA, ……….. Directeur de Mémoire

Table des matières

Notation 2

Introduction 4

1 Préliminaires 8

1.1 Généralités sur les groupes . . . 8

1.2 Les caractères modulo k ∈N^∗ (de Dirichlet) . . . 10

1.2.1 Les groupesG(k) = _kZ^{Z ∗} . . . 10

1.2.2 Caractères du groupe _kZ^Z ∗ . . . 11

1.2.3 Caractères modulok ∈N^∗ (de Dirichlet) . . . 12

2 Les fonctions L et K de Dirichlet 16 2.1 Les séries L de Dirichlet . . . 16

2.1.1 Produit Eulérien du série L(s, χ) . . . 16

2.1.2 Prolongement analytique de la fonctionL(s, χ). . . 18

2.1.3 Calcul effectif duL(1, χ)pour quelques valeurs de k. . . 20

2.2 Les séries K de Dirichlet . . . 29

2.2.1 La fonction k_χ . . . 29

2.2.2 La sérieK de Dirichlet . . . 33

3 Théorème de Mertens dans les progressions arithmétiques 36 4 Calcul effectif des nombres a16,l tel que l = 1,7,9,15 40 4.1 la valeur a16,1 . . . 42

4.2 les valeurs a16,l pourl = 7,9,15 . . . 44

Bibliographie 46

1

Notation

1. N l’ensemble des entiers naturels N ={0, 1, 2, . . .}, N^∗ l’ensemble des entiers naturels positifs

2. Z l’ensemble des entiers relatifs,

Z^∗ ={n∈Z, n6= 0},Z+ ={n∈Z, n≥0},Z−={n ∈Z, n ≤0}

3. Q l’ensemble des nombres rationnels, 4. R l’ensemble des nombres réels, 5. C l’ensemble des nombres complexes.

6. La lettre pdésigne toujours un nombre premier.

7. Pour deux entiers n >0et m >0on utilise les notations .m |n signifie m divisen

.m ∤n signifie m ne divise pas n .

8. Si g(x)et f(x) deux fonctions définies sur un voisinageV_x0 , alors

f(x)^V= O (g(x))^x0 signifie (∃M >0) tel que

f(x) g(x)

≤ M (∀x∈V_x0)

f(x)^V= o (g(x))^x0 signifie lim

x→x0

f(x) g(x)

= 0

f(x)^V∼^x0 g(x) signifie lim

x→x0

f(x) g(x)

= 1.

9. Si x0 =±∞, on peut poser f(x) = O (g(x)), f(x) = o (g(x)), f(x)∼g(x) 10. Les deux symboles P

p≤x

et Q

p≤x

représentent une somme et un produit étendus à tous les nombres premiers p∈[2, x].De plus

x→+∞lim X

p≤x

= X

p

la somme étendue à tous les nombres premiers

x→+∞lim Y

p≤x

= Y

p

le produit étendu à tous les nombres premiers

11. Pour tout nombre réelx,on a[x]désigne la partie entière dex qui est l’unique nombre

12. ϕla fonction d’Euler,ϕ(k) = card{n∈N^∗,1≤n≤k et(n, k) = 1}, pour toutk ∈N^∗ 13. La constante d’Euler est le nombreγ défini par

γ = lim

n→∞

1 + 1

2 +· · ·+ 1

n −logn

= 0.577215663· · · .

3

Résumé

Soit k un nombre entier non nul, pour tout l ∈N^∗ avec 1≤l ≤k et(k, l) = 1, on considère la fonction P_(k,l)(x)telle que

P_(k,l)(x) = Y

p≤x,p≡l(k)

1− 1

p

,(x∈Retx≥2)

Notre objectif est la démonstration du théorème suivant

P_(k,l)(x) =a_(k,l) 1

(lnx)^ϕ(k)1 +O 1 (lnx)^{ϕ(k)1 +1}

! .

Le symboleϕ désigne la fonction d’Euler, et a_(k,l) est une constante réelle strictement positive dépendant de k etl donnée par l’expression

a_(k,l) = e^−γ k ϕ(k)

Y

χ6=χ0

K(1, χ) L(1, χ)

χ(l)!_ϕ(k)¹

dans laquelle γ est la constante d’Euler. Le produit Y

χ6=χ0

K(1, χ) L(1, χ)

χ(l)

est étendu à tous les caractères non principaux modulo k, et L(1, χ), K(1, χ) sont séries de Dirichlet. attachée aux caractère χ.

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.(k, l) = 1

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P_(k,l)(x) = Y

p≤x,p≡l(k)

1−1

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P_(k,l)(x) =a_(k,l) 1

(lnx)^ϕ(k)1 +O 1 (lnx)^{ϕ(k)1 +1}

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a_(k,l) = e^−γ k ϕ(k)

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K(1, χ) L(1, χ)

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