Apport des activités d’intégration dans l’appropriation des fonctions logarithmes en terminale D

Apport des activités d’intégration dans l’appropriation des fonctions logarithmes en terminale D

PEDEPOUH Severain dirigé par

Dr Fidèle CIAKE CIAKE, Chargé de Cours à l’ENS de Yaoundé Mme Alice KAMGA, Inspecteur national de Mathématiques

Mme Judith MELELE Epse SIMO, Professeur au Lycée Bilingue de Yaoundé

Yaoundé, le 15 juillet 2014

♣ Résumé ^♣

Dans ce travail, nous proposons des activités d’intégration permettant aux apprenants de

mobiliser la les connaissances acquises sur les fonctions logarithmes en classe de terminale D

afin de résoudre des problèmes dans d’autres disciplines ou dans la vie courante.

♣ Table des matières ^♣

Résumé i

1 Apport des activités d’intégration dans l’appropriation des fonctions logarithmes . 1

1.1 Les difficultés des apprenants à l’appropriation des fonctions logarithmes . . . 1

1.1.1 Du programme officiel des mathématiques au second cycle. . . . . 1

1.1.2 Réactions des élèves, enquêtes et analyses . . . . 2

1.1.3 Problème . . . . 5

1.2 Apport des activités d’intégration . . . . 6

1.2.1 Activité d’intégration . . . . 6

1.2.2 Fonctionnement d’ une activité d’intégration . . . . 7

1.2.3 Quelques exemples d’activité d’intégration . . . . 7

1.2.4 Apport des activités d’intégration . . . . 13

1.2.5 Difficultés rencontrées dans la pratique des activités d’intégration . . . 15

1.3 Quelques activités d’intégration sur les fonctions logarithmes. . . . . 15

1.3.1 Dans le domaine acoustique . . . . 15

1.3.2 En sismologie . . . . 17

1.3.3 En astronomie. . . . 17

1.3.4 Chimie . . . . 18

1.3.5 En économie . . . . 18

1.3.6 En biologie . . . . 19

Conclusion générale 20

Bibliographie 21

ANNEXES 22

Apport des activités d’intégration dans

l’appropriation des fonctions logarithmes .

0.1. Les difficultés des apprenants à l’appropriation des fonctions logarithmes

Introduction

Nous avons remarqué que les élèves ont des difficultés à mobiliser les acquis dans les fonc- tions logarithmes pour résoudre les problèmes dans d’autres disciplines et dans la vie à travers les enquêtes que nous avons menées auprès d’eux. Nous avons mené une autre enquête auprès des enseignants pour comprendre ce qui peut-être la cause . Nous proposons dans ce chapitre une façon de faire les activités d’intégration pour apprendre aux élèves comment ils peuvent mobiliser les savoirs. Nous proposons aussi quelques situations de vie qui permettront aux en- seignants de mettre en oeuvre des activités d’intégrations sur les fonctions logarithmes.

0.1 Les difficultés des apprenants à l’appropriation des fonc- tions logarithmes

ATSAGMO S. a travaillé sur les difficultés des apprenants face aux calculs de primitives, et le calcul des limites [1]. Nous insistons sur les difficultés que les élèves éprouvent à la mobili- sation des connaissances acquis sur les fonctions logarithmes dans la résolution des problèmes.

0.1.1 Du programme officiel des mathématiques au second cycle.

Dans le programme officiel de mathématiques du second cycle, deux objectifs généraux ont marqué notre attention :

« Les programmes de mathématiques du second cycle visent à : – mettre l’accent sur le rôle formateur des activités de résolution de problèmes.

– développer les capacités d’organisation et de communication, promouvoir l’unité de la for- mation des élèves en exploitant les interactions entre les différentes parties des programmes d’une classe et entre les mathématiques et d’autres disciplines. » [11]

Le programme officiel met clairement en évidence les notions de compétences transversales et de transferts d’apprentissages chez les apprenants. Ces deux éléments ne peuvent se réaliser sans appropriation des connaissances par les apprenants. Ces objectifs traduisent l’intention de l’Etat qui souhaite avoir les jeunes capables de créer leurs propre entreprise. Dans le cadre de notre travail nous nous intéressons à l’appropriation des fonctions logarithmes par les apprenants.

Nous nous appuyons sur les expériences faites sur le terrain et des enquêtes pour développer

notre point de vue.

0.1. Les difficultés des apprenants à l’appropriation des fonctions logarithmes

0.1.2 Réactions des élèves, enquêtes et analyses

A la fin du cours sur les fonctions logarithmes en Terminale 𝐷, nous avons proposé des exercices qui mobilisent plusieurs savoirs et savoirs faire.

Exercice 1[2] 𝛼 désigne un nombre réel strictement positif.

On considère l’ensemble Ω = {0; 1; 2; 3; 4; 5} et 𝑝 l’application de Ω vers R qui à tout élément 𝑛 de Ω associe 𝑝(𝑛) = ln(𝛼

).

On suppose que 𝑝 vérifie la propriété suivante :

∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫(Ω), 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜑 ⇒ 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵).

1. Déterminer 𝛼 pour que 𝑝 soit une probabilité sur (Ω, 𝒫 (Ω)).

2. On suppose que 𝛼 = 𝑒

et on défini la variable aléatoire réelle 𝑋 qui à tout élément 𝑛 de élément 𝑛 de Ω associe 𝑝(𝑛). Déterminer la loi de probabilité de 𝑋

3. Déterminer l’espérance mathématique de 𝑋.

Solution :

1. Nous savons que 𝑝 est une probabilité sur (Ω, 𝒫(Ω)), si :

i) ∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫 , 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜑 ⇒ 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵 ) ii) 𝑝(Ω) = 1.

La première condition étant déjà réalisée ; il nous reste montrer que 𝑝(Ω) = 1. Cette condition va nous permettre de déterminer 𝛼.

Ω = {0; 1; 2; 3; 4; 5}

𝑝(Ω) = 𝑝(0) + 𝑝(1) + 𝑝(2) + 𝑝(3) + 𝑝(4) + 𝑝(5).

Or, pour tout élément 𝑛 de Ω, 𝑝(𝑛) = ln(𝛼

) = 𝑛 ln(𝛼)

Ainsi 𝑝(Ω) = 0 × ln(𝛼) + 1 × ln(𝛼) + 2 × ln(𝛼) + 3 × ln(𝛼) + 4 × ln(𝛼) + 5 × ln(𝛼).

Soit 𝑝(Ω) = 15 × ln(𝛼).

Par conséquent 𝑝(Ω) = 1 signifie que 15 × ln(𝛼) = 1 Soit ln 𝛼 =

.

D’où 𝛼 = 𝑒

.

2. On suppose que 𝛼 = 𝑒

. Déterminons la loi de probabilité de 𝑋 . Nous savons que 𝑝(𝑛) = ln(𝛼

) = 𝑛 ln(𝛼)

𝑝(𝑛) = ln(𝛼

)

= 𝑛 ln(𝛼)

= 𝑛 ln(𝑒

)

= 𝑛

15

0.1. Les difficultés des apprenants à l’appropriation des fonctions logarithmes

𝑝(𝑛) =

nous permet de résumer la loi de probabilité 𝑋 dans le tableau suivant :

𝑥

0 1 2 3 4 5

𝑝(𝑋 = 𝑥

)

0

3. Calculons l’espérance mathématique 𝐸(𝑋) de 𝑋.

𝐸(𝑋) = 0 + 1 ×

+ 2 ×

+ 3 ×

+ 4 ×

+ 5 ×

𝐸(𝑋) =

15

𝐸(𝑋) =

𝐸(𝑋) =

D’où 𝐸(𝑋) =

Réaction des élèves

Lorsque nous avons mis l’énoncé au tableau, après la lecture de celui-ci, les réactions des élèves étaient les suivantes :

– « C’est toujours les fonctions logarithmes là ? » – « Monsieur on fait ça comment ? »

Ici le symbole de fonction logarithme népérien apparaît au moins dans l’exercice.

Quand nous avons commencé la résolution de cet exercice, la plupart se demande déjà « donc ce n’était que ça ? »

Sur une fiche de travaux dirigés (Titré : Travaux dirigé sur les fonctions logarithmes) sur laquelle nous avons pris le soin de rappeler la notion d’intérêt composé, nous avions parmi les exercices celui qui suit :

Exercice 2

Préparation de l’entrée au supérieur (L’objectif est permettre aux élèves de mobiliser les savoirs et savoirs faire sur logarithmes, suites, notion sur l’économie et autres pour résoudre un problème.)

A ta naissance, ton papa a ouvert un compte en ton nom. Il y place une somme de 200 mille francs au taux annuel de 5% à intérêt composé.

Cette somme lui permet de préparer ton entrée à l’enseignement supérieur après l’obtention du BACCALAUREAT.

a) Ton père veut savoir la somme d’argent qui était dans le compte lorsque tu avaiS 6 ans à l’école primaire. Quel montant y avait-il à ce moment ?

b) A ton avis après combien d’années la somme dans ton compte sera doublée ?

0.1. Les difficultés des apprenants à l’appropriation des fonctions logarithmes

Réactions des élèves :

Face à cet exercice, les élèves, sans l’avoir lu ont eu les réactions suivantes :

– « Monsieur, nous ne voyons pas là où les logarithmes interviennent dans cet exercice. » – « Comment pouvez vous nous demander de faire un exercice sur les logarithmes alors

que nous ne voyons pas la fonction logarithme ? » – « On fait comment pour voir ça ? »

Analyse des réactions

Nous avons besoin des notions sur les fonctions logarithmes (notamment les propriétés opé- ratoires) et sur la probabilité pour résoudre l’exercice 1 afin de vérifier les compétences trans- versales chez les apprenants. De même dans l’exercice 2 on doit mobiliser plusieurs notions tels que : fonction logarithme népérien ; intérêt composé et autres notions. Pendant notre stage au Lycée Bilingue de Yaoundé nous avons fait des enquêtes pour comprendre davantage le com- portement des apprenants. Les questionnaires de ces enquêtes se trouvent en annexe.

Analyse de l’enquête faite auprès des élèves.

L’enquête a été menée dans trois classes de terminale scientifique donc deux terminales D et une terminale C. Il y avait au total 214 élèves. L’analyse de l’enquête faite auprès des élèves pendant notre stage dans le but de vérifier leur satisfaction à l’issue du cours sur les fonctions logarithmes, nous a permise de constater que 85% des apprenants comprennent les propriétés des fonctions logarithmes mais seulement 30% ont une idée de leurs applications dans la vie et dans d’autres disciplines. On pourrait donc dire que au plus 30% pourront mobiliser ces acquis dans la résolution des problèmes. Cette mobilisation pourrait se faire à travers les activités d’intégrations (Nous y reviendrons ).

Pour comprendre davantage les informations reçues auprès des apprenants, nous avons mené une enquête auprès des enseignants et ceux-ci nous ont fourni un certain nombre d’informations qui pourraient nous être utile.

Analyse de l’enquête faite auprès des enseignants

Cette enquête a été menée sur un échantillon de 35 enseignants de mathématiques en classe de terminale scientifique. L’objectif de cette enquête est de savoir si parmi les activités propo- sées pour l’appropriation des connaissances sur les fonctions logarithmes, ils mettent l’accent sur la résolution des problèmes de la vie et des autres disciplines.

Nous remarquons que 90% des enseignants font des activités qui lient plusieurs thèmes en

mathématiques ( par exemple ;logarithme et exponentielle, logarithme et intégrale). Mais nous

constatons que seul 30% insiste sur les activités qui prennent en compte les logarithmes et les

0.2. Apport des activités d’intégration

chapitres autres que les intégrales et les fonctions exponentielles ou les logarithmes et les autres disciplines.

0.1.3 Problème

Nous savons la place indispensable qu’occupent les mathématiques dans la résolution des problèmes. Pour ce qui est des fonctions logarithmes les apprenants doivent s’approprier les connaissances acquis dans cette notion pour les réinvestir dans la résolution des problèmes. Les réactions des élèves et les résultats de l’enquête auprès des apprenants soulignent un problème d’appropriation de connaissances de ce cours. Il est donc important que l’on s’attarde du fait qu’elle constitue un élément fondamental dans la résolution des problèmes .

Ce problème d’appropriation de connaissances nous amène à nous interroger sur la qualité des activités que les enseignants soumettent au élèves pour opérationnaliser les savoirs sur les fonctions logarithmes ; c’est-à-dire de les utiliser effectivement pour résoudre les problèmes de la vie (activité d’intégration)

L’enquête que nous avons fait auprès des enseignants nous a permis de nous demander ce que c’est réellement une activité d’intégration et comment l’introduire dans un cours sur les fonctions logarithmes peut favoriser la mobilisation des acquis pour résoudre des problème d’appropriation des connaissances de cette leçon qui se pose.

0.2 Apport des activités d’intégration

0.2.1 Activité d’intégration

Bref aperçu sur l’activité d’intégration

Dans le cadre de ce travail, nous nous appuyons sur la définition donnée par Bourafa :

une activité d’intégration est « une activité didactique qui a pour fonction essentielle d’amener

l’apprenant à mobiliser plusieurs acquis qui ont fait l’objet d’apprentissages séparés c’est-à-

dire de l’amener à les intégrer et à les donner du sens » [5]. Autrement dit c’est une activité

d’apprentissage dans laquelle l’élève mobilise ses acquis de façon conjointe pour résoudre un

problème. Cela ne veut pas dire qu’on va résoudre tous les problèmes mais ici on l’apprend à

mobiliser ses acquis du cours face à une situation problème (on l’apprend à réagir devant un

problème) . Nous allons voir comment cela se passe dans les pratiques pédagogiques dans notre

contexte.

0.2. Apport des activités d’intégration

Etat des lieux

Au vue de la définition d’une activité d’intégration et de l’enquête menée auprès des ensei- gnants on se rend ainsi compte que ces activités sont faites dans leurs pratiques pédagogiques même s’ils ne les appellent pas ainsi. Le problème d’appropriation se pose parce que les activi- tés sont restreintes à une certaine combinaison de routine ; par exemple (90%) des enseignants combinent : les fonctions logarithmes avec les fonctions exponentielles, fonctions logarithmes avec les intégrales, les fonctions logarithmes avec les suites. Mais juste 30% des enseignants essayent de sortir parfois de cette routine en donnant des activités liant par exemple les lo- garithmes et la probabilité ; les logarithmes et les sciences physiques ; les logarithmes et un problème de la vie par exemple en économie.

Nous constatons que les enseignants insistent sur un type classique d’activité d’intégration parce qu’ils viseraient la réussite aux examens du fait du caractère classique des épreuves qui comportent presque les même types d’exercices. Le fait de restreindre les activités d’intégration n’amène pas ainsi les élèves à bénéficier de l’appropriation des connaissances qui constitue un des atouts de ces activités. Ceci permet de comprendre leurs réactions face aux activités non classiques(« ça vient à l’examen ? »).

On formerait ainsi les élèves pour réussir à leur examen et non pour atteindre les objectifs assignés par le progamme officiel sus-cité.

Nous allons montrer par la suite comment une ouverture du cadre de ces activités permettent l’appropriation des connaissances et donc l’atteinte des objectifs du programme officiel.

0.2.2 Fonctionnement d’ une activité d’intégration

Une activité d’intégration fonctionne selon diagramma ci-dessous

0.2.3 Quelques exemples d’activité d’intégration

Nous proposons ici quelques activités d’intégration. Nous avons fait cet activité dans le but

de montrer comment se déroule une activité d’intégration.

0.2. Apport des activités d’intégration

Activité d’intégration 0.2.1.

I.Le cycle de vie d’un produit

Le cycle de vie d’un produit est crée à partir du cycle de vie biologique.

Exemple : une graine est plantée (lancement) ; elle commence à germer (croissance) ; des feuilles apparaissent et la plante s’enracine plus en devenant adulte (maturité) ; après une période plus ou moins longue, elle commence à faner et finit par mourir (déclin)[9].

F

1 – Courbe du cycle de vie

Relier chaque phase à sa définition.

II. Étude mathématique de l’évolution des ventes

Une entreprise de fabrication de fournitures scolaire lance sur le marché un nouveau stylo

"success" au 1𝑒𝑟 Juillet 2013.

Selon les analyses internes, les prévisions de ventes sont regroupées dans le tableau ci-dessous.

0.2. Apport des activités d’intégration

temps( en mois) 0.5 1 2 3 4 5

Nombre de stylo vendus(milliers) 23 36 50 58 64 68

La phase de maturité est très importante car il faut utiliser les bénéfices pour préparer l’avenir : accompagner la fin du produit et préparer le lancement d’un nouveau produit.

Il est fondamental d’avoir une idée du début de cette phase.

Problématique :

Sur ce type de produit, la phase de maturité doit commencer quand la barre mensuelle des 90 millions stylos vendus est dépassée.

À partir de quel mois la phase de maturité doit-elle commencer ? 1. Proposer une méthode de résolution pour répondre à la question.

2. Ouvrir le fichier geogebra « success.ggb », représenter le nuage de points et faire des essais pour déterminer l’expression algébrique de la fonction 𝑓 la mieux adaptée pour ajuster ce nuage de points.

3. Recopier ci-dessous l’expression algébrique de la fonction 𝑓 trouvée.

4. En utilisant la représentation graphique de f, résoudre graphiquement l’équation 𝑓 (𝑥) = 90.

5. Déterminer alors le mois à partir duquel la phase de maturité doit commencer.

6. Montrer que l’équation 𝑓 (𝑥) = 90 peut s’écrire ln(𝑥) = 2, 7.

7. À partir du modèle de résolution des équations ln(𝑥) = 𝑏 de la fiche méthode, résoudre l’équation ln(𝑥) = 2, 7. Arrondir le résultat à l’unité.

8. Ce résultat est-il cohérent avec la réponse de la question 5 ?

9. Répondre alors à la problématique : à quel mois la phase de maturité doit-elle commen- cer ?

1.Exemple de déroulement

Notons dans cette activité que les élèves sont en groupe de 5.

Nous sommes dans une salle informatique ou nous avons installé le logiciel GeoGebra sur

0.2. Apport des activités d’intégration

chaque machine. Le fichier « success.ggb » est dans le dossier « activité » sur le bureau que nous avons préparé, nous disposons d’un vidéo-projecteur aussi.

Nous avons choisi cette activité puisque les enfants aiment travailler en jouant et sont beaucoup plus enthousiastes sur la machine.

Activité de l’enseignant Activité de l’apprenant

– Distribue l’énoncé du problème aux apprenants(il peut se faire aider par un apprenant).

– Circule entre les rangées ;

– Pose des questions pour conduire les apprenants en difficulté vers la bonne voie(Maïeutique socra- tique). Si possible renvoyer plusieurs fois les ques- tions des élèves vers leurs camarades et ne répondre qu’en dernier ressort.

– Désigne un élève par son nom et l’envoie au tableau pour expliquer une méthode.

– Fait critiquer la réponse par ses camarades.

– Résumé

– Vérifie que chaque apprenant a bien noté.

– Faire lire quelques apprenants dans leurs cahiers.

– Lis l’énoncé ; – Cherche,

– traite les questions ;

– Discute avec ses camarades de bancs ;

– Pose des questions.

– Part au tableau si possible sous l’ordre de l’enseignant.

– Répond aux questions et prend des notes

– Un élève note le contenu au ta- bleau. Recopie dans son cahier, et relie.

2. fiche d’évaluation de l’activité.

La fiche de l’évaluation permet à l’enseignant de de ressortir les compétences qu’il attend des apprenants.

Elle permet de mesurer le degré d’acquisition des compétences chez les apprenants.On peu y

ajouter une colonne pour la durée, mais l’essentiel est l’intégration des connaissances.Dans le

cadre de cette activité est de 90min.

0.2. Apport des activités d’intégration

Compétences Les attendus Questions Appréciation

du niveau d’acquisi- tion S’approprier L’élève reconnaît les définitions des phases de cycle

de vie d’un produit.

Il sait utiliser les valeurs du tableau des ventes.

𝐼 ; 𝐼𝐼.2

Analyser Rai- sonner

L’élève explicite les différentes étapes pour répondre à la problématique en utilisant un langage mathéma- tique adapté. Il détermine le mois à partir de la solu- tion graphique (émettre une conjecture).

𝐼𝐼.1 𝐼𝐼.6

Réaliser L’élève expérimente, en utilisant les curseurs et déter- mine l’expression de 𝑓(𝑥). (TICE)

Graphiquement, il trouve la solution de l’équation 𝑓 (𝑥) = 90 Il sait simplifier une expression pour ar- river à l’équation : ln(𝑥) = 2, 7.

𝐼𝐼.1 ; 𝐼𝐼.2 𝐼𝐼.3 𝐼𝐼.4 𝐼𝐼.5 𝐼𝐼.6 Valider L’élève est capable de résoudre par calcul l’équation

ln(x) = 2,7 à partir d’un modèle de résolution (contrô- ler la conjecture) Il sait comparer un résultat.

𝐼𝐼.7 𝐼𝐼.8

Communiquer L’élève fait une phrase complète, en utilisant les ré- sultats précédents, pour répondre à la problématique.

𝐼𝐼.9

/10

Solution de l’activité 2.2.1 I

– Lancement : Le produit est promu pour sensibiliser la clientèle. Si le produit ne connaît que peu ou pas de concurrence, une stratégie de prix d’entrée est utilisée. Un nombre limité de produits est disponible dans peu de chaînes de distribution.

– Croissance : Les concurrents sont attirés avec des offres similaires sur le marché. Le produit devient plus rentable. Les dépenses publicitaires sont élevées et l’on se concentre sur le développement de la marque. Les parts de marché tendent à se stabiliser et les bénéfices s’accroissent fortement.

– Maturité : Les ventes augmentent plus lentement et finissent par se stabiliser. Les produc-

teurs différencient leurs produits et les marques en sont le meilleur moyen. Une concur-

rence intensive est alors établie et c’est la guerre des prix. Le marché est saturé. Certains

producteurs quittent le marché à cause de leur trop faible marge.

0.2. Apport des activités d’intégration

– Déclin : Le marché est ici en ralentissement. Des produits novateurs sont lancés ou les goûts de la clientèle se modifient. Les prix doivent être rabaissés de telle sorte que beau- coup de produits doivent être retirés du marché.

II

1. A partir de la courbe passant par les points 𝑀 (Mois ;Ventes), on estime l’expression de la fonction correspondante, puis on trouve graphiquement l’antécédent de 90.

2. Dans geogebra on entre les données à partir du tableur et on valide et on obtient :

F

2 – nuage

F

3 – Courbe de f

N.B :La procédure de construction dans geogebra est decrite en annexe.

3. On obtient l’expression : 𝑓 (𝑥) = 20 ln 𝑥 + 36.

4. Résolution graphique.

Graphiquement on obtiens 𝑥 = 15.

5. La phase de maturité commence à partir du 15

mois.

6. 𝑓 (𝑥) = 90 ⇔ 20 ln 𝑥 + 36 = 90 D’où ln 𝑥 = 2.7

7. 𝑥 = 𝑒

≈ 14.87. En arrondissant à l’unité, on obtient 15.

8. Oui, ce résultat est cohérent avec la réponse de la question 5.

9. La phase de maturité doit commencer au 15

mois.

Activité d’intégration 0.2.2. [7]

On étudie l’évolution d’un échantillon d’argent 108 au cours du temps.

On rappelle que la loi de décroissance radioactive est donnée par la formule : 𝑁 (𝑡) = 𝑁

𝑒

;

où 𝑁

désigne le nombre de noyaux initiaux dans l’échantillon et 𝑁 (𝑡) est le nombre de noyaux

présnts dans l’échantillon à l’instant 𝑡. L’activité est le nombre de désintégration par unité de

temps et se calcul avec la formule : 𝐴(𝑡) = −

. On note 𝐴

l’activité à l’instant initial. A

s’exprime en désintégration par seconde c’est-à-dire Bq (Becquerel).

0.2. Apport des activités d’intégration

a) Exprimer l’activité 𝐴 en fonction du temps ( réponse 𝐴(𝑡) = 𝜆𝑁

𝑒

= 𝐴

𝑒

) b) Compléter le tableau de mesures suivant :

t(min) 0 0.50 1.0 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 𝐴(𝑏𝑞) 890 733 631 523 462 392 332 290 242 211 180 ln 𝐴

c) Tracer la courbe représentative de la fonction 𝑓(𝑡) = ln 𝐴.

d) En utilisant le graphe, déterminer la constante radioactive. En déduire la démie-vie.

Commentaire 0.2.1. Contenus mathématiques de l’exercice

∙ dérivation de la fonction exponentielle.

∙ La fonction logarithme népérien et la touche

ln

de la calculatrice.

∙ Les propriétés ln(𝑎𝑏) = ln 𝑎 + ln 𝑏 et ln 𝑒

= 𝑥 qui permet d’établir 𝑓 (𝑡) = −𝜆𝑡 + ln(𝐴

).

∙ La notion de fonction affine.

∙ La lecture graphique du coefficient directeur de la droite ( égal à −𝜆).

Ceci permet de voit lien entre le chapitre sur les fonctions logarithmes et la radioactivité.

Solution

a) Exprimons l’activité 𝐴 en fonction du temps.

On a : 𝐴(𝑡) = −

𝐴(𝑡) = −(−𝜆 × 𝑁

𝑒

) = 𝐴

𝑒

. b) Complétons le tableau de mesure :

t(min) 0 0.50 1.0 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 𝐴(𝑏𝑞) 890 733 631 523 462 392 332 290 242 211 180 ln 𝐴 6.79 6.59 6.44 6.25 6.13 5.97 5.80 5.66 5.48 5.35 5.19

Déduction de la constante radioactive.

La courbe obtenu est une droite affine d’équation 𝑦 = 𝑓 (𝑡). Nous avons 𝑓 (𝑡) = ln 𝐴 = −𝜆𝑡 + ln(𝐴

) car ln(𝑎𝑏) = ln 𝑎 + ln 𝑏 et ln 𝑒

= 𝑥.

La pente de cette droite est −𝜆. En choisissant convenablement deux points de cette droite par exemple 𝐸(2; 6.13) et 𝐼 (4; 5.48), on obtient

−𝜆 =

. Soit 𝜆 = 0.325

La demi-vie est donnée par 𝑇 =

D’où 𝑇 = 2.13𝑚𝑖𝑛. F

4 – Courbe de 𝑓 (𝑡) = ln 𝐴

0.2. Apport des activités d’intégration

Activité d’intégration 0.2.3. [12] On considère la fonction 𝑓 définie et dérivable sur l’intervalle [1; 7] par : 𝑓(𝑥) = 2𝑥

− 20𝑥 + 40 + 16 ln(𝑥).

1. Montrer que sa dérivée est donnée par 𝑓

(𝑥) =

𝑥

. Etudier le signe de 𝑓

(𝑥) sur [1; 7] et en déduire le tableau de variations de 𝑓 .

2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus .On arrondira à l’unité près.

x 1 2 3 4 5 6 7

f(x)

3. Représenter graphiquement la fonction 𝑓 dans un repère orthonormé (𝑂; 𝐼 ; 𝐽 ).

4. Un artisan fabrique entre 1 et 7 poupées de collections par jour. Le coût unitaire de fa- brication de 𝑥 poupées, exprimé en euros, est égal à 𝑓 (𝑥) (𝑥 est compris entre 1 et 7).

Combien faut-il produire de poupées pour que le coût unitaire de fabrication soit mini- mal ? Quel est ce coût minimal ?

5. Le prix de vente d’une poupée est de 20 euros. Par lecture graphique, déterminer combien de poupées l’entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice.

0.2.4 Apport des activités d’intégration

GRIMAND A. définit l’appropriation comme « le processus par lequel des individus, dési- reux et capables de le faire, acquièrent des connaissances, en font sens en les rendant propres à un usage, celui-ci étant susceptible de s’incarner dans une variété de registres : aide à la déci- sion, apprentissage, instrument de pouvoir, légitimation de l’action [6]. Les activités d’intégra- tion par leurs caractéristiques apportent de nombreux éléments pour permettre l’appropriation d’une connaissance. Ces caractéristiques sont énoncés par BOURAFA [5].

1. Une activité d’intégration est une activité orientée vers une compétence ou un objec- tif d’intégration terminal .

Par exemple dans l’activité 2.2.1 voici quelques compétences qui pourront être illustrées : réaliser, valider, communiquer

– Réaliser : L’élève expérimente, en utilisant les curseurs et détermine l’expression de 𝑓 (𝑥). (TICE)

Il sait remplir un tableau de variation.

Graphiquement, il trouve la solution de l’équation 𝑓 (𝑥) = 90. Il sait simplifier une expression pour arriver à l’équation : ln(𝑥) = 2, 7.

– Valider : L’élève est capable de résoudre par calcul l’équation ln(x) = 2,7 à partir d’un modèle de résolution (contrôler la conjecture)

Il sait comparer un résultat.

0.2. Apport des activités d’intégration

– Communiquer : L’élève fait une phrase complète, en utilisant les résultats précédents, pour répondre à la problématique.

Apport

Les compétences permettent de donner l’aptitude et la démarche c’est-à-dire comment on procède pour parvenir à la résolution des problèmes. Lorsqu’elles sont mises sur pied, et qu’elles sont bien suivies, elles conduisent à l’usage des savoirs dans la résolution de ces problèmes qui est un élément fondamental de l’appropriation.

2. Une activité d’intégration est une activité qui doit amener l’apprenant à mobiliser un ensemble de ressources.

Par exemple dans l’activité 2.2.1 l’élève mobilise les ressources suivantes : – La résolution des équations comportant ln,

– l’utilisation du curseur dans geogebra pour approximer une courbe et son équation ; – comparaison des résultats .

Apport

Elle permet de voir comment agencer les différentes ressources pour parvenir à la réponse.

Elle montre aussi comment on peut construire un raisonnement logique à partir des outils mobilisés. Ceci est très important dans l’appropriation du savoir dans la mesure où si on peut posséder des ressources et qu’on ne sache pas comment les mettre ensemble, on aura d’énormes difficultés pour résoudre le problème.

3. Une activité d’intégration est une activité qui possède un caractère significatif. Elle doit être la plus proche de l’environnement de l’élève.

L’activité 2.2.1 porte sur la vente du stylo ; on veut déterminer la date du début de la pé- riode de maturité qui est très important pour l’entreprise qui à cette période va engranger des bénéfices pour préparer le lancement du nouveau produit. Cela est intéressant pour l’élève car il peut être appelé par l’entreprise pour mener ces travaux dans le cadre d’un stage de vacances.

Apport

Du fait que l’activité soit proche de l’environnement de l’élève lui permet de faire un lien entre les savoirs acquis et les problèmes de la vie. Elle lui permet de comprendre que les notions que l’on enseigne lui permettent de résoudre les problèmes qu’il rencontre. Ce qui le motive à faire face à d’autres problèmes de ce genre puisqu’il voudra se rassurer de l’appropriation qu’il s’est faite des fonctions logarithmes.

4. Une activité qui est articulée autour d’une situation nouvelle. Sinon il s’agira de repro- duction, cependant elle doit être choisi au sein de la famille de situation qui définit les compétences.

Apport

C’est ce caractère de nouvelles situations qui fait à ce que les élèves bénéficient des atouts

0.3. Quelques activités d’intégration sur les fonctions logarithmes.

des activités d’intégration pour la facilitation de l’appropriation. S’il n’y a pas de situa- tions nouvelles, on va rentrer dans la routine et le même problème surgira.

Quand les activités sont faites de façon régulière, elles permettent aux élèves de ne plus oublier les connaissances acquises pendant le cours. L’activité d’intégration est donc un facteur qui facilite l’appropriation des connaissances ; il n’en demeure pas moins vrai que l’on rencontre quelques difficultés dans son exercice.

0.2.5 Difficultés rencontrées dans la pratique des activités d’intégration

– Le temps : avec les programmes qui sont de plus en plus surchargés, il n’est pas évident de trainer sur ces genres d’activités et terminer les programmes car elles demandent assez de temps dans l’écoute des élèves.

– Le déroulement n’est pas généralement facile avec des effectifs pléthoriques, le manque de matériels didactiques et des salles spécialisés qui ne favorisent pas ce type d’activité ; car dans notre pays l’enseignement expérimental a des difficultés pour s’installer dans l’enseignement secondaire général.

– Dans la conception : c’est une activité qui demande une connaissance dans d’autres disci- plines ; il n’est pas parfois évident de concevoir des activités appropriées qui lie la notions enseignée avec la réalité des apprenants ([10]).

Nous présentons ici des domaines avec quelques activités qui permettrons aux enseignants de concevoir des activités d’intégrations proche de l’environnement des élèves de Terminale D.

0.3 Quelques activités d’intégration sur les fonctions loga- rithmes.

0.3.1 Dans le domaine acoustique

Mesure du son [9] Pour qu’un bruit chatouille notre oreille, il faut que le pavillon, organe interne de l’oreille, réussisse à en capter une quantité suffisante. Cette quantité est appelée in- tensité sonore noté 𝐼. Elle dépend de la puissance de la source sonore et de l’aire sur laquelle on capte le bruit. Elle s’exprime en 𝑤𝑎𝑡𝑡/𝑚

. Il y a un seuil en dessous duquel nous sommes sourds. C’est le seuil d’audibilité. On note 𝐼

l’intensité du son le plus faible.

A l’opposé, quand un bruit devient trop intense,on approche un nouveau seuil, le seuil de dou- leur. On l’évalue à mille milliards de fois l’intensité minimum audible. On note 𝐼

l’intensité du son le plus fort. Il y a un rapport de 10

entre 𝐼

et 𝐼

, ainsi notre oreille travaille sur une échelle très étendue d’intensités.

D’autre part, selon la loi de Weber et Frechnet en psychologie expérimentale, si l’intensité d’une

0.3. Quelques activités d’intégration sur les fonctions logarithmes.

excitation sensorielle (son, poids, lumière,...)coît en progression géométrique, la sensation per- çue par l’organe de sens concerné croît en progression arithmétique.

Considérons entre les deux intensités 𝐼

et 𝐼

une série de sons en progression géométrique de raison 10. Les sensations perçues seront elles en progression arithmétique. Pour cela on a choisi une échelle de sons et une unité d’acoustique appelée BEL définie de manière à ce qu’au minimum de l’échelle corresponde zéro bel et au maximum 12 bels.

Ainsi, à un son de 10

fois plus que le minimum correspond 5 bel. bels.

Si 𝑆 représente le niveau sonore exprimé en bels,𝐼 l’intensité du son mesuré et 𝐼

l’intensité du seuil d’audibilité pour l’oreille humaine, nous avons : 𝑆(𝑒𝑛) = log(

0

).

En pratique, le bel est un unité trop grande. C’est pourquoi, on utilise généralement le déci- bel(db)qui est le dixième du bel. Les sons audibles s’étalent donc de 0 à 120 décibels.

Soit 𝐼

l’intensité minimum audible. Alors à un son de 𝑥 bels correspond une intensité de 10

𝐼

et à une intensité de 𝑥 décibels correspond une intensité 10

𝐼

.

En résumé : Si 𝑆 représente le niveau sonore exprimé en decibels, 𝐼 l’intensité du son mesuré et 𝐼

l’intensité du seuil audible pour l’oreille humaine :

S(en décibels)=10 log(

0

) .

N.B : 𝐼

= 10

𝑤𝑎𝑡𝑡/𝑚

et 𝐼

= 1𝑤𝑎𝑡𝑡/𝑚

Une intensité de 10

𝑤𝑎𝑡𝑡/𝑚

correspond donc à environ 70𝑑𝑏.

Activité[12]

1. Une conversation a une intensité de 10

𝐼

. Quel est son niveau sonore ?(Rp : 60𝑑𝑏) 2. A quelle intensité correspond un niveau sonore de 120𝑑𝑏 ? (Rp : 10

𝐼

)

3. Une discothèque possède une sono dont la puissance amène un niveau sonore de 90𝑑𝑏 dans la salle. Elle projette d’en acheter une seconde identique. Les voisin protestent : "ils sont fous ces jeunes, 180𝑑𝑏 Qu’en pensez vous ? (Rp :∆𝑆 = 3, 01𝑑𝑏)

4. Au festival de musique, les sonos donnent à plein régime :110𝑑𝑏 au premier rang à 10𝑚.

(a) Quel est le niveau sonore au vilage voisin à 500 m ?

(b) De quelle distance faut-il s’éloigner pour que le niveau sonore tombe à 60𝑑𝑏 ? (Rp :𝑎)76, 02𝑑𝑏𝑏)3162, 27𝑚).

N.B : l’intensité est inversement proportionnelle au carré de la distance.

0.3.2 En sismologie

La notion de magnitude a été introduite en 1935 par Charles Francis Richter (1900−1985) en vue d’établir une échelle conventionnelle permettant de comparer entre eux les séismes locaux de Californie. Richter définit la magnitude d’un séisme d’intensité 𝐼 par la formule :

𝑀 = log(

0

) où 𝐼

est l’intensité d’un séisme de référence.[13]

Activité

0.3. Quelques activités d’intégration sur les fonctions logarithmes.

1. Placer sur l’échelle Richter les séisme : (a) San Francisco(1906),𝐼 = 1, 78 × 10

𝐼

(b) Los Angeles(1971),𝐼 = 5, 01 × 10

𝐼

2. Quelle est l’intensité d’un séisme de magnitude égal à 3 ? Solution

1. Il s’agit de calculer les magnitudes à fin de les placer sur l’échelle Richter.

(a) San Francisco : 𝑀

= log(

0

) = 8, 25 (b) Los Angeles : 𝑀

= log(

0

) = 6, 70.

2. Il faut résoudre l’équation d’inconnue 𝐼 : 3 = log(

0

) (1)

(1) signifie que 10

=

0

. D’où 𝐼 = 10

𝐼

. Activité[12]

1. Le 26 décembre 2003, un séisme d’intensité 3, 16 fois plus petite que celui du Japon du 23 octobre 2004 (magnitude 6, 8) secouait le sud-est de l’Iran. Quelle était la magnitude de celui-ci ? (Rp :6, 3)

2. L’énergie 𝐸 (en joules)libérée au foyer du séisme est liée à la magnitude par la formule log 𝐸 = 𝑎 + 𝑏𝑀 (𝑎 et 𝑏 étant deux constantes). Déterminer 𝑎 et 𝑏 sachant qu’un séisme de magnitude 8

met en jeu environ 3000 fois plus d’énergie qu’un séisme de magnitude 5, lui-même libérant une énergie de 0, 2 × 10

joules. (Rp : 𝑎 =

+ log 2 ; 𝑏 =

)

0.3.3 En astronomie.

Activité [12]

La magnitude apparente d’un astre d’éclat 𝐸 est définie à partir d’un éclat de référence 𝐸

par 𝑀 = log

(

0

) avec la convention : la magnitude augmente de 5 lorsque l’éclat est divisé par 100. Dans ce cas la magnitude augmente lorsque l’éclat diminue.

1. Calculer ln 𝑎.

2. Déterminer la magnitude apparente des astres : Soleil : 𝐸 = 4, 786.10

𝐸

Lune : 𝐸 = 1, 2.10

𝐸

Vénus : 𝐸 = 43, 65𝐸

Sirus : 𝐸 = 3, 87𝐸

.

0.3. Quelques activités d’intégration sur les fonctions logarithmes.

N.B Sirus est une des étoiles les plus visibles. On admet que le seuil de visibilité d’une étoile correspond à une magnitude égale à 6. Une étoile ayant une magnitude égale à 6 est à peine visible, tandis qu’une étoile ayant une magnitude égale 1 se situe parmi les étoiles les plus visibles. Les planètes encore plus visibles, ont une magnitude négative.

solution 1) ln 𝑎 = −0, 921

2) Soleil :−26, 70 ; Lune :−12, 70 ; Vénus :−4, 10 ; Sirus :−1, 47.

0.3.4 Chimie

Activité

1. L’acidité d’une solution est mesurée par son 𝑝𝐻 , 𝑝𝐻 = − log[𝐻

𝑂

] où [𝐻

𝑂

] dé- signe la concentration (en mol par litre) d’ions 𝐻

𝑂

. Cette concentration est très voi- sine de 0, et son logarithme décimal est un nombre négatif. Toute solution aqueuse contient simultanément des ions 𝐻

𝑂

et des ions 𝑂𝐻

.On vérifie expérimentalement qu’à 25°𝐶 le produit [𝐻

𝑂

] × [𝑂𝐻

] est constant et égal à 10

et que pour l’eau pure à 25°𝐶 :[𝐻

𝑂

] = [𝑂𝐻

].

Quel est le 𝑝𝐻 de l’eau pure à 25°𝐶 ?

2. Une solution est acide si son 𝑝𝐻 est strictement inférieure à 7 et basique si le 𝑝𝐻 est strictement plus supérieur à 7. La concentration en ions 𝐻

𝑂

d’une tasse de café est de 0, 00005 et celle d’une eau de lessive est 10

.

3. Déterminer leur 𝑝𝐻 .

4. Donner la solution acide et la solution basique.

5. Le 𝑝𝐻 d’une solution est 2. Quelle est la concentration en ions 𝐻

𝑂

? Que devient cette concentration si le 𝑝𝐻 après dilution augmente de 1 ? ( ;[3])

0.3.5 En économie

Activité

temps de doublement d’un capital Un capital de 𝐶

= 100000𝐹 est placé à intérêts composés à un taux de 5% par an le 1

janvier 2014. Déterminer en quelle année la valeur acquise par le capital doublera -t-il ?

On sait que : 𝐶 = 𝐶

(1, 05)

avec n la durée du placement et on calcule n pour 𝐶 = 2𝐶

,

puis on ajoute n à 2014 pour trouver l’année.[12]

0.3. Quelques activités d’intégration sur les fonctions logarithmes.

Activité

Une voiture est achetée neuve à 12000 euro. On estime que sur la marché de l’occasion, elle perd 20% de sa valeur par an.A partir de combien d’années sa valeur sera t-elle inférieure à 40% de sa valeur initiale ?

0.3.6 En biologie

Activité

Les naturalistes qui se sont intéressés aux lapins de l’île de la fécondité ont fait une observation très remarquable :

– Toutes les femelles donnent naissance exactement à une portée de lapereaux par an et fait extrêmement remarquable, la mise-bas a lieu exactement le 14 février de l’année ! – Chaque portée contient exactement 3 femelles

– Chaque femelle donne l’année qui suit sa naissance une portée de lapereaux (qui contient exactement trois femelles ...[12])

1. Les femelles ont une espérance de vie supérieur à 30 ans. En partant d’une femelle qui est enceinte d’une portée de lapereaux en l’an 2000, déterminer le nombre de femelles nées en 2001, 2002, 2005, 2010 et 2020.

2. Combien d’années sont nécessaires afin que la population de lapines soit au moins de

300 ?

♣ Conclusion générale ^♣

Notre travail a commencé par un cours sur les fonctions logarithmes que nous avons proposé pour

Nous avons remarqué à travers l’enquête et les expériences sur le terrain que les élèves des classes de terminale sciences expérimentales (terminale D) ont des difficultés à mobiliser leurs acquis sur cette notion pour résoudre les problèmes dans d’autres disciplines et dans la vie. Ces difficultés se sont manifestés par leurs réactions. Nous avons relevé à travers l’enquête auprès des enseignants que cela provient du fait que les activités organisées jusqu’ici dans les pratiques de classe sont trop classiques.

Pour résoudre ce problème nous avons proposé de revoir la façon de mener les activités d’intégration. A travers ses caractéristiques il ressort que ces activités apprennent aux élèves comment mobiliser leurs acquis face à un problème qu’ils n’ont pas l’habitude de le rencontrer.

Nous avons aussi proposé des situations à travers les applications des fonctions logarithmes qui peuvent aider les enseignants à concevoir les activités d’intégration.

Par cette appropriation nous pensons nous rapprocher des objectifs du programme officiel.

Ce travail vise à améliorer les activités déjà faites par les enseignants jusqu’ici pour atteindre les objectifs du programme officiel de mathématiques au second cycle. Nous souhaitons que les activités d’intégration se fassent de façon régulière, par exemple à la fin de chaque semaine ou à la fin d’une séquence pédagogique. Il est également souhaitable que ces activités se fassent dans d’autres disciplines d’une même classe.

Les activités d’intégration permettent d’établir le lien entre les fonctions logarithmes et la

vie courante, ce qui susciterait une meilleure motivation intrinsèque chez les apprenants. A la

fin de ce travail nous déplorons le fait que nous n’avons pas pu faire suffisament les activités

d’intégration dans la pratique de classe pendant le stage. Nous souhaitons le mettre en pratique

dès que nous serons sur le terrain. Il est vrai que les activités d’intégration permettent d’atteindre

l’objectif mais il n’en demeure pas moins vrai que sa pratique dans les salles de classe présente

des difficultés d’ordre temporelles. Il y a aussi le manque de matériels et des salles spécialisées

ainsi que les problèmes dans la conception.

♣ Bibliographie ^♣

Bibliographie

[1] ATSAGMO S., Les Fonctions logarithmes en Terminale 𝐶, Mémoire de Di.P.E.S II, 2013

[2] SIMO Emmanuel et al MATHMATIQUES TERMINALE-SMCollection EMA [3] SIMO Emmanuel et al, Physique Terminale SM, EMA, 2007

[4] http ://www.apprendre-en-ligne.net/MADIMU2/FONCT/FONCT5.PDF, Avril 2014 [5] http ://fledz.blogspot.com/2008/03/lactivit-dintgration.html, Mai 2014

[6] http ://librairie.immateriel.fr/fr/readbook, Juin 2014

[7] http ://www.2-Lien2Logarithmespourlephysicien.pdf, Mai 2014

[8] www.gilles.costantini.pagesperso-orange.fr, Mai 2014 [9] www.borlon.net/maths/lecture.php, avril 2014

[10] Magazine de Recherches Educatives pour le Développement Durable, EDUC-AVENIR, 2007.

[11] Decret 𝑁

53/𝐷/43𝑀 𝐼𝑁 𝐸𝐷𝑈 𝐶/𝑆𝐺/𝐼𝐺𝑃 du 12/08/1998

[12] http ://www.apprendre-en-ligne.net/MADIMU2/FONCT/FONCT5.PDF, Avril 2014

♣ ANNEXES ^♣

ANNEXE 1 :Enquêtes

ANNEXE 2 : Procédure de construction du nuage

ENQUETE SUR L’ENSEIGNEMENT DES FONCTIONS LOGARITHMES : « Activités de résolution de problèmes »

Ce questionnaire s’adresse aux enseignants de mathématiques en classe de Terminale que vous êtes. Notre enquête vise à cerner le type d’activités que vous de développez chez vos élèves pour les rendre aptes à la résolution des problèmes dans d’autres parties du programme et dans d’autres disciplines ou dans la vie.

1- Etes-vous enseignant de mathématiques dans une classe de terminale?

oui non

NB : sinon ne continuez plus !

2- Dans le cours sur les fonctions logarithmes, avez-vous l’habitude de faire des activités qui mobilisent plusieurs notions en mathématiques et/ou d’autres disciplines ?

oui non

a) Si oui citez les thèmes que vous associez aux fonctions logarithmes dans les exercices.

______________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

b) Sinon dites pourquoi

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

ANNEXE 1 : Enquêtes

1. Affichage 2. Tableur

3. Entrer temps en colon A et colon B (nombre de vente) 4. Dans le menu ci-contre

5. cliquer sur céer les points

Cliquer sur créer

ANNEXE 2

Procédure de construction du nuage