Intégrale stochastique Exercices
Exercice 10.1. Démontrer que la dé…nition de l’intégrale stochastique pour les processus simples ne dépend pas de la représentation choisie.
Exercice 10.2. Construire l’intégrale stochastique par rapport à la ( ; F ; F ; P ) martingale f M
t: t 0 g telle que E
P[M
t2] < 1 , 8 t 0:
Exercice 10.3. Dé…nition de l’intégrale stochastique par rapport au processus de Poisson.
A…n de pouvoir intérprétez nos résultats, nous supposerons que les événements modélisés à l’aide du processus de Poisson sont des versements de dividendes. Au temps t, nous aurons reçu N (t) versements.
a) Nous appelons X un processus stochastique de base si X admet la représentation
X
t(!) = C (!) I
(a;b](t) (1)
où a < b 2 R et C est une variable aléatoire F
amesurable de carré-intégrable, c’est-à-dire que E
P[C
2] < 1 . Nous interprétons la variable aléatoire X
tcomme étant le montant versé en dividendes si il y a un dividende versé à l’instant t. Dans le cas des processus de base, il pourrait y avoir des versements de dividendes d’un montant nul!
En imitant la construction de l’intégrale stochastique par rapport au mouvement brown- ien, construisez l’intégrale stochastique par rapport au processus de Poisson. Interprétez cette intégrale en termes …nanciers.
b) Est-ce que nR
t0
X
sdN
s: t 0 o
est un processus adapté ? une martingale ? Jus- ti…ez votre réponse.
c) Justi…ez que pour les processus de base, Z
10
X
sdN
s= C le nombre d’événements qui se sont produits pendant la période de temps (a; b]
d) Maintenant, X représente le processus simple f X
t: t 0 g où
X
tX
ni=1
C
iI
(ai;bi](t) :
Construisez l’intégrale stochastique d’un processus simple par rapport au processus de Pois-
son.
e) Supposons que 0 a
1< b
1a
2< b
2::: a
n< b
n. Interprétez Z
T0
X
ni=1
C
iI
(ai;bi](s)
! dN
s:
f ) Maintenant, X représente un processus prévisible. Justi…ez intuitivement, en quelques mots, pourquoi
Z
t 0X
sdN
sX
1Tn=1n t
X
Tn:
Une démonstration rigoureuse est au-delà des objectifs de ce cours. Interprétez cette inté- grale dans le cadre des versements de dividendes.
Exercice 10.5. Soit f M
t: t 0 g et f N
t: t 0 g deux martingales construites sur l’espace probabilisé …ltré ( ; F ; fF
t: t 0 g ; P ). Si a et b sont des constantes et que
Z
t= aM
t+ bN
t, t 0 alors montrez que Z
t0
X
sdZ
s= a Z
t0
X
sdM
s+ b Z
t0
X
sdN
slorsque
a) f X
t: t 0 g est un processus de base b) f X
t: t 0 g est un processus simple c) f X
t: t 0 g est un processus prévisible
Exercice 10.6. Soit M , un ( ; F ; fF
t: t 0 g ; P ) processus stochastique et Y
t=
Z
t 0H
sdM
soù H est un processus prévisible.
a) Montrez que si X et H sont des processus de base, alors Z
t0
X
sdY
s= Z
t0
X
sH
sdM
sb) Étendre le résultat dans le cas où X et H sont des processus de simple.
c) Utiliser la limite pour le cas où X et H sont des processus prévisibles.
Exercice 10.7. Utilisez le résultat de l’exercice 10.6 a…n de montrer que si Y
t=
Z
t 0K
sds + Z
t0
H
sdW
s2
où W est un ( ; F ; fF
t: t 0 g ; P ) mouvement brownien, alors Z
t0
X
sdY
s= Z
t0
X
sK
sds + Z
t0
X
sH
sdW
set Z
t0
X
sd h Y i
s= Z
t0
X
sH
s2ds
où X est un processus prévisible.
Les solutions
1 Exercice 10.3
a) Z
t0
X
sdN
s= C (N
t^bN
t^a)
C’est le montant reçu en dividende pendant la période de temps (0; t].
b) Non, ce n’est pas une martingale. En e¤et, prenons t > b. Dans ce cas
E Z
t0
X
sdN
s= E [C (N
t^bN
t^a)]
= E [C (N
bN
a)]
= E [CE [N
bN
ajF
a]]
= E [CE [N
bN
a]]
= E [CE [N
b a]]
= E [C] (b a)
6
= 0
= E Z
00
X
sdN
sc) Z
10
X
sdN
s= C (N
bN
a)
| {z }
le nombre d’événements qui se sont produits pendant la période de temps(a;b]
d) Z
t0
X
sdN
s= X
ni=1
C
i(N
t^biN
t^ai)
e) Z
T0
X
sdN
s= X
ni=1
C
i(N
T^biN
T^ai)
| {z }
le nombre d’événements qui se sont produits
pendant la période de temps(T^ai;T^bi]
4
Puisque C
ireprésente le montant versé s’il y a versement de dividendes pendant la période (a
i; b
i], R
T0
