4 Propriétés de l’intégrale

Intégrales et primitives

1 Aire sous une courbe

Soit f une fonctioncontinue et positivesur un intervalle[a,b]etC_f sa courbe représen- tative. La mesure de l’aire, en u.a., sous la courbeC_f entre les abscissesaetbest donné par : A =

Z _b

a f(t)dt. ^{1 u.a}

Z_b a f(x)dx O

C_f

I J

a b

2 Primitives

Théorème fondamental Soit une fonctionf continue et positive sur un intervalle[a,b]. La fonctionFdéfinie par : F(x) =

Z _x

0 f(t)dt est dérivable sur[a,b]etF^′ = f

Primitives

• Fest une primitive de f sur un intervalle I siFest dérivable et si

∀^x ∈^{I, on a : F′}(x) = f(x)

• SiF0est une primitive de f sur un intervalle I alors toutes les pri- mitives de f sur I sont de la forme : F(x) = F0(x) +CoùCest une constante réel.

• Il existe une unique primitive Fde f sur un intervalle I telle que pour les réelsx0ety0, on a : F(x0) =y0

• Toute fonctioncontinuesur un intervalle Iadmet des primitives.

SiFest une primitive quelconque d’une fonction f continue sur un intervalle I, alors pour tous réelsaetbde I on a :

Z _b

a f(x)dx =F(x)^b_a =F(b)−^F(a)

3 Calcul de primitives

Fonction Primitive Intervalle

f(x) =k F(x) =kx R

f(x) =x F(x) = ^x

2

2 R

f(x) =xⁿ F(x) = ^x

n+1

n+1 R

f(x) = ¹

x F(x) =ln|x| ^R∗+ouR∗

−

f(x) = ¹

xⁿ n6=1 F(x) =−(n−1¹)xⁿ⁻¹ R∗+ouR∗

−

f(x) = √¹

x F(x) =2√

x R∗+

f(x) =sinx F(x) =−^{cosx R}

f(x) =cosx F(x) =sinx R

f(x) =e^x F(x) =e^x R

Primitve de la somme R

(u+v) =R u+R

v Primitive du produit par un réel R

(ku) =kR u

Primitive de u^′uⁿ R

u^′uⁿ= ^u

n+1

n+1 Primitive de u^′

u

R u^′

u =ln|u|

Primitive de u^′

uⁿ n6=1 R u^′

uⁿ =−(n−1¹)uⁿ⁻¹ Primitive de u^′

√u

R u^′

√u =2√ u

Primitive de u^′e^u R

u^′e^u=e^u Primitive de u(ax+b) R

u(ax+b) = ¹

aU(ax+b)

PAULMILAN DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 mars 2016 à 9:42 TERMINALES

4. PROPRIÉTÉS DE L’INTÉGRALE

Recherche d’une primitive

Pour les fonctions usuelles, on utilise directement les formules.

Pour autres fonctions, il faut d’abord identifier la forme qui ressemble le plus à la fonction. Si on a la forme exacte, on utilise directement la formule corres- pondante. Dans le cas contraire, on écrit la forme exacte qu’il faudrait pour la fonction f et on rectifie en multipliant par le coefficient adéquat.

Exemple : : Soit f définie sur]−^2;+∞[par f(x) = ¹ (3x+6)² On pense à la forme u^′

uⁿ avecn=2 dont une primitive est −¹ u . On écrit f(x) = ¹

3× (3x+³ 6)^2.

Une primitive de f sur]−^2;+∞[est doncFdéfinie parF(x) =−¹₃ ×_3x¹+6 Soitgdéfinie sur]0;+∞[parg(x) = ^lnx

x

La fonctiongest de la formeu^′udonc une primitive est 1

2u²d’oùG(x) = ^ln

2x 2 Calcul d’intégrale

Exemple : Z _e

1

lnx x dx =

"

ln²x 2

#e

1

= ^ln

2e 2 −^ln

21 2 = ¹

2

4 Propriétés de l’intégrale

• Z _a

a f(x)dx=0 et ^{Z a}

b f(x)dx =−

Z _b

a f(x)dx

• relation de Chasles Z _c

a f(x)dx =

Z _b

a f(x)dx+

Z _c

b f(x)dx

• Linéarité Z _b

a (a f(x) +bg(x))dx =a Z _b

a f(x)dx+b Z _b

a g(x)dx

Sur un intervalle[a,b]

• Si f(x)>_{0 alors}

Z _b

a f(x)dx>₀

• Si f(x)> _g(x) alors ^{Z b}

a f(x)dx>

Z _b

a g(x)dx

• Inégalité de la moyenne :

Sim6 _f(x)6_{M alors m}(b−^a)6

Z _b

a f(x)dx6 _M(b−^a)

Valeur moyenne

Si f est continue sur [a;b], la valeur moyenne µde f sur [a;b] est égale à :

µ= ¹ b−^a

Z _b

a f(x)dx

PAULMILAN TERMINALES