MS 204 – DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES:ONDES ET VIBRATIONS
Contrôle de connaissances
Lundi 4 Novembre 2013 – Durée : 3 heures
N.B. : Documents autorisés : polycopié de MS204, notes, textes et corrigés des PC. Le contrôle est composé de deux problèmes et d’un exercice indépendants. Les vecteurs sont notés avec des caractères gras.
Problème 1 : Vibrations de poutres droites, effets d’ordre supérieur
1. On considère une poutre droite, de section rectangulaire d’épaisseurhet de largeurb, composée d’un matériau élastique linéaire isotrope de module d’YoungEet de masse volumiqueρ. La poutre est supposée infinie et les hypothèses d’Euler-Bernoulli sont vérifiées. Rappelez l’équation de propagation des ondes longitudinales (ondes de traction-compression). Le milieu est-il dispersif ? Donnez la vitesse de phase associée. Application numérique : donnez la vitesse de phase pour un acier de module d’YoungE=2.1011Pa et de masse volumiqueρ=8000 kg.m−3.
2. On considère désormais les ondes de flexion au sein de cette même poutre. Rappelez l’équation de propagation, donnez la relation de dispersion ainsi que la vitesse de phase en fonction deE,ρ, hetkle nombre d’onde.
3. Représentez les deux vitesses de phase sur une même figure en fonction de k. Pour quelle longueur d’onde la vitesse des ondes de flexion devient-elle supérieure à celle des ondes longitu- dinales ? Le modèle de poutre est-il alors toujours adapté ?
4. On suppose désormais que l’épaisseur de la poutre est variable : h(x), et ces variations sont supposées lentes si bien que l’on pourra négliger les dérivées spatiales deh(h′(x)≪1). Rappelez l’équation de propagation des ondes de flexion avec section variable et donnez la vitesse de phase associée. Que se passe-t-il si l’épaisseur tend vers zéro ?
5. On revient au cas de la section constante. Rappelez quelques-unes des limitations du modèle d’Euler-Bernoulli aux hautes fréquences. Pour pallier ces problèmes, on peut utiliser le modèle de Rayleigh qui tient compte de l’inertie de rotation des sections. En notantw(x, t)le déplacement transverse, l’équation de propagation s’écrit pour ce modèle :
ρS∂2w
∂t2 +EI∂4w
∂x4 −ρI ∂4w
∂x2∂t2 = 0.
Donnez la relation de dispersion ainsi que la vitesse de phase que l’on notera cR. Donnez les équivalents de cR lorsque k −→ 0, k −→ ∞, représentezcR en fonction k et comparez avec le résultat trouvé pour le modèle d’Euler-Bernoulli.
6. Le modèle de Timoshenko est le modèle de poutre le plus complet, en plus de l’inertie de rotation il prend aussi en compte le cisaillement. Il s’écrit :
ρS∂2w
∂t2 +EI∂4w
∂x4 + ρ2I µ
∂4w
∂t4 −ρI
1 + E µ
∂4w
∂x2∂t2 = 0,
1
où µest le module de cisaillement du matériau constituant la poutre. Comment retrouve-t-on le modèle de Rayleigh à partir du modèle de Timoshenko ? Donnez un sens physique à cette opéra- tion. Écrivez la relation de dispersion du milieu. Àωfixé, montrez que les nombres d’ondes sont solution de :
k2±= 1 2EI
ρIω2
1 + E
µ
±√
∆
, où∆est un discriminant que l’on explicitera.
7. Faites apparaître une fréquence limite ωlim qui sépare deux régimes différents, et que l’on exprimera en fonction deµ,ρeth. Expliquez les différentes ondes qui existent au sein de ces deux régimes.
8. En notantλla longueur d’onde associée à la vitessec=p
µ/ρ, déterminez la longueur d’onde limiteλlimassociée à la fréquenceωlim. Commentez.
9. Montrez que, lorsqueω −→ 0, les nombres d’onde propagatifs sont associés à une vitesse de phase qui tend vers la vitesse de phase des ondes de flexion du modèle d’Euler-Bernoulli.
10. Lorsque ω −→ ∞, on trouve deux vitesses de phase correspondant à deux types d’ondes propagatives différentes qui coexistent aux hautes fréquences pour le modèle de Timoshenko. Cal- culez les équivalents pourω −→ ∞de ces deux vitesses de phase. Commentez le résultat obtenu.
11. On considère désormais que la poutre est de taille finie, de longueurL, et on s’intéresse aux vibrations longitudinales de cette poutre finie. On suppose que les bords sont libres en x = 0 et x = L, ce qui signifie que l’effort normalES∂X∂x s’annule (oùX(x, t)représente le déplacement longitudinal). Calculez les modes normaux de ce système et précisez les pulsations propres as- sociées. Application numérique : donnez la valeur de la première fréquence propre (en Hz) pour E=2.1011Pa,ρ=8000 kg.m−3, etL= 10m.
12. On s’intéresse aux vibrations de flexion de cette poutre de longueurL (sous les hypothèses d’Euler-Bernoulli), pour laquelle on suppose que les conditions aux limites sont rotulées (ou sim- plement supportées). Calculez les modes normaux du système et donnez les pulsations propres associées. Quelle relation doit-on observer entre l’épaisseur et la longueur pour que les premières fréquences propres des mouvements longitudinaux et transverses soient égales ? Commentez.
Problème 2 : Formation et stabilité des vagues
Cet exercice a pour but de donner un critère de stabilité montrant que pour une vitesse de vent donnée V, il existe une longueur d’onde minimale à partir de laquelle peuvent se former des vagues à la surface de l’eau. On considère donc, comme représenté sur la figure ci-dessous, un liquide incompressible de masse volumiqueρ2occupant le demi-espace infiniy <0surmonté d’air de masse volumiqueρ1 occupant le demi-espacey > 0. On suppose le problème bidimensionnel.
L’air est animé d’un mouvement de translation rectiligne (vent horizontal uniforme et stationnaire) de vitesseV=Vex. La gravité est prise en compte.
ξ(x,t)
ρ1 ρ2
V g
x y
2
On noteP0 la pression à l’interface, que l’on considère animée d’une perturbation périodique de la formeξ(x, t) =ξ0ei(kx−ωt), dont l’amplitudeξ0est petite devant la longueur d’onde :ξ0 ≪λ.
1. On s’intéresse d’abord à l’air (région y > 0) et l’on suppose que les variables (pression p(x, y, t)et vitessev(x, y, t)) du problème s’écrivent :
p(x, y, t) =P(y) +p′(x, y, t), (1)
v(x, y, t) =V+v′(x, y, t), (2)
oùP(y)représente la pression hydrostatique, et les pertubations sont supposées petites, i.e.|p′(x, y, t)| ≪ P(y), et |v′(x, y, t)| ≪ V. Donnez l’expression de P(y). Montrez que divv′ = 0. Réécrivez l’équation de Navier-Stokes :
ρ1 ∂v
∂t + (v.grad)v
=−ρ1gey −gradp,
en supposant les perturbations petites.
2. En déduire quep′ satisfait l’équation de Laplace : ∆p′ = 0. On cherche une solution pourp′ de la formep′(x, y, t) = f(y)ei(kx−ωt). Déterminez l’expression def(y)à une constante près que l’on noteraB.
3. En utilisant l’équation reliantv′ et p′ trouvée à la question 1, et en supposant aussivy′ de la forme :vy′ =g(y)ei(kx−ωt), déterminez l’expression deg(y)en fonction deB,k,V,ρ1 etω.
4. À la surface libre on a égalité des vitesses normales soit vy′(y ≃ 0) = ∂ξ∂t + (v.grad)ξ. En écrivant cette relation au premier ordre, déduire la valeur deB en fonction de ρ1, k, V, ω etξ0. Donnez les expressions complètes pourv′yetp(x, y, t).
5. Reprendre l’ensemble des questions précédentes pour l’eau (régiony < 0), et en déduire, par des raisonnements analogues, l’expression de la pressionp2(x, y, t)poury <0sous la forme :
p2(x, y, t) = P0−ρ2gy+ ρ2ω2
k ξ0ekyei(kx−ωt).
6. En écrivant la continuité de la pression à l’interface en y = ξ, et en utilisant le fait que la longueur d’ondeλest grande devant l’amplitude de la déformationξ0 (λ ≫ ξ0) afin de simplifier les exponentielles, faites apparaître la relation de dispersion du problème.
7. Résoudre cette équation enω, àkfixé. En étudiant le signe du discriminant et les implications d’un discriminant négatif sur le comportement temporel des solutions, faites apparaître un critère de stabilité pour les vagues formées à la surface de l’eau. Donnez la longueur d’ondes minimale des vagues que le vent est capable de créer et d’entretenir à la surface en fonction deρ1,ρ2,V etg.
Application numérique : pour un vent de V=10 m.s−1, avec ρ1 (air) = 1.2 kg.m−3, ρ2 (eau) = 1000 kg.m−3.
Exercice : Pendule dans un conteneur oscillant
On considère un conteneur de masseM attaché à deux ressorts de raideurk1 etk2, pouvant se déplacer horizontalement d’une quantité que l’on notex. A l’intérieur de ce conteneur est suspendu un pendule de massemoscillant au bout d’une tige de longueurl. Le centre du repère O est pris au centre de rotation du pendule comme indiqué ci-dessous. La rotation du pendule est paramétrée par l’angleθ. On tient compte de la gravité.
3
k k
m M
O
θ
y l x
1. À partir du formalisme de Lagrange, donnez les équations du mouvement du système. Linéarisez les équations obtenues en supposant les angles petits, et faites apparaître les matrices de masse et de raideur du système.
2. Donnez l’équation des pulsations propres du système, en faisant apparaitreω21 = kM1+k+m2,ω22 = gl et le paramètreλ= M+mm . Commentez l’évolution des valeurs propres en fonction deλ.
4
