Annexe : Ondes dispersives linéaires, vitesse de phase et vitesse de groupe:

Annexe : Ondes dispersives linéaires, vitesse de phase et vitesse de groupe:

A.1 Comportement asymptotique

Dans un milieu uniforme, une solution générale à une équation d'onde s'écrit

f  x ,t = ∫

^{ f k e}

^{dk . (1)}

Pour de grand temps, et en un point x/t fixé la phase

=kx− t =t  ^{k x} t − 

varie très rapidement lorsque k varie, et donc deux contributions à l'intégrale (1) venant de k

proches s'opposent facilement. Cette compensation est moins forte pour les harmoniques autour du point dit de phase stationnaires où

d 

dk  K = x t

et on ne retient que les contributions venant du voisinage de ce point à l'ordre dominant:

f  x ,t ≈  f K e

∫

∞

e ⁻ⁱ

  ¨ K  t 2 k

dk =  f  K   ^{t ∣   ¨ 2 K  ∣ e}

^

^

où s=sign  ¨   K  . Pour de large t et en x on trouve l'harmonique K, celle-ci s'est déplacée à la vitesse de groupe C

= ˙  K 

A.2 Propagation de paquets d'ondes Gaussien

Exemple 1:  f  k =e

k−k0²

dk²

,  k =2k− k

2 d 

dk K = x

t  K =2− x

t , = ¨ 1 et pour k

=1, f x ,t ≈e





 ^{2 t  e}

^

^

vitesse de phase et de groupe dominantes: C = / k ≈1.5, C

= ˙ ≈1

Solution exacte et approximation à t=50 (dk=0.1)

Solutions exactes à t=0 et à t=60, la courbe rouge se déplace à la vitesse de phase

Exemple 2: Equation de Shrodinger i ∂ 

∂t = 1 2

∂



∂ x

   k =e

k−k0²

dk²

,  k = k

2

Solution exacte et approximation à t=0 et t=40 (k

=1, dk=0.5)

Une particule initialement bien localisée se disperse très vite, car on ne peut connaitre en meme temps position et quantité de mouvement avec une très bonne précision

(principe d'incertitude de Heisenberg)

3. Ondes dans un milieu variant lentement

Amplitude et phase d'un paquet d'onde: u ' (x , t )=ℜ { u ^̂ ( x , t) e

}

Nombre d'onde et fréquence: k =grad χ , ω= −∂ χ

∂t , vitesse de phase : c= ωk

∣ k

∣ Relation de conservation des crêtes: ∂ k

∂ t + grad ω=0 Relation de dispersion: ω ( k , x , t )=Δ ( k , x , t ) Vitesse de groupe: c g (k , x ,t )= grad k Δ

Trajectoire des rayons: ^d _g ^{r =} ( ∂t ^∂ + c

g ⋅ grad ) ^r=c

Variation des propriétés de l'onde le long des rayons: d

k =−grad Δ , d

ω= ∂ Δ

∂t