Milieux en couches et ondes dispersives

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Milieux en couches et ondes dispersives

F. Léomy, M. de Billy, G. Quentin

To cite this version:

F. Léomy, M. de Billy, G. Quentin. Milieux en couches et ondes dispersives. Revue de Physique Appliquée, Société française de physique / EDP, 1988, 23 (9), pp.1547-1555.

�10.1051/rphysap:019880023090154700�. �jpa-00245983�

Milieux en couches et ondes dispersives

F. Léomy, ^{M. de} Billy ^{et G. Quentin}

Groupe ^de Physique ^{des Solides,} Université Paris 7, ^Tour 23, ² place ^Jussieu, 75251 Paris Cedex 05, ^France (Reçu ^{le 28 mars 1988,} révisé le 26 mai 1988, accepté ^{le 2} juin 1988)

Résumé.

Lorsqu’un ^faisceau acoustique ^{borné est} réfléchi par ^un solide semi-infini ou une plaque immergée,

on observe pour certains angles d’incidence des effets non spéculaires. ^A partir ^{de mesures de} réflectivité, ^nous

avons établi les courbes de dispersion des vitesses de phase ^{des ondes} dispersives (de type Lamb, Rayleigh ^ou Sezawa) générées dans des échantillons présentant ^deux types ^de configuration : ^une configuration ^bilame

incluant deux plaques métalliques ^{de faible} épaisseur ^{collées ou soudées et une} configuration constituée d’un milieu solide semi-infini (substrat) chargé par ^une plaque ^{soudée ou} collée. Les matériaux retenus pour ^cette étude sont l’étain, le laiton et le duraluminium. Les courbes expérimentales ^{obtenues sont discutées et} comparées ^aux prévisions théoriques.

Abstract.

Non specular ^{effects are} observed when an ultrasonic bounded beam is incident on a layered

medium immersed in water. These reflectivity measurements are used to obtain the phase velocity dispersion

curves of the

leaky

surface acoustic waves which are generated ^{in the} layered specimen. ^Two configurations

with different boundary conditions are investigated : ^{a bilaminar} system including ^{two welded or two bonded} layers ^{and a} semi-infinite elastic medium loaded with a welded or a bonded layer. The various materials used in the samples ^{are :} tin, brass and duraluminum. The experimental ^{results are} discussed and compared ^{with the}

theoretical computations.

Classification

Physics ^Abstracts

43.30

43.35

68.45K

68.35J

Introduction.

Il est maintenant bien établi que des phénomènes

non spéculaires ^se produisent lors de la réflexion d’un faisceau acoustique ^{borné à une interface} plane séparant ^{un milieu fluide et un} milieu solide élastique

semi-infini [1-5]. ^{Parmi ces effets, la} présence ^d’un

minimum dans le coefficient de réflexion révèle l’existence d’une onde de surface de type Rayleigh qui rayonne continûment dans le milieu fluide au cours de sa propagation. ^{Dans le cas où} l’échantillon insoné est une plaque ^{de faible} épaisseur (comparée

à la longueur d’onde), ^des phénomènes analogues ^se produisent chaque fois que l’angle d’incidence per-

met la génération d’une onde de type ^{Lamb à}

l’intérieur de la plaque [6-8]. ^{Comme ces ondes sont} dispersives, ^la position ^{des minima} (reliée ^{à la}

vitesse de phase par la loi de Descartes) ^{évolue avec}

la fréquence. Ainsi, ^{la mesure des} fréquences ^de

résonances (à angle fixe) ^{ou des} angles critiques (à fréquence fixe) permet ^d’établir les courbes de

dispersion des différents modes de plaques.

Des études récentes ont été menées sur des

échantillons constitués d’un substrat chargé par ^une fine couche [9-15] ^et pour lesquels ^des phénomènes analogues ^{à ceux} mentionnés précédemment ^{ont été}

observés. Ces études ont révélé que suivant la nature du couplage, les conditions aux limites changent

entraînant dans certains cas une modification très

importante des courbes de dispersion. ^{Nous nous}

proposons de faire ^une analyse comparative ^des

courbes de dispersion obtenues dans le cas de deux

configurations particulières :

- une configuration ^bilame constituée de deux

plaques métalliques ^{soudées ou} collées ;

- une configuration comprenant ^un milieu solide semi-infini (ou substrat) chargée par ^une plaque métallique ^{de faible} épaisseur ^{collée ou soudée.}

Si cette étude, ^{basée sur des mesures de} réflectivité

et d’analyse fréquentielle confirme certains résultats

expérimentaux déjà rapportés ^{à ce} jour, ^elle apporte aussi des éléments supplémentaires ^sur le caractère

«

rayonnant » des ondes de Sezawa et de Rayleigh ^et

devrait permettre ^{de tester les modèles} théoriques

élaborés pour ^ce type d’échantillons [16-20].

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:019880023090154700

1548

1. Dispositif ^{de mesure et} procédure expérimentale.

Deux méthodes complémentaires ^{ont été} dévelop- pées pour établir les courbes de dispersion représen-

tatives des variations de la vitesse de phase (ou ^de l’angle d’incidence) ^{en fonction du} produit ^Fd (F représente ^la fréquence d’excitation du capteur ^{et d}

l’épaisseur ^{de la} plaque. Rappelons que l’angle d’incidence e i et la vitesse de phase V 4J ^{de l’onde}

sont liés par la relation de Snell-Descartes : sin 03B8i =

V fluide/V 4J. ^{La première de ces} méthodes consiste à

faire, ^à fréquence ^{fixe, une} analyse angulaire ^de l’amplitude ^du signal spéculairement ^{réfléchi et à}

relever les angles critiques pour lesquels ^{on observe}

un minimum. La deuxième méthode est fondée sur une analyse spectrale ^du signal spéculairement ^dif- fusé ; les minima observés dans chaque spectre

indiquent la valeur des fréquences d’excitation des modes propres de l’échantillon.

Le dispositif ^{de mesure est} représenté ^{sur la} figure 1 ; ^il comprend ^{un banc de mesure} automatisé,

une sonde émettrice fixe et une sonde réceptrice

mobile animée d’un mouvement de rotation autour

du même axe que la cible. Le signal ^détecté après

réflexion sur la face plane de l’échantillon est

amplifié puis ^{visualisé sur} l’écran d’un oscilloscope

de contrôle avant d’être échantillonné en vue de traitements ultérieurs (analyse fréquentielle,

moyenne, etc...). L’utilisation de palpeurs spécifi-

ques à la méthode d’analyse ^est nécessaire de même que leur condition d’excitation : impulsion ^courte

pour les sondes large-bande (analyse fréquentielle), impulsion longue pour les sondes à bande-étroite

(analyse angulaire). ^Des palpeurs répondant ^{à des} fréquences centrales différentes ont été utilisés de

façon ^{à couvrir} la gamme de fréquence : 0,8- 10 MHz. Les variations du produit ^{Fd sont donc}

assurées par ^une modification soit de la fréquence d’excitation, ^{soit de} l’épaisseur ^{de la} plaque ^suivant

le type d’échantillon. Les limites d’exploration angu- laires sont définies par l’encombrement du support

mécanique ^des capteurs : 10"-70B La face insonée de chacun des échantillons contient l’axe de rotation de la cible et de la sonde réceptrice. L’ensemble est

immergé ^{dans une cuve} remplie ^d’eau (Vfluide

1 480 m/s).

Fig. ^1.

Photographie ^du dispositif expérimental.

[Photograph ^{of the} experimental equipment.]

2. Résultats expérimentaux.

Les courbes de dispersion ^{de la vitesse de} phase ^ont

été obtenues avec quatre échantillons dont les carac-

téristiques ^sont rappelées dans le tableau 1 et dont le choix se justifie par l’objectif initial de cette étude

qui ^est le contrôle des collages par voie ultrasonore.

2.1 DESCRIPTION DES ÉCHANTILLONS.

Les diffé- rentes structures des échantillons étudiées sont sché- matisées sur la figure 2. Les échantillons soudés ont été réalisés en fondant une couche d’étain sur un

substrat ou une plaque de laiton. Nous désignerons respectivement par ESp ^et ES p ^{les deux} échantillons

analysés. Les indices inférieur et supérieur gauches

caractérisent le premier milieu rencontré (e

^étain

et p

plaque), ^{les deux autres indices} définissent le deuxième milieu rencontré (f

^{laiton et s}

^substrat

ou milieu semi-infini). ^De façon similaire, ^nous

avons défini les échantillons ECPS ^et ECpp ^constitués

de deux éléments métalliques ^{collés avec une fine}

couche d’Araldite ou de couplant « Sofranel » de 200 _)Jbm environ.

Une analyse ^{du tableau 1 montre} que dans le ^cas d’échantillons constitués de deux plaques ^le rapport

entre les épaisseurs des deux lames (collées ^ou soudées) ^est de l’ordre de l’unité. Selon les condi- tions expérimentales (fréquences, échantillons) ^on

note que ^la longueur ^d’onde dans le milieu incident

(eau) ^est inférieure ou de l’ordre de l’épaisseur ^{de la} plaque.

Sur le tableau II, ^{sont données les} caractéristiques acoustiques des divers matériaux utilisés. Soulignons

que la vitesse de l’onde de cisaillement (CT) ^dans

l’étain est inférieure à celle de l’eau, ^ce qui justifie

l’absence d’angle critique eT pour ^ce matériau.

2.2 RÉSULTATS.

Sur la figure ^{3 nous} donnons des

exemples typiques de coefficient de réflexion obte-

nus avec les échantillons décrits précédemment. ^La figure ^4, quant ^à elle, ^est représentative ^des spectres

Tableau 1.

Tableau descriptif des échantillons étudiés.

[Characteristics ^{of the} samples.]

Fig. ^2.

Schémas des échantillons étudiés.

[Schematic cross-section of the samples.]

1550

Tableau II.

Propriétés acoustiques des matériaux.

[Acoustical properties ^{of the} materials.]

Fig. ^3.

Exemples typiques ^des variations angulaires expérimentales ^de l’amplitude ^du signal ^réfléchi spéculairement : (a) échantillon ECpp ^(Fd

^{2,66 MHz mm) ; (b)} échantillon ESe~ps ^(Fd

^{0,18 MHz} mm) ; (c) échantillon ESe~ps

(Fd = 1,2 MHz mm).

[Typical examples ^of experimental reflection coefficient with an arbitrary amplitude ^{scale :} (a) sample EC~dpp

(Fd

^{2.66 MHz} mm) ; (b) sample ESe~ps ^(Fd

^{0.18 MHz mm) ; (c) sample} ESe~ps ^(Fd

^{1.2 MHz mm).]}

Fig. ^4.

Exemple typique ^d’un spectre ^de fréquence

obtenu à Oi

^{25° avec} l’échantillon EC~dps.

[Typical example ^{of a} spectrum at Oi

25° obtained with

sample EC~dps.]

de fréquences observés lors des études en analyse fréquentielle.

Sur les figures ^suivantes (Figs. ^{5 à} 8) ^{sont tracées}

les courbes de dispersion expérimentales ^{obtenues à} partir ^des analyses angulaires ^ou fréquentielles.

Elles représentent les variations de l’angle ^d’inci- dence, ^{associées aux} variations de la vitesse de

phase, ^{en fonction du} produit Fd, pour les divers échantillons sélectionnés.

Echantillon EC~dps.

^Les points expérimentaux

sont représentés ^{sur la} figure ^5. L’épaisseur ^{de la}

couche de couplant ^est estimée à 0,2 ^{mm. Des}

Fig. 5. - Courbes de dispersion obtenues pour l’échantillon E ps ^(D) analyse angulaire (Fréquence ^centrale

2,25 MHz) ; (A ) analyse angulaire (Fréquence ^centrale

¹ MHz) ; (2022) analyse spectrale.

[Dispersion ^{curves for} sample ECID : ^(D) angular analysis (Central frequency

2.25 MHz) ; (A ) angular analysis (Central frequency

¹ MHz) ; (2022) spectral analysis.]

mesures effectuées en fonction de l’épaisseur ^de

colle (d

^{0,1 mm et 0,05} mm) n’ont révélé aucune

différence dans les courbes de dispersion pour des

angles supérieurs ^à l’angle critique longitudinal ^du

duraluminium (03B8L = 19,3°). ^{Pour des} angles ^d’inci-

dence inférieurs à 20° environ la répartition ^des points ^{semble en revanche} dépendre légèrement ^de l’épaisseur ^du couplant ^tout particulièrement ^{à basse} fréquence.

Echantillon EC~dpp.

Les courbes de dispersion

relatives aux différents modes dans le cas de deux

plaques métalliques ^{collées à} l’araldite sont tracées

sur les figures ^{6a et 6b. Elles} correspondent respecti-

vement à une incidence sur la plaque ^{de laiton et sur}

la plaque de duraluminium. Nous avons porté ^en

abscisse le produit ^{de la} fréquence par l’épaisseur ^de

la première plaque ^{recevant le faisceau} acoustique.

Echantillon ESel.

^{La figure 7a rend compte des}

courbes de dispersion de l’échantillon constitué d’une plaque ^{d’étain soudée à un} substrat de laiton.

Les courbes sont limitées aux faibles valeurs du

produit ^Fd (d représente ^ici l’épaisseur ^{de la} plaque d’étain). ^La figure ^7b représente les variations de la vitesse de phase ^des différents modes pour des valeurs plus élevées de la variable Fd.

Echantillon ES’t.

^{Dans le cas} de l’échantillon constitué de deux plaques ^{soudées, les courbes de} dispersion ^mesurées expérimentalement ^{sont indi-} quées ^{sur la} figure ^{8. Elles} correspondent ^{aux diffé-}

rents modes propres de vibration de l’échantillon, assimilé à une plaque unique. Ces courbes sont observées quel que soit le matériau constituant la

première plaque rencontrée par le faisceau incident.

Enfin, ^ces résultats obtenus en réflexion sont confir-

més par ^une analyse ^en transmission.

1552

Fig. ^6.

Courbes de dispersion obtenues pour l’échantil- lon constitué de deux plaques ^collées (épaisseur ^{de la} plaque ^{de laiton} dl ^{= 0,81 mm ;} épaisseur ^{de la} plaque ^de duraluminium d2 ^{= 1,01} mm). ^Pour chaque ^{courbe :} (A ) analyse spectrale ; (2022) analyse angulaire (Fréquence

centrale

5 MHz) ; (*) analyse angulaire (Fréquence

centrale

2,25 MHz). (a) ^{Incidence sur la} plaque ^de

laiton (EC Id ^{(b) incidence sur la plaque} de duralumi- nium (E pp).

[Dispersion ^{curves for the} sample ^{made of two} plates glued (thickness ^{of brass} plate dl

^{0.81 mm ;} thickness of duraluminum plate d2

^1.01 mm). ^{For each curve :} (A ) spectral analysis ; (2022) angular analysis (Central frequency

⁵ MHz) ; (*) angular analysis (Central ^fre-

quency

2.25 MHz). (a) ^{Incidence on} the brass plate

(ECID) ; pp ^{(b) incidence on} the duraluminum plate (ECd~pp). ^]

Fig. ^7.

(a) Courbes de dispersion obtenues pour l’échantillon ESe~ps. (0 Fd 1, 2). (b) Courbes de dispersion

obtenues pour l’échantillon ESP ^{(0 Fd 2, 5).}

[Dispersion ^curves observed for sample ESe~ps (0 Fd 1, 2). (b) Dispersion ^curves observed for sample ESe~ps

(0 Fd 2, 5).]

Fig. ^8.

Courbes de dispersion obtenues pour l’échantil- lon ESe~pp ^{(0 Fd} 5). Chaque symbole représente ^un

mode différent.

[Dispersion ^{curves observed for} sample ESe~pp

(0 ^Fd 5). ^Each symbol ^{means a different} mode.]

3. Discussion des résultats.

Les courbes de dispersion ^établies expérimentale-

ment par les ^mesures de réflectivité (Figs. ^{5 et} 6) ^sur

les échantillons collés montrent que pour le type ^de collage ^{utilisé, la} réponse de l’échantillon est très

proche de celle d’une plaque libre dont l’épaisseur

serait égale ^à celle de la première plaque ^rencontrée

par le faisceau. En effet, ^{si on} compare les points expérimentaux obtenus pour ^ce type d’échantillon

avec les courbes théoriques calculées pour ^une

plaque ^seule (dont ^les caractéristiques géométriques

et acoustiques ^sont identiques ^{à celle} qui constitue la

plaque supérieure) ^{on note un} bon accord (cf.

Fig. 9) à condition de prendre ^{comme valeur de}

l’épaisseur ^{dans le} produit ^Fd, l’épaisseur ^{de la}

Fig. ^9.

^Etude comparative des courbes de dispersion

obtenues pour l’échantillon ECPP. ^(-) Courbes théori- ques calculées pour ^une plaque ^libre. (e) ^Points expéri-

mentaux de la figure ^6a.

[Comparative study ^of dispersion ^{curves for} sample

EC Id. ⁽²⁰¹³⁾ Theoretical curves for a free plate. (e) ^Ex- perimentals points ^{of the} picture 6a.] ]

première plaque rencontrée par le faisceau acousti- que incident. Sur la figure 9, ^les traits continus

représentent les courbes de dispersion ^obtenues théoriquement ^à partir ^des équations des modes de Lamb (cf. [21]).

Ce résultat confirme que la colle utilisée n’agit pas

comme un couplant rigide ^mais plutôt ^{comme une} plaque ^{fluide ne} transmettant pas d’onde de cisaille- ment. Les propriétés acoustiques ^du joint ^{de colle} (viscosité, coefficient de raideur, adhésion, ...) ^sont probablement responsables ^{de ce} comportement.

Des expériences complémentaires ^{menées sur des}

échantillons présentant ^{une structure} multicouche

analogue, ^mais d’épaisseur ^de couplant ^différente (100 ^{et 50} 03BCm) ^ont confirmé les courbes de disper-

sion obtenues précédemment (Fig. 5). ^{Ces mesures}

révèlent le peu d’influence de l’épaisseur ^du couplant

sur les mesures en réflexion. Ces observations concernent tout particulièrement les modes Ao, So ^et A, qui ^{sont en} général bien isolés et le type ^de collage ^décrit précédemment.

Une étude comparative portant ^sur les courbes de

dispersion ^{des modes a} été faite avec des mesures

effectuées en transmission dans le cas de l’échantillon

EC fd (Fig. 10). ^{Il est} intéressant de noter que les résultats obtenus mettent cette fois en évidence la

présence ^de courbes de dispersion ^{relatives aux deux} plaques constituant l’échantillon. A condition

d’adapter l’échelle des abscisses (Fd ) ^aux épaisseurs respectives ^{des deux} plaques métalliques traversées,

on retrouve les courbes de dispersion propres à chacune des couches supposées libres. L’échelle

Fig. ^10.

Courbes de dispersion obtenues par transmis- sion pour l’échantillon EC~dpp. ^{Les indices} supérieurs ^utilisés

pour l’identification des modes ^se rapportent respective-

ment aux différentes plaques (f, ^{laiton et d, duralumi-} nium).

[Dispersion ^{curves for} sample EC§£ ^by transmission. The upper indexis used for identification of the modes ^corre-

spond ^{to the} différent plates (f, ^{brass and d, duralumi-} num).]

intermédiaire (cf. Fig. 10) correspond ^au produit ^de

la fréquence par l’épaisseur totale de l’échantillon.

Les courbes de dispersion obtenues dans le cas de l’échantillon comprenant ^une plaque d’étain soudée

sur un substrat de laiton (Fig. 7) confirment le caractère « loading » ^du système

par opposition

au caractère « stiffening ». (Ces ^deux termes sont

empruntés ^au vocabulaire anglo-saxon.) ^{Ceci est dû}

au fait que la vitesse de l’onde de cisaillement dans la couche d’étain est inférieure à la vitesse de l’onde du même type dans le substrat (laiton) cf. table I. Sur les figures ^{7a et 7b,} nous avons relié les points expérimentaux ^{entre eux} pour chaque mode existant.

Les différentes courbes de dispersion ^{ont des} comportements analogues ^{à ceux} prévus par les calculs théoriques publiés jusqu’à présent ^{et corres-} pondent ^{suivant les auteurs aux modes} MIl, M21, M12,

[19], ^{aux modes} Mo, M1, M2,

[12] ^{ou aux}

ondes de Rayleigh, de Sezawa et de Rayleigh

d’ordre supérieur [13, 14, 17]. Remarquons que pour ^ce type d’échantillon, ^{aucune courbe de} disper-

sion ne ressemble, ^{comme dans le cas des} plaques collées, à celles observées pour ^une plaque ^seule.

L’onde de Sezawa n’est en fait que l’autre appella-

tion du mode Ml. ^Cette onde, ^à partir ^d’une fréquence de coupure, doit rayonner dans le substrat

[14, 15, 22].

Il est intéressant aussi de remarquer que, bien que la théorie ne prévoit pas d’ondes d’interface rayon- nant dans le milieu fluide au-delà de l’angle critique

transverse, ^{associé au substrat} [17, 19], l’expérience,

1554

quant ^à elle, ^{met en} évidence des minima dans les variations du coefficient de réflexion. Ces creux

peuvent s’expliquer par la génération ^d’ondes

d’interface réémettant dans le substrat, provoquant ainsi une perte d’énergie ^en réflexion. Ces minima

ne résultent donc pas d’un effet non spéculaire ^mais plutôt ^{d’un effet de}

pseudo-transmission

^{dans le}

milieu inférieur (substrat). ^Cette interprétation ^est

confirmée _{par les} profils ^des faisceaux réfléchis

enregistrés ^{à des} angles qui correspondent respecti-

vement à la génération ^{d’une onde de} Rayleigh (Fig. lla) ^{d’une réflexion} spéculaire (Fig. llb) ^et

d’une pseudo-onde ^{de Sezawa} (Fig. llc). ^{On cons-}

tate que seul le faisceau de la figure ^{lla est déformé} justifiant ^ainsi l’existence d’un effet non spéculaire produit par la réémission, ^dans le milieu fluide, ^de

l’onde de Rayleigh. ^Cette déformation n’apparaît

pas dans le ^cas de la pseudo-onde ^{de Sezawa} puisque l’angle ^de génération ^{est inférieur à} OT’

En ce qui ^concerne l’échantillon ES p, les résultats

expérimentaux représentés ^{sur la} figure ^{8 sont identi-}

Fig. ^11.

Profils des faisceaux réfléchis enregistrés perpendiculairement à l’axe moyen du faisceau réfléchi pour différents angles d’incidence à Fd

0,4 ^MHz.mm.

[Reflected ^beam profiles ^at different incident angles.

These profiles have been recorded perpendicularly ^{to the}

reflected beam’s axis at Fd

0.4 MHz.mm.]

ques, que ^{les mesures} soient réalisées en réflexion

ou en transmission. Ces courbes ne sont caractéristi- ques ni de ^la plaque ^d’étain libre, ^{ni de la} plaque ^de

laiton. Elles doivent être représentatives ^d’un sys- tème multicouche se comportant ^{comme une couche}

unique équivalente ^{dont les} caractéristiques ^acousti-

ques ^{restent à} préciser, ^{de même} que ^les conditions

aux limites. Çes résultats doivent être rapprochés

des calculs théoriques ^effectués par Lloyd ^et

Redwood [20] pour ^trois conditions différentes de contact entre deux plaques solides de matériaux différents : un contact parfait, ^{un contact avec} glissement ^{et un contact} par l’intermédiaire d’une couche de fluide.

4. Conclusion.

Cette étude menée ^en incidence oblique ^{sur des} systèmes multicouches et fondée sur des mesures de réflectivité a révélé qu’on ^ne peut ^{traiter le} collage

entre deux plaques ^{comme un} couplage parfait puisque ^{les deux} plaques ^{collées se} comportent pratiquement ^{comme une} plaque ^libre de caractéris-

tiques acoustiques ^et géométriques analogue ^{à la} première plaque rencontrée par le faisceau acousti- que incident. Ces ^résultats confirment également

que ^{les modes} présents ^aux faibles valeurs de Fd

(donc ^aux grandes longueurs d’onde) ^sont plus

sensibles aux caractéristiques géométriques ^{et élasti-}

ques des différents milieux et donc plus intéressants à analyser ^{en vue d’une} caractérisation du couplage.

D’autre part ^les expériences ^{réalisées sur les échantil-}

lons soudés ont confirmé les calculs théoriques ^ainsi

que le comportement des ondes d’interface en deçà

et au-delà de l’angle critique transverse du substrat.

Les résultats expérimentaux rapportés ^{dans cet}

article devraient apporter des éléments d’informa- tion pour l’élaboration des modèles théoriques ^{et le}

choix des conditions aux limites toujours délicates à formuler.

Des études complémentaires ^{doivent encore être}

faites pour analyser ^les comportements des échantil- lons collés du type ECpp, ^{en réflexion et en transmis-}

sion, qui ^{se sont} révélés être très différents. Un

prolongement ^{de cette étude est} aussi nécessaire pour permettre ^{une meilleure} compréhension ^de

l’influence de l’épaisseur de la couche et de ses

propriétés viscoélastiques ^sur les courbes de disper-

sion de la vitesse de phase.

Remerciements.

Cette étude a été supportée par la Direction des Recherches, ^{Etudes et} Techniques (D.R.E.T., ^Con-

trat 87-488).

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