Int´egration et probabilit´es
ENS Paris, 2013-2014TD — Approximations
1 – Petite question
Soitµune mesure positive sur (R,B(R)) etg:R→R+une fonion mesurable.
. On suppose que pour toute fonion mesurablef :R→R+on a Z
f(x)µ(dx) = Z
f(x)g(x)dx.
Que dire deµ?
. On suppose maintenant queµefinie et que pour toute fonion continue born´eef :R→R+on
a Z
f(x)µ(dx) = Z
f(x)g(x)dx.
Que dire deµ?
1 – Calculer en cent leco¸ns
E
xercice 1. (Formule des compl´ements) On noteΓ la fonion d´efinie pourx >par Γ(x) =Z ∞
tx−e−tdt.
. Calculer la mesure image de la mesure
xa−yb−e−(x+y)1{x,y≥}dx dy, par l’application (x, y)∈(R+)7→(x+y, x/(x+y)).
. En d´eduire la formule des compl´ements :
Γ(a)Γ(b) Γ(a+b) =
Z
ta−(−t)b−dt.
Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.
2 – Approximations
E
xercice 2. Soitf : (R,B(R))→(R,B(R)) une fonion int´egrable pour la mesure de Lebesgue. On sup- pose que pour tousa < b,Z
]a,b[
f(x)λ(dx) =.
Montrer quef =λ-p.p.
E
xercice 3. On se donne deux mesures positives bor´eliennesµetν surR, et on suppose que pour tout choix dea < b∈Rµ(]a, b[)≤ν(]a, b[)<∞. Montrer alors queµ(A)≤ν(A) pour tout bor´elienA.
E
xercice 4. (Fonion de r´epartition d’un ensemble) SoitAun ensemble bor´elien deRde mesure finie.Montrer que la fonionf :R−→Rd´efinie parf(x) =λ(]− ∞, x]∩A) econtinue.
E
xercice 5. ( – Th´eor`eme de Lusin) Soitf : [,]−→Rune fonion bor´elienne. Montrer que pour tout ε >il exie une fonion continueg: [,]−→Rtelle queλ({x, f(x),g(x)})≤ε.
Indication.On pourra commencer par le cas o `uf =AavecAbor´elien de [,].
3 – ` A chercher pour la prochaine fois
E
xercice 6. (Spoiler : convolution inside)SoitK un compadeRd etΩun ouvert deRd avecK ⊂Ω.Montrer qu’il exief une fonionC∞ `a valeurs dans [,] telle que f =surK, f =surΩc.
– Compl´ements (hors TD)
E
xercice 7. ( ) Soit µ une mesure positive sur (R,B(R)) et g :R →R+ une fonion mesurable. On suppose queµede masse infinie et que pour toute fonion continue born´eef :R→R+on aZ
f(x)µ(dx) = Z
f(x)g(x)dx.
E-ce que forc´ementµ(A) =R
Ag(x)dxpour tout bor´elienA∈R?
E
xercice 8. ( ) Trouver un espace topologiqueT et une mesureµsur (T ,B(T)) de masse totalequi ne soit pas tendue.Fin
