MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Ce problème porte sur les nombres de surjections.
Pourn∈N∗, dans tout le problème, on noteEn =J1, nKet on désigne par Sn,p le nombre d'applications surjectives deEn surEp.
PARTIE I
1. CalculerSn,p pourp > n. CalculerSn,n,Sn,1,Sn,2.
2. Calculer Sp+1,p. Pour cela on utilisera, en justiant son existence, l'élémentr de Ep
ayant deux antécédents.
PARTIE II
1. Démontrer que
∀k∈ {0, . . . , p−1},
p
X
q=k
(−1)q p
q q
k
= 0
2. Établir
pn=
p
X
q=1
p q
Sn,q
3. En déduire la formule
Sn,p= (−1)p
p
X
k=0
(−1)k p
k
kn
4. En déduire que, sip≥2,
Sn,p=p(Sn−1,p+Sn−1,p−1) Retrouver alorsSp+1,p puis montrer
Sp+2,p=p(3p+ 1)
24 (p+ 2)!
5. En s'inspirant du triangle de Pascal, montrer qu'on peut construire une table desSn,p. Calculer lesSn,p pour0< p≤7et 0< n≤7.
PARTIE III
SoitAn,p le nombre de partitions deEn enpparties non vides.
1. Quelle est la relation entreAn,p etSn,p?
2. En déduire une relation donnantAn,p en fonction deAn−1,p etAn−1,p−1. 3. CalculerAn,1 etAn,n. Construire la table desAn,p pour n≤7 etp≤7. PARTIE IV
On appelle dérangement deEn une bijectionf deEndansEn telle quef(x)6=xpour toutxdeEn. SoitDn le nombre de dérangements deEn. On poseraD0= 1.
1. Établir
n! =
n
X
k=0
n k
Dk
2. En s'inspirant de la partie II, en déduire
Dn= (−1)n
n
X
k=0
(−1)k n
k
k!
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai Anbsurj
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Corrigé
PARTIE I
1. Lorsquep > n, il n'existe pas d'applications surjective deEn versEp: Sn,p= 0. L'ensemble des applications surjectives de En dans lui même est aussi celui des
bijections deEn :Sn,n=n!.
L'application constante égale à 1 est la seule application surjective deEn versE1 : Sn,1= 1.
Une application quelconque de En dansE2 est caractérisée par l'ensemble des an- técédents de 1. L'application considérée est surjective lorsque cet ensemble n'est ni
∅ ni E2. Comme 2n est le nombre total de parties de En :Sn,2 = 2n−2. On peut aussi remarquer que toutes les applications sont surjectives sauf les deux applications constantes de valeur 0 et 1.
2. Une application surjective deEp+1 vers Ep ne peut être injective. Il existe donc un élément x de Ep admettant plusieurs antécédents. Si x admet strictement plus de 2 antécédents, il reste dansEp+1 strictement moins dep−1éléments distincts qui ont forcément moins de p−1 images . Même en comptant x, le nombre total d'image est strictement plus petit que pen contradiction avec la surjectivité de l'application considérée. Il existe donc un seul élément deEp admettant plusieurs antécédents, en fait 2 exactement.
Une application surjective deEp+1dansEpest donc caractérisée par un triplet(A, x, g) oùAest une paire d'éléments deEp+1,xun élément deEp,gune bijection deEp+1−A versEp− {x}. On en déduit
Sp+1,p= p+ 1
2
·p·(p−1)! = p 2(p+ 1)!
PARTIE II
1. Transformons le produit de coecients du binôme : p
q q
k
= p!
q!(p−q)!
q!
k!(q−k)!
= p!(p−k)!
(p−q)!
=(p−k−(q−k))!
k!(q−k)!(p−k)!
= p
k
p−k q−k
En injectant cette transformation dans la somme de l'énoncé puis en posantr=q−k, on obtient
p
X
q=k
(−1)q p
q q
k
= p
k p
X
q=k
(−1)q p−k
q−k
= p
k
(−1)k
p−k
X
r=0
(−1)r p−k
r
Ceci est nul d'après la formule du binôme lorsque0≤k < p.
2. Classons les fonctionsf deEn versEp suivant les parties f(En). Quel est le nombre de fonctionsf telles quef(En) soit une partie donnée àq éléments de Ep? Il y en a autant que de surjections de En vers Eq c'est à dire Sn,q. Commepn est le nombre total de fonctions et que pqest le nombre de parties àqéléments de Ep, la partition associée à cette classication montre que
pn=
p
X
q=0
p q
Sn,q
3. Calculons en utilisant la formule du 2.
(−1)p
p
X
k=0
(−1)k p
k
kn = (−1)p
p
X
k=0
(−1)k p
k k
X
q=0
k q
Sn,q
= (−1)p X
(k,q)∈T
(−1)k p
k k
q
Sn,q
où (k, q) ∈ T ⇔ k ∈ {0, . . . , p} et q ∈ {0, . . . , k} ⇔ q ∈ {0, . . . , p} et k ∈ {q, . . . , p}
donc
(−1)p
p
X
k=0
(−1)k p
k
kn= (−1)p
p
X
q=0
Sn,q p
X
k=q
(−1)k p
k k
q
avecPp
k=q(−1)k pk k q
= 0sauf sip=q auquel cas il vaut(−1)p.On conclut
Sn,p= (−1)p
p
X
k=0
(−1)k p
k
kn
4. Utilisons les formules précédentes en regroupant les coecients dekn−1 p(Sn−1,p+Sn−1,p−1) = (−1)p
p
X
k=0
(−1)kp p
k
− p−1
k
kn−1 avecp kp
− p−1k
=p k−1p−1
=k pk
.Finalementp(Sn−1,p+Sn−1,p−1) =Sn,p.
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2 Rémy Nicolai Anbsurj
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Pourn=p+ 1,Sp+1,p=p(Sp,p+Sp,p−1) =pp! +pSp,p−1. A partir de cette relation et deS2,1= 1, on obtient par récurrence queSp+1,p=p2(p+ 1)!.
De même, pourn=p+ 2,supposonsSp+1,p−1= (p−1)(3p−2)
24 (p+ 1)!alors Sp+2,p = p
p
2(p+ 1)! + (p−1)(3p−2)
24 (p+ 1)!
= p(p+ 1)!3p2+ 7p+ 2 24
= p(p+ 1)!(p+ 2)(3p+ 1) 24
5. La relationp(Sn−1,p+Sn−1,p−1) =Sn,p permet, comme pour le triangle de Pascal de construire le tableau suivant
1 2 3 4 5 6 7
1 1 0 0 0 0 0 0
2 1 2 0 0 0 0 0
3 1 6 6 0 0 0 0
4 1 14 36 24 0 0 0
5 1 30 150 240 120 0 0
6 1 62 540 1560 1800 720 0
7 1 126 1806 8400 16800 15120 5040 PARTIE III
1. A chaque surjection f de En dans Ep, on peut associer la partition de En en sous- ensembles non vides
f−1({1}), f−1({2}),· · · , f−1({p}) .
Deux applicationsf et g donneront la même partition si et seulement si il existe une permutationσdeEp telle que g=σ◦f. On en déduit An,p=p!1Sn,p.
2. De la relation p(Sn−1,p + Sn−1,p−1) = Sn,p, on déduit immédiatement An,p = An−1,p−1+pAn−1,p.
3. D'aprés 1.,An,1=An,n= 1. Pour obtenir la table desAn,p, on divise parp!la colonne pdu tableau précédent.
PARTIE IV
1. On peut classer les bijections deEn selon le nombren−kde leurs points xes. Il y a
n n−k
= nkchoix dekpoints xes etDk bijections ayantkpoints xes. On en déduit n! =Pn
k=0 n k
Dk.
2. Comme en II 3., calculons en permutant les sommations :
(−1)n
n
X
k=0
(−1)k n
k
k! = (−1)n
n
X
k=0
(−1)k n
k k
X
q=0
k q
Dq
= (−1)n
n
X
q=0
n
X
k=q
(−1)k n
k k
q
=Dn
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