3 ème Maths/Sc/Tech/SI Chapitre : Les suites Exercice 1 : On considère la suite ( U n ) définie par. Exercice 2:

(1)

1

Exercice 1 :

On considère la suite (U_n) définie par Soit u la suite définie par :

0

1

2

1 1, 0

n 5 n

u

u _ U n

 



   



1. Déterminer le réel α tel que α = -0.2α + 3.

2. On considère la suite (V_n) définie par V_n= U_n – α, n ≥ 0.

a. Montrer que (V_n) est géométrique.

b. Exprimer V_n puis Un en fonction de n.

c. En déduire _n

nlim u



 .

Exercice 2:

Soit u la suite définie par :













 u 3, n IN 2

u 1 2 u

n 1 n 0

1) a- Calculer U1 et U2 .

b- Montrer que la suite U est ni arithmétique, ni géométrique.

2) Soit la suite Vn définie sur IN par : Vn = Un – 6.

a- Montrer que Vn est une suite géométrique de raison

2 1 . b- Exprimer Vn en fonction de n .

c- En déduire l’expression de un en fonction de n.

3) Calculer

 n

xlim v . et _n

xlim u

 . 4) Calculer les sommes suivantes :

S = V0 + V1 + V2 +………..+ V5 puis S’ = U0 + U1 + U2 +……….+U5 . 5) Tracer dans un repère orthonormé les droites d’equations respectives y = x

et ¹ 3

y 2x ,puis interpréter graphiquement la convergence de la suite U vers sa limite.

Exercice 3 :

Soit la suite u définie sur IN par :











 2u 1 ; n IN u

2 u

n 1 n 0

1/a) Calculer : u1 et u2; En déduire que la suite u n’est ni arithmétique ni géométrique

b) Montrer par récurrence que, pour tout n de IN : u_n 1

c) Montrer que u est croissante.

2/ Soit la suite v définie sur IN par v_n u_n1

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(2)

2 1 u

3 u

n n





a) Montrer que v est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) Exprimer vn puis un en fonction de n c) Calculer _n

nlim u



3/a) Exprimer en fonction de n : ^{n 1} _k

k 0

S ^ v



 b) Exprimer en fonction de n : ^{n 1} _k

k 0

S' ^ u



 Exercice 4:

Soit la suite u définie sur IN par :

0

1

5 25

n 10

n

u

u ^ u

  

 

 



1/a) Calculer : u1 et u2; En déduire que la suite u n’est ni arithmétique ni géométrique

b) Montrer par récurrence que, pour tout n de IN : u_n 5

c) Montrer que u est croissante.

2/ Soit la suite v définie sur IN par ¹

n 5

n

v  u



a) Montrer que v est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) Exprimer vn puis un en fonction de n c) Calculer _n

nlim u



Exercice 5:

On considère la suite u définie sur IN par :

0

1

5 3

3

n n

n

u u U

 U

 

 

 

 

 1) Montrer que pour tout n  IN , 0 ≤ un < 3 2) Etudier la monotonie de la suite u.

3) Soit la suite v définie sur IN par : vn =

a- Montrer que v est une suite géométrique de raison 1/3.

b- Exprimer vn puis un en fonction de n. Déterminer _n

xlim u



3) a- Montrer que pour tout n  IN, ^u ³

3 3 2

u_n_₁  _n  b- Montrer que pour tout n  IN, _n ⁿ

3 2 2 3

u 



 



 

 puis retrouver

 n xlim v

(3)

3

Exercice 1

1. 0.21 ,n0

6 1 5

2 .

1  



2. 6

U 5 V_n  _n 

a. ₁ ₁ ⁵ ¹ 1 ⁵ ¹ ¹ ¹( ⁵) ¹

6 5 6 5 6 5 6 5

n n n n n n

V _ U _    U     U    U    V

Vn est suite geometrique de rasison

5

1

b. 6

7 6 2 5 6 U 5

V₀  ₀    

n n

0

n )

5 ( 1 6 ) 7 5 ( 1 V

V      

) 5 5) ( 1 7 6 ( 1 6 ) 5 5 ( 1 6 7 6 V 5

U_n  _n     ⁿ     ⁿ 

c. ) 5)

5 ( 1 7 6 (

U_n 1  ⁿ 

0 5 )

( 1

lim ⁿ

n  



 donc

6 U 5 lim _n

n 





Exercice 2

1) a) (2) 3 1 3 4

2 3 1 2u

u₁  1 ₀       ; (4) 3 2 3 5 2

3 1 2u

u₂  1 ₁     

b)

 Calculer U2-U1 ; U2-U1=5-4=1

 Calculer U1-U0 ;U1-U0=4-2=2 ,

on a :U2-U1# U1-U0 donc Un n’est pas une suite arithmétique

 Calculer

0 1

U U

0 U

1 U =

2 4=2

 Calculer

1 2

U U

1 U

2 U =

4

5 ,on a

0 U

1 U #

1 U

2

U la suite n’est pas géométrique 2)a) V_n U_n 6

(4)

4

n n

1 n 1

n V

2 ) 1 6 U 2( 3 1 2U 6 1 3 2U 6 1 U

V _  _         

Vn est une suite géométrique de raison

2 1

b)

 Cherchons V0

4 6 2 6 U

V₀  ₀    

 Cherchons le terme général

n n

0

n )

2 (1 4 q V

V  

c) U_n V_n 6 6 2) (1 4 U_n  ⁿ 

3)  _n  

xlim V 0 ,|q| 1 ;

 _n   _n 

xlim U xlim V 6 6. 4)S = V0 + V1 + V2 +...+ V5=V0

1 q6

1 q



 =-4 16

1 2 1 1

2



 =-4 16

1 2 2 1 2 2



 =-8(1 ¹

64)=-8 64 1

( )

6464 63

  8

S’ = U0 + U1 + U2 +...+ U5= V0 +6+ V1 +6+ V2 +6+… V5 +6=

V0 + V1 + V2 +...+ V5+6+6+6..+6=S+6(6)= ⁶³

 8 +36= ^{63 288} ²²⁵

8 8

  

5)

U U U U

6 termes de 6

(5)

5

Graphiquement la suite U converge vers 6

Exercice 3

1) a)u₁ 2u₀   1 4 1 3 ; u₂ 2u₁   1 6 1 5 b)

 Calculer U2-U1 ; U2-U1=5-3=2

 Calculer U1-U0 ;U1-U0=3-2=1 ,

on a :U2-U1# U1-U0 donc Un n’est pas une suite arithmétique

 Calculer

0 1

U U

0 U

1 U =³

2

 Calculer

1 2

U U

1 U

2 U =⁵

3 ,on a

0 U

1 U #

1 U

2

U la suite n’est pas géométrique b/ Pour n=0 on a U₀ 1 vrai

On suppose que U_n 1,montrons que U_n_₁ 1

1 2 2 2 1 1 1 1

n n n n

U   U   U   U _  Conclusion : U_n 1nIN

c/U_n_₁U_n 2U_n 1 U_n U_n 1 0 donc U est croissante

(6)

6

2)a) V_n U_n 1

1 1 1 2 1 1 2( 2) 2

n n n n n

V_ U _   U    U   V Vn est une suite géométrique de raison 2 b)

 Cherchons V0

0 0 1 2 1 1 V U    

 Cherchons le terme général

0 ⁿ 2ⁿ Vn V q  c) U_n V_n1

2ⁿ 1 Un  

3)  _n   

xlim V , q 1 ;

 _n   _n  

xlim U xlim V 1 . 3)a/ S = V0 + V1 + V2 +...+ Vn-1=V0

1 qn

1 q



 =

n

1 2 n

2 1 1 2

  



b/ S’ = U0 + U1 + U2 +...+ Un-1= V0 +1+ V1 +1+ V2 +1+… Vn-1 +1=S+n=

2n  1 n Exercice 4

1/a) Un+1 =

Un

10 25



 Calcul U1 et U2

U1 =

U0

10 25

 =

5 10

25

 =

15 25=

3 5

U2 =

1 U 10

25

 =

3 10 5

25



=

3 5 3 30

25



= (3) 25

25 =3

U2-U1=3-

3 5=

3 9-

3 5=

3 4

U1-U0=

3

5-(-5)=

3 5+5=

3 5+

3 15=

3 20

U2-U1# U1-U0

Un n’est pas une suite arithmétique b/Pour n=0 on a U₀  5 vrai

On suppose que U_n 5,montrons que U_n_₁5

(7)

7

1

1 1

5 10 5

10 5

25 25

10 5

5

n n

n

n n

U U

U

U U _

     



 



 

Conclusion : U_n 5nIN

c/

2 1

25 10 25

10 10

n n

n n n

n n

U U

U U U

U U



 

   

 

( 5)2

10 0

n n

U U

  

 (10U_n 5)et (U_n 5)² 0 donc U est croissante

2/a Vn+1 =

5 U

1

1 n_  =

U 5 - 10

25 1

n



=

n n

n 10 U

U 5 50 U - 10

25 1



 

=

n n

U - 10

5U 50 - 25

1

 =

Un

5 25

Un 10





Vn+1-Vn=

Un

5 25

Un 10





 -

5 U

1

n =

) 5 U ( 5

Un 10

n 

 -

5 U

1

n =

) 5 U ( 5

Un 10

n 

 -

) 5 5(U

5

n  =

) 5 U ( 5

Un 5

n 

 =-

5 1

(Vn) est une suite arithmétique de raison -

5 1

b/ V0 =

5 U

1

0  =

5 5 -

1

 =-

10 1

Vn=V0-

5 1n=-

10 1 -

5 1n 3/ Vn =

5 U

1

n

Equivaut Vn(Un-5)=1 Equivaut VnUn-5Vn=1 Equivaut VnUn=1+5Vn

Equivaut Un =

n n

V 5V 1

Un =

n n

V 5V 1

=

5n 1 10 - 1

) 5n 1 10 5(- 1 1





=

5n 1 10 - 1

2 n -1 1



=

1 n

5 10n 2

1 1 1 2n

- n

10 5

  

  

(8)

8

c/  

  

n  

n n

5 10n

lim u lim 5

1 2n

Exercice 5 1/

1

5 3 5( 3) 15 3 5( 3) 12 12

3 3 3 5 3

n n n

n

n n n n

u u u

u ^ u u u u

     

    

   

Pour n=0 on a 0U₀ 3 vrai

On suppose que 0U_n 3,montrons que 0U_n_₁3

1 1 1

0 3 3 3 6

6 3 3

n n

n

U U

       U 



12 12 12 12

2 4

6 U_n 3 3 U_n 3

     

 

12 12

4 2 1 5 3

3 3

n n

U U

         

 

1 1

1 U_n_ 3 0 U_n_ 3

     

Conclusion : 0U_n_₁3 pour nIN

2/

2 2

1

5 3 5 3 3 2 3 ( 1)( 3)

3 3 3 3 0

n n n n n n n n

n n n

n n n n

U U U U U U U U

U U U

U U U U



         

      

   

(on a U_n  3 U_n  3 0 et (U_n  1) 0 U est croissante

3/a

Vn+1 = ¹

1

3 1

n n

u u





 =

5 3

3 3

5 3

3 1

n n

U U

 



 



=

5 3 3 9

3

5 3 1

3

n n

n

n n

n

U U

U

U U

U

  



  



=

2 6

3

6 6

3

n n

U U





=

2 6 3 3 1

6 6 3 3 3( 1) 3

n n n

n

n n n

U U U

U U U V

     

  

vn est une suite geometrique de raison r = ¹ 3. b/ ₀( )¹

3

n

Vn V , V₀  1, donc ( )¹ 3

n

Vn  

 _n  

xlim V 0 ,|q| 1

3/A ³

1

n n

n

v u u

 

 Vn(Un+1)= Un-3 VnUn+Vn= Un-3

(9)

9

Un(Vn-1)=-Vn-3 Un = ³

1

n n

v v





 

  

 

n n

n n n

( )1 3

V 3 3

U 1 V 1 ( )1 3

 _n  

xlim V 0 ,|q| 1 donc



  



x n

lim U 0 3 3 1 0

3/a) ₁ 3 ⁵ ³ 3 ⁵ ^{3 3} ⁹ ² ⁶ ²⁽ ³⁾

3 3 3 3

n n n n n

n

n n n n

U U U U U

U ^ U U U U

     

     

   

1 1 1

0 3 3 3 6

6 3 3

n n

n

U U

       U 



2 2

3 U_n 3 3

  

 2 | 3 | 2

| 3 |

3 3

n

n n

U U

U

   

 comme U_n3 est positif 2 | 3 | 2

| 3 |

| 3 | 3

n

n n

U U

U

   



1

| 3 | 2| 3 |

n 3 n

U _ U

   

b/Montrons par recurrence que | 3 | 2( )² 3

n

Un   pour n = 0, | ₀ 3 | 2( )² ⁰

U   3 vrai supposons que | 3 | 2( )²

3

n

Un  ,montrons que | ₁ 3 | 2( )² ¹ 3

n

Un_   ^ On a | 3 | 2( )² ²| 3 | ²(2)( )² ²| 3 | (2)( )² ¹

3 3 3 3 3 3

n n n

U    U    U   ^

On a | ₁ 3 | ²| 3 | | ₁ 3 | 2( )² ¹

3 3

n

n n n

U _   U  U _   ^ Conclusion :| 3 | 2( )²

3

n

Un  