Universit´e Paris Diderot M1 Arithm´etique
2010-2011
Feuille d’exercices II
Exercice 1 Soient 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛 des entiers. Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe deux indices𝑘et 𝑙 dans{0, . . . , 𝑛},𝑘 < 𝑙, tels que𝑎𝑘+1+⋅ ⋅ ⋅+𝑎𝑙 soit divisible par𝑛.
1) Pour tout𝑖∈ {0, . . . , 𝑛}, soit
𝑏𝑖= ∑
1⩽𝑗⩽𝑖
𝑎𝑗.
Montrer qu’il existe deux nombres 𝑏𝑘 et 𝑏𝑙 (𝑘 < 𝑙) dont les images dans ℤ/𝑛ℤ co¨ıncident.
2) Conclure.
Exercice 2 On d´esigne par ℙ(𝑛) l’´enonc´e suivant : pour toute famille (𝑎𝑖)2𝑛−1𝑖=1 de 2𝑛−1 entiers (𝑛⩾1), il existe un sous-ensemble𝐼 de cardinale 𝑛 de{1, . . . ,2𝑛−1}
tel que∑
𝑖∈𝐼𝑎𝑖 soit divisible par𝑛.
1) Soient𝑛et𝑚deux entiers⩾1. On suppose v´erif´ee la conditionℙ(𝑛). Soit (𝑎𝑖)2𝑚𝑛−1𝑖=1 une famille de 2𝑚𝑛−1 entiers. Montrer qu’il exsite 2𝑚−1 sous-ensembles deux-`a- deux disjoints𝐼1, . . . , 𝐼2𝑚−1de{1, . . . ,2𝑚𝑛−1}tels que, pour tout𝑖∈ {1, . . . ,2𝑚− 1}, la somme∑
𝑗∈𝐼𝑖𝑎𝑗 soit divisible par𝑛.
2) En d´eduire que, pour tous entiers𝑛, 𝑚⩾1, on a ℙ(𝑛) etℙ(𝑚) =⇒𝑃(𝑛𝑚).
Dans la suite, on fixe un nombre premier𝑝.
3) Soit (𝑎𝑖)2𝑝−1𝑖=1 une famille de 2𝑝−1 entiers. Montrer que le syst`eme d’´equations (dont 𝑋1, . . . , 𝑋2𝑝−1 sont des ind´etermin´ees)
{𝑎1𝑋1𝑝−1+⋅ ⋅ ⋅+𝑎2𝑝−1𝑋2𝑝−1𝑝−1 = 0, 𝑋1𝑝−1+⋅ ⋅ ⋅+𝑋2𝑝−1𝑝−1 = 0
admet une solution (𝑥1, . . . , 𝑥2𝑝−1) qui n’est pas identiquement nulle dans𝔽2𝑝−1𝑝 . 4) Soit𝐼l’ensemble des indices𝑖∈ {1, . . . ,2𝑝−1}tels que𝑥𝑖∕= 0. Montrer que card(𝐼)
est divisible par𝑝. En d´eduire que card(𝐼) =𝑝.
5) Montrer que∑
𝑖∈𝐼𝑎𝑖 est divisible par𝑝.
6) En d´eduire que l’´enonc´eℙ(𝑛) est vrai pour tout entier 𝑛⩾1.
Exercice 3 On appelleanneau local tout anneau commutatif qui admet un et un seul id´eal maximal.
1) Soient𝐴un anneau et𝔪un id´eal de𝐴,𝔪∕=𝐴. On suppose que tout ´el´ement dans 𝐴∖𝔪 est inversible. Montrer que𝐴est un anneau local.
2) Soient𝐴 un anneau local et𝔪 l’id´eal maximal de𝐴. Montrer que tout ´el´ement de 𝐴∖𝔪 est inversible.
3) Soient 𝐴 un anneau et 𝔪 un id´eal maximal de 𝐴. On suppose que tout ´el´ement 𝑥∈𝔪 est nilpotent (i.e., il existe un entier𝑛⩾1 tel que𝑥𝑛 = 0). Montrer que𝐴 est un anneau local.
4) Soit𝑝un nombre premier et𝛼⩾1 un entier. Montrer que l’anneauℤ/𝑝𝛼ℤest local.
5) D´eterminer l’id´eal maximal deℤ/𝑝𝛼ℤpuis le cardinale de (ℤ/𝑝𝛼ℤ)×. Exercice 4 Soient𝑝un nombre premier impair et𝛼⩾1 un entier.
1) Soit𝜉la classe de congruence de 1 +𝑝dansℤ/𝑝𝛼ℤ. Montrer que𝜉 est un ´el´ement de (ℤ/𝑝𝛼ℤ)×.
2) Montrer que l’ordre de𝜉dans (ℤ/𝑝𝛼ℤ)×est𝑝𝛼−1. On peut raisonner par r´ecurrence sur𝛼.
3) Montrer que l’application de projection ℤ/𝑝𝛼ℤ → ℤ/𝑝ℤ induit un morphisme de groupes (ℤ/𝑝𝛼ℤ)×→(ℤ/𝑝ℤ)× qui est surjectif.
4) En d´eduire qu’il existe un ´el´ement𝑥d’ordre𝑝−1 dans (ℤ/𝑝𝛼ℤ)×. 5) Calculer l’ordre de𝑥𝜉 puis montrer que le groupe (ℤ/𝑝𝛼ℤ)× est cyclique.
Exercice 5 Soit𝛼⩾3 un entier.
1) Montrer que le groupe (ℤ/4ℤ)× est cyclique.
2) Soit𝜉la classe de 5 dans ℤ/2𝛼ℤ. Montrer que𝜉est un ´el´ement d’ordre 2𝛼−2 dans (ℤ/2𝛼ℤ)×.
3) Montrer que 2𝛼−1+ 1 ∕≡ −1 (mod 2𝛼). En d´eduire que la classe de −1 n’est pas dans le sous-groupe de (ℤ/2𝛼ℤ)× engendr´e par𝜉.
4) En d´eduire que (ℤ/2𝛼ℤ)× est isomorphe `a (ℤ/2𝛼−2ℤ)×(ℤ/2ℤ). Ce groupe est-il cyclique ?
Exercice 6 Soit 𝐾 un corps commutatif. On appelle valuation discr`ete sur 𝐾 tout morphisme de groupes𝑣 : 𝐾× → (ℤ,+) tel que𝑣(𝑥+𝑦)⩾ min(𝑣(𝑥), 𝑣(𝑦)). Si 𝑣 est une valuation discr`ete sur𝐾, on ´etend𝑣 en une application de 𝐾 versℤ∪ {+∞} de sorte que𝑣(0) = +∞. On convient queℤ∪ {+∞} est muni d’une relation d’ordre qui prolonge la relation d’ordre usuelle et telle que 𝑛 ⩽ +∞ pour tout 𝑛 ∈ ℤ. Dans la suite, soit𝐾 un corps muni d’une valuation discr`ete𝑣.
1) Montrer que𝒪𝐾,𝑣:={𝑥∈𝐾∣𝑣(𝑥)⩾0}est un sous-anneau de𝐾.
2) Montrer que l’anneau𝒪𝐾,𝑣est local dont l’id´eal maximal est𝔪𝐾,𝑣:={𝑥∈𝐾∣𝑣(𝑥)>
0}.
3) Montrer que l’id´eal𝔪𝐾,𝑣 est principal.
4) Soit𝜛un ´el´ement qui engendre𝔪𝐾,𝑣. Montrer que tout id´eal non-nul de𝒪𝐾,𝑣 est engendr´e par une puissance de𝜛. En d´eduire que𝒪𝐾,𝑣 est un anneau principal.
5) Soit𝑝 un nombre premier. Pour tout entier non-nul 𝑛, soit 𝑣𝑝(𝑛) l’exposant de 𝑝 dans la d´ecomposition euclidienne de𝑛. Montrer que la fonction𝑣𝑝 s’´etend de fa¸con unique en une valuation discr`ete surℚ(appel´ee la valuation𝑝-adique).
6) Soit𝑝un nombre premier. ´Etablir la relation 𝑣𝑝(𝑛!) =∑
𝑘⩾1
⌊𝑛 𝑝𝑘
⌋
(𝑛⩾1)
7) En d´eduire
𝑛
𝑝−1< 𝑣𝑝(𝑛!)⩽ 𝑛
𝑝+ 𝑛
𝑝(𝑝−1).
