Informatique 3A MFI Automne 2015
Corrigé de l’examen à mi-parcours du 14 septembre 2015
Correction de l’exercice 1.
On trouve en utilisant par exemple la fonction suivante
http://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/MFI/fichiers_matlab/developpement_limite.m, f(x) =exp(1)−(x2∗exp(1))/2 +o
x2 . Correction de l’exercice 2.
(1) (a) On obtient
f(1)(0) = 1, f(2)(0) = 0, f(3)(0) =−1.
On en déduit le développement limité cette fonction en zéro à l’ordre3 : sin(x) =x−x3
6 +o x3 (b) De même, puisque,
f(4)(0) = 0 il vient
sin(x) =x−x3 6 +o
x4 (2) La dérivée de la fonctiong définie par
g(x) =x−x3 6 est donnée par
g(x) = 1−x2 2 dont les zéros sont±√
2. On en déduit queg est strictement croissante sur l’intervalle[0,π4]. Voir la figure 1. Les deux graphes sont quasiment confondus !
(3) (a) Puisque toutes les dérivées de la fonction sinus sont en valeurs absolue inférieures à 1, il vient alors sin(x)−
x−x3
6
≤π
4 5 1
5!. (b) Numériquement, on a
π
4 5 1
5!= 2.4904 10−3,
ce qui signifie que l’écart entre les deux courbes de la figure 1 est très faible et donc que ces deux courbes sont confondues.
On peut confirmer cela en traçant le logarithme décimal de l’erreur comme le montre la figure 2.
1
2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
sin DL
Figure 1.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
−18
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
Figure 2.
Polytech Automne 2015 MFI : Corrigé de l’examen à mi-parcours du 14 septembre 2015 Jérôme Bastien
