D 248. Casé au plus juste. ****
Problème proposé par Sébastien Terrasson.
Inscrire le plus grand pentagone régulier dans un hexagone régulier de côté 1.
Solution proposée par Michel Lafond réponse : c ~
Voici comme j’ai procédé :
Avec des découpes de papier, il semble qu’un bon candidat pour le pentagone maximal a l’allure ci-dessus.
Il est intuitif que le pentagone maximal doit s’appuyer au maximum sur le contour de l’hexagone.
On peut donc supposer que A et B sont sur le contour de l’hexagone.
Il y a alors deux paramètres : a = FA et c = AB pour le côté du pentagone.
J’explore (par un programme MAPLE) le domaine [0 ; 0,3] pour a et [1,01 ; 1,15] pour c.
Puisqu’on a deux paramètres, on peut imposer deux conditions, par exemple D sur (IJ) et E sur (JK).
a et c étant connus, le pentagone est parfaitement déterminé et le programme mesure alors la quantité w = distance (D, IJ) + distance (E, JK) qui doit être la plus petite possible.
Le programme (par des balayages de plus en plus fins) sélectionne les valeurs de a et de c qui minimisent w.
Je trouve ainsi : pour w de l’ordre de 10-11 On vérifie, bien sûr que l’abscisse de C est supérieure à
Le fait que à 10-10 près ne peut pas être une coïncidence.
Par ailleurs, avec les valeurs sélectionnées, on constate que les abscisses de A et de E sont les mêmes, ce qui n’est guère étonnant car cela conduit à une symétrie.
Passons aux calculs.
Dans la figure 2 ci-dessous :
FA = a ; Ox est axe de symétrie et (ABCDE) est un pentagone régulier de côté c = 1 + a.
Les coordonnées de A sont
Les coordonnées de B vérifient et A
B
C
D
E F G
H
I
J
K
Figure 1
O
En éliminant on tire est la plus petite des racines soit :
Posons
car L’angle BAE mesure donc l’angle BAG mesure
Dans le triangle BAG, AG = 1 – a donc
On tire après quelques calculs dont une simplification par a – 1 :
On calcule
puis
. On arrive à Avec (1) et (2) on calcule
où
On en déduit
et après de laborieux calculs :
Il reste à vérifier que C est bien dans l’hexagone, ce qui est vrai car . A
B
C
D
E F G (0 ;
1)
H
I
J
K x
Figure 2 O
a 1 + a
