Equation différentielle de type y’= ay 2 BSTE EQUATIONS DIFFERENTIELLES

EQUATIONS DIFFERENTIELLES 2 BSTE

I Généralités sur les équations différentielles

Une équation différentielle d’ordre n est une équation reliant une fonction noté y et ses n dérivées premières (y’ ; y’’ ; y’’’ ; ………)

II

Equation différentielle de type y’= ay

Résoudre l’équation 𝑓’ = 𝑎. 𝑓 ou f est une fonction dérivable sur l’ensemble IR

C’est chercher les fonctions f dérivables sur IR vérifiant : Pour tout x élément de IR 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑓’(𝑥)

En notant 𝑦 = 𝑓(𝑥) ; ainsi 𝑦’ = 𝑓’(𝑥) et l’équation s’écrit y’ = 𝑎𝑦 ( équation d’ordre 1)

On aura alors ceci Y’ = 𝑎𝑦  ^𝑦′

𝑦 = 𝑎  ln(y) = 𝑎𝑥 + 𝑐 ou c’est un élément de IR  Y =𝑒^{𝑎𝑥+𝑐}

 Y =𝑒^𝑎𝑥.𝑒^𝑐

En posant 𝑒^𝑐 = K On obtient les solutions de l’équation sont Y = K𝑒^𝑎𝑥 avec K une constante quelconque de IR

Théorème

Soient 𝑎 ; 𝑥₀, 𝑦₀ des nombres réels

Les solutions de l’équation y’ = 𝑎𝑦 sont les fonctions définies sur IR par Y = K𝑒^𝑎𝑥 avec K une constante réelle L’équation y’ = 𝑎𝑦 admet une seule solution y vérifiant la condition y ( 𝑥₀) = 𝑦₀ cette solution est la fonction

Définie par 𝑦(𝑥) = 𝑦₀𝑒^𝑥−𝑥0

Exercice

1) Résoudre dans IR l’équation différentielle 3y’+Y = 0

2) Déterminer la fonction f solution de

l’équation précédente vérifiant la condition initiale f(0) = 2

solution

1) On a :

3y’+ y = 0  y’ = -

3

y

C’est une équation différentielle de la forme y’

= ay avec a = -

3

Les solutions de cette équation différentielles sont les fonctions définies sur IR par :

Y(x) = K𝑒

avec K ϵ IR

La fonction f solution de l’équation différentielle

3y’+y = 0 est f(x) = K𝑒

Pour trouver la solution f vérifiant la condition initiale f (0) = 2 il suffit de remplacer x par 0 et calculer K

2) On a f (0) = 2

K 𝑒

= 2

 k=2

D’où f(x) = 2𝑒

est la

solution vérifiant la condition

initiale f (0) = 2