Chapitre 2 : Intégration 1 Equation différentielle
1.1 Définition d’une équation différentielle
Une . . . est une équation dont l’inconnue est une fonction.
Définition
Exemple
• L’équationf′(x) = 5peut se notery′= 5en considérant queyest une fonction inconnue qui dépend dex.
Dans ce cas, une solution de l’équation esty=. . . .. En effet(. . . .)′= 5.
• Un solution de l’équationy′= 2xesty=. . . ..
y=. . . .est une autre solution de l’équation différentielle. En effet,(. . . .)′= 2x.
1.2 Équation différentielle du typey′ =f
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On dit que la fonction g est une solution de l’équation différentielley′ =f surIsi et seulement si,gest dérivable surIet, pour tout réelxdeI, on a :g′(x) =f(x).
Définition
Exemple
La fonctiongdéfinie sur]0; +∞[parg(x) = 3x2+ ln(x)est solution de l’équation différentielley′= 6x+1 xcar : g′(x) = 3×2x+ 1
x
= 6x+1 x
2 Primitive d’une fonction
Exemple
On considère les fonctions suivantes :f : R → R
x 7→ 2x+ 3 etF : R → R
x 7→ x2+ 3x−1 . On constate queF′(x) =. . . . Fest donc solution de l’équation différentielle :y′=f. On dit dans ce cas queF est une primitive def surR
Soitfune fonction continue sur un intervalleI.
On dit qu’une fonctionF est une primitive de la fonctionf surI si . . . . . . . .
Définition
"F est une primitive defsurI" a le même sens que . . . .
Exemple
• f(x) = 2a pour primitiveF(x) =. . . surR. • g(x) = 1 2√
x a pour primitiveG(x) =. . . surR. Détermination des primitives d’une fonction
On cherche dans le tableau des dérivées usuelles en le lisant de droite à gauche et on utilise les résultats suivants :
•siF est une primitive def surI et siGest une primitive degsurI alorsF +Gest une primitive def +gsurI.
•siF est une primitive def surI et sikest un nombre réel quelconque alorskFest une primitive dekf surI.
Primitives des fonctions usuelles
Pour chacune des fonctionsf suivantes, la fonctionF est une primitive def sur l’intervalleI donné :
Fonctionf IntervalleI PrimitiveF
f(x) =a aveca∈R I =R . . . . f(x) =xn avecn∈N∗ I =R . . . .
f(x) = 1
x2 I =]− ∞; 0[ ou I =]0 : +∞[ . . . . f(x) = 1
xn avecn6= 1 I =]− ∞; 0[ ou I =]0 : +∞[ . . . . f(x) = 1
√x I =]0 : +∞[ . . . .
f(x) =ex I =R . . . .
f(x) = 1
x I =]0 : +∞[ . . . .
f(x) = cosx I =R . . . .
f(x) = sinx I =R . . . .
Fonctions composées :
Fonctionf(x) PrimitivesF(x) Exemples
f = (u+v)
Z
x2+ex
=
f =k×u
Z 5 x
=
f = u′
√u
Z
√ 5 5x−2
=
f = u′eu
Z
−2xe−x2
=
f = u′
u
Z
2x3−ex 0,5x4−ex
=
f = u′un
Z
2x(x2−3)3
=
f = u′
un
Z
3x2 (x3−7)4
=
f = cos(ax+b)
Z
(cos(3x−1)) =
f = sin(ax+b)
Z
(sin(3−7x)) =
3 Intégrale
3.1 Calcul
On appelleintégrale def sur[a; b]le nombre réelF(b)−F(a)oùF est une primitive quelconque def sur I. Il est noté
Z b
a
f(x)dx=F(b)−F(a).
Définition
Exemple
Calcul de l’intégrale : Z 3
2
x dx:
• Une primitive def(x) =xestF(x) =. . . ..
• donc, Z 3
2
x dx=F(3)−F(2) =. . . . Remarque
— L’intégrale d’une fonctionf sur[a; b]est indépendante du choix de la primitiveF.
— On note aussi Z b
a
f(x)dx= [F(x)]ba=F(b)−F(a).
— Dans l’écriture Z b
a
f(x)dx, la variablexest « muette », ce qui signifie que Z b
a
f(x)dx= Z b
a
f(t)dt=. . . Ledxoudtdétermine la variable par rapport à laquelle on intègre la fonction :x, out.
3.2 Interprétation graphique
Sif est une fonction positive sur[a; b], alors Z b
a
f(x)dxest égal à l’aire du domaine compris entre la courbe def, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=bexprimée en unité d’aire.
Propriété
Exemple
Calcul de l’aire du domaine compris entre la courbe d’équation 1 x, l’axe des abscisses, et les droites d’équationsx= 1
2etx= 4dans un repère orthonormé(O;−→i;−→j)d’unité graphique1cm :
Z 4
12
1
xdx=. . . .
Z 4
1 2
1
xdx=. . . .
1 2 3 4
−1
−1 1 2 3
Remarque
On étend la notion d’intégrale pour une fonction non positive :
∗ Sifest une fonction continue et négative sur[a;b],
on appelle intégrale def sur[a;b]l’opposé de l’aire du domaine Det on note
Z b a
f(t)dt=−aire(D).
1 x y 1
O
Cf -D
a b
∗ Sifest une fonction continue qui change de signe sur[a;b],
on appelle intégrale de f sur [a;b] la différence entre l’aire obtenue
quandf est positive et l’aire obtenue quandf est négative. 1 x
y 1
O
Cf +
− +
a b
3.3 Propriétés
Soitf etgdeux fonctions continues sur un intervalleI,a,betcdes éléments deI. Soitλ∈R.
Linéarité Bornes de l’intégrale
Z b a
(f +g)(x)dx=
. . . .
Z b a
λf(x)dx=
. . . .
Z a a
f(x)dx=. . .
Z a b
f(x)dx=
. . . .
Positivité Relation d’ordre Relation de Chasles
Sif(x)≥0sur[a;b]
Z b a
f(x)dx≥. . . .
Sif(x)≤g(x)sur[a;b]
Z b a
f(x)dx≤. . . .
Z b a
f(x)dx=
. . . .
4 Calcul d’aires
Soitf etgdeux fonctions continues sur[a;b].
Sif(x)≥g(x) sur[a;b], alors l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface délimitée par les courbesCf etCget les droites d’équationsx=aetx=best :
. . . .
5 Valeur moyenne
Soitf une fonction continue sur[a;b].
Sia≤bet simetM sont deux réels tels quem≤f(x)≤Mpour toutx∈[a;b], alors . . . .
et sia < b, . . . . Théorème
On appelle valeur moyenne de la fonctionfsur[a;b]le nombre . . . . Définition
