Selon le vecteur unitaire t :
m a
t= m g
t- h v
or
v
t=
ldq/dt
(si dq/dt < 0 alors vt < 0) et donca
t= dv/dt =
ld
2q/dt
2alors
m
ld
2q /dt
2= - m g sin q -
lh d q /dt
d
2q/dt
2+ (h/m) dq/dt + (g/
l) sinq = 0
Pour les petites amplitudes (q < 10 degrés) :
d
2q/dt
2+ (h/m) dq/dt + (g/
l) q = 0 q’’ + (h/m) q’ + (g/
l) q = 0
Equation différentielle
q = q
msin(w
0t + f) q’ = q
mw
0cos(w
0t + f) q’’= - q
mw
02sin(w
0t + f)
Oscillations non amorties (frottement négligeable)
q ’’ + (g/ l ) q = 0
- w
02+ g/
l= 0 w
0=
= 2p / T0T
0= 2p
Oscillations amorties
Solution : q = q
me
-t/tsin( w t + f )
avec ω² = ω
0² - 1/t² et t = 2 m / h
q ’’ + (h/m) q ’ + (g/ l ) q = 0
Analyse dimensionnelle de t = 2 m / h
[ t ] = [m] / [h]
Or h = F / v donc [h] = [F] / [v] = M L T
-2/ (L T
-1) = M T
-1Alors : [ t ] = M / (M T
-1) = T
L’expression de t est bien homogène à un temps.
Traitement de la solution de l’équation différentielle
Solution : q = q
me
-t/tsin(w t + f)
avecω² = ω
0² - 1/t²
ett = 2 m/h
q’ = - (1/t) q m
e
-t/t sin(w t + f) + w q m e-t/t cos(w t + f) = q me
-t/t [- (1/t) sin(w t + f) + w cos(w t + f)]q’’ = q m
e
-t/t [(1/t2 – w2) (sin(w t + f) + (- 2w/t ) cos(w t + f)]Alors :
Terme cos :
- 2w/t +
(h/m)w
= 0 donc2 m/ t = h
alorst = 2 m/h Terme sin :
(1/t2 – w2)–
(h/m )/t + (g/l ) = 0donc w2 + (h/m )/t = (g/l ) + 1/t2 alors w02 – 1/t2 + (h/m )/t = (g/l ) + 1/t2 or w02 = g/l donc finalement : h = 2m/t et donc on retrouve
