1 Rappels de première . . . . 2 2 Limite d’une suite. . . . 3

1 ^{numériques Suites}

Sommaire

Partie A (s

) 2

1 Rappels de première . . . . 2 2 Limite d’une suite. . . . 3

2.1 limite infinie 3

2.2 limite finie 5

Partie B (s

) 7

3 Suites géométriques . . . . 7

3.1 Rappels de première 7

3.2 Somme des termes 7

3.3 Limite 8

Partie A (s

)

La notion de suite est indissociable des procédures itératives utilisées dès l’Antiquité, notamment chez le scientifique grec Archimède de Syracuse pour trouver des ap- proximations de nombres irrationnels commeπou de grandeurs à mesurer : surfaces, volumes. . .

À partir du xviii^e siècle, les suites deviennent un outil incontesté pour la détermi- nation de valeurs approchées de valeurs numérique. De nos jours, les ordinateurs permettent des approximations de plus en plus fines.

La théorie des suites fournit un cadre de modélisation dans de nombreux domaines : en économie, biologie, écologie, physique. . .

Archimède (-287 ;-212)

1 Rappels de première

Une suite de réels est une liste ordonnée de nombres réels indexée par les entiers naturels.

On note u = (u

)

= (u

; u

; u

; . . . ; u

; u

; u

; . . . ) Définition 1.

Exemple 2

Vous avez certainement déjà vu ce genre de défi où il faut continuer la suite :

• 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,. . . suite géométrique de raison 2

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,. . . suite des carrés

• −3, 1, 5, 9, 13, 17, 21,. . . suite arithmétique de raison 4

• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,. . . suite de Fibonacci

Voir vidéo Késako sur le nombre d’or

Une suite (u

)

est définie de manière explicite lorsque chaque terme u

est défini en fonction de son rang n, indépendamment des autres termes : u

= f (n) où f désigne une fonction.

Définition 3.

Une telle expression permet de calculer n’importe quel terme de la suite.

ici,f:x→7x−5

Exemple 4

Soit (uⁿ)^n∈Nla suite définie par un= 7n−5.

• u0= 7×0−5 =−5 ;

• u1= 7×1−5 = 2 ;

• u2014= 7×2 014−5 = 14 093.

Une suite (u

)

est définie par récurrence lorsque l’on connait son pre- mier terme et une relation de la forme :

u

= f (u

) où f désigne une fonction.

Définition 5.

Cette relation de récurrence permet de calculer un terme de la suite à partir du terme précédent.

Exemple 6

Soit (uⁿ)^n∈Nla suite définie par :

u0 = 3 un+1 = −2uⁿ+ 1 .

• u1=−2u0+ 1 =−2×3 + 1 =−5 ;

• u2=−2u1+ 1 =−2×(−5) + 1 = 11. . .

L’inconvénient d’une telle suite est que les termes « éloignés » du début de la suite sont difficiles d’accès : pour calculeru100il faut, a priori, calculer tous les termes précédents ! !

Pour calculer les termes d’une suite, on peut utiliser un tableur, un logiciel de géométrie dynamique ou logiciel de programmation.

2 Limite d’une suite

Quel est le comportement d’une suite (u

) lorsque n prend de grandes valeurs ? On écrit : lim

n→+∞

u

= ?

2.1 limite infinie

On dit qu’une suite (u

) a pour limite +∞ quand n tend vers +∞ si pour tout entier naturel p, on peut trouver un rang N à partir duquel tous les termes u

sont supérieurs à 10

. On écrit :

n→+∞

lim u

= +∞.

Définition 7.

n u

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

n≥N u_n≥10^p

10

Exemple 8

Soitula suite définie paruⁿ= 0,5n²−n+ 1.

On admet que cette suite admet une limite infinie en +∞.

Mettre en œuvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel un≥10 000, soit un≥10⁵.

Un algorithme est une suite finie d’instructions permettant de résoudre un problème.

Le mot algorithme vient du nom du mathématicien perse Al-Khwarizmi (années 800) surnommé le père de l’algèbre

Algorithme Seuil pour une limite infinie Variable

n:un nombre entier naturel { indice de la suite } u:un nombre réel { valeur de la suite au rangn } Début

Affecter à n la valeur 0

Affecter à u la valeur 0,5n²−n+ 1 { ou directement 1 } TantQue u est inférieur à 10 000 Faire

Affecter à n la valeur n+ 1 { incrémentation de 1 }

Affecter à u la valeur 0,5n²−n+ 1 { nouvelle valeur deu } FinTantQue

Afficher n Fin

On peut tester cet algorithme grâce à un logiciel ou une calculatrice.

Voici ce que cela donne avec AlgoBox :

VARIABLES

n EST_DU_TYPE NOMBRE u EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME

n PREND_LA_VALEUR 0

u PREND_LA_VALEUR 0.5*n*n-n+1 TANT_QUE (u<10000) FAIRE

DEBUT_TANT_QUE

n PREND_LA_VALEUR n+1

u PREND_LA_VALEUR 0.5*n*n-n+1 FIN_TANT_QUE

AFFICHER n FIN_ALGORITHME

n=0 u=1

et avec Python : while u>10000:

n=n+1

u=0.5*n*n-n+1 print(n)

L’algorithme nous donne un seuil de 143, c’est à dire que pour toute valeur densupérieure ou égale à 143,uⁿ sera supérieur ou égale à 10⁵.

2.2 limite finie

On dit qu’une suite (u

) a pour limite ℓ quand n tend vers +∞ si pour tout entier naturel p, on peut trouver un rang N à partir duquel tous les termes u

sont à une distance de ℓ inférieure à 10

. On écrit :

n→+∞

lim u

= ℓ.

Définition 9.

n u

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b |un−ℓ| ≤10^−p

n≥N

N ℓ

10

ℓ

ℓ + 10

Exemple 10

Soitula suite définie pour toutn≥1 parun= 3 +(−1)ⁿ n² pour . On admet que cette suite admet pour limite 3 en +∞.

Mettre en œuvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel

|un−3| ≤0,00001, soit|un−3| ≤10⁻⁵.

Algorithme Seuil pour une limite finie Variable

n:un nombre entier naturel u:un nombre réel

Début

Affecter à n la valeur 1

Affecter à u la valeur 3 +(−1)ⁿ n²

TantQue |u−3| est supérieur à 0,00001 Faire Affecter à n la valeur n+ 1

Affecter à u la valeur 3 + (−1)ⁿ n² FinTantQue

Afficher n Fin

Variables

Initialisation

Traitement

Sortie

Voici ce que cela donne avec AlgoBox :

VARIABLES

n EST_DU_TYPE NOMBRE u EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME

n PREND_LA_VALEUR 1

u PREND_LA_VALEUR 3+pow(-1,n)/pow(n,2) TANT_QUE (ABS(u-3)>0,00001) FAIRE

DEBUT_TANT_QUE

n PREND_LA_VALEUR n+1

u PREND_LA_VALEUR 3+pow(-1,n)/pow(n,2) FIN_TANT_QUE

AFFICHER n FIN_ALGORITHME la syntaxe poura^b

estpow(a,b)

n=1 u=2

et avec Python : while abs(u-3)>0.00001:

n=n+1

u=3+pow(-1,n)/pow(n,2) print(n)

L’algorithme nous donne un seuil de 317, c’est à dire que pour toute valeur den supérieur ou égale à 317, la différence entreuⁿ et 3 sera inférieure à 0,00001.

Remarque 11

Une suite peut ne pas admettre de limite. Par exemple la suite de terme général

(−1)

prend alternativement les valeurs 1 et

Partie B (s

)

3 Suites géométriques

3.1 Rappels de première

Une suite (u

)

est géométrique s’il existe un réel q non nul appelé raison de la suite tel que pour tout entier naturel n :

u

= q

u

. Définition 12.

Autrement dit, on passe d’un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par le même nombre q.

Exemple 13

Soit (uⁿ)^n∈N, la suite géométrique de premier termeu0= 5 de raisonq=−2.

La définition de la suite (uⁿ)^n∈N par récurrence est

u0 = 5 un+1 = −2un :

• u1=−2u0=−2×5 =−10 ;

• u2=−2u1=−2×(−10) = 20. . .

Soit (u

)

une suite géométrique de premier terme u

de raison q,

•

Pour tout n

, on a u

= u

q

,

•

Pour tous (n, p)

, on a u

= u

q

. Propriété 14.

sip= 0, on retrouve la formule précédente

Exemple 15

Soit (un)n∈N la suite géométrique de premier termeu0 = 5 de raisonq =−2, le terme de rang 4 est :u4= 5×(−2)⁴= 80.

3.2 Somme des termes

La somme des (n + 1) premières puissances d’un nombre q

S = 1 + q + q

+

+ q

= 1

q

1

q .

Propriété 16.

Ch.01

Suites numériques

Remarque 17

Pour simplifier l’écriture, on note

n

X

i=0

q

= 1 + q + q

+

+ q

.

on lit somme pouri allant de1àndesqⁱ

Démonstration :

1 + q

+

q

+ . . . + q

= S

−

q

+

q

+ . . . + q

+ q

= qS

1

q

= S

qS = S(1

q)

d’où le résultat attendu : S = 1

q

1

q .

La somme des 9 premières puissances de 2 vautS = 1 + 2 + 2². . .+ 2⁸=1−2⁸⁺¹ 1−2 = 511.

3.3 Limite

Si 0 < q < 1 alors lim

n→+∞

q

= 0, et si q > 1 alors lim

n→+∞

q

= +∞.

Propriété 19.

le casq= 1est trivial carqⁿ= 1∀n

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

q= 2

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

q= 1,5

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

q= 1,3

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

q= 1,2

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

q = 1

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

q = 0,5

n q

Une suite géométrique peut également être définie ainsi :

pour tout n

, u

= u

q

, on a donc les propriétés suivantes.

Soit (u

) une suite géométrique de premier terme u

q > 0.

•

si 0 < q < 1 alors lim

n→+∞

u

= 0 ;

•

si q = 1 alors la suite (u

) est constante et égale à u

;

•

si q > 1 alors lim

n→+∞

u

=

si u

< 0 et lim

n→+∞

u

= +∞ si u

> 0.

Propriété 20.