la suite definie sur par 3( 2)

Lycée O.CH.M’SAKEN Mr. karmous. A. 3° année MATH Série d’exercices (suites réelles)

EXERCICE 1

 

^{* 0}

1

-1

la suite definie sur par 3( 2)

2( 1) + 2( 1)

n

n n

Soit n n

n n

U IN u

^

u u



 

  

  



∀ n ∈

IN^*

1) a) Montrer par récurrence que ∀ n∈ IN

^*

; U

n

< 3 b) Etudier la monotonie de la suite U

2) On considère la suite V définie sur IN

^*

par V

n

= n ( 3 – U

n

) .

a) Montrer que V est une suite géométrique dont on précisera sa raison et son premier terme V

1

b) Exprimer V

n

puis U

n

en fonction de n . c) Calculer la limite de la suite U

EXERCICE 2

Soit la suite ( U

ⁿ

) définie sur IN

^*

par U

n

= n 3

ⁿ

1) a – Montrer que (U

n

) n’est pas une suite géométrique . b- Montrer que pour tout n ∈ IN

^*

on a : U

n

> 0 c- Montrer que pour tout n ∈ IN

^*

on a : U

_n+1

U

n

≤ 2

3

d) En déduire que la suite ( U

n

) est décroissante .

2) a- Montrer que pour tout n ∈ IN

^*

on a : U

n

≤ ( 2 3 )

n

b- En déduire que ( U

n

) est convergente .

3)Soit n ∈

IN

^*

. On pose S

n

=

¹

n k

U

k





. Montrer que la suite ( S

n

) est croissante et majorée par 2 .

Exercice n° 3

On considère la suite

( u

_n

)

définie sur

IN

^¿ _{par :}

^u

ⁿ

⁼ 3

ⁿ

n .

1) a- Montrer que, pour tout n

¿ IN

^¿ _,

u

_n+1

u

_n

≥1

. b- En déduire que, la suite u est croissante.

2) Montrer que, pour tout n

¿ IN

^¿ _,

u

_n

≥3 n−3

. En déduire

lim u

_n

n→+∞

Exercice n° 4

Soit u la suite réelle définie sur IN par :

u

₀ = 1 et pour tout n

¿ IN

_,

u

_n+1

= n+ 2 2( n+ 1) u

_n

.

1) a- Montrer que la suite u est décroissante et minorée.

b- En déduire que la suite u est convergente et déterminer sa limite.

2) Soit

( v

_n

)

la suite définie par :

v

_n

= u

_n

n +1

_.

a- Montrer que la suite v est géométrique; et déterminer l'expression de

v

_{n puis de}

u

_n en fonction de n.

b- En remarquant que,

u

_n

− 1 2

ⁿ

= n

2

ⁿ _{, calculer}

lim

n→+∞

( n 2

ⁿ

)

.

3) Soit Sn =

∑

k=0

n−1

k

2

^k+1 _{où n}

¿ IN

^¿ _.

a- Montrer que pour tout

k ∈IN

_{; on a :}

^u

^k

^−u

^k+1

⁼ k 2

^k+1 _.

b- Montrer que, Sn = 1

−u

_n . Calculer alors

lim

n→+∞ Sn. EXERCICE 5

1

considere la suite U definie par = 2 et pour tout n IN ; 3

5

n

o n

n

On U U

^

U U

  



1) a – Montrer que pour tout entier naturel n on a : 1



_Un



₂

b- Montrer que U est décroissante .

2) a- Montrer que : Un+1 – 1

 2

3

_{(Un – 1 )}

b – En déduire que pour tout entier naturel n ; Un – 1

 ( ² 3 )

ⁿ

c – Déterminer la limite de la suite U .

3) On pose Sn =

1 0 n k_^

U

k



pour

n ∈

IN . Montrer que n



_Sn



n + 3.[1 -

( ² 3 )

ⁿ ]. Calculer

lim

nSn

4) On pose Vn =

3 -1

n n

U U



a – Montrer que V est une suite géométrique de raison 2

b- Déterminer Un en fonction de n puis retrouver la limite de la suite U

c- Pour tout entier naturel n ; on pose S’n = ⁰

1 1

n

k^

U

k

^



. Déterminer S’n en fonction de n puis calculer

lim

nS’n .