La fonction e

S15 - Fonc/usuelles 4

Fonction exponentielle de u

1 Définition

on dit que f est la compo- sée deusuivie de e

Remarque.

Soit u une fonction continue, dérivable sur un intervalle I .

La fonction e

définie par x

e

est appelée exponentielle de u.

Définition 1.

1 2

1

1 2

−1

−2 0

C_f C_g .

Exemple 2

• Siu(x) =−x, la fonctione^u est définie surRparf(x) =e^−x.

• Siv(x) = 2x−1, la fonctione^v est définie surRparg(x) =e^2x−1.

Le fonction x

e

est strictement positive sur l’intervalle où elle est définie.

Propriété 3.

2 Étude de la fonction e ^u

Soit u une fonction définie dérivable sur l’intervalle I, la fonction x

e

est continue et dérivable sur I de dérivée

e

= u

(x) e

(x).

Propriété 4.

1 2

1

1 2

−1

−2 0

C_f .

Exemple 5

Soitf la fonction définie surRparf(x) = e^x2−x.

La fonction polynômeudéfinie par u(x) =x²−xest continue et dérivable surRde dérivéeu^′(x) = 2x−1 donc,f est dérivable surRde dérivéef^′(x) = (2x−1) e^x2−x.

u^′e^uest du même signe que u^′ puisquee^u>0

.

Les fonctions u et e

ont le même sens de variation.

Propriété 6.

Soit u une fonction continue et dérivable sur l’intervalle I, une primitive de la fonction u

(x) e

est e

.

Propriété 7.

Exemple 8

Une primitive de la fonctionf définie surRparf(x) =−3 e^−3x+2estF(x) = e^−3x+2.

N.Daval - mathematiques.daval.free.fr 1/1 Lycée Georges Brassens