Correction du devoir maison de Math

Correction du devoir maison de Math´ematiques n

2

Exercice 1

La fonction f1 est d´erivable sur les intervalles ]− ∞; 0[ et ]0; +∞[ et on a :

f1^′(x) = 3×(2x)−2×−1

x² = 6x+ 2 x² La fonction f2 est d´erivable sur l’intervalle ]0; +∞[ et on a :

f2^′(x) = 1×√

x+x× 1 2√

x =√

x+ x 2√

x =√ x+

√x 2 = 3

2

√x

La fonction f3 est d´erivable sur les intervalles ]− ∞;−1[, ]−1; 1[ et ]1; +∞[ et on a :

f3^′(x) = 1×(x²−1)−(x+ 2)×(2x)

(x²−1)² = x²−1−2x²−4x

(x²−1)² = −x²−4x−1 (x²−1)²

Exercice 2

On consid`ere la fonction f(x) = x+ 1 x−1 .

1. La fonction f est d´efinie sur ]− ∞; 1[∪]1; +∞[.

2. La fonction f est d´erivable sur les intervalles ]− ∞; 1[ et ]1; +∞[ avec :

f^′(x) = 1×(x−1)−(x+ 1)×1

(x−1)² = −2

(x−1)² <0

3. On en d´eduit que la fonction f est d´ecroissante sur les intervalles ]− ∞; 1[ et ]1; +∞[.

4. On a x_B = 0 doncy_B = f(x_B) = f(0) =−1 et le point B a pour coordonn´ees (0;−1).

De plus y_A = 0 donc f(x_A) = y_A = 0 ce qui entraine x_A = −1 et le point A a pour coordonn´ees (−1; 0).

5. La tangente T_A a pour ´equation :

y=f^′(x_A)(x−x_A) +y_A=f^′(−1)(x+ 1) + 0 =−1

2(x+ 1) =−1 2x−1

2 La tangente T_B a pour ´equation :

y=f^′(x_B)(x−x_B) +y_B=f^′(0)(x−0) + (−1) =−2x−1

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6. La repr´esentation graphique de la fonction f est la suivante :

A

B T_A

T_B

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