D287. Entrelacements polygonaux
Un quadrilatère et un pentagone (l’un et l’autre concaves ou convexes mais non croisés) admettent dans le plan n points d’intersection distincts. Déterminer la plus grande valeur possible de n.
Pour les plus courageux: deux polygones, l’un et l’autre concaves ou convexes mais non croisés, ont
respectivement p et q côtés. Déterminer en fonction de p et de q la plus grande valeur possible du nombre de leurs points d’intersection.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Dans le cas de , la figure suivante montre qu’on peut avoir 16 intersections (chaque côté du quadrilatère coupe quatre côtés du pentagone) ; suivant les calculs qu’on va effectuer, la valeur 16 est optimale :
En général soit le nombre maximal de points d’intersections distincts entre deux polygones ayant respectivement et cotés. La formule la plus simple correspond à : indépendamment de , on a
Néanmoins il s’agit d’une formule à partir de laquelle il n’est pas facile de voire la bonne généralisation ; en fait on a :
si et sont pairs ;
si est pair et est impair
si et sont impairs
Lorsque , pas de doutes que deux triangles ont au plus 6 points d’intersections ; mais, dans la figure suivante, on peut interpréter les lignes coloriées comme un bloc correspondant au groupement d’un nombre impair (ce qui donne un sens aux « extrémités » du bloc) de côtés distinctes ; la figure correspond donc à faire l’intersection entre le « heptagone ABC» et le « pentagone DEF » :
Le 5-côté coupe 20 fois (soit 5*(1+3)) le pentagone ; le côté le coupe 3+1 fois ; et deux autres intersections viennent du côté . La figure se généralise immédiatement au cas de impairs : le bloc de segments donne lieu à intersections ; les deux autres côtés du -gone donnent lieu respectivement à et intersections, pour un total de .
Les cas restants sont plus simples : tout polygone ayant côtés avec pair peut être concentré en un unique bloc de segments. Maintenant les notions de « point initial » et « point final » n’ont plus de sens, mais on n’en a pas besoin ; si aussi est pair, le p-bloc et le q-bloc se coupent fois ; si est impair, chaque segment du p-bloc rencontre un côté et un (q-2)-bloc du polygone de côtés ; les intersections sont donc .
Remarque 1 Les résultats obtenus sont optimaux :
Dans le cas de pairs. Tout côté d’un polynôme peut rencontrer au plus une fois chaque côté de l’autre.
Dans le cas de pair et impair. Soit en fait un polygone de q cotés avec impair. Toute droite coupe les côtés de en points au plus. On remarque qu’un segment dont les extrémités sont du même côté de la droite n’est pas coupé par le droite ; par ailleurs toute droite coupe le plan en deux demi-plans ; et les q sommets sont au mieux d’un côté et de l’autre ; des sommets partent au plus côtés qui arrivent de l’autre côté de la droite. En
particulier un p-bloc peut couper au plus fois les côtés de ; et disperser le p-bloc en segments contigus n’apporte pas d’améliorations.
Dans le cas de impairs, les contributions apportés par les termes qui donnent lieu à sont optimales ; mais il n’est pas évident que les ultérieures possibilités donnent lieu à 2 seules intersections.
Sauf peut-être dans ce dernier cas, l’hypothèse « polygones non-croisés » semble inutile.
