H132. Les angles droits du polygone
Soit un polygone de n côtés, convexe ou non, dont les côtés ne se coupent pas entre eux et qui contient à l'intérieur k angles droits et n k angles différents de 90°.
Exemple : le polygone ci-après ABCDEFGH a n 8 côtés et on dénombre à l'intérieur k 6 angles droits situés aux sommets A,B,D,E,F et G. Les deux angles en C et H sont droits à l'extérieur du polygone et valent 270° à l'intérieur du polygone.
Pour n 2008, quelle est la plus grande valeur possible de k ?
Source : présélection pour les Olympiades internationales de mathématiques.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Supposons dans un premier temps, bien que cela contredise l’hypothèse selon laquelle les côtés ne se coupent pas entre eux, que des angles de 360° soient autorisés.
La somme des angles intérieurs d’un polygone de côtés vaut 2 180°, d’entre eux valent 90° et sont inférieurs ou égaux à 360°, il vient :
90° 360° 2 180°
3 2 4
En particulier, en prenant 4 3, on a 4 2. Montrons ensuite qu’il existe une construction permettant d’atteindre ce maximum.
Pour 4 côtés, il suffit de considérer le cas du rectangle qui possède bien 4 angles droits :
On obtient ensuite, à partir d’un polygone à côtés et angles droits, un autre polygone de 3 côtés et 2 angles droits par la substitution suivante de l’un quelconque de ces côtés :
Au final, on obtient bien pour un polygone à 4 3 un nombre de 4 2 angles droits intérieurs, correspondant au maximum recherché. (La figure ci-dessous illustre le cas 28)
Pour respecter l’hypothèse selon laquelle les côtés ne se coupent pas entre eux, il est en réalité nécessaire d’utiliser des angles de 360° , au détriment de l’un des angles droits qui devient alors un angle de 90° .
Un polygone à 4 3 possède donc un nombre maximum de 3 2 angles droits intérieurs seulement.
On obtient donc finalement, pour 2008, la plus grande valeur possible . 360°