Les ensembles
Quelles sont les opérations usuelles sur les ensembles ? Pour deux ensemblesAetB:
• A∪Best l’ensemble constitué des éléments qui appartiennent àAouàB: A∪B={x|x∈Aoux∈B}
(noter que A∪Bcontient les éléments deAetles éléments deBce qui prête parfois à confu- sion) ;
• A∩Best l’ensemble constitué des éléments qui appartiennent à la fois àAetàB: A∩B={x|x∈Aetx∈B}
• A\Best l’ensemble constitué des éléments qui appartiennent àAet qui n’appartiennent pas àB:
A\B={x|x∈Aetx∉B}
A\Best aussi notéA−B.
Illustration graphique : le cercle de gauche délimite l’ensembleA, celui de droite l’ensembleB. Les parties hachurées correspondent respectivement àA∪B,A∩BetA\B.
A∪B A∩B A\B
Comment montrer queA ⊂B? Si A etB sont deux ensembles, A ⊂B signifie que A que tout élément deAappartient également àB. Pour montrer queA⊂B, on considèrex∈Aet on démontre quex∈B.
Exemple. Démontrer queA⊂BavecA=Vect³ 1
−10
´
etB=n³x y z
´
∈R3|x+y+z=0o . ÞSoitu∈A, il existe alorsλ∈Rtel queu=λ³ 1
−10
´
=³ λ
−λ0
´
. On noteu=³x
y z
´
, alorsx=λ,y= −λet z=0 doncx+y+z=0.On en déduit queu∈B.Ceci montre queA⊂B.
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Comment montrer l’égalité de deux ensembles ? On a l’équivalence : A=B ≺===Â (A⊂BetB⊂A)
Pour montrer queA=B, on montre alors queA⊂BetB⊂A(on dit que l’on proccède par double inclusion).
Exemple. Démontrer queF=GavecF={P∈R[X]|P(1)=0} etG={P∈R[X]|(X−1)|P}.
ÞSoitP∈F. On réalise la division euclidienne dePpar (X−1) : il existe un unique couple (Q,R)∈ R[X] tel queP(X)=(X−1)Q(X)+R(X) et degR<deg(X−1). Comme deg(X−1)=0, on a degRÉ0 donc le polynômeRest constant. En substituant 1 àX, on obtientP(1)=0=R(1) donc le polynôme Rest constant égal à 0 doncR=0 et ainsiP=(X−1)Q. Par conséquent, (X−1)|PdoncP∈Get ceci montre queF⊂G. Réciproquement, soitP∈G, il existe alorsQ∈R[X] tel queP(X)=(X−1)Q(X).
En substituant 1 àX, il vientP(1)=0 doncP∈F. Ceci montre queG⊂Fet on en déduit finalement
queF=G.
Remarque. On peut parfois démontrer l’égalité entre deux ensembles en raisonnant par équiva- lences :
x∈A ≺===Â · · · ≺===Â x∈B
Exemple. Soitf : R3 7→ R3
³x yz
´
7→ ³x−y y−z z−x
´
. Démontrer que Kerf =Vect³1
11
´ .
ÞPour³x
y z
´
∈R3on a :
³x y z
´
∈Kerf ≺===Â f³x y z
´
=0 ≺===Â ³x−y
y−zz−x
´
=0 ≺===Â
x=y y=z z=x
≺===Â x=y=z
≺===Â ³x y z
´
=³x
xx
´
≺===Â ³x y z
´
=x³1
11
´
≺===Â ³x y z
´
∈Vect³1
11
´
et par conséquent Kerf =Vect³1
11
´
.
Remarque. SiF estGsont des sous-espaces vectoriels d’un espaceEde dimension finie,F⊂Get dimF=dimG, alorsF=G. On dit dans ce cas que l’on montre l’égalité deF etGpar un argument
de dimension.
Exemple. Démontrer queF=GavecF=Vect³³1
11
´,³1
01
´´etG=Vect³³−1
−11
´,³0
10
´´
ÞSoitu∈G, il existeα,β∈Rtels queu=α³−1
−11
´ +β³0
10
´ . Ainsi : u=α³³1
11
´
−2³1
01
´´
+β³³1
11
´
−³1
01
´´
=(α+β)³1
11
´
+(−2α−β)³1
01
´
doncu∈F. Ceci montre queG⊂F. De plus,FetGsont des sous-espaces vectoriels deR3engendrés par deux vecteurs non colinéaires, donc dimF=dimG=2. On en déduit queF=G.
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