Tabledesmatières EspaceseuclidiensI

Espaces euclidiens I

Olivier Sellès, transcrit par Denis Merigoux

Table des matières

1 Produit scalaire et généralités 2

1.1 Faits de base . . . 2

1.1.1 Produit scalaire . . . 2

1.1.2 Orthogonalité . . . 3

1.2 Norme euclidienne . . . 5

1.2.1 Inégalité deCauchy-Schwartz . . . 5

1.2.2 Norme . . . 5

1.2.3 Angle géométrique . . . 7

1.2.4 Quelques relations utiles . . . 7

2 Théorèmes fondamentaux 10 2.1 Premier théorème . . . 10

2.2 Deuxième théorème . . . 10

2.2.1 Résultat principal . . . 10

2.2.2 Processus d’orthogonalisation deGram-Schmidt . . . 11

2.3 Troisième théorème . . . 14

2.3.1 Résultat principal . . . 14

2.3.2 Distance à une partie . . . 15

3 Espaces euclidiens 15 3.1 Bases orthonormées et distance à un hyperplan . . . 16

3.2 Projecteurs et symétries orthogonales . . . 17

3.3 Formes linéaires surE . . . 19

3.4 Adjoint d’un endomorphisme . . . 19

4 Groupe orthogonal 21 4.1 Définition, exemples . . . 21

4.2 Propriétés . . . 22

4.3 Matrices orthogonales . . . 24

5 Orientation, produit mixte 27 5.1 Orientation . . . 27

5.2 Produit mixte . . . 27

1 Produit scalaire et généralités

1.1 Faits de base 1.1.1 Produit scalaire

Soit E un R-espace vectoriel. Un produit scalaire surE est une application ϕde EˆE dans Rtelle que : (1) ϕest bilinéaire ;

(2) ϕest symétrique : @x, yPE,ϕpx, yq “ϕpy, xq; (3) ϕest positive ;@xPE,ϕpx, xq ě0 ;

(4) ϕest définie : @xPE,ϕpx, xq “0ô x“0.

Remarques

– Siϕest un produit scalaire sur unR-espace vectoriel E, on note pourx, yPE x.y ou xx, yyoupx|yq au lieu de ϕpx, yq, qui se lit «x scalaire y».

– Soit ϕ une forme bilinéaire sur le R-espace vectoriel E, on sait que @x P E,ϕpx,0q “ ϕp0, xq “ 0 par bilinéarité. Ainsi,ϕvérifie p3q etp4q si et seulement si@xPEz t0u,ϕpx, xq ą0. C’est le caractère défini positif deϕ. En effet :

ñ D’aprèsp4q,ϕpx, xq ‰0 et d’après p3q,ϕpx, xq ě0 d’oùϕpx, xq ą0.

ð Commeϕp0,0q “0 et que@xPE,ϕpx, xq ě0, alorsϕpx, xq “0ôxREz t0u ôx“0.

Exemples

(1) Pour E“Rⁿ,x“ pα₁, α₂, . . . , α_nq ety“ pβ₁, β₂, . . . , β_nq on pose xx, yy “

n

ÿ

i“1

α_iβ_i

px, yq ÞÝÑ xx, yydéfinit ainsi un produit scalaire surRⁿ appelé produit scalaire canonique. On remarque de plus que sibc_n “ pe₁, e₂, . . . , e_nq,@ pi, jq P v1, nw² xe_i, e_jy “δ_i,j.

(2) Pour E“R²,x“ pα₁, α₂q ety “ pβ₁, β₂q, on pose

ϕpx, yq “α₁β₁`α<sub>1</sub>β<sub>2</sub>`α₂β₁`3α2β₂ – ϕ est bilinéaire et symétrique.

– Pour x“ pα₁, α₂q PE,

ϕpx, xq “ α²₁`2α<sub>1</sub>α<sub>2</sub>`3α²₂

“ pα₁`α<sub>2</sub>q<sup>2</sup>´α<sup>2</sup><sub>2</sub>`3α²₂

“ pα₁`α₂q² looooomooooon

ě0

` 2α²₂ loomoon

ě0

ě0

et de plus, ϕpx, xq “0ôα1`α2 “0 et α²₂ “0 si et seulement si α1 “α2“0.ϕest définie positive.

(3) Pour E“Cpra, bs,Rq,f, gPE on pose

xf, gy “ żb

a

f g

– pf, gq ÞÝÑ xf, gyest bilinéaire et symétrique d’après les propriétés de l’intégrale et du produit de fonctions de R dansR.

– Pourf PE,xf, fy “ żb

a

f²orf²est continue et positive donc żb

a

f²ě0 et żb

a

f² “0ôf² “0ôf “0 ; f est définie positive.

(4) Pour E“M_npRq,A, BPE, on pose

xA, By “Trp^tABq

– pA, Bq ÞÝÑ xA, Byest bilinéaire.

– Montrons que cette application est symétrique : soient A, BPM_npRq, xB, Ay “ Trp^tBAq

“ Trp^tp^tBAqq car la trace est invariante par transposition

“ TrpB^tAq

“ Trp^tABq car la trace commute

“ xA, By

– Montrons maintenant la définition et positivité : soitAPM_npRq, Trp^tAAq “

n

ÿ

i“1

p^tAAq ri, js

“

n

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

tAri, jsArj, is

“

n

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

pArj, isq² loooomoooon

ě0

ě0 De plus,

xA, Ay “0 ô @ pi, jq P v1, nw², Ari, js² “0 ô @ pi, jq P v1, nw², Ari, js “0 ô A“0

(5) C est un R-espace vectoriel qui s’identifie à R². Son produit scalaire standard est défini pour z, z¹ P C pour

@z, z¹D

“ℜepzqℜe` z¹˘

`ℑmpzqℑm` z¹˘

“ℜe` zz¹˘

1.1.2 Orthogonalité

Soit E un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire x¨,¨y^a, x, y P E. On dit que x est orthogonal à y si xx, yy “0. Le produit scalaire étant symétrique, on dit plutôt quex ety sont orthogonaux et on notexKy.

Une famille de vecteurs de Ez t0u est dite orthogonale si ses vecteurs sont orthogonaux deux à deux.

a. C’est donc bien évidemment un espace pré-hilbertien !

Proposition Toute famille orthogonale de vecteurs deE est libre.

Il suffit de le prouver pour une famille finiepx₁, x₂, . . . , xnq de vecteurs deEz t0u. Soient α₁, α₂, . . . , αnPR tels que

n

ÿ

i“1

α_ix_i “0.Alors, pourjP v1, nw,

0 “ x0, xjy

“ C _n

ÿ

i“1

α_ix_i, x_j G

“

n

ÿ

i“1

α_ixx_i, x_jy loomoon

δi,jxxj,xjy

“ αjxxj, xjy x_j ‰0 doncxx_j, x_jy ‰0 donc α_j “0.

Orthogonal d’une partie

Soit AĂE, l’othogonal deA notéA^K est l’ensembletxPE|@aPA, xKau.

Remarques

– AĂB ñB^K ĂA^K. Plus spécifiquement, Vectpx₁, x₂, . . . , x_nq^K“ tx₁, x₂, . . . , x_nu^K. En effet :

˝ tx₁, x₂, . . . , xnu ĂVectpx₁, x₂, . . . , xnq donc Vectpx₁, x₂, . . . , xnq^KĂ tx₁, x₂, . . . , xnu^K.

˝ Siy P tx₁, x₂, . . . , x_nu^K, soitx“

n

ÿ

i“1

α_ix_i PVectpx₁, x₂, . . . , x_nq,

xx, yy “

n

ÿ

i“1

αixxi, yy

“ 0 car yP tx₁, x₂, . . . , xnu^K En particulier, Vectpxq^K “ txu^K.

– A^K est toujours un sous-espace vectoriel. En effet :

˝ @aPA,xa,0y “0 donc 0PA^K.

˝ Pour αPR,x, yPA^K,aPA,

xa, αx`yy “ αxa, xy ` xa, yy

“ 0 αx`yPA^K d’où le résultat.

– t0u^K“E etE^K “ t0u. Pour xPE,x“0ô @yPE,xx, yy “0.

– Quel est le rapport entreA etA^KK? Montrons queAĂA^KK. En effet, siaPAalors @xPA^K,xa, xy “0 doncaPA^KK.

Mais même si F est un sous-espace vectoriel de E, on peut avoir F ĹF^KK. Prenons un exemple : soit E “ Cpr0,1s,Rq, F l’ensemble des fonctions polynômiales et pour f, g P E, xf, gy “

żb a

f g. F est un sous-espace vectoriel deE or F^K “ t0u.

En effet, soit f PF^K, alors pour tout fonction polynômiale P, ż1

0

f P “ 0. On définit les polynômes de Bernsteinpar

B_npfq:r ÝÑ

n

ÿ

k“0

ˆn k

˙

x^kp1´xq^n´k et on a lim

nÑ`8 sup

tPr0,1s|fptq ´B_npfq| “0 Ainsi,

ż1 0

f² “ ż1

0

f²´ ż1

0

f B_npfq “ ż1

0

fpf ´B_npfqq. Or ˇ

ˇ ˇ ˇ

ż₁

0

fptq pfptq ´Bnpfptqqq dt ˇ ˇ ˇ ˇ ď

ż₁

0 |fptq| |fptq ´Bnpfptqq| dt ď Mn

ż1

0 |f| ÝÑ_nÑ`80 La suite

ˆż1 0

fpf´B_npfqq

˙

nPN

converge vers 0, or cette suite est constante égale à ż1

0

f² donc ż1

0

f²“0 orf est continue positive donc f²“0ñf “0.

On a doncF^KK“` F^K˘K

“ t0u^K “E etF ‰E car, par exemple, cos_|r0,1s n’est pas polynômiale.

1.2 Norme euclidienne

1.2.1 Inégalité de Cauchy-Schwartz

Pourx, yPE,

xx, yy²ď xx, xy xy, yy Il y a égalité si et seulement si px, yqest liée.

Démonstration

– Six“0, on trouve 0“0, ce qui est vrai.

– Supposonsx‰0. Alors@tPR,xtx`y, tx`yy ě0 or

xtx`y, tx`yy “t²xx, xy `2txx, yy ` xy, yy “Pptq

où P est polynômiale de degré 2, toujours positive dans R. Alors P ne peut pas avoir 2 racines réelles distinctes donc ∆pPq ď0ô4´

xx, xy²´ xx, xy xy, yy¯

ď0 d’où le résultat.

Étudions maintenant les cas d’égalité.

– S’il y a égalité, alors ∆pPq “0 donc P admet une racine double t₀ donc 0“Ppt₀q “ xt₀x`y, t<sub>0</sub>x`yy ô t₀x`y“0

ô y est proportionnel àx

– Réciproquement, siy est proportionnel àx,y“αxavec αPR, alors xx, yy²“ xx, αxy²“α²xx, xy² mais aussixx, xy xy, yy “ xx, xy xαx, αxy “α²xx, xy²; l’égalité est vérifiée.

Remarques

– PourE“Rⁿ,x¨,¨yle produit scalaire canonique, alors pourpα₁, α₂, . . . , α_nq,pβ₁, β₂, . . . , β_nq PRⁿ, d’après l’inégalité deCauchy-Schwartz,

˜ _n ÿ

i“1

α_iβ_i

¸2

ď

˜ _n ÿ

i“1

α²_i

¸ ˜_n ÿ

i“1

β_i²

¸

– Pour E“Cpra, bs,Rq muni dexf, gy “ żb

a

f g,

ˆżb a

f g

˙2

ď żb

a

f² żb

a

g²

– Pour E“M_npRqmuni de xA, By “Trp^tABq,@A, BPM_npRq, pTrp^tABqq²ďTrp^tAAqTrp^tBBq 1.2.2 Norme

Soit E un R-espace vectoriel, une norme sur E est une application N :EÝÑR_` possédant les propriétés de : (1) séparation :@xPE,Npxq “0E ôx“0E;

(2) homogénéité : @xPE,@αPR,Npαxq “ |α|Npxq; (3) inégalité triangulaire : Npx`yq ďNpxq `Npyq.

SiN est une norme sur leR-espace vectoriel E, on a aussi^a @x, yPE,Npx`yq ě |Npxq ´Npyq|.

a. «Left to the reader ! »

Exemple Pour E “Rⁿ,x“ pα₁, α₂, . . . , αnq etpě2 on définit les applications suivantes : – N₈pxq “ max

iPv1,nw|x_i|; – N₁pxq “

n

ÿ

i“1

|αi|;

– N_ppxq “

˜ _n ÿ

i“1

|α_i|^p

¸¹_p

D’après les inégalités deMinkowski^a,N_p est une norme au même titre queN₁ et N₈. Théorème et définition

Soit E un R-espace vectoriel et x¨,¨y un produit scalaire. Pour xPE on pose }x} “a

xx, xy

}¨} est une norme surE appelée norme euclidienne associée au produit scalaire xx, xy. Montrons de}¨} est une norme.

(1) Pour xPE,

}x} “0 ô a

xx, xy “0 ô xx, xy “0 ô x“0 (2) Pour xPE etαPR,

}αx} “ a

xαx, αxy

“ ?

α²a xx, xy

“ |α| }x} (3) Pour x, yPE,

p}x} ` }y}q<sup>2</sup>´ }x`y}² “ }x}²`2}x} }y} ` }y}²´ xx`y, x`yy

“ }x}²`2}x} }y} ` }y}²´ xx, xy ´2xx, yy ´ xy, yy

“ 2´a

xx, xy xy, yy ´ xx, yy¯ Or, d’après l’inégalité deCauchy-Schwartz,

xx, yy² ď xx, xy xy, yy ñ xx, yy ďa

xx, xy xy, yy D’où p}x} ` }y}q<sup>2</sup>´ }x`y}² ě0, ce qui prouve l’inégalité triangulaire.

Cas d’égalité }x} ` }y} “ }x`y} Caractérisons maintenant les cas d’égalité de l’inégalité triangulaire.

– Supposons que }x} ` }y} ´ }x`y} “ 0 avec x ‰ 0. On a alors xx, yy “ a

xx, xy xy, yy d’où, d’après la caractérisation des cas d’égalité pour l’inégalité de Cauchy-Schwartz, Dα P R tel que y “ αx. Donc xx, yy “ αxx, xy mais aussi xx, yy “ |α| xx, xy d’après la définition de la norme. Ainsi, |α| “ α donc αPR_`.

– Réciproquement, six“0, il y a bien égalité. D’autre part, siDαPR<sub>`</sub>tel quey“αx, alorsx`y“ p1`αqx d’où }x`y} “ |1`α| }x} “ p1`αq }x} car 1`αą0, et de plus }x} ` }y} “ }x} `α}x} “ p1`αq }x} d’où le résultat.

a. Voir section 15.3.4 du cours complet page 239.

'

&

$

% Finalement, }x`y} “ }x} ` }y} si et seulement six“0E ou DαPR_` tel quey “αx.

Mieux, de manière plus symétrique, on a^a :

}x`y} “ }x} ` }y} ô DuPEz t0u,Dα, β PR_`{

#x“αu y“βu

a. «Left to the reader !»

On peut réécrireCauchy-Schwartzavec la norme euclidienne associée au produit scalairex¨,¨y:@x, yPE, xx, yy² ď }x}²}y}²

1.2.3 Angle géométrique

Soient x, yPEz t0u, alors xx, yy

}x} }y} P r´1,1s. Par définition, l’angle géométrique dex ety est θ“arccos

ˆ xx, yy }x} }y}

˙

On a doncθP r0, πset cosθ“ xx, yy

}x} }y} d’où^a xx, ty “ }x} }y}cosθ.

a. Ce fut ce moment que choisit M. Sellès pour marquer sa satisfaction de faire de la géométrie sans dessins ni figures, en agrémentant son cours d’un «niark niark» jubilatoire.

On a bienxx, yy “0ôcosθ“0ôθ“ π

2 etpx, yq liéeô |xx, yy| “ }x} }y} ôcosθP t˘1u ôθP t0, πu.

De plus, θ“0ôx ety sont positivement liés : ^| x y

De même, θ“π ôx ety sont négativement liés : x ^| y

Remarque Pour x, yPEz t0u, l’angle géométrique dex ety est égal à celui de x¹ “ x

}x} ety¹ “ y }y}. On a en effet

xx¹, y¹y

}x¹} }y¹} “ @ x¹, y¹D

“ B x

}x}, y }y}

F

“ xx, yy }x} }y} uPEz t0u est unitaire si}u} “1.

Siu etv sont unitaires, alors l’angle géométrique entre les deux est β“arccospxu, vyq.

1.2.4 Quelques relations utiles

Règles de calcul Soit E unR-espace vectoriel muni d’un produit scalaire x¨,¨y de norme associée }¨}. On a alors, par bilinéarité :

C _r ÿ

i“1

α_ix_i,

m

ÿ

j“1

β_jy_j G

“

r

ÿ

i“1 m

ÿ

j“1

α_iβ_jxx_i, y_jy

En particulier, en prenant le même vecteur :

›

›

›

›

›

r

ÿ

i“1

αixi

›

›

›

›

›

2

“ C _r

ÿ

i“1

αixi,

r

ÿ

j“1

αjxj

G

“

r

ÿ

i“1 r

ÿ

j“1

α_iα_jxx_i, x_jy

“ ÿ

pi,jqPv1,rw

α_iα_jxx_i, x_jy

“

r

ÿ

i“1

α²_ixx_i, x_iy ` ÿ

pi,jqPv1,rw

i‰j

α_iα_jxx_i, x_jy

“

r

ÿ

i“1

α²_i}x_i}²`2 ÿ

1ďiăjďn

α_iα_jxx_i, x_jy car x¨,¨y est symétrique et le produit est commutatif

Ainsi, on a @ px₁, x₂, . . . , x_rq PE,@α₁, α₂, . . . , α_r PR:

›

›

›

›

›

r

ÿ

i“1

α_ix_i

›

›

›

›

›

2

“

r

ÿ

i“1

α²_i }x_i}²`2 ÿ

1ďiăjďr

α_iα_jxx_i, x_jy En particulier, en prenant @iP v1, rw,α_i “1,

›

›

›

›

›

r

ÿ

i“1

x_i

›

›

›

›

›

2

“

r

ÿ

i“1

}x_i}²`2 ÿ

1ďiăjďr

xx_i, x_jy De plus, si les xi sont orthogonaux deux à deux :

›

›

›

›

›

r

ÿ

i“1

x_i

›

›

›

›

›

2

“

r

ÿ

i“1

}x_i}²

Famille orthonormées

La famille px_iq_iPI de vecteurs deE est orthonormée si@ pi, jq PI,xx_i, x_jy “δ_i,j. En d’autres termes, les x_i sont unitaires et orthogonaux deux à deux.

Une famille orthonormée est toujours libre. Pourpx₁, x₂, . . . , x_rq orthonormée, on a toujours

›

›

›

›

›

r

ÿ

i“1

αixi

›

›

›

›

›

2

“

r

ÿ

i“1

α²_i et

›

›

›

›

›

n

ÿ

i“1

xi

›

›

›

›

›

2

“r

Identités remarquable Prenonsr“2, pourx, yPE on a

}x`y}<sup>2</sup> “ }x}<sup>2</sup>` }y}²`2xx, yy p1q mais aussi, en changeant y en ´y,

}x´y}² “ }x}²` }y}²´2xx, yy p2q

On remarque d’après p1q que xKy ô }x`y}<sup>2</sup> “ }x}<sup>2</sup>` }y}². De plus, p1q ` p2q donne l’identité du parallélo- gramme :

}x`y}<sup>2</sup>` }x´y}² “2´

}x}²` }y}²¯

y

x

x`y

x´y

La somme des carrés des longueurs des côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales.

De plus,p1q ´ p2q donne l’identité de polarisation :

4xx, yy “ }x`y}²´ }x´y}² Normes non euclidiennes

Une normeN surE est euclidienne s’il existe un produit scalaire x¨,¨y sur E tel queNpxq “a xx, xy. SiN est une norme euclidienne, alors on doit avoir l’identité du parallélogramme :@x, yPE,

Npx`yq<sup>2</sup>`Npx´yq² “2´

Npxq²`Npyq²¯

PrenonsE “R²,x “ pα, βq, on pose alors N₈ “maxp|α|,|β|qet N₁ “ |α| ` |β|. Montrons que N₁ etN₈ ne sont pas des normes euclidiennes.

– Pour N₈, soient x“ p1,1q,y “ p1,0q, alorsx`y“ p2,1q etx´y “ p0,1q d’où N<sub>8</sub>px`yq²`N₈px´yq²“5 mais 2´

N₈pxq²`N₈pyq²¯

“4 – Pour N₁, soient x“ p1,0q ety“ p0,1q, alorsx`y “ p1,1q etx´y“ p1,´1q d’où

N1px`yq<sup>2</sup>`N1px´yq²“8 mais 2´

N1pxq²`N1pyq²¯

“4

Illustration Soit E un R-espace vectoriel muni du produit scalaire x¨,¨y de norme associée }¨}, u,v, w des vecteurs unitaires de E. On appelleθ,ϕetψles angles géométriques entre respectivement uetv,v etw,wet u. Alors les trois angles ne peuvenet être tous à la fois strictement supérieurs à 2π

3 . En effet, supposonsθ, ϕ, ψ P

2π 3 , π



et considérons

}u`v`w}² “ }u}²` }v}<sup>2</sup>` }w}²`2pxu, vy ` xv, wy ` xw, uyq

“ 3`2pcosθ`cosϕ`cosψq ă 3´2ˆ3ˆ1

2 ă 0

Ce qui est impossible, bien évidemment.

2 Théorèmes fondamentaux

2.1 Premier théorème

SoitE unR-espace vectoriel muni d’un produit scalaire x¨,¨y etxPEz t0u. Alors E “Vectpxq ‘ txu^K

On remarque que siF est un sous-espace vectoriel de E, alors F XF^K “ t0u car si x PF XF^K, xx, xy “ 0ôx“0.

Démonstration RxX pRxq^K “ t0u donc la somme est directe. Montrons que E“Rx` txu<sup>K</sup>, soitu PE on chercheαPRetbP txu<sup>K</sup> tels que u“αx`b.

– Siαetbexistent, alorsxu, xy “ xαx`b, xy “α}x}<sup>2</sup>` xb, xy “α}x}². D’oùα “ xu, xy

}x}² et nécessairement b“u´xu, xy

}x}² x.

– Écrivons donc

u“ xu, xy }x}² x lo omo on

a

`u´xu, xy }x}² x looooomooooon

b

Il est clair queaPRx, vérifions quebKx.

xb, xy “ B

u´xu, xy }x}² x, x

F

“ xu, xy ´ xu, xy }x}² loomoon

xx,xy

xx, xy

“ 0

Remarque Soit p le projecteur sur Vectpxq parallèlement à txu^K. p s’appelle le projeteur orthogonal sur Vectpxq. Alors, d’après ce qui précède,@yPE,

ppyq “ xx, yy

}x²} x d’oùppyq “ xx, yyxsi x est unitaire

x y

ppyq

2.2 Deuxième théorème 2.2.1 Résultat principal

Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire x¨,¨y. Alors E admet des bases orthonormées.

Démonstration Soit Hn : « Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n muni d’un produit scalaire x¨,¨y. AlorsE admet des bases orthonormées ».

– H₁ est vraie : soit E un R-espace vectoriel de dimension 1, De PEz t0u tel que E “ Vectpeq. Alors e }e} est unitaire et

ˆ e }e}

˙

forme une base orthonormée de E.

– Soit nPN^˚ tel queH_n est vraie, E un R-espace vectoriel de dimensionn`1 muni d’un produit scalaire x¨,¨y. SoitaPE unitaire^a, alors , d’après le premier théorème,E“Vectpaq ‘ tau^K et on poseF “ tau^K. La somme est directe donc dimF “ dimE ´1 “ n donc d’après H_n, F admet une base orthonormée pe₁, e₂, . . . , e_nq. Par recollement, pe₁, e₂, . . . , e_n, aq est une base orthonormée deE.

2.2.2 Processus d’orthogonalisation deGram-Schmidt

C’est une méthode qui permet, à partir d’une famille libre, d’obtenir une famille orthonormée.

Soit E un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire x¨,¨y, r P N^˚, px₁, x₂, . . . , x_rq une famille libre de vecteurs deE. Alors il existe une famille orthonorméepy₁, y₂, . . . , y_rqtelle que@kP v1, rw, Vectpx₁, x₂, . . . , x_kq “ Vectpy₁, y₂, . . . , y_kqetxx_k, y_ky ą0.

Démonstration On procède par récurrence sur r.

– Pour r“1, soit xPEz t0u, on prend ˆ x

}x}

˙

comme base orthonormée.

– Pourr“2, soitpx₁, x₂qlibre dansE. On prendy₁“ x₁

}x₁}. CherchonstPRetyPE tels quey“x₂`ty₁ etxy, y₁y “0. On ne peut avoiry₂ “0 car sinon x₂ serait proportionnel ày₁ et donc à x₁. Or

xy, y₁y “ xx₂`ty₁, y₁y

“ xx₂, y₁y `t}y₁}² loomoon

1

On prend donct“ ´ xx₂, y₁yet on a Vectpy₁, yq “Vectpx₁, x₂qcary₂ PVectpx₁, x₂q. En posanty₂“ y }y}, on a finalement py₁, y₂q une base orthonormée deE. En effet,

xx₂, yy “ xx₂, x₂`ty₁y

“ }x₂}²`txy₁, x₂y

“ }x2}²´ xy1, x2y²

D’après l’inégalité deCauchy-Schwartz,xy1, x2y²ď }x2}²}y1}² et}y1}²‰0 cary1‰0 doncxy1, x2y ă }x₂}² doncxx₂, yy ą0 d’où le résultat.

– Supposons le résultat vrai pourrě2. Soitpx₁, x₂, . . . , x_r`1qune famille libre de vecteurs de E. D’après

l’hypothèse de récurrence, on peut trouverpy₁, y₂, . . . , yrqorthonormée telle que@kP v1, rw, Vectpx₁, x₂, . . . , xkq “ Vectpy₁, y₂, . . . , y_kq etxx_k, y_ky ą0. Soient maintenant t₁, t₂, . . . , t_rPRtels que

y “x<sub>r`1</sub>`

r

ÿ

i“1

t_iy_i PVectpy₁, y₂, . . . , y_rq “Vectpx₁, x₂, . . . , x_rq

y‰0 et Vectpy₁, y₂, . . . , yr, yq “Vectpy₁, y₂, . . . , yr, x_{r`1</sub>q “Vectpx<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, . . . , x<sub>r`1}q donc@jP v1, rw, xy, yjy “ xx<sub>r`1</sub>, yjy `

r

ÿ

i“1

tixyi, yjy

“ xx<sub>r`1</sub>, y<sub>j</sub>y `t_j

a. Il suffit pour cela de prendrexPEz t0uet a“ x }x}.

On prend donc tj “ ´ xx_{r`1</sub>, yjy de sorte que y P Vectpy1, y2, . . . , yrq<sup>K</sup>. On pose alors y<sub>r`1} “ y }y} et enfin py1, y2, . . . , y<sub>r`1</sub>q est une famille orthonormée. On sait que @k P v1, r`1w, Vectpx1, x2, . . . , xkq “ Vectpy₁, y₂, . . . , y_kq, reste à voir xx_{r`1</sub>, y<sub>r`1}y ą0 :

xy_{r`1</sub>, x<sub>r`1}y “ C

y_r`1, y´

r

ÿ

i“1

t_iy_i G

“ C

y_{r`1</sub>,}y}y<sub>r`1}´

r

ÿ

i“1

t_iy_i G

“ }y} }y_r`1}² loomoon

1

´

r

ÿ

i“1

tixyi, y_r`1y loooomoooon

0

“ }y} ą0

Illustration PrenonsE “Cpr0,1s,Rqmuni dexf, gy “ ż1

0

f g. Soient pouriP v0,2w,e_i :tÝÑtⁱ. On souhaite orthogonaliser pe₀, e₁, e₂qqui est une famille libre de E.

(1) }e₀}² “ ż1

0

e₀ptq dt“ ż1

0

1 dt“1 donc }e₀} “1, on prend ε₀ “e₀. (2) Soientα PRetϕ“e₁`αε<sub>0</sub>, on a doncϕ:tÝÑt`α. Ainsi,

xϕ, ε0y “ xe1, ε0y `α}ε0}² loomoon

1

“ ż1

0

tdt`α

“ 1 2 `α On prend donc α“ ´1

2 etε₁“ ϕ

}ϕ}. Reste à calculer}ϕ}:

}ϕ}² “ ż1

0

ˆ t´1

2

˙2

dt

“

«1 3

ˆ t´1

2

˙3ff1

0

“ 1 3

˜ˆ 1´1

2

˙3

´ ˆ

´1 2

˙3¸

“ 1

12 Ainsi, }ϕ} “ 1

2?

3 donc on prendε₁ptq “2?3 ˆ

t´ 1 2

˙ . (3) Soientα₀, α₁PRetϕ“e₂`α<sub>1</sub>ε<sub>1</sub>`α₀ε₀. On a donc

#xϕ, ε₀y “ xe₂, ε₀y `α<sub>0</sub> xϕ, ε<sub>1</sub>y “ xe<sub>2</sub>, ε<sub>1</sub>y `α₁ ñ

#α₀ “ ´ xε₀, e₂y α₁ “ ´ xε₁, e₂y

Calculons α₀ etα₁ :

α₀ “ ´ ż1

0

t²dt

“ ´1 3 α₁ “ ´

ż1 0

t²2? 3

ˆ t´ 1

2

˙ dt

“ ´2? 3

ż₁

0

ˆ t³´t²

2

˙ dt

“ ´2? 3

„t⁴ 4 ´1

6t³



“ ´2? 3ˆ 1

12

“ ´

?3 6 On a donc pour tPR,

ϕptq “ t²´

?3 6 ˆ2?

3 ˆ

t´1 2

˙

´1 3

“ t²´t` 1 6 On prend maintenant ε₂ “ ϕ

}ϕ}, mais il reste à calculer }ϕ} en passant par }ϕ}². Deux solutions se présentent : la première est d’intégrer brutalement, solution que je laisserai aux futurs PSI le soin de rédiger. Mais le génial M. Sellès nous propose une méthode alternative :

}ϕ}² “ }e₂}²` }αε<sub>1</sub>`α₀ε₀}²`2xe<sub>2</sub>, α<sub>1</sub>ε<sub>1</sub>`α₀ε₀y

“ }e₂}²` α<sup>2</sup><sub>1</sub>`α²₀ looomooon

carpε0,ε1qest orthogonale

`2α1xe₂, ε₁y loomoon

´α¹

`2α0xe₂, ε₀y loomoon

´α⁰

“ ż1

0

t⁴dt´ 3 36 ´1

9

“ 1

180 D’où enfin ε₂ptq “6?

5 ˆ

t²´t`1 6

˙ .

Méthode alternative générale pour calculer }y_{r`1</sub>}<sup>2</sup> Si y<sub>r`1} “ x<sub>r`1</sub> `

r

ÿ

i“1

α_iy_i avec @i P v1, rw, α_i “

´ xx_r`1, y_iy, alors

}y_{r`1</sub>}<sup>2</sup> “ }x<sub>r`1}}²`

›

›

›

›

›

r

ÿ

i“1

α_iy_i

›

›

›

›

›

2

`2 C _r

ÿ

i“1

α_iy_i, x_r`1 G

“ }x<sub>r`1</sub>}<sup>2</sup>`

r

ÿ

i“1

α²_i `2

r

ÿ

i“1

αixyi, x_r`1y loooomoooon

´αi

“ }x_r`1}²´

r

ÿ

i“1

α²_i

En effet, à ce stade lesα_i ont déjà été calculés.

2.3 Troisième théorème 2.3.1 Résultat principal

Soit E un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire x¨,¨y, F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Alors

E“F‘F^K

Démonstration On sait déjà que FXF^K “ t0u.

D’après le deuxième théorème fondamental, on peut considérer une base orthonormée pe₁, e₂, . . . , e_pq de F où p“dimF. SoitxPE, on cherche y “

p

ÿ

i“1

α_ie_i PF etzPF^Ktels quex“y`z.

– Siy etz existent, alors @iP v1, pw,

xx, e_jy “ xy`z, e_jy

“ C _p

ÿ

i“1

α_ie_i, e_j G

` xz, e_jy loomoon

0

“

p

ÿ

i“1

α_ixe_i, e_jy

“ α_j

D’où αj “ xx, ejypuis nécessairement z“x´

p

ÿ

i“1

αiei “x´

p

ÿ

i“1

xx, eiyei. – Écrivons donc

x“

p

ÿ

i“1

xx, e_iye_i looooomooooon

y

`x´

p

ÿ

i“1

xx, e_iye_i loooooooomoooooooon

z

yPF caryPVectpe₁, e₂, . . . , e_pq, vérifions que zPF^K “ te₁, e₂, . . . , e_pu^K. Soitj P v1, pw,

xz, ejy “ C

x´

p

ÿ

i“1

xx, eiyei, ej

G

“ xx, e_jy ´

p

ÿ

i“1

xx, e_iy xe_i, e_jy loomoon

δi,j

“ xx, e_jy ´ xx, e_jy

“0

Remarque Avec les notations du troisième théorème, on peut considérerpF le projecteur surF parallèlement àF^K; c’est le projecteur orthogonal surF. Sipe₁, e₂, . . . , e_pq est une base orthonormée deF, alors pourxPE, p_F pxq “

p

ÿ

i“1

xx, e_iye_i.

2.3.2 Distance à une partie

Soit E un R-espace vectoriel muni d’un produit scalairex¨,¨y,AĂE. On pose dpx, Aq “inft}x´a} |aPAu.

A

b x

Supposons maintenant queAest un sous-espace vectoriel F de E tel queE “F ‘F^K. C’est en particulier le cas siE est de dimension finie.

Soitp le projecteur sur F parallèlement àF^K,xPE,x s’écritx“a`bavec aPF,bPF^K. F^K

F b x

a

Ainsi, pouryPF,

}x´y}² “ }a´y`b}²

“ }a´y}²` }b}²

Donc }x´y} ě }b}avec égalité si et seulement si }a´y}²“0ôy“a. On alors dpx, Fq “ }b}

“ }x´a}

“ }x´ppxq}

De plus@yPFz tppxqu,}x´y} ądpx, Fq.

D’autre part, si zPF^K, alorsx´z“a`b´z d’où

}x´z}² “ }a`b´z}²

“ }a}²` }b´z}<sup>2</sup> D’où }x´z} ě }a} avec égalité siz“b. De plus, d`

x, F^K˘

“ }a} “ }ppxq}.

3 Espaces euclidiens

Un espace euclidien est un couplepE,x¨,¨yqoùEest unR-espace vectoriel de dimension finie etx¨,¨yun produit scalaire sur E^a.

a. On dit souvent « soitEun espace euclidien » en sous-entendant le produit.

Dans la suite,E est un espace euclidien dont on notex¨,¨y le produit scalaire et }¨}la norme associée.

3.1 Bases orthonormées et distance à un hyperplan

De l’utilité des bases orthonormées E est de dimension finienPN^˚, doncE admet une base orthonormée B“ pe₁, e₂, . . . , e_nq. Pour x“

n

ÿ

i“1

α_ie_iPE, on a @jP v1, nw:

xx, ejy “ C _n

ÿ

i“1

αiei, ej

G

“

n

ÿ

i“1

α_ixe_i, e_jy

“ α_j

Si on note pe^˚₁, e^˚₂, . . . , e^˚_nq la base duale de B, alors on a @j P v1, nw,e^˚_j “ xe_j,¨y. On en déduit une expression simple du produit scalaire. En effet, poury“

n

ÿ

i“1

β_ie_i PE,

xx, yy “ C _n

ÿ

i“1

αei,

n

ÿ

i“1

βiei

G

“

n

ÿ

i“1

α_iβ_i car Best orthonormée

En particulier, }x}² “ xx, xy “

n

ÿ

i“1

α²_i. On remarque que xx, yy “ pα₁, α₂, . . . , α_nq.pβ₁, β₂, . . . , β_nq où . est le produit scalaire canonique surRⁿ.

Théorème de la base orthonormée incomplète Soitpe₁, e₂, . . . , e_pq une famille orthonormée de vecteurs de E, alorsDe_{p`1</sub>, e<sub>p`2}, . . . , enPE tels que pe₁, e₂, . . . , enq est une base orthonormée deE.

En effet, soitF “Vectpe₁, e₂, . . . , e_pq, dimF^K“n´p, on peut donc considérerpe_{p`1</sub>, e<sub>p`2}, . . . , e_nqune base orthonormée deF^K. Par recollement, pe₁, e₂, . . . , e_nq est une base orthonormée deE.

Expression de la distance à un hyperplan SoitH un hyperplan deE,H admet une équation cartésienne relativement à B : D pa₁, a₂, . . . , a_nq P Rⁿz t0u tel que H est l’ensemble d’équation cartésienne a₁x₁`a<sub>2</sub>x<sub>2</sub>`

¨ ¨ ¨ `anxn“0. Notonsa“

n

ÿ

i“1

aiei et soitx“

n

ÿ

i“1

xieiPE. Alors

xx, ay “a₁x₁`a<sub>2</sub>x<sub>2</sub>` ¨ ¨ ¨ `a_nx_n carB est orthonormée

Ainsi, H “ txPE| xa, xy “0u “ tau^K. On sait que le projecteur sur Vectpaq parallèlement àtau^K vérifie pour xPE,ppxq “ xx, ay

}a}² aet queE “Vectpaq ‘ tau^K. H

Vectpaq x

ppxq

'

&

$

% On a vu de plus que dpx, Hq “ }ppxq} “ |xx, ay|

}a} d’où

dpx, Hq “

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

n

ÿ

i“1

aixi

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ aa²₁`a<sup>2</sup><sub>2</sub>` ¨ ¨ ¨ `a²_n

3.2 Projecteurs et symétries orthogonales

Soit F un sous-espace vectoriel de E, alors F^K est un supplémentaire de E car F est de dimension finie : E “F‘F^K.

Soit F un sous-espace vectoriel de E.

– On appelle projecteur orthogonal surF le projecteur surF parallèlement àF^K.

– On appelle symétrie orthogonale par rapport à F la symétrie par rapportF parallèlement àF^K.

F

x

s_Fpxq pFpxq

Remarque Soit xPE,x “y`z avec y PF etz PF<sup>K</sup> et on a même y “p<sub>F</sub>pxq. Donc, puisquexz, yy “0, }x}<sup>2</sup> “ }y}<sup>2</sup>` }z}² d’où}y} ď }x} ô }p_Fpxq} ď }x}. On a de plus}p_Fpxq} “ }x} ôp_Fpxq “xôxPF.

D’autre part,s_Fpxq “y´zd’où }s_F pxq}²“ }y}²` }z}² donc}s_Fpxq} “ }x}. Rappel

– Siaest un vecteur non nul de E etple projecteur orthogonal sur Vectpaq, alors^a pour xPE, ppxq “ xx, ay

}a}² a – Siq est le projecteur orthogonal surtau^K, alorsq “IdE´pd’où

qpxq “x´xx, ay }a}² a

– SiF est un sous-espace vectoriel deE etpe₁, e₂, . . . , e_pq une base orthonormée de F, alors pourxPE, pFpxq “

p

ÿ

i“1

xx, eiyei

– SiF est un sous-espace vectoriel deE, dimF^K “dimE´dimF et on en déduit` F^K˘K

“F. En effet,F Ă`

F^K˘K

et dim` F^K˘K

“dimE´dimF^K “dimF.

a. Voir page 10.